Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2006


    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Критичний стан в OFC-моделі при різних додаткових умовах'

    Текст наукової роботи на тему «Критичний стан в OFC-моделі при різних додаткових умовах»

    ?Розділ V. Математичне моделювання екосистем

    А.С. Черепанцев

    КРИТИЧНЕ СТАН В OFC-МОДЕЛІ ПРИ РІЗНИХ ДОДАТКОВИХ УМОВАХ

    Інтерес до запропонованої Оламі, Федер, Крістіансен (OFC) [1] моделі само-організованого критичного стану, що виникає в найпростішої системі пов'язаних осередків, багато в чому визначається можливістю опису з її допомогою ковзання тектонічних блоків при розгляді їх як окремих об'єктів, що володіють локальними напруженнями [ 2]. Дана модель носить неконсервативний характер, тобто загальна енергія системи зменшується з часом, і для підтримки системи в динамічно активному стані потрібна наявність зовнішнього джерела енергії. Поведінка системи [3] визначається, поряд з законом передачі енергії між сусідніми осередками, поруч додаткових параметрів і умов. У даній роботі розглянуті два таких умови - умови на кордоні розглянутій області і умови перерозподілу енергії при передачі енергії сусіднім осередків. Останнє можна задати в двовимірної моделі за допомогою завдання різних регулярних сіток на площині.

    Фізична модель. Моделювання організації сейсмічного процесу в просторово-часової області стало однією з причин появи даної OFC-моделі. Механічна модель [2] (stick-slip model) представлена ​​на рис. 1.

    Вона являє собою двовимірну квадратну решітку, що складається з однакових блоків. Кожен з блоків пов'язаний з сусідніми чотирма блоками пружною пружиною. Блоки розташовані на нерухомій платформі і з'єднані пружною зв'язком з рухомої вище Рис. 1. Модель переривчастого ковзання плитою. Сила, що діє на окремий блок з координатою (i, j), визначається як

    F, j = fj + f + w + f-i, j + fuj + i + fuj-i,

    де fl - сила, керуюча рухом і освічена пружною зв'язком з верхньою плитою, f. ± 1 j ± 1 - сили, утворені пружними зв'язками блоку (i, j) з сусідніми блоками. У разі відсутності сили тертя між підставою блоку і нерухомою платформою рух блоків було б безперервно. У разі ж наявності

    тертя рух носить стрибкоподібний характер. Якщо сила Ftj не перевищує сили тертя спокою, то блок залишається нерухомим. Коли ж сила F.} стає більше сили тертя спокою, блок перескакує в нове положення, таке ж, як

    сумарна сила р / = 0. Для запису рівнянь руху визначимо основні параметри системи. Нехай Кх, К2 - коефіцієнти пружності пружин по х і у напрямках відповідно. Нехай ??, 12 - нульова довжина пружин при відсутності розтягуючих сил. Будемо припускати, що блоки під дією прикладених сил можуть деформуватися, при цьому середня відстань між блоками ак>1к, к = 1,2. Нехай (х. /, У. /) Визначає зміщення блоку ( ',]) з положення рівноважної конфігурації. Передбачається, що пружини підкоряються лінійним законом Гука пружною деформації і рух верхньої плити відбувається уздовж осі Ох.

    Тоді координати сили, що діє на блок (,]), визначаються як

    = -Кьх1,1 + + ./?-і + / х, / + \ + -С-,

    ру = / ++ і +/- і + / У + 1 + /? - 1. (1)

    Для проекцій сил взаємодії блоків справедливо рівність

    / 1 + 1, / = I / 1 + \, / 1 з ° ® +1,] = / + 1,] |

    З урахуванням того, що \ / 1 + 1,] | = К1 (1-А) = К1 (^ Л / (а1 + х '+ 1, / - х., /) 2 + (у. + 1, / - у.,]) 2 -110 =

    отримуємо: / х + х, = К1

    а1 + х. + 1 - х -

    11 (а1 + х + 1 - х.)

    л / (а1 + х + 1 - х) 2 + (у<+ 1 У) 2

    Аналогічно можна отримати:

    / -1, / = - К1

    / Х + 1 = К 2

    / Г-1 = -К 2

    а1 + х,] - Х.-і -

    11 (а1 + х,] - х, - 1,])

    л / (а1 + хм - х-1, | У + (у,] - У.-1, |) 2. 12 (х, / + 1 - х, /) ____________________

    д / к] +1 - х.,]) 2 + (А2 + У,] + 1 - У,]) 2

    12 (х,] - х,] - 1)

    -1) 2

    \ 2 + У, / - У., /- -

    Підставляючи отримані співвідношення в (1), отримаємо вираз для складової сили по координаті х. Аналогічно розмірковуючи для у-координати сили справедливо

    р У / = - До 2

    12 (

    а 2 + У, / + 1 У, /

    (Х,] + 1 - х,]) 2 + (А2 + У, / + 1 - У, /) 2

    12 (А2 + У, / - У, / -1) (х, / - х, / - 1) 2 + (А2 + У, / - У, / -1) 2

    _____________11 (У + 1, / - У, /) ______________

    (А1 + х, - + і - х, /) 2 + (У. + 1, / - У, /) 2 л / (а1 + х, / - х-1, /) 2 + (У, / - У-1, /)

    --К1 -2У, / -У + 1, / -У-1, / +

    V

    11 (У, / - У-1, /)

    При сковзанню блоку (і, 1), нове значення F? J ® 0. Тоді зміна компонент сил, що діють на сусідні блоки, визначається новими значеннями (хі: 1, у ?, 1). Так, для блоку (і +1, 1) маємо

    Р +1,1 - Р + і ,; = -К (- (У ,; - X,]) -

    ° 1 + хі * 1,1 - У. 1

    )

    ?1 (а1

    + У + 1,1 - ХГ, 1

    )

    ) 2 + (Уг +1,1 - У, 1) 2 л / (а1 ^ Хі + 1 ^ / ™ Хі, /) ^^^^ / ™ -Уі, /)

    (А1 + У + 1,1 - Уг, 1,

    де (у., У;.) - нові координати блоку (і, 1).

    Відповідну зміну сили, що діє на блок (і, 1), так само

    Ут т т І \ (? 1 (а1 + X + 1, | - У, -)

    Рі - рх = 0 - ру = К (у. 1 - X, 1) + до ^ у - '+ 1 та г + 1,1? -11

    ?1 (а1 + У + 1,1 - У, і)

    (2)

    (А1 + У + 1,1 - У, 1} + (у. + 1, і - .Уі, 1}? 1 (а1 + У, 1 - У-1,1) ,

    (А1 + У + 1,1У, 1У + (уі + 1, і - УІ, 1У д / (а1 + У, і - У-1, и ^ + (уі, і - УІ-1,1У

    ?1 (а1 + У, 1 - У-1,1)

    -до

    2 (У, і - У, і) +

    ?2 (У, і + 1 - У, і)

    (А1 + У, і - У-1, і) 2 + (у, і - УІ-1, и У ^ [, 1, и л / (У, і + 1 - У, и У + (А2 + уі , і + 1 - У, і) 2

    ____________? 2 (У, 1 + 1 - У, і) ___________________? 2 (У, 1 - У, 1 -1) ________________________ +

    (У, і + 1У, и У + (А2 + УІ, і + 1 - УІ, и У т / (У, і - У, 1-1У + (А2 + УІ, і - УІ, і-1У

    ____________? 2 (У, і - У, і-1У _______________

    (У, і - У, 1-1У + (А2 + УІ, і - УІ, і-1) 2

    (3)

    Лінеарізуем дані вирази з урахуванням ак >> Ах. 1; ак >> Ау. 1; к = 1,2. Тоді (2), (3) можна представити у вигляді

    Р + 1, і - Р + 1, і »до 1 (У, і - у, і);

    - К (У, 1 - У, 1) + 2К1 (У, 1 - У, 1) + 2К 2 (У, 1 - У, 1) - К2 - ^ (х / - У ,!).

    Визначимо константи внутрішньої деформації 5к = (ак -? К) / ак, коефіцієнти анізотропії системи а = К2 / К1, к = К1 / К1. Тоді нове значення діючої х-компоненти сили можна уявити через її попередні значення

    рх = рх + а рх Л + 1,1 Г 1 + 1,1 + "І., 1 .

    Аналогічно можна отримати співвідношення і для зміни інших компонент сили:

    Р-1,1 = р, -і + а, ^ ± 1 = р'х, 1 ± 1 + 52 ^ «1, де а1 = - 1

    РУ = РУ + -ґі ± 1,1 Гі ± 1, и ^ а - І, и

    Р ", РУ ± 1 = РУ ± 1 +« 2, де «2 =

    2 (1 + 5 2ст) + до 1

    2 (1 + 51ст)

    Отримана модель переходить в модель ОБО в разі, якщо? У = 0 і 5 2ст = 1.

    Перша умова означає, що можна знехтувати рухом по у-координаті. Друга умова визначає існування залежності меду деформацією по осі Оу і анізотропією пружних властивостей системи. Параметр а1, що визначає поведінку моделі ОБО, в даному випадку визначається фізичними параметрами анізотропії і внутрішніх напружень.

    Граничні умови в OFC-моделі. Прийнято виділяти три основних типи граничних умов в даній моделі.

    Вільні умови на кордоні, в разі розгляду квадратної решітки, визначаються як умови, при яких енергія скидання у граничних елементів розподіляється між сусідніми елементами - двома для кутових елементів в

    4

    кількості 2аЕтах і трьома - для граничних елементів в кількості - аЕтах. при

    цьому загальна енергія, передана сусіднім осередків при скиданні, залишається постійною величиною, рівною 4аЕтах < Етах для будь-якої області, будь то внутрішня або гранична області. Для двох протилежних меж умови можуть бути записані як

    де] = 0, ... Ь - 1; к = 2 при] = 0, Ь - 1; к = 4/3 при] = 1, ..., Ь - 2.

    Для двох інших протилежних меж умови формулюються аналогічно.

    Відкриті умови на кордоні визначаються тим, що всі елементи даної системи мають чотири сусідні елементи, т. Е. Розглядається система елементів, що є частиною більшої системи з тими ж параметрами. Незалежно від положення, сусідні елементи при скиданні елемента (,,]) отримують добавку величиною аЕтах. Фізична реалізація такої системи визначається умовами на кордоні навколишнього системи

    В даному випадку загальна втрата енергії системи (її диссипативность) визначається не тільки втратою енергії при скиданні (а<1/4), але і відтоком енергії через кордони.

    Періодичні умови на кордоні формулюються для систем, в яких відсутній характерний розмір системи Ь. У моделі з такими умовами решітка згортається в тор і умови на кордоні решітки розміром ЬхЬ виглядають наступним чином:

    Е1, з ® Е1, з + каЕ0, з

    Е1, з ® Е1, з + аЕ0, з

    Е,

    Е

    Ь-1

    Ь-1,3

    > Е,

    Етах ® Е ,, 0 ® Е ,, 0 + АЕ ,, Ь-1 .

    'тах

    Як показали модельні розрахунки, при значеннях а<0,25 в такій системі не відбувається розвитку самоорганізованого стану і відповідно статечного характеру функції щільності розподілу розмірів скидання. Скидання окремої осередки практично ніколи не супроводжується порушенням стійкості сусід -них осередків і не відбувається лавиноподібного наростання просторового масштабу скидання. В цьому випадку в моделі повторюється періодично одна і та ж послідовність скидів.

    Як критерій досягнення критичного стану розглянемо характер розподілу скидів за розмірами протягом заданого числа ітерацій. Сталий критичний стан визначається існуванням статечної залежності розподілу з постійним значенням показника ступеня / в діапазоні масштабів \, 2, ... Smax, де Smax<L2. Під масштабом скидання розуміється кількість пов'язаних осередків, які беруть участь в скиданні протягом окремої ітерації.

    Результати моделювання представлені на рис.2, 3.

    Аналіз отриманих залежностей дозволяє зробити ряд висновків.

    1. Вибір граничних умов є істотним параметром моделі, що визначає вид отриманого граничного стану. Показник ступеня / розподілу скидів за масштабами значимо різниться для моделей з вільними і відкритими кордонами. При періодичних граничних умовах критичний стан системи не досягається.

    2. Відповідність до критичного граничного стану при вільних граничних умовах вище, ніж при відкритих кордонах.

    3. Граничний розподіл скидів при відкритих граничних умовах в подвійному логарифмічному масштабі є ідеально лінійним, на відміну від залежності в разі вільних кордонів. В останньому випадку розподіл носить досить порізаний характер.

    З метою виявлення причин такої різниці поведінки граничного розподілу розглянемо тимчасову зміну такого параметра системи, що знаходиться в критичному стані, як середня енергія <Е> по ансамблю частинок.

    На рис. 4 представлені варіації <Е> .

    Мал. 2. Вибіркова щільність розподілу f скидів за масштабом S при заданих граничних умовах: а - вільні, б - відкриті. Параметри моделі: Ь = 64; а = 0,15; Етах = 30; ЛЕ = 0,1. Крива 1 число ітерацій п = 250; 2 - п = 103; п = 3103; п = 104; п = 3104; п = 105; п = 3105

    Мал. 3. Граничний розподіл скидів при різних граничних умовах: а - вибіркова щільність розподілу скидів для ОЕС-моделі L = 64, а = 0,2, Етах = 30; ЛЕ = 0,1: 1 - вільні кордони при п = 107; 2 - відкриті кордони при п = 107; 3 - періодичні кордону при п = 106; б, в, г - розподіл енергії по осередках після зазначеного числа ітерацій відповідно при вільних, відкритих, періодичних граничних умовах

    б

    г

    <Е: 18, 4 16 14

    200

    400

    600

    800

    Мал. 4. Варіації середнього значення енергії системи і оцінки кореляційної розмірності системи з вільними граничними умовами (а), (в) і з відкритими граничними умовами - (б), (г)

    Як видно з рис. 4, а, в разі вільних граничних умов стійке кри -тіческое стан визначає близьке до стаціонарного поведінку системи в

    г

    цілому, при якому енергія розподілена по дискретному набору масштабів. Тому система характеризується порізаним характером кривої розподілу за масштабами (рис. 3, а). Більш складну поведінку в часі показує система при заданих відкритих граничних умовах (рис. 4, б). У цьому випадку режим є апериодическим, визначаючи можливість скидів будь-яких масштабів і відповідно гладкість прямий розподілу подій (рис. 3, а). Складний характер поведінки системи в цьому випадку можна показати і шляхом оцінки розмірності динамічної системи по виду зміни кореляційного інтеграла (рис. 4, в, г). На різний характер поведінки системи вказує і аналіз розподілу енергії в граничному випадку (рис. 3, б, в). У разі вільної кордону система демонструє однорідний характер поведінки на всій решітці, тобто просторові структури великих масштабів, що мають однакове значення енергії, можуть включати і граничні точки, що, по всій видимості, визначається властивістю постійної величини дисипації енергії в будь-якому осередку решітки. При цьому в разі відкритих граничних умов поведінка системи на кордоні і у внутрішніх точках різна. На кордоні поведінку системи залишається випадковим і просторові структури дану область не зачіпають. Це, зокрема, визначає те, що можливий максимальний масштаб скидання в системі з відкритими кордонами менше максимального масштабу в сисема з вільними межами.

    Регулярні решітки в OFC-моделі. Розглянемо, наскільки залежать параметри статечних розподілів від вибору типу регулярної решітки, щільно покриває обмежену область поверхні. В якості таких решіток на площині можуть бути розглянуті трикутні грати, що складається з рівносторонніх трикутників, квадратна решітка і шестикутну решітка, що складається з правильних шестикутників і також щільно покриває поверхню.

    Для трикутної сітки правила еволюції системи визначаються як

    Еі, 2 і > Етах -

    Еі Лі - 0

    Е ,, 2і ± 1 - Еі, 2і ± 1 + АЕІ, 2і Еі-1,2і - Еі-1,2і + АЕІ, 2і

    Е > Е -

    І, 2 і + 1 _ тах

    Еі, 2і + 1 - 0 Еі, 2і + 1 ± 1 - Еі, 2і + 1 ± 1 + АЕІ, 2і + 1 Еі + 1,2і + 1 - Еі + 1,2і + 1 + АЕІ, 2і + 1

    1 = 0.1 - 1; ] = 0 ... (Ь - \) / 2.

    Модель стає консервативної при а = -. Для шестикутної сітки правила еволюції визначаються як

    Єї - 0

    Е > Е -

    ^ І, і - тах ^

    Е - Е + АЕ

    Еі, и ± 1 - Еі, и ± 1 + АЕІ и Еі + 1, і + 1 - Еі + 1, і + 1 + АЕІ и Еі-1, і + 1 - Еі-1, і + 1 + АЕІ и

    ,І,] = 0 ... Ь - 1.

    Рис.4. Залежність числа ітерацій п, необхідних для появи скидання розміром 5. а - залежно для: 1-трикутної сітки; 2 - квадратної сітки; 3 - шестикутної сітки. б -початковий ділянку залежності в напівлогарифмічному масштабі

    Модель стає консерватів-1

    ної при а = - .

    6

    Як характеристики переходу системи до критичного стану розглянемо число ітерацій, необхідних для виникнення скидання заданого масштабу. Відповідні залежності п (я) для різних сіток представлені на рис. 5, а. Можна виділити дві ділянки залежності - початковий перехідною ділянку, з експоненційної залежністю зростання (рис. 5, б) в діапазоні малих масштабів 5 = 1 - 20 і статечної зростання залежності для 5>20. Експоненціальна залежність п ~ вр характерна для систем з випадковим непов'язаним поведінкою окремих осередків сітки [4]. Статечна ж залежність

    З ^

    п ~ п0 5 властива системі при

    наявності взаємодії окремих елементів. Розрахункові значення параметра дисипації а:

    ак

    = 3 = 3

    ' "Квад - ^ трикутна - ^ шестикутна

    4 2

    = 0,15 визначають однакове значення дисипації енергії при окремому скиданні: 0,4? Тах. Цим визначається загальний вигляд кривих і відповідно швидкість збіжності до граничного стану. У разі ж завдання однакових значень параметра а для всіх решіток, найвищою швидкістю буде володіти шестикутна решітка. Тип решітки при фіксованому значенні диссипации впливає також в незначній мірі

    на статечної показник: Хтреугольная = 1,5 ± ° 1; Хквадратная = 1,6 ± ° 1;

    Хшестіугольная 1,8 ± ° 1

    Таким чином, основним параметром, що визначає швидкість збіжності до граничного стану, є не тип решітки, а величина параметра дисипації енергії в моделі ОБС.

    СПИСОК

    1. Olami Z., Feder H., Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes, Phys.Rev. Lett. 68, P. тисячі двісті сорок чотири -1247. 1992.

    2. Burridge R., Knopoff L. Model and Theoretical Seismicity, Bull. Seism Soc. Am. 57, P.341 - 371, 1967.

    3. Черепанцев А.С. Зв'язок просторово-часових параметрів в OFC-моделі тектонічних процесів // Изв. ТРТУ. Тематичний випуск «Екологія -2006». 2006. С. 5.

    4. J.J.Binney, N.J.Dowrick, A.J.Fisher, M.E.Newman. The Theory of Critical Phenomena. Oxford University Press. 1992.

    ЗВ'ЯЗОК просторово часових параметрів В OFC-МОДЕЛІ тектонічних процесів

    Фрактальні структури зустрічаються в різних фізичних системах: від моделей освіти сніжинок до розподілу галактик. Турбулентність є прикладом системи, яка проявляє фрактальні властивості. Диссіпація енергії в такій системі відбувається не просторово інваріантної, а каскадом на певних просторових масштабах.

    Іншою відомою системою, яка демонструє фрактальні властивості, є сейсмічність. Система тектонічних плит має масштабно-інваріантні закономірності: вимір розподілу плит за розмірами. Розподіл енергії землетрусів по частоті повторень, що описується законом Гуттенберга -Ріхтера, також дається ступеневою функцією. Поряд з цим і геометричний розподіл епіцентрів (проекцій центрів землетрусів на поверхню) і їх тимчасова послідовність показують фрактальность структури.

    Фактично сейсмічність має багато спільного з турбулентністю. Обидві є відкритими динамічними системами з великою кількістю незалежних елементів, взаємодіючих між собою. Обидві системи управляються зовнішніми процесами, з постійним припливом зовнішньої енергії і диссипацией через каскад масштабних розмірів. Диссіпація енергії в обох системах показує дискретний характер в часі і просторово-часову фрактальную організацію.

    Модель ковзання тектонічних блоків при розгляді їх як окремих об'єктів, що володіють локальними напруженнями, запропонували Оламі, Фе-дер, Крістіансен (ОБС) [1]. Дана модель носить неконсервативний характер, тобто загальна енергія системи зменшується з часом, і для підтримки системи в динамічно активному стані потрібна наявність зовнішнього джерела енергії.

    Нехай дана кубічна решітка розмірністю е і розміром Ьа. Поставимо у відповідність кожній г-й осередку деякий динамічний параметр Ег. У найпростішому випадку під Ег будемо розуміти внутрішню енергію, накопичену в г-й осередку. Припустимо, що в одиницю часу все осередки отримують одну і ту ж додаткову величину приросту енергії:

    Така зміна в часі енергії будь-якої окремої комірки, в разі відсутності впливу сусідніх осередків відбувається до тих пір, поки Е1 < Етах, де Етах -деяка порогове максимальне значення пружної енергії, при перевищенні якого осередок скидає накопичену енергію, частина з якої передається сусіднім осередків:

    А.С. Черепанцев, С.Ф. Черепанцев

    Et ® E {+ DE, i = 1, ..., N.

    (1)

    (2)

    де індекс кк визначає сусідні осередки.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити