Розглянуто існування і зв'язок між рішеннями абстрактних парних інтегральних рівнянь типу згортки з довільної і рівній дельта функції Дірака правими частинами. Сформульовано і доведено теорему критерій з необхідною і достатньою умовою такого зв'язку. Процедура вільна від апарату теорії інтеграла типу Коші, гёльдеровості функцій

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Полєтаєв Г.С.


Criterion for connections of solutions of the general convolution type paired integral equations in banach algebras with weight

Existence and connection between the solutions of the abstract general convolution type paired integral equations with arbitrary right-hand side and equal to Dirac's delta function are considered. The theorem criterion for such connection is formulated and proved. Procedure is a free from the theory of Cauchy integral and Holder requirement


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: ScienceRise
    Наукова стаття на тему 'КРИТЕРІЙ ЗВ'ЯЗКУ РІШЕНЬ узагальнених хлопця інтегральних рівнянь ТИПУ згортки В Банахової алгебри З ВАГОЮ'

    Текст наукової роботи на тему «КРИТЕРІЙ ЗВ'ЯЗКУ РІШЕНЬ узагальнених хлопця інтегральних рівнянь ТИПУ згортки В Банахової алгебри З ВАГОЮ»

    ?УДК 513.88: 517.948.3

    DOI: 10.15587 / 2313-8416.2016.74668

    КРИТЕРІЙ ЗВ'ЯЗКУ РІШЕНЬ узагальнених хлопця інтегральних рівнянь ТИПУ згортки В Банахової алгебри З ВАГОЮ

    © Г. С. Полєтаєв

    Розглянуто існування і зв'язок між рішеннями абстрактних парних інтегральних рівнянь типу згортки з довільної і рівній дельта функції Дірака правими частинами. Сформульовано і доведено теорему - критерій з необхідною і достатньою умовою такого зв'язку. Процедура вільна від апарату теорії інтеграла типу Коші, гёльдеровості функцій

    Ключові слова: інтеграл, рівняння, парне, згортка, Банаха, алгебра, факторизація, проектор

    Existence and connection between the solutions of the abstract general convolution type paired integral equations with arbitrary right-hand side and equal to Dirac's delta function are considered. The theorem -criterion for such connection is formulated and proved. Procedure is a free from the theory of Cauchy integral and Holder requirement

    Keywords: integral, equation, paired, convolution, Banach, algebra, factorization, projection

    Ф1ЗІКО-МАТЕМАТІЧН1 НАУКИ

    1. Введення

    Відома важлива роль теорії інтегральних рівнянь типу згортки, зокрема, парних, а також кола проблем, пов'язаних з їх дослідженням, для фундаментальних теоретичних і прикладних питань [1-21]. В тому числі, в математиці, механіці, теорії деяких видів диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь, теорії пружності, в розрахунках будівельних елементів, в математичної і теоретичної фізики [1-14]. Загальні елементи цієї тематики зв'язуються положеннями споруджуваної автором теорії рівнянь в кільцях з факторізаціоннимі парами [15-17, 21]. Рішення такого роду рівнянь і суміжних завдань, в істотному, пов'язане з подоланням серйозних аналітичних бар'єрів, з'ясуванням самого факту існування рішень, розробкою невідомих підходів до вирішення і дослідження. Тому отримання нових загальних результатів про можливості розв'язання таких рівнянь, можливі шляхи побудови рішень, формул їх подання, вивчення властивостей рішень, можливих зв'язків між рішеннями, є актуальним завданням. Актуальною є й розробка елементів точних методів, мінімально спираються на теорію функцій комплексного змінного, вільних від апарату теорії інтеграла типу Коші, вимоги гёльдеровості функцій.

    2. Аналіз досліджень і публікацій

    У розглянутому нижче вигляді, узагальнені парні рівняння, вперше, з'явилися в роботах автора. Вони охоплюють відомі парні інте-

    Гральний рівняння типу згортки [1-4, 6, 10, 12-18]. Найбільш повна теорія останніх, в разі породжують ядра функцій до 2 (/) е Ц (-так, так), в цілому

    класі Е банахових просторах побудована в [4]. У близькій до розглянутої в [12] і нижче постановці, але в інших просторах, ці парні інтегральні рівняння вивчалися Черським Ю. І .; Черським Ю. І. та Гахов Ф. Д. (1954, 1956; див. Також [6]) при додаткових обмеженнях типу вимоги гёльде-ровості функцій. В їх дослідженнях використаний апарат задачі Рімана-Гільберта, на зв'язок з якою вперше вказав І. М. Рапопорт [1]. Поряд з цим, для деяких видів рівнянь різних класів, можна виявити існування властивості зв'язку між рішеннями. При досить загальних припущеннях, виявляється можливим, знаючи спеціальні рішення, побудувати рішення, відповідні довільної правої частини. Це має місце для ряду відомих і нових класів рівнянь. В тому числі, важливих при моделюванні теоретичних і прикладних задач [12-18, 21]. Наприклад, виявляється зв'язок між рішеннями, відповідними довільної і дорівнює одиниці кільця (функцій, матриць або абстрактних елементів, в якому відшукується рішення) правих частин. Для парних рівнянь, в тому числі типу згортки, до робіт автора, питання зв'язку рішень залишалися поставленими в загальній формі і, в досить повному обсязі, що не були дозволені. База результатів встановлена ​​в [12]. Вона пов'язана з роботами [1, 2, 4] - попередніми складовими чудової історії дослідження парних інтегральних рівнянь типу згортки. В

    цих, а також інших роботах, є і фрагменти історико-мотиваційного характеру [6].

    3. Цілі і завдання дослідження

    Метою статті є формулювання і доведення теореми - критерію зв'язку рішень абстрактних узагальнених парних інтегральних рівнянь типу згортки щодо невідомої функції ф (^) виду:

    (Pit) - J k (t - s) p (s) ds = aS + f (t), t < 0;

    -так Так

    p (t) - J k2 (t - s) p (s) ds =? S + g (t), t > 0.

    (1)

    Рівняння (1) при a = P = 0; a,? e C є відомими парними інтегральними рівняннями типу згортки [1, 2, 4, 6, 10, 12, 13]. Передбачається, що: (t), (t) exp {ct} е Ц (- ?,?);

    [1 -K (4)] [1 -K (Л-ic)] * 0 , -?<A<? ;

    зі

    K. (Q: = J kj (C) eK'dt; j = l, 2, з eM, c > 0. (2)

    Для досягнення поставленої мети:

    - розроблений, що відрізняється алгебраічних-стю, новий підхід, який спирається на основні положення теорії кілець та теорії операторів;

    - за допомогою відповідних елементів цього підходу, сформульована і доведена загальна теорема - критерій зв'язку рішень;

    - розібраний ілюстративний приклад.

    4. Загальні положення

    4.1. Позначення, визначення, індекс елемента банахових алгебри Ь (с).

    Слідуючи [12], нагадаємо використовувані далі позначення і положення. Для будь-якої функції

    до ((), -так < ( < да,

    покладемо:

    ?: _ (/) =?: (/), + /> 0, Агт (0 = 0, + /<0.

    Символом Х (с) = Х (с) (-так, так), се К, будемо позначати Банаха алгебру всіх комплекснозначних вимірних функцій

    до ((), -так < ( < да, таких, що ес'к (р) е Ц (-так, так) = Ь. Норма в вво-

    диться за формулою:

    а роль множення грає згортка. Вона позначається символом *. Якщо а і Ь два будь-яких дійсних числа, то через ЬаПЬ позначимо перетин /, п і

    L (p) LaПА

    Встановлюється, що Zan4 - Банаха алгебра щодо норми:

    • = I \ К

    і згортки як множення при звичайному сенсі збіжності інтегралів. Через /, '. 1: і). Л позначимо подалгебри функцій з Ь, Ь, Ь, відповідно, які звертаються в нуль при + / > 0.

    Нехай формальний елемент (8 - функція Дірака [2]) такий, що

    o * o = o, o * k = k * 8 = k, k e Lt. ,, © L- ,, '' (- | c |) (| c |) '

    а А - будь-яка з алгебри / ,. /,. ,. /, Г (,. /, ", Л. /,", Л. Елемент 8 грає роль мультипликативной одиниці алгебри А, при цьому 8 й А. Формальним приєднанням цієї одиниці до А утворюємо Банаха алгебру А. Норма в А вводиться за формулою :

    = A +

    ,g = ao + k; a e C, k e A.

    t) \ ec'dt ^ oo; k<EL,

    Vf-

    Алгебра? (-?<з)) не має радикала і, отже, ізоморфна деякому кільцю безперервних функцій [19, 12]. Тому елементи розглянутих множин часто будемо називати функціями. Зворотний для оборотного в А елемента g ЕА будемо позначати Можливий випадок, коли елемент оборотний в А чи ні, має зворотний в деякій іншій алгебри. Тоді, щоб уточнити, який саме зворотний для g розглядається, будемо застосовувати індекси, асоційовані з алгеброю, що містить цієї зворотний. Наприклад, для

    g +<EL + 0n? C символ [§] 0 позначає зворотний,

    належить Ь0пс.

    Введемо комутуючі проектори,

    Р-ь (- \ с \) + ь (± \ с \)

    діючі за формулою:

    рт (А8 + к) = сс8 + до ^, до & © ,

    а також проектори:

    0 ± 0 р = р р (= рр), р ± = рр, р * = Р ++ Р-.

    L

    оо

    L

    З

    Заради стислості вважаємо [20]:

    х +: = р + х, х ~: = х,

    0 0 х: = р х; х ±: = р ± х,

    (Хе (?; І>©? - | Ф)).

    Для будь-якої функції

    к = А8 + до, до е Л,

    покладемо, до + = р + к. Очевидно, до + = ад + кт. Якщо до е Л, то через К (?) Будемо позначати інтеграл,

    да

    | до ОУ ^ / 1,

    -так

    розглянутий при тих для яких він існує.

    4. 2. Оборотність і факторизация елементів в Ь (з}

    Наступні твердження випливають із загальних результатів [19] про кільцях абсолютно інтегрованих функцій з вагою.

    Варіант теореми Вінера в Ь (с). Для оборотності в Ь (с) елемента

    А8 + до, а е С, до е Ь<з>,

    необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова:

    -так < Re д < да.

    Варіант теореми Вінера в Цс). Для оборотності в Цс) елемента

    А8 + кт, а е С, кт е Цс),

    необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова: а \ а + (С) 1т З > ± з: -х < Ясс " < х.

    нехай

    g = А8 + до, а е С, до е Хап4

    така, що при деякому з е [а, Ь] виконується умова а [а + К (Л - / с)] ^ 0, -з < /, < х. Тоді, індексом як елемента Ь (с) (коротко с \ або g] с) назвемо число, рівне індексу функції

    а + К (Л - гс) змінної X уздовж зімкнутої дійсній осі {-так, так}, що виходить з [-так, так] ототожненням решт [2], т. е.

    Хи, з] [^ л [arg {а + К (Л гс)}]. 2л *

    -так

    Зокрема, якщо g = 8 - до, до е Ь, і

    1 - К (Л) ф 0, -так < Л < да,

    то

    Х g, 0]: = -11 -К (Л)}].

    2л -1

    -так

    Факторизації функції g = 8-к, до в

    Ь (с) будемо розуміти уявлення її у вигляді:

    8 = [3 + г +] * [3 + гл г ^ ЦСУ (3)

    Цю факторизацию назвемо «правильної в Ь (с)», якщо хоча б один з + факторів Л '+ У_ звернемо в своїй подалгебре Ь + (с). Якщо обидва чинники такі, то (3) називаємо «канонічної в Ь (с)» факторизації. З огляду на, полупростоту Банаха алгебри (, виявляється, що, по ізоморфізму кілець,

    з факторізаціонних теорем М. Г. Крейна ([2]]), безпосередньо, випливають факторізаціонние теореми в Ь (с) [12].

    5. Результати дослідження 5. 1. Формулювання і доказательст теореми зв'язку рішень. Використовуючи підготовлену базу, сформулюємо умови і наведемо формули зв'язку рішень парних інтегральних рівнянь (1) з довільною і рівною 8 (0 правими частинами, при зроблених припущеннях, безпосередньо.

    Теорема 3 (Необхідна і достатня умова - критерій зв'язку рішень парних інтегральних рівнянь типу згортки). Нехай кх (/),

    до (/) exp (с /) е Ц > (-Так, + та),

    т. е.

    до е Ь, к е Цс>; з > 0,

    і виконана умова (2), а парне інтегральне рівняння з (1) з правою частиною рівною 8 (тобто при А8 = / 38 = 8; f (t) = g (t) = 0) має рішення СР3 е? 0пс, причому, р8 = р8 (/) = 8 + х.

    X (О) е Ь0пс

    і

    [1 + X (Л)] • [1 + X (Л-1С}] * 0, -так < Л < + Так. (4)

    Тоді для існування рішень ср (/) е? 0пс

    парного інтегрального рівняння (1) з довільною зі всіляких правих частин пекло + (), -ж<4<0; вд + yoф, 0 «ж; де а, в? С; /, G е ЦПЗ, з>0, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова:

    а = р. (5)

    При його виконанні, рішення ср (/) е? 0пс

    узагальненого парного інтегрального рівняння типу згортки (1) з довільною правою частиною

    ад + -гл «0; ад + е (Г), 0<Коо; АЕС; /, 8 е; з>0 в можна визначити за формулою:

    Р (О) = Рз х {р- ([фа \ 'про х [8 + к1] х

    х [ «8 + / -]) + р + ([фз \ 'х [8 + к (] х [« 8 + g +])} (/), (6)

    де

    [<р31, Я + к12 (: = [Я-К21) е1<з>

    зворотні в Ь, Ь<з> , відповідно, для вирішення <Р5 е? П) Ь<з> і для коефіцієнтів

    [Б-ИфЬ, [3-к 2 (фЬ<з>,з>0

    парного рівняння (1).

    Доведення. Необхідність. Нехай при зроблених припущеннях елемент ср е / ~ 0, (є рішенням рівняння (1). Тоді, використовуючи введені позначення і проектори, робимо висновок:

    [(8-к}<}] - = «8 + / _ (о),

    [(8-к2}<(/}] + = / 8 + g + (t}. (7)

    Звідси, застосовуючи до обох частин кожного із записаних рівностей проектор р, отримуємо:

    р0 [(8 - к) х р] = р0 [ «8 + / \ = А8;

    р0 [(8-к2) хр] = р0 [/ 8 + е + \ = 8

    Використовуючи тепер гомоморфіческіе властивості проектора р0, робимо висновок, що <р0 = А8 = 88 і умова (5) дійсно має місце.

    Достатність. Нехай припущення теореми 3 виконані, мають місце умови (3) - (5) і в формулі (6):

    Рз = Рз (О = 8 + х; х (0 е ЦПС (з > 0) >

    задовольняє умові (4) рішення парного інтегрального рівняння (1) з правою частиною рівній приєднаної одиниці 8 (= 8 (О)); а

    [<8 \ 0, [Р8 \:; 8 + к (, j = 1,2

    зворотні в банахових алгебрах Ь, 1<(С), відповідно, елементи. Їх існування гарантує варіант теореми Н. Вінера, так як виконані умови (3), (4)). Знаками «+, -» при функціях відзначено застосування використовуваних проекторів [12]. тоді:

    ([8-к \ х<8) = ([8-к] хр8) + = 8.

    Тому,

    [8-к \ хр = 8 + а +, [8- до \ хр = 8 + а;

    де а + е Ь, А_? Ь ~<з> - деякі елементи і справедливі подання:

    [<8 \ 0 = [8 + а + \ 0 х [8-к (\, [р8] '= [8 + а-]' х [8-к2 \. (8)

    Використовуючи властивості уявлення Гельфана-да елементів банахових алгебр функціями на максимальних ідеалах, отримуємо ще такі уявлення:

    [<8] 0 = 8 + х0 (х (е Ь); [<8] '= 8 + х ((х (е Ь<з> ) ,

    а за допомогою (8) робимо висновок, що

    р ° [[8 + а +] 0] = р0 [[8 + а-] '] = 8. (9)

    Легко бачити, що при будь-правій частині рівняння (1) з а = / 3; а, ре С; /, g е Ь0пс, з > 0 права частина формули (6) визначає деяку функцію (елемент) у (1) е (. Переписуючи рівняння (1) за допомогою введених позначень в короткій формі (7) і підставляючи цей елемент >>(/) Е Ь0пс в ліву частину (1) замість р (О), в результаті перетворень, з урахуванням (9) і зроблених зауважень, отримаємо:

    p- [{(5-k) xp} (t)] =

    = P- [{(5-k) x {p, x {p- ([РД x [5 + k1] x f-]) + p + ([<PS] 'C x [5 + k \] x g +])}}} (t)] = = p- [{(5 - k) x Ps x {[P5] 0 x [5 + k1] x [ ​​« 5 + f_] - p + ([P5] 0 x [5 + k;] * [ «5 + / _])}} (t)] + + p - [{(5 + a +) x {p + ([Pj ] ^ x [5 + kl] x [ ​​«5 + g +])}} (t)] =

    = «5 + f- (t) - p0 [{[5 + a +] 0 x [« 5 + f-]} (/)] + p ° [{(5 + a +) x {p + ([5 +] 'cx [ «5 + g +])}} (/)] = =« 5 + f_ (t) - «p0 [[5 + a +]; (/)] + «P0 [[5 + a_ (/)] =« 5 + f (/) - «5 +« 5 = «5 + f (/).

    Аналогічно перевіряється, що А8 + ^. Стало бути, дійсно, формула (6) визначає рішення рівняння (1) в ситуації, що розглядається. Достатність, а з нею і теорема, доведена.

    5. 2. Приклад

    Розглянемо як приклад рівняння:

    зі

    (10)

    СО

    х {1) - ^ к2 {1 - = Ь + (/), / >-0;

    -так

    де

    до ( ') = [е-2 /; до (') = [е5 /

    з "= з" ( ') = з_ (') е Ь, Ь + = Ь + ( ') = Ь (') е Ь. вважаємо,

    а = 8 (/) - до ( ') ;; = 8 (/) - до ( '); (11)

    тобто:

    а = 8 - [е ~ 2 '] +; а = 8 - [е5']. Рішенням р5 при

    з "= з" ( ') = 8, Ь + = Ь + (') = 8, 8 ^ 8 ( ')

    очевидно, буде = 8 (/) - функція Дірака. Можна, можливо

    встановити, що для функцій (11), зворотними в Ь будуть:

    а '(') = 8 + [е " ']; а ((') = 8 + [є4 ']. При будь-яких

    з "= з" ( ') = з (') е Ь,

    Ь + = Ь + ( ') = Ь + (') е Ь

    умова (5), очевидно, виконано: а = р = 0. Отже, в силу теореми 3 рішення р (/) е Ь

    рівняння (10) існує і допускає подання до вигляді:

    р ( ') = [а | * С-] + [А2 * Ь +] + = = [(8 + [е "] +) * с" (/)] + [(8 + [є4]) * Ь + (/)] + = = с- ( ') + {[* "'] + * з" (/)} + Ь + (/) + {[* «] * Ь + (/)} + .

    Звідси, в Ь:

    р ( ') = с- (') + Ь + ( ') +

    + {(В "" ') + х з _ (') ^ + {[є4 '] х Ь + (')} +. (12)

    Результати про парних рівняннях висвітлювалися автором, зокрема, в рамках Міжнародної конференції імені академіка М. Кравчука в Києві, КПІ-2010, 2012, а також Всеросійської конференції «Необоротні процеси в природі і техніці», в Москві, МГТУ-2013, а також в ОДАБА [21] та інших.

    6. Висновки

    Є важливі, в тому числі раніше невідомі, положення досліджень з теорії інтегральних рівнянь типу згортки, які можна отримувати єдиним підходом. При ньому, серед інших, використовуються елементи споруджуваної теорії рівнянь в кільцях з факторізаціоннимі парами. Вдається, не спираючись на теорію задачі Рімана, скоротити використання апарату перетворень Фур'є, зняти умову гёльдеровості функцій, охарактеризувати можливість розв'язання рівнянь і зв'язок рішень відповідних довільним і спеціальним правих частин. При досить загальних умовах, без вимог гельдеровості функцій, сформульована і доведена теорема з необхідною і достатньою умовою зв'язку їх рішень, відповідних довільної і рівній приєднаної одиниці, вихідних Банахової алгебри, правих частин. Використовувалися застосовуються безпосередньо до відповідного нагоди Банахової алгебри підходи, що розвиваються для рівнянь в абстрактних кільцях з факторізаціон-ними парами [15-17, 20]. При встановленні виду формули зв'язку, істотно використані варіанти теореми Н. Вінера і факторізаціонних теорем [2, 4, 12-14, 19, 20]. У разі, коли породжують ядра функції належать відповідним подалгебру, ситуація спрощується. Результати мають теоретичне і практичне значення. можуть вико-

    тися в відповідних ситуаціях при вивченні конкретних прикладів рівнянь розглянутого виду (1). У перспективі можливо насичення кола застосовності новими конкретними фактами для підкласів рівнянь, дослідження властивостей зв'язку для інших рівнянь і спеціальних рішень.

    література

    1. Рапопорт, І. М. Про деякі «парних» інтегральних та інтегро-диффер. рівняннях [Текст] / І. М. Рапопорт // Збірник праць інституту математики АН УРСР. - Київ: Інститут математики АН УРСР, 1949. -№ 12. - С. 102-118.

    2. Крейн, М. Г. Інтегральні рівняння на променя з ядрами, що залежать від різниці аргументів [Текст] / М. Г. Крейн // Успіхи мат. наук. - 1958. -Вип. 5. - С. 3-120.

    3. Попов, Г. Я. Про спарених інтегро-диффер. рівняннях вигину лежить на пружній основі необмеженої плити кусково-постійною жорсткості [Текст] / Г. Я. Попов // Изв. вищ. навч. завідомо суперечною інтересам., матем. - 1957. - № 1. -С. 195-209.

    4. Гохберг, І. Ц. Про парному інтегральному рівнянні і його транспонувати I [Текст] / І. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн // Теорет. і прикл. математика. - 1958. -Вип. 1. - С. 58-81.

    5. Мусхелишвили, Н. І. Сингулярні інтегральні рівняння [Текст] / Н. І. Мусхелишвили. - М .: Наука, 1968. - 512 с.

    6. Гахов, Ф. Д. Рівняння типу згортки [Текст] / Ф. Д. Гахов, Ю. І. Черський. - М .: Наука, 1978. - 296 с.

    7. Попов, Г. Я. Метод факторизації і його чисельна реалізація [Текст]: навч. сел. / Г. Я. Попов, П. В. Кере-кеша, В. Є. Круглов; ред. Г. Я. Попов. - Одеса: Одеський держ. університет, 1976. - 82 с.

    8. Попов, Г. Я. Контактні задачі для лінійно деформованої основи [Текст] / Г. Я. Попов. - Київ-Одеса: ВШ, 1982. - 168 c.

    9. Мхітарян, С. М. Про деякі. плоских контакт. завданнях теор. пружний. з урахуванням сил зчеплені. і зв. з ними ін-ТЕГРА. і диффер. зрівняні. [Текст] / С. М. Мхітарян // Изв. АН Вірменської РСР. Механіка. - 1968. - Т. XXI, № 5-6. -З. 3-20.

    10. Черський, Ю. І. Метод спряження аналітичних функцій з додатками [Текст] / Ю. І. Черський, П. В. Керекеша, Д. П. Керекеша. - Одеса: Астропринт, 2010. - 552 с.

    11. Акопян, В. Н. Замкнутий рішення деяких змішаних задач для ортотропной площині з розрізом [Текст] / В. Н. Акопян, Л. Л. Даштоян // Сучасні проблеми механіки деформованого твердого тіла, диференціальних та інтегральних рівнянь. - Одеса, 2013. - С. 12.

    12. Полєтаєв, Г. С. Парне рівняння типу згортки з ядрами з різних банахових алгебр [Текст] / Г. С. Полєтаєв // Укр. матем. журн. - 1991. - № 6. - С. 803-813.

    13. Полєтаєв, Г. С. Парт ргвняння типу згортки з ядрами з рiзних банахових алгебр абсолютно штегрованіх з вагою функцій [Текст] / Г. С. Полєтаєв // НАУКОВ1 В1СТ1 Національного техшчного ушверсігету Украши «Кшвській полггехтчній шстшут». - 2002. - № 4 (24). - С. 143-148.

    14. Полєтаєв, Г. С. Парні рівняння типу згортки з ядрами з різних банахових алгебр абсолютно інтегруються за вагою функцій [Текст]: мiжнар. наук. конф. / Г. С. Полєтаєв. - КШВ, 2002. - С. 349.

    15. Полєтаєв, Г. С. Абстрактний аналог парного рівняння типу згортки в кільці з факторізаціонной парою [Текст] / Г. С. Полєтаєв // Укр. матем. журн. - 1991. -№ 9. - С. 1201-1213.

    16. Poletaev, G. S. Connection of Solutions of Abstract Paired Equations in Rings with Factorization Pairs [Text] / G. S. Poletaev // Modern Analysis and Applications. - 2009. -P. 479-484. doi: 10.1007 / 978-3-7643-9921-4_29

    17. Полєтаєв, Г. С. Критерій зв'язку рішень абстракт. парного зрівняні. в кільці з факторізаціонной парою [Текст]: конф. / Г. С. Полєтаєв. - КШВ, 2010. - С. 220.

    18. Полєтаєв, Г. С. Зв'язок рішень парних інтегральних рівнянь типу згортки [Текст]: конф. / Г. С. Полєтаєв. - КШВ, 2012. - С. 193.

    19. Гельфанд, І. М. Комутативні нормовані кільця [Текст] / І. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов. - М .: Физматгиз, 1960. - 316 с.

    20. McNabb, A. Factorization of Operators - I: Algebraic Theory and Examples [Text] / A. McNabb, A. Schumitzky // Journal of Functional Analysis. - 1972. - Vol. 9, Issue 3. -P. 262-295. doi: 10.1016 / 0022-1236 (72) 90002-x

    21. Полєтаєв, Г. С. Критерій зв'язку рішень парних матричних рівнянь з проекторами [Текст] / Г. С. Полєтаєв // В1СНІК ОДАБА. - Одеса, 2013. - Вип. 50. -С. 229-244.

    References

    1. Rapoport, I. M. (1949). O nekotoryh «pamyh» inte-gral'nyh i integro-differ. Uravnenijah. Sbornik trudov instituta matematiki AN USSR. Kiev: Institut matematiki AN USSR, 12, 102-118.

    2. Krejn, M. G. (1958). Integral'nye uravnenija na po-luprjamoj s jadrami, zavisjashhimi ot raznosti argumentov. Uspehi mat. Nauk, 5, 3-120.

    3. Popov, G. Ja. (1957). O sparennyh integro-differ. uravnenijah izgiba lezhashhej na uprugom osnovanii neograni-chennoj plity kusochn-postojannoj zhestkosti. Izv. vyssh. uchebn. zaved., Matem., 1, 195-209.

    4. Gohberg, I. C., Krejn, M. G. (1958). O parnom inte-gral'nom uravnenii i ego transponirovannom I. Teoret. i prikl. Matematika, 1, 58-81.

    5. Mushelishvili, N. I. (1968). Singuljarnye integral'nye uravnenija. Moscow: Nauka, 512.

    6. Gahov, F. D., Cherskij, Ju. I. (1978). Uravnenija tipa svertki. Moscow: Nauka, 296.

    7. Popov, G. Ja., Kerekesha, P. V., Kruglov, V. E .; Popov, G. Ja. (Ed.) (1976). Metod faktorizacii i ego chislennaja realizacija. Odessa: Odesskij gos. universitet, 82.

    8. Popov, G. Ja. (1982). Kontaktnye zadachi dlja linejno deformiruemogo osnovanija. Kiev - Odessa: VSh, 168.

    9. Mhitarjan, S. M. (1968). O nekotor. ploskih kontakt. zadachah teor. uprug. s uchjotom sil scepl. i svjaz. s nimi integr. i differ. uravn. Izv. AN Armjanskoj SSR. Mehanika, XXI (5-6), 3-20.

    10. Cherskij, Ju. I., Kerekesha, P. V., Kerekesha, D. P. (2010). Metod soprjazhenija analiticheskih funkcij s prilozheni-jami. Odessa: Astroprint, 552.

    11. Akopjan, V. N., Dashtojan, L. L. (2013). Zamknu-toe reshenija nekotoryh smeshannyh zadach dlja ortotropnoj ploskosti s razrezom. Sovremennye problemy mehaniki de-formiruemogo tverdogo tela, differencial'nyh i integral'nyh uravnenij. Odessa, 12.

    12. Poletaev, G. S. (1991). Parnoe uravnenie tipa svertki s jadrami iz razlichnyh banahovyh algebra. Ukr. matem. zhurn., 6, 803-813.

    13. Poletaev, G. S. (2002). Parni rivnjannja typu zgortky z jadramy z riznyh banahovyh algebr absoljutno in-tegrovanyh z vagoju funkcij. NAUKOVI VISTI Nacional'nogo tehnichnogo universytetu Ukrai'ny «Kyi'vs'kyj politehnichnyj instytut», 4 (24), 143-148.

    14. Poletaev, G. S. (2002). Parnye uravnenija tipa svjortki s jadrami iz raznyh banahovyh algebr absoljutno integ-riruemyh po vesu funkcij. Kyiv, 349.

    15. Poletaev, G. S. (1991). Abstraktnyj analog parnogo uravnenija tipa svertki v kol'ce s faktorizacionnoj paroj. Ukr. matem. zhurn., 9, 1201-1213.

    16. Poletaev, G. (2009). Connection of Solutions of Abstract Paired Equations in Rings with Factorization Pairs. Modern Analysis and Applications, 479-484. doi: 10.1007 / 978-3-7643-9921-4_29

    17. Poletaev, G. S. (2010). Kriterij svjazi reshenij abstrakt. parnogo uravn. v kol'ce s faktorizacionnoj paroj. Kyiv, 220.

    18. Poletaev, G. S. (2012). Svjaz 'reshenij parnyh inte-gral'nyh uravnenij tipa svjortki. Kyiv, 193.

    Рекомендовано до публтаці д-р техн. наук, професор Дьомгн Д. Про.

    Дата надходження рукопису 16.06.2016

    Полєтаєв Геннадш Степанович, кандидат ф1зіко-математичних наук, доцент, кафедра віщо! математики, Одеська державна академ1я буд1вніцтва та архттектурі, вул. Дддр1хсона, 4, м. Одеса, Укра1на,

    65029

    E-тап: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    19. Gel'fand, I. M., Rajkov, D. A., Shilov, G. E. (1960). Kommutativnye normirovannye kol'ca. Moscow: Fizmatgiz, 316.

    20. McNabb, A., Schumitzky, A. (1972). Factorization of operators - I: Algebraic theory and examples. Journal of Functional Analysis, 9 (3), 262-295. doi: 10.1016 / 0022-1236 (72) 90002-x

    21. Poletaev, G. S. (2013). Kriterij svjazi reshenij parnyh matrichnyh uravnenij s proektorami. VISNIK ODABA. Odesa, 50, 229-244.


    Ключові слова: ІНТЕГРАЛ / INTEGRAL / Рівняння / EQUATION / ПАРНЕ / згортка / CONVOLUTION / Банаха / BANACH / АЛГЕБРА / ALGEBRA / факторизацию / FACTORIZATION / ПРОЕКТОР / PAIRED / PROJECTION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити