В опублікованих роботах авторів були розглянуті деякі особливі властивості відповідних оптимальних систем і сформульовані критерії, що дозволяють адекватно оцінити близькість оптимальних рішень до мінімально матеріаломісткості. Зокрема, були представлені такого роду критерії для стрижнів з прямокутним поперечним перерізом при заданих обмеженнях по стійкості або на величину першої частоти власних коливань. зазначені критерії можна використовувати при вирішенні задачі оптимізації, коли поперечні перерізи стержня безперервно змінюються по його довжині. Обумовлені таким чином оптимальні рішення можуть розглядатися як ідеалізований об'єкт в сенсі граничного. Ця функція оптимального проекту дає можливість оцінювати реальний конструкторське рішення на основі критерію його близькості до граничного (наприклад, по матеріаломісткості). Такого роду оптимальний проект також може використовуватися і як певний орієнтир при реальному проектуванні, наприклад, в рамках поетапного процесу переходу від ідеального об'єкта до реального. Слід зазначити, що при цьому на кожному етапі є можливість оцінити зміни показника оптимальності об'єкта в порівнянні з початковим і з ідеалізованим рішеннями. Зокрема, один з варіантів відповідного процесу передбачає заміну безперервної зміни розмірів поперечних перерізів стрижня по його довжині відповідними кусочно-постійними ділянками. Межі цих ділянок можуть вибиратися на основі ідеального об'єкта, а розміри поперечних перерізів визначатися з використанням одного з методів оптимізації. У цій статті представлені критерії, дають можливість достовірно і надійно оцінити момент закінчення процесу подібної оптимізації.

Анотація наукової статті з будівництва та архітектури, автор наукової роботи - Ляхович Леонід Семенович, Акімов Павло Олексійович, Тухфатуллін Борис Ахатович


Assessment criterion for optimum design solutions of piecewise constant sections in rods of rectangular cross-section with stability or first eigen-frequency limits

Specific properties of optimum systems have been already considered in previous research. Moreover, the criteria were proposed for a correct assessment of proximity of optimum to minimum material consumption. In particular, the criteria are proposed for rods of rectangular cross-section with stability or first eigen-frequency limits. These criteria can be used for problem optimization, when the rod cross-sections continuously change longitudinally. The obtained optimum solutions can be considered as a perfect limited object. This optimum project function allows researcher to assess the real design solution using the proximity limit criterion (For example, material consumption limit). This kind of optimum design can also be used as a guideline for real design in terms of a stage-by-stage process of transition from a perfect to real object. In this case, it is possible to assess changes in the object optimality at each stage as compared to the initial and idealized solutions. In particular, one of the variants of the process includes replacing the rod with continuous longitudinally varying cross-sections by a rod with piecewise constant sections. The section boundaries can be based on a perfect object, and cross-sections can be determined by one of the optimization methods. This paper presents criteria, which ensure the reliable definition of the time of completion of the optimization process.


Область наук:
  • Будівництво та архітектура
  • Рік видавництва: 2020
    Журнал: Вісник Томського державного архітектурно-будівельного університету

    Наукова стаття на тему 'КРИТЕРІЙ ОЦІНКИ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ ПРИ ФОРМУВАННІ КУСКОВО-ПОСТІЙНИХ ДІЛЯНОК СТРИЖНІВ ПРЯМОКУТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРІЗУ при обмеженій ПО СТІЙКОСТІ АБО НА ВЕЛИЧИНУ ПЕРШОЇ частоти ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ'

    Текст наукової роботи на тему «КРИТЕРІЙ ОЦІНКИ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ ПРИ ФОРМУВАННІ КУСКОВО-ПОСТІЙНИХ ДІЛЯНОК СТРИЖНІВ ПРЯМОКУТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРІЗУ при обмеженій ПО СТІЙКОСТІ АБО НА ВЕЛИЧИНУ ПЕРШОЇ частоти ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ»

    ?БУДІВЕЛЬНІ КОНСТРУКЦІЇ, БУДИНКИ І СПОРУДИ

    УДК 624.04 Б01: 10.31675 / 1607-1859-2020-22-1-75-91

    Л.С. ЛЯХОВІЧ1, П.А. АКИМОВ 1,2, Б.А. ТУХФАТУЛЛІН1, 1 Томський державний архітектурно-будівельний університет, 2Россійская академія архітектури і будівельних наук

    КРИТЕРІЙ ОЦІНКИ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ ПРИ ФОРМУВАННІ КУСКОВО-ПОСТІЙНИХ ДІЛЯНОК СТРИЖНІВ ПРЯМОКУТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРІЗУ при обмеженій ПО СТІЙКОСТІ АБО НА ВЕЛИЧИНУ ПЕРШОЇ частоти ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ

    В опублікованих роботах авторів були розглянуті деякі особливі властивості відповідних оптимальних систем і сформульовані критерії, що дозволяють адекватно оцінити близькість оптимальних рішень до мінімально матеріаломісткості. Зокрема, були представлені такого роду критерії для стрижнів з прямокутним поперечним перерізом при заданих обмеженнях по стійкості або на величину першої частоти власних коливань. Зазначені критерії можна використовувати при вирішенні задачі оптимізації, коли поперечні перерізи стержня безперервно змінюються по його довжині. Обумовлені таким чином оптимальні рішення можуть розглядатися як ідеалізований об'єкт в сенсі граничного. Ця функція оптимального проекту дає можливість оцінювати реальний конструкторське рішення на основі критерію його близькості до граничного (наприклад, по матеріаломісткості). Такого роду оптимальний проект також може використовуватися і як певний орієнтир при реальному проектуванні, наприклад, в рамках поетапного процесу переходу від ідеального об'єкта до реального. Слід зазначити, що при цьому на кожному етапі є можливість оцінити зміни показника оптимальності об'єкта в порівнянні з початковим і з ідеалізованим рішеннями. Зокрема, один з варіантів відповідного процесу передбачає заміну безперервної зміни розмірів поперечних перерізів стрижня по його довжині відповідними кусочно-постійними ділянками. Межі цих ділянок можуть вибиратися на основі ідеального об'єкта, а розміри поперечних перерізів визначатися з використанням одного з методів оптимізації. У цій статті представлені критерії, що дають можливість достовірно і надійно оцінити момент закінчення процесу подібної оптимізації.

    Ключові слова: критерій; оптимізація; особливі властивості; стійкість; частота; критична сила; форми втрати стійкості; форми власних коливань; наведені напруги.

    Для цитування: Ляхович Л.С., Акімов П.А., Тухфатуллін Б.А. Критерій оцінки оптимальних рішень при формуванні кусочно-постійних участ-

    © Ляхович Л.С., Акімов П.А., Тухфатуллін Б.А., 2020

    ков стрижнів прямокутного поперечного перерізу при обмеженнях по стійкості або на величину першої частоти власних коливань // Вісник Томського державного архітектурно-будівельного університету. 2020. Т. 22. № 1. С. 75-91. DOI: 10.31675 / 1607-1859-2020-22-1-75-91

    L.S. LYAKHOVICH1, P.A. AKIMOV12, B.A. TUKHFATULLIN1, 1Tomsk State University of Architecture and Building, 2Russian Academy of Architecture and Construction Sciences

    ASSESSMENT CRITERION FOR OPTIMUM DESIGN SOLUTIONS OF PIECEWISE CONSTANT SECTIONS IN RODS OF RECTANGULAR CROSS-SECTION WITH STABILITY OR FIRST EIGEN-FREQUENCY LIMITS

    Specific properties of optimum systems have been already considered in previous research. Moreover, the criteria were proposed for a correct assessment of proximity of optimum to minimum material consumption. In particular, the criteria are proposed for rods of rectangular cross-section with stability or first eigen-frequency limits. These criteria can be used for problem optimization, when the rod cross-sections continuously change longitudinally. The obtained optimum solutions can be considered as a perfect limited object. This optimum project function allows researcher to assess the real design solution using the proximity limit criterion (for example, material consumption limit). This kind of optimum design can also be used as a guideline for real design in terms of a stage-by-stage process of transition from a perfect to real object. In this case, it is possible to assess changes in the object optimality at each stage as compared to the initial and idealized solutions. In particular, one of the variants of the process includes replacing the rod with continuous longitudinally varying cross-sections by a rod with piecewise constant sections. The section boundaries can be based on a perfect object, and cross-sections can be determined by one of the optimization methods. This paper presents criteria, which ensure the reliable definition of the time of completion of the optimization process.

    Keywords: criterion; optimization; specific properties; stability; frequency; critical force; buckling; eigen-frequency; reduced stresses.

    For citation: Lyakyjvich L.S., Akimov P.A., Tukhfatullin B.A. Kriterij ocenki op-timal'nyh reshenij pri formirovanii kusochno-postoyannyh uchastkov sterzhnej pryamougol'nogo poperechnogo secheniya pri ogranicheniah po ustojchivosti ili veli-chiny pervoj chastoty sobsvtnnyh colebanij [Assessment criterion for optimum design solutions of piecewise constant sections in rods of rectangular cross-section with stability or first eigen-frequency limits]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta - Journal of Construction and Architecture. 2020. V. 22. No. 1. Pp. 75-91. DOI: 10.31675 / 1607-1859-2020-22-1-75-91

    У роботах по мінімізації ваги конструкцій [1-7], зокрема стрижнів при різних обмеженнях, починаючи з публікацій Лагранжа [8], Т. Клаузена [9], О.Л. Ніколаї [10] та інших, формулювалися особливі властивості оптимальних конструкцій [11, 12]. Так, в роботі [13] були сформульовані критерії, що дозволяють оцінювати близькість рішень по оптимізації стрижнів прямокутного поперечного перерізу до мінімально матеріалоём-кому проекту при обмеженнях по стійкості або на величину першої ча-

    простоти власних коливань. Отримані критерії застосовні для випадку, коли параметри перетинів змінюються безперервно по довжині стрижня. Незважаючи на те що такий оптимальний проект в переважній більшості випадків в прямому вигляді не реалізується, він, будучи граничним, наприклад, за мінімальною матеріалоємності, дозволяє оцінювати прийняте конструкторське рішення. Крім того, граничний проект може використовуватися як початкова стадія процесу поетапного руху від ідеального об'єкта до технологічно прийнятного проектного рішення [13, 14]. Зокрема, такий процес може складатися в заміні безперервної зміни розмірів поперечних перерізів стрижня по його довжині на кусочно-постійна. Для цього по довжині стрижня намічаються ділянки, в кожному з яких розміри поперечних перерізів не змінюються. Вибір кордонів таких ділянок визначається як технологічними вимогами, так і прагненням наблизитися до мінімально ма-теріалоёмкому рішенням. Після вибору меж ділянок розміри поперечних перерізів визначаються на кожній дільниці одним з методів оптимізації.

    У більшості методів оптимізації за умов завершення процесу приймається стан, при якому на черговому кроці відповідного пошуку зміна функції мети виявляється менше деякої заздалегідь обраної малої величини. Однак відомі випадки, коли при малій зміні на сусідніх кроках функції мети координати точки оптимуму помітно змінюються. Очевидно, що наявність критерію, більш об'єктивно оцінює близькість рішення до оптимуму, підвищить впевненість в отриманому результаті. Такі критерії були сформульовані в роботі [13] для оптимізації стрижнів прямокутного поперечного перерізу при обмеженнях по стійкості або на величину першої частоти власних коливань, коли параметри перетинів змінюються безперервно по довжині стрижня. Ці критерії дозволяють оцінювати близькість отриманого рішення до мінімально ма-лоёмкому проекту. У цій статті пропонуються аналогічні критерії для деяких випадків проектування стрижнів найменшого ваги з прямокутними кусочно-постійно змінюються по довжині стрижня поперечними перетинами при обмеженнях по стійкості або на величину першої частоти власних коливань.

    Розглянемо висновок такого критерію. Зауважимо, що при цьому досить сформулювати критерій з обмеженням величини першої частоти власних коливань, але з урахуванням впливу поздовжньої сили. Такий критерій може використовуватися і тоді, коли вводиться тільки обмеження по стійкості. В цьому випадку в вираженні критерію значення власної частоти покладається нульовим. Позначення розмірів поперечного перерізу розглянутого стержня приведено на рис. 1. Розглядаються прямолінійні стержні (в тому числі і багатопролітні) [15-19], що несуть масу і завантажені поздовжньою силою. Стрижень розділяється на ділянки, в межах кожного з яких

    Мал. 1. Позначення розмірів поперечного перерізу розглянутого стержня

    розміри перетинів не змінюються. Позначення довжин ділянок і координат їх меж наведені на рис. 2.

    4 / 7-1] >кх [я]

    Мал. 2. Позначення довжин ділянок і координат їх меж розглянутого стержня

    Нехай потрібно визначити розміри поперечних перерізів стрижня '1к [г] і '2к [1] ​​(1 = 1, 2, ..., п), але за умови, щоб перші частоти в головних площинах інерції (ю 1 [1] і Ю2 [ 1]) не були б менше заданого значення (Ю0) і щоб при обраних межах ділянок стрижня та обмеження його обсяг був би мінімальним.

    Функція мети (обсяг матеріалу стержня) запишеться в наступному вигляді:

    V = YO'к [г] • '2к [г] • 1 та [г].

    (1)

    Обмеження на величину нижчої частоти власних коливань

    Ю0 < Ю1 [1], Ю0 < Ю2 [1]

    з урахуванням коливань в двох головних площинах інерції поперечного перерізу стержня запишеться у вигляді

    Ю0 = Ю1 [1] = Ю2 [1]. (2)

    Відомо, що якщо Ю1 [1] і Ю2 [1] будуть першими частотами власних коливань в головних площинах інерції, то енергетичні функціонали при безперервному зміну поперечних перерізів повинні приймати нульові значення, т. Е.

    1 + 1

    Ею1 = -? {Е1, (х) (<) 2-Р (х) (ую) 2 - Ю2 [т (х) + р • Г (x)] vЮ} ох = 0; (3) 20

    1 + 1

    Ею2 = 1 | {Е / 2 (Х) «) 2 - Р (х)«) 2 - ш>(Х) + р ^ Г (Х) ^ 1} ох = 0, (4) 20

    де Е - модуль пружності матеріалу стержня; 11 (х), 12 (х) - відповідно моменти інерції поперечних перерізів стрижня в головних площинах інер-

    1

    ції; V », w (0 - координати форм власних коливань в головних площинах інерції; р - питома маса матеріалу стержня;'х (х), '2 (х) - розміри поперечного перерізу стержня; Е (х) = '1 (х) '2 (х ) - площа поперечного перерізу стержня.

    При кусково-постійній зміні поперечних перерізів вимоги (3) і (4) з урахуванням обмеження (2) набувають вигляду

    1 п х [г]

    Е »= 1Е | Е І «) 2 -p [г '] (v») 2 - (®1 [1]) 2 [^ (х) + р • ту1 ^ = 0; (5)

    1 = 1 х [ '-1] 1 п х [г]

    Е "2 = 1Е | {Е / 2и «) 2 -РР]«) 2 - (ш2 [1])>(Х) + р ^^ = 0, (6)

    '= 1 х [' - 1]

    де / 1 [ '], / 2 ['] - моменти інерції поперечних перерізів стрижня в головних

    площинах інерції; '1 до [ '], '2к ['] - розміри поперечного перерізу стержня;

    Е [ '] = '1 до ['] '2к [ '] - площа поперечного перерізу стержня.

    Отже, потрібно знайти значення '1 до [ '], '2к ['], які додадуть

    функції (1) мінімальне значення при виконанні умов (5), (6). Таким чином, ми маємо параметричну задачу. Вираз, екстремум якого забезпечить мінімум функції (1) і виконання умов (5), (6), запишеться у вигляді

    ГГ' [ '] • '2кН (г, "2

    * = 1 * = 1 х [ '- 1] 12

    - Р [/] (г;) 2 - ( "1 [1]) 2 (т (х) + р •'хк [ '] '2к [/]>»] -

    - 1 до [] 22 до [] ( «2) 2 - Р (0 (Ч,) 2 -

    - ( "2 [1]) 2 (т (х) + р ^ '1к [Ф2К [Ц)« 2х, (7)

    де А, Ю1 і А »- довільні множники (в розглянутій параметричної задачі множники А, Ю1 і А» - постійні величини).

    Очевидно, що варіації вираження (7) по А, Ю1 і А »приведуть до виконання умов (5) і (6), а отже, і обмеження (2).

    Для відшукання мінімуму вираження (7) при умовах (5), (6) запишемо систему рівнянь

    ^ 02 = 1'кЩ'2к [г] 1 та [ '] -Е | ЯаЕ 1к [] 2к [] (V »») 2 -

    = 0; - = 0, ... ( '= 1, 2, ..., п) .

    д'1к [ '] д'2к [']

    Запишемо '-у пару рівнянь:

    д ^ 0 »і Гу" ^ [ '] '2к М, п \ 2

    ----- = '2к № [ '] - | -4- (V00) -

    д'1к [ '] х [' - 1] 4

    - {(Ю1 [1]) 2р ^ '2к [/] ую] - ^ [Е-З ^ К) 2 - (Ю2 [1]) 2р.'2кКЮ]} Л = 0;

    ^ Х [ '] '3 [г]

    ^ Ою, Г1, Г1 г 0 Г17'1 до [/ Ь "ч2

    --'1к [г] 1 та [г] - | МО - (у) -

    г-т 1к J і ^ J I V Ю11- -1 / -Ч

    а'2к [г] х [1-1] 12

    про про видання, до [г '] Коммерсант-2к [г] ооо

    - (Ю1 [1]) 2 р ^ '1к] -Ч ^ е - ^^ - К) 2 - (®ад) 2 р ^'кк ^ = 0.

    Розділивши всі члени першого рівняння на '2к [г], а другого на '1к [г] і виконавши прості перетворення, отримаємо

    ]] {КАЕ1 ^ У) 2 - (Ю1 [1]) 2р ^ у2] + Яю2 [Е'^ 1 (Уа) 2-х [1 -1] 12

    - (Ю2 [1]) 2 р ^ wЮ]} dX = 1 та [г];

    х [-] '2 [г], '2 [г]

    | ^ [Е ^ (V ;;) 2 - (Ю1 [1]) 2р ^ ую] + ^ південь [к) 2 -

    12

    х [п 1]

    - (Ю2 [1]) 2 р ^ wЮ]} dX = 1 та [г].

    Помноживши всі члени отриманих рівнянь на Е і враховуючи, що

    ®1 (х) = Е •? 1 (х) У) / 2, СТ2 (Х) = Е •? 2 (Х) Ю / 2, (8)

    можемо переписати рівняння у вигляді

    х [-] ,

    I {^ йю СX) - Сю1 [1]) 2 Е • р • ую] + ХШ2 [-а2ю СX) -

    х [п 1]

    - (Ю2 [1]) 2 Е • р ^ wЮ]} dx =? І [г] Е;

    х [г] .

    I «ГСX) - (Ю1 [1]) 2 Е • р • ую] + Яю2 [а2юСX)

    (9)

    х [- 1]

    - Сю2 [1]) 2 Е -р- wЮ]} dx =? І [г] Е,

    де с1ю (х) і с2ю (х) - нормальні напруги в крайніх волокнах стержня від згинальних моментів, що виникають при власних коливаннях в головних площинах інерції (ці напруги, так само, як і переміщення Ую і wю, визначені з точністю до постійного множника).

    Взявши різниця рівнянь (9), отримаємо

    2 х [-] ^ х [-]

    - V | СТ1ю (Х) Л - - | СТ2ю (Х ^ Х = 0. (10)

    х [- 1] х [п 1]

    З (10) слід

    х [г] х [г]

    V | ° 1<в (Х) ^ = ^ Ю2 | СТ2ю (Х) & . (11)

    х [п 1] х [п 1]

    У свою чергу, з (11) випливає

    х [1]

    х [1]

    4-1

    х [1]

    А "1 = А» 2 I А2 »ох I ох; А "2 = А» 1 I СТ12 »? X I А2» ох

    х [ '- 1] V х [' - 1] у х [ '- 1] V х [' - 1]

    На основі (11) і (12) рівняння (9) запишуться у вигляді

    х [ ']

    -1

    . (12)

    х [ ']

    Г 9 9 9 19

    I {^ К »(х) ох - (" 1 [1]) Е • р ^ + А »2" (х) "

    х [ '- 1]

    х [ ']

    - А "2 (» 2 [1]) 2 Е • р ^ «»} ох = 1 та [/] ?;

    I М1 (х) - ( "1 [1]) 2 Е • р • V»] + • а2ю (х) -

    х [ '-1]

    - А "2 (» 2 [1]) 2 Е-р - «»} ох = і [ '] Е;

    або, перетворюючи, можемо послідовно записати:

    х [ ']

    А "1 I К2» (х) ох - ( "1 [1]) 2 Е • р ^ V»] ох +

    х [ '- 1] х [']

    + -3

    2 "Ч *

    1 А »1 I

    х [ '- 1]

    Г х [ ']

    I

    V х [ '-1]

    -1

    х [ ']

    I

    у х [ '' 1]

    I А2 »ох I А2» (х) ох -

    х [ '] х ['] (х [ ']

    2

    А "1 I I А2» ох I А2 »ох

    х [1-1] х [п 1] ^ х [г -1]

    ®2 [1]) 2 Е • р ^ ех = і р] Е;

    ^ Х [г

    1 А »2 I

    х [ ']

    I

    х [ '-1]

    с2 »ох

    х [ ']

    V х [ '' 1] х [ ']

    х [ ']

    х [ ']

    Г 2 З 2 З 2 2

    I ст1 »ох I (х) ох - I А» 1 (Ю1 [1]) Е • р ^ V »] ох +

    У х [ '' 1]

    + А »2 I [а2ю (х) - (Ю2 [1]) 2 Е • р ^« »] ох = і [ '] Е;

    х [ '' 1]

    х [ '- 1]

    х [ ']

    х [ ']

    А "1 I {-а?» (Х) - ( «1 [1]) 2 Е • р ^ V,

    х [ '-1]

    (Х [г] У1

    I ох I А2 »ох

    ( «2 [1]) 2 Е • р ^« »} ох = 1 та [ '] Е;

    х [ '- 1] V ф-1]

    х [ '] 4 х [г] г х [г] У1

    а »2 I {-а2» (х) - I А2 »ох I А2» ох

    х [ '1]

    х [ '' 1]

    V х [ '' 1]

    X ( «1 [1]) 2 Е • р • V!] - (Ю2 [1]) 2 Е • р •« 2} ох = і [ '] Е.

    (13)

    -1

    Так як А, Ю1, Л, Ю2, Е постійні величини, перепишемо (13) у вигляді

    ^ Г {4 (x) - (®1 [1]) 2E-p-v2

    lu [i] x [/ - 1] 3

    x [i]

    x [i]

    J ° 1 »dx J dx

    ( "2 [1]) 2 E - p - w ^ dx = E = const;

    (14)

    1 x [i]. x [i]

    J Ь < (X) - J

    [I] x [i-1] 3 x [i-1]

    c2 "dx

    x [i]

    J CT12 »dx

    V x [i -1]

    X (до>1 [1]) 2E - p - v2] - ( "2 [1]) 2E - p - w2} dx = E = const або, підставивши» про = ш1 [1] = ш2 [1] і поділивши на 4 / 3, отримаємо

    x [i] x [i] f x [i] Y

    I x [i] 2 x [i] (x [i]

    T ^ J (x) - K) 2E-p (v2 + J dx

    lu [i] x [i-1] 4 x [i-1]

    N-1

    J dx

    л x [i] _ x [i

    - J [a2 "(x) - ^ (" о) 2E-p (J

    Vx [i-1]

    x [i] (x [i] Л

    w »)] dx = const;

    -1

    (15)

    lu [i]

    dx

    x [i-1]

    x [i-1]

    J dx

    Vx [i-1]

    v »+ w»)] dx = const.

    Якщо граничні умови в головних площинах інерції однакові, то Ую = wю, ст1ю = ст2ю і (15) приймають вид

    x [i]

    1 3

    т ^ J К2 »(x) -з (®0) 2E-p-v»] dx

    lu [i] x [, - 1] 2

    = Const;

    1 x [i] 3

    T ^ J [ст2 »(x) - K) 2E-p-wl] dx

    lu [i] x [i-1] 2

    (16)

    = const.

    позначимо

    x [i]

    1 x [i] _ x [i]

    m = 7 "^ J К» (x) - ( "о) 2 E-p (v2 + J

    lu [i] J d J

    (

    C12 »dx

    x [i -1]

    x [i]

    x [i-1]

    x [i]

    J

    V x [i 1]

    x [i]

    S2 [i] = - J [< (X) - ( "о) 2 E-p (J

    lu [i] x [i-1] 4 x [i-1]

    ° 1 »dx

    J О2 »dx i-1]

    J ° 2 »dx

    w®)] dx;

    (X [i]

    J

    V x [i 1]

    ^ + W ^)] dx.

    Таким чином, (15) запишеться у вигляді

    1 х [г] _

    = 7 ^ I [С? ЮСх) -тЮ2Е • рх

    ?і [г ^ 4

    x [i]

    x [i-1]

    f x [i]

    4

    -1

    x (v2 + J a2 »dx J dx

    x [i -1]

    . x [i-1]

    wra)] dx = const;

    1

    1

    1

    1 3

    S2 [i] = т ^ f [o2 »(x) - (с о) 2E-РХ

    lu [i] X [i-1]

    x [i] f X [i]

    x (f o2 »dx f ° L dx

    (17)

    v2 + wl)] dx = const,

    (18)

    а (16) у вигляді

    1 x [i] 3

    Si [i] = - f [a12m (x) - (зі о) 2E -р- v ^] dx = const;

    lu [i] Г 11 2

    uL J x [i-1]

    1 x [i] 3

    S2 [i] = f [aL (x) - (з ° о) 2E-р-wl] dx = const-

    lu [i] р ii 2

    u L J x [i-1]

    Обидва рівняння (16) стають ідентичними. Проте для побудови алгоритмів реалізації критерію (16) збереження двох рівнянь доцільно.

    Якщо власні коливання розглядаються тільки в одній з головних площин інерції, то на основі (9) критерії подаються у вигляді

    J x [i]

    ЗД = - f tfj x) - (зі о) 2 E-р-vl] dx = const;

    u xI; -1] (19)

    J x [i]

    S2 [i] = - f [^ 2СО (x) - (зі о) 2 E-р-wl] dx = const.

    u [i] x [i-1]

    Значення S1 [i] і S2 [i] доцільно нормувати. Один з варіантів нормування, наприклад S1 [i] (i = 1, 2, ..., n), зводиться до вибору в цьому ряду найбільшого значення і ділення на нього всіх членів ряду. Таким чином, в ряді не буде величин, великих одиниці. Близькість рішення до оптимуму буде оцінюватися по близькості значень S1 [i] до одиниці. Аналогічно нормується і ряд S2 [i].

    Порівняємо критерії (17) - (19), отримані при кусочно-постійну зміну прямокутних поперечних перерізів з аналогічними критеріями при безперервному їх зміні. Ці критерії отримані у роботі [13] і мають вигляд

    2

    2 3 2 2 ° 1® 2

    ст1 »(x) - 7 E-р (з о- k») (v 2 + -w) = const;

    4 oL

    2

    .2 / "ч 3 17 і \ 2f ° 2®..2,, v2)

    (20)

    О »(x) - 7 E-р (з о-) (~ r v» + W) = const 4 <

    або

    2

    2 - 2 2 ° 1a> 2

    x) -7E-р (®о-) (v »+ -wJ = const;

    4 oL

    -2т (X) - -Е • р (ш0 • кю) 2 (-СVI + = 0СП81. (21)

    4 -2

    або

    -12 »(х) -о • до») 2 Е • р ^ = сшй;

    3

    -2 »(х) - про • до») 2 Е • Р ^ К = соп ^

    3

    -1 »= Л-2» (х) - про • до ») 2 Е • Р ^ ^ = соп ^;

    (22)

    з

    -2СО ^ / - 2 »(Х) - 0 • до») 2 Е • Р ^ ^ = СОП ^

    -1<в (х) - (с о • до ») 2 Е • Р ^ ^ = соп ^; (Х) - (с о • до ») 2 Е • Р ^ ^ = соп8 *. -1 (0 =., (. V) - (зі про • кю) 2 Е-Р-VI = сшй;

    -2 »= ^ / - 2» (х) - (с о • кс) 2 Е • р ^^ = соп ^.

    (23)

    (24)

    (25)

    Кожен з критеріїв представлений в двох варіантах. Другі варіанти представлення критеріїв необов'язкові. Вони були представлені лише для того, щоб підкреслити їх зв'язок з раніше сформульованими критеріями (наприклад, в [10]), де ознакою оптимальності при обмеженнях по стійкості служило сталість напружень в крайніх волокнах стержня від згинальних моментів, що виникають при втраті стійкості.

    Використання друге варіантів критеріїв при обмеженнях на величину нижчої частоти власних коливань для оцінки процесу оптимізації на початкових стадіях пошуку може привести до негативних значень підкореневих виразів. Тому для уникнення збоїв обчислювального процесу слід використовувати перші варіанти представлення критеріїв.

    Як зазначалося вище, сформульовані критерії можуть використовуватися і тоді, коли вводиться тільки обмеження по стійкості. В цьому випадку у виразах критеріїв значення власної частоти покладається нульовим.

    Порівняння критеріїв (17) - (19), отриманих при кусочно-постійну зміну прямокутних поперечних перерізів, з аналогічними критеріями при безперервному їх зміні (20), (22) і (24), показує, що під інтегралами в (18) і ( 19) коштують відповідно виразу (22) і (24), а в (17) модифіковане вираз (20). Критерії ^ [г] і ^ [г] містять множник 1/1 та [г]. Тому критерії (18) і (19) можуть розглядатися на кожному кусочно-постійному ділянці як середнє значення відповідно критеріїв (21) і (22) на одиницю довжини ділянки, аналогічно розглядається і критерій (17) на основі модифікованого критерію (20). Якщо використовувати отме-

    ченную взаємозв'язок критеріїв для визначення значень ^ [г] і ^ [г], то потім також доцільно виконувати нормування цих величин для оцінки їх близькості до одиниці.

    Приклад 1. Розглянемо прямолінійний консольний стержень прольотом I = 6 м прямокутного перетину, навантажений поздовжньою силою Р = 300000 Н і несе розподілену масу інтенсивністю т (х) = 75 кг / м. При переході до дискретної моделі з 25 ділянок вузлова маса складе 18 кг. Питома маса р = 2400 кг / м3. Задана величина першої кругової власної частоти ш0 = 20 с-1, модуль пружності матеріалу стержня Е = 24000 МПа (рис. 3, а) [15, 20].

    т (х)

    1 Г

    ---^

    ___ ^

    3,12 м 1,44 м

    т--Г г * - - ^ т-?

    4 _-ь-

    а

    б

    в

    Мал. 3. До прикладу 1

    Так як граничні умови в обох головних площинах інерції однакові, при оптимізації перетину повинні виявитися квадратними.

    Розглянемо спочатку використання критерію (22) для оцінки етапів оптимізації [8-14, 20, 21] для випадку, коли перетину змінюються безперервно. Оптимізацію виконаємо методом випадкового пошуку. За початкове наближення прийнятий стрижень постійного по довжині перерізу при співвідношенні

    '0 [/] / ред ° [г] = 1/1. Значення шуканих параметрів при першому виході на кордон області допустимих рішень виявилися рівними видання (° [г] = ред ° [/] = 0,3039 м.

    При цьому функція мети дорівнює V = 0,5543 м3. Результати трьох етапів пошуку зведені в таблиці. 1.

    Таблиця 1

    Відомості про хід вирішення прикладу 1

    № п / п Етапи оптимізації

    Вихідний Перший п = 1000 Другий п = 1500 Третій п > 2000

    Ь ° і, м ь1 [/], м ь1 [/], м Ь [/], м

    1 2 3 4 5 6 7 8

    1 0,3039 0,3072 0,8359 0,3065 0,8414 0,3076 0,9997

    2 0,3039 0,3057 0,7926 0,3050 0,8019 0,3038 0,9996

    3 0,3039 0,2983 0,8491 0,2986 0,8513 0,2998 0,9997

    4 0,3039 0,2995 0,7622 0,2973 0,8012 0,2956 0,9996

    5 0,3039 0,2917 0,8206 0,2886 0,8722 0,2912 0,9996

    6 0,3039 0,2865 0,8249 0,2883 0,7992 0,2865 0,9996

    7 0,3039 0,2815 0,8224 0,2867 0,7404 0,2815 0,9995

    8 0,3039 0,2754 0,8447 0,2761 0,8280 0,2762 0,9997

    9 0,3039 0,2723 0,7922 0,2693 0,8456 0,2706 0,9996

    10 0,3039 0,2653 0,8185 0,2639 0,8354 0,2646 0,9995

    11 0,3039 0,2599 0,7917 0,2562 0,8666 0,2582 0,9999

    12 0,3039 0,2529 0,7966 0,2515 0,8218 0,2515 0,9997

    13 0,3039 0,2425 0,8649 0,2403 0,9168 0,2442 0,9998

    14 0,3039 0,2383 0,7819 0,2390 0,7693 0,2364 0,9998

    15 0,3039 0,2238 0,9477 0,2265 0,8634 0,2281 0,9996

    16 0,3039 0,2217 0,7673 0,2196 0,8155 0,2193 0,9998

    17 0,3039 0,2071 0,9186 0,2112 0,7779 0,2097 0,9997

    18 0,3039 0,1972 0,9097 0,2022 0,7275 0,1995 0,9996

    19 0,3039 0,1885 0,8326 0,1898 0,7655 0,1885 0,9997

    20 0,3039 0,1739 0,9330 0,1717 1,0000 0,1765 1,0000

    21 0,3039 0,1598 1,0000 0,1636 0,7799 0,1634 0,9996

    22 0,3039 0,1486 0,8121 0,1481 0,8078 0,1486 0,9994

    23 0,3039 0,1328 0,6891 0,1320 0,7145 0,1315 0,9993

    24 0,3039 0,1181 0,1642 0,1134 0,4544 0,1099 0,9988

    25 0,3039 0,0964 -0,6147 0,0889 -0,3683 0,0761 0,9994

    V, м3 0,5543 0,3397 - 0,3391 - 0,3384 -

    % 0 38,71 - 38,83 - 38,95 -

    Результати першого етапу отримані після п = 1000 спроб методу випадкового пошуку, другого - після п = 1500 спроб, третього за п > 2000. У другому стовпці табл. 1 наведені значення розмірів перетину при першому виході на кордон області допустимих рішень Ь0 ^ '] = Ь ° [/] = 0,3039 м. У передостанньому рядку таблиці наводяться величини функції мети У0 на кожному з етапів, а в останній - її зниження в відсотках в порівнянні з вихідним. У стовпчиках 3, 5, 7 наведені розміри перетинів, отримані на кожному з ця-

    пов, а в стовпчиках 4, 6, 8 - значення критерію (22). З таблиці видно, що значення функції мети в порівнянні з першим етапом майже не знижуються. Відмінності стосуються лише четвертої значущої цифри. Різниця в розмірах деяких перетинів стосується третіх значущих цифр. Однак значення критерію (22) на першому і другому етапах свідчать, що процес оптимізації не закінчений.

    Величини критерію (22) на третьому етапі близькі до одиниці, що дозволяє впевнено приймати рішення про зупинення процесу оптимізації на цьому етапі.

    Отримані результати визначають стрижень мінімальної матеріаломісткості. Обриси зміни розмірів перетинів цього стрижня (61 [/]) показані на рис. 3, б, в.

    Якщо технологічні вимоги не допускають такий закон зміни розмірів перетинів, але допускають кусочно-постійна зміна перетинів, то вибір кордонів таких ділянок визначається не тільки технологічними вимогами, але і прагненням наблизитися до мінімально матеріаломісткості рішенням. Припустимо, що технологічні вимоги допускають проектування стержня з трьох ділянок, в кожному з яких розміри поперечних перерізів не змінюються. Припустимо, що ще додатково вводяться і обмеження на величину довжин ділянок, наприклад такі як 2,8 м < ?і 2] < 3,8 м,

    ги [1] =? і [3] = (I -? і [2]) / 2.

    Розглянемо два варіанти меж ділянок. Варіанти меж ділянок і відповідні їм розміри перетинів, отримані оптимізацією, показані на рис. 3, б, в і наведені в табл. 2.

    Таблиця 2

    Відомості про варіанти вирішення прикладу 1

    № п / п Варіант 1 Варіант 2

    V [/], м ° 12ти ЕД]? 1І, м

    1 2 3 4 5 6 7

    1 0,2901 0,4123 0,9999 0,2956 0,3627 0,9999

    2 0,2901 0,3811 0,9999 0,2956 0,3357 0,9999

    3 0,2901 0,3502 0,9999 0,2956 0,3090 0,9999

    4 0,2901 0,3198 0,9999 0,2956 0,2827 0,9999

    5 0,2901 0,2900 0,9999 0,2956 0,2570 0,9999

    6 0,2901 0,2609 0,9999 0,2956 0,2319 0,9999

    7 0,2901 0,2327 0,9999 0,2956 0,2075 0,9999

    8 0,2901 0,2053 0,9999 0,2956 0,1838 0,9999

    9 0,2901 0,1790 0,9999 0,2956 0,1610 0,9999

    10 0,2901 0,1536 0,9999 0,2956 0,1390 0,9999

    11 0,2901 0,1293 0,9999 0,2956 0,1179 0,9999

    12 0,2901 0,1060 0,9999 0,2346 0,4226 0,9998

    13 0,2901 0,0837 0,9999 0,2346 0,3539 0,9998

    14 0,2190 0,4363 1,0000 0,2346 0,2888 0,9998

    Закінчення табл. 2

    № п / п Варіант 1 Варіант 2

    b \ k [i], м ° 12? m видання [i], м S1 [i]

    1 2 3 4 5 6 7

    15 0,2190 0,3496 1,0000 0,2346 0,2275 0,9998

    16 0,2190 0,2685 1,0000 0,2346 0,1702 0,9998

    17 0,2190 0,1934 1,0000 0,2346 0,1167 0,9998

    18 0,2190 0,1242 1,0000 0,2346 0,0670 0,9998

    19 0,2190 0,0609 1,0000 0,1570 1,0000 1,0000

    20 0,1474 1,0000 0,9998 0,1570 0,6696 1,0000

    21 0,1474 0,6081 0,9998 0,1570 0,3794 1,0000

    22 0,1474 0,2761 0,9998 0,1570 0,1370 1,0000

    23 0,1474 0,0145 0,9998 0,1570 -0,0541 1,0000

    24 0,1474 -0,1737 0,9998 0,1570 -0,1948 1,0000

    25 0,1474 -0,2925 0,9998 0,1570 -0,2900 1,0000

    V, м3 0,3630 - - 0,3645 - -

    % 34,52 - - 34,24 - -

    У стовпчиках 2 і 5 показані розміри перетинів'х k [/ '] = '2 k [i] відповідних варіантів. У стовпчиках 3 і 6 наводяться значення критерію (22), а в стовпчиках 4 і 7 - критерію (18). Обидва критерії наводяться тому, що, як зазначалося вище, на кожному кусочно-постійному ділянці критерій (18) реалізується як середнє значення критерію (22) на одиницю довжини ділянки.

    Значення критерію (18) в обох варіантах виявилися близькі до одиниці, що свідчило про можливість завершувати процеси оптимізації.

    Функція мети у мінімально матеріаломісткості рішення (табл. 1, стовпець 7) V = 0,3384м3, що на 38,95% менше, ніж у початкового варіанту, у якого V0 = 0,5543 м3 (табл. 1, стовпець 2).

    У першому варіанті кордонів кусочно-постійної зміни розмірів функція мети V0 = 0,3630 м3, що на 34,52% менше, ніж у початкового варіанту. У другому функція мети V = 0,3645 м3, що на 34,24% менше, ніж у початкового варіанту. Таким чином, менш матеріаломістким виявляється перший варіант вибору меж ділянок. Відзначимо, що мінімально ма-лоёмкій варіант сприяв вибору меж ділянок, що ви можете виділити варіанти, найбільш до нього наближені.

    Теоретичні результати даної статті в англомовному варіанті представлені в роботі [22], а приклади в роботі [23].

    бібліографічний список

    1. Boslovyak P.V., Emelyanova G.A. Optimization Mathematical Modeling of the Weight of

    Metal Structure of Suspended Belt Conveyor Linear Section // IFAC-PapersOnLine. 2018.

    V. 51. I. 30. P. 616-619.

    2. Hansel W., Treptow A., Becker W., Freisleben B. A heuristic and a genetic topology optimization algorithm for weight-minimal laminate structures // Composite Structures. 2002. V. 58. I. 2. P. 287-294.

    3. Jonsson B., Barsoum Z., Sperle J.-O. Weight optimization and fatigue design of a welded bogie beam structure in a construction equipment // Engineering Failure Analysis. 2012. V. 19. P. 63-76.

    4. Navarrina F., Muinos I., Colominas I., Casteleiro M. Topology optimization of structures: A minimum weight approach with stress constraints // Advances in Engineering Software. 2005. V. 36. I. 9. P. 599-606.

    5. Park C.H., Saouab A., Breard J., Han W.S., Vautrin A., Lee W.I. An integrated optimisation for the weight, the structural performance and the cost of composite structures // Composites Science and Technology. 2009. V. 69. I. 7-8. P. 1101-1107.

    6. Praveen V., Dayan G.M., Kumar A.S. A multi-objective design optimization technique for weight and cost minimization of hybrid laminated composite structure by modified non-dominated sorting genetic algorithm // Materials Today: Proceedings. 2018. V. 5. I. 12. Part 1. P. 25798-25806.

    7. Winklberger M., Heftberger P., Sattlecker M., Schagerl M. Fatigue strength and weight optimization of threaded connections in tie-rods for aircraft structures // Procedia Engineering. 2018. V. 213. P. 374-382.

    8. Lagrange J.-L. Sur la figure des collonnes // Mescellanea Taurinensia. 1770-1773. V. 5, P. 123.

    9. Clausen Т. Uber die form architektonischer Saulen // Bull. cl. physico-raath. Acad. St.-Petersburg. 1851. V. 9. P. 371-380.

    10. Ніколаї Е.Л. Завдання Лагранжа про найвигіднішому контурі колони // Известия Санкт-Петербурзького політехнічного інституту. 1907. № 8.

    11. Ляхович Л.С., Акімов П.А., Тухфатуллін Б.А. Про завдання пошуку мінімуму і максимуму в будівельній механіці // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. V. 13. I. 2. P. 103-124.

    12. Lyakhovich L.S., Malinovsky A.P., Tukhfatullin B.A. Criteria for Optimal Strengthening of Bar Flange with I-type Cross-section with Stability Constraints on the Value of the First Natural Frequency // Procedia Engineering. 2016. V. 153. P. 427-433.

    13. Ляхович Л.С. Особливі властивості оптимальних систем і основні напрямки їх реалізації в методах розрахунку споруд. Томськ: Видавництво Томського державного архітектурно-будівельного університету, 2009. 372 с.

    14. Ляхович Л.С., Перельмутер А.В. Деякі питання оптимального проектування будівельних конструкцій // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. V. 10. I. 2. P. 14-23.

    15. Aslami M., Akimov P.A. Analytical solution for beams with multipoint boundary conditions on two-parameter elastic foundations // Archives of Civil and Mechanical Engineering. 2016. V. 16. I. 4. P. 668-677.

    16. Khasawneh F.A., Segalman D. Exact and numerically stable expressions for Euler-Bernoulli and Timoshenko beam modes // Applied Acoustics. 2019. V. 151. P. 215-228.

    17. Peradze J. On the approximate solution of a Kirchhoff type static beam equation // Transactions of A. Razmadze Mathematical Institute. 2016. V. 170. I. 2. P. 266-271.

    18. Reali A., Gomez H. An isogeometric collocation approach for Bernoulli-Euler beams and Kirchhoff plates // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015. V. 284. P. 623-636.

    19. Wang D., Liu W., Zhang H. Superconvergent isogeometric free vibration analysis of Euler -Bernoulli beams and Kirchhoff plates with new higher order mass matrices // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015. V. 286. P. 230-267.

    20. Ludeker J.K., Kriegesmann B. Fail-safe optimization of beam structures // Journal of Computational Design and Engineering. 2019. V. 6. I. 3. P. 260-268.

    21. Quinteiro G.F. Beam optimization: improving methodology // Annals of Nuclear Energy. 2004. V. 31. I. 4. P. 399-411.

    22. Lyakhovich L.S., Akimov P.A., Tukhfatullin B.A. Optimal solutions for creation jf rods with piecewise costant cross-sections with stability constraints or constraints for value of the first

    natural fre-quency. Part 1: theoretical foundations // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2019. V. 15. I. 4. P. 88-100.

    23. Lyakhovich L.S., Akimov P.A., Tukhfatullin B.A. Optimal solutions for creation jf rods with piecewise costant cross-sections with stability constraints or constraints for value of the first natural fre-quency. Part 2: numerical examples // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2019. V. 15. I. 4. P. 101-110.

    References

    1. Boslovyak P. V., Emelyanova G.A. Optimization mathematical modeling of the weight of metal structure of suspended belt conveyor linear section. IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. No. 30. Pp. 616-619.

    2. Hansel W., Treptow A., Becker W., Freisleben B. A heuristic and a genetic topology optimization algorithm for weight-minimal laminate structures. Composite Structures. 2002. V. 58. No. 2. Pp. 287-294.

    3. Jonsson B., Barsoum Z., Sperle J.-O. Weight optimization and fatigue design of a welded bogie beam structure in a construction equipment. Engineering Failure Analysis. 2012. V. 19. Pp. 63-76.

    4. Navarrina F., Muinos I., Colominas I., Casteleiro M. Topology optimization of structures: A minimum weight approach with stress constraints. Advances in Engineering Software. 2005. V. 36. No. 9. Pp. 599-606.

    5. Park C.H., Saouab A., Breard J., Han W.S., Vautrin A., Lee W.I. An integrated optimisation for the weight, the structural performance and the cost of composite structures. Composites Science and Technology. 2009. V. 69. No. 7-8. Pp. 1101-1107.

    6. Praveen V., Dayan G.M., Kumar A.S. A multi-objective design optimization technique for weight and cost minimization of hybrid laminated composite structure by modified non-dominated sorting genetic algorithm. Materials Today: Proceedings. 2018. V. 5. No. 12. Pp. 25798-25806.

    7. Winklberger M., Heftberger P., Sattlecker M., Schagerl M. Fatigue strength and weight optimization of threaded connections in tie-rods for aircraft structures. Procedia Engineering. 2018. V. 213. Pp. 374-382.

    8. Lagrange J.-L. Sur la figure des collonnes. Mescellanea Taurinensia. 1770-1773. V. 5, P. 123.

    9. Clausen Т. Uber die form architektonischer Saulen. Bull. cl. physico-raath. Acad. St.-Petersburg, 1851. V. 9. Pp. 371-380.

    10. Nikolai E.L. Zadacha Lagranzha o naivygodneishem ochertanii kolonny [The Lagrange problem of the best shape of the column]. Izvestiya Sankt-Peterburgskogopolitekhnicheskogo institua. 1907. No. 8. (rus)

    11. Lyakhovich L.S., Akimov P.A., Tukhfatullin B.A. O zadachakh poiska minimuma i maksimuma v stroitel'noi mekhanike [About hill-climbing problems in structural mechanics]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. V. 13. No. 2. Pp. 103-124. (Rus)

    12. Lyakhovich L.S., Malinovsky A.P., Tukhfatullin B.A. Criteria for optimal strengthening of bar flange with I-type cross-section with stability constraints on the value of the first natural frequency. Procedia Engineering. 2016. V. 153. Pp. 427-433.

    13. Lyakhovich L.S. Osobye svoistva optimal'nykh sistem i osnovnye napravleniya ikh realizatsii v metodakh rascheta sooruzhenii [Specific properties of optimum systems using methods of structural analysis]. Tomsk: TSUAB, 2009. 372 p. (Rus)

    14. Lyakhovich L.S., Perelmuter a.v.Nekotorye voprosy optimal'nogo proektirovaniya stroitel'nykh konstruktsii [Optimum building design]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. V. 10. No. 2. Pp. 14-23. (Rus)

    15. Aslami M., Akimov P.A. Analytical solution for beams with multipoint boundary conditions on two-parameter elastic foundations. Archives of Civil and Mechanical Engineering. 2016. V. 16. No. 4. Pp. 668-677.

    16. Khasawneh F.A., Segalman D. Exact and numerically stable expressions for Euler-Bernoulli and Timoshenko beam modes. Applied Acoustics. 2019. V. 151. Pp. 215-228.

    17. Peradze J. On the approximate solution of a Kirchhoff type static beam equation. Transactions of A. Razmadze Mathematical Institute. 2016. V. 170. No. 2. Pp. 266-271.

    18. Reali A., Gomez H. An isogeometric collocation approach for BernouUi-Euler beams and Kirchhoff plates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015. V. 284. Pp. 623-636.

    19. Wang D., Liu W., Zhang H. Superconvergent isogeometric free vibration analysis of Euler-Bernoulli beams and Kirchhoff plates with new higher order mass matrices. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015. V. 286. Pp. 230-267.

    20. Ludeker J.K., Kriegesmann B. Fail-safe optimization of beam structures. Journal of Computational Design and Engineering. 2019. V. 6. No. 3. Pp. 260-268.

    21. Quinteiro G.F. Beam optimization: improving methodology. Annals of Nuclear Energy. 2004. V. 31. No. 4. Pp. 399-411.

    22. Lyakhovich L.S., Akimov P.A., Tukhfatullin B.A. Optimal solutions for creation of rods with piecewise constant cross-sections with stability constraints or constraints for value of the first natural frequency. Part 1: theoretical foundations. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2019. V. 15. No. 4. Pp. 88-100.

    23. Lyakhovich L.S., P.A. Akimov P.A., Tukhfatullin B.A. Optimal solutions for creation of rods with piecewise constant cross-sections with stability constraints or constraints for value of the first natural frequency. Part 2: Numerical examples. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2019. V. 15. No. 4. Pp. 101-110.

    Відомості про авторів

    Ляхович Леонід Семенович, докт. техн. наук, професор, академік Російської академії архітектури і будівельних наук, Томський державний архітектурно-будівельний університет, 634003, м Томськ, пл. Соляна, 2, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Акімов Павло Олексійович, докт. техн. наук, професор, академік Російської академії архітектури і будівельних наук, Томський державний архітектурно-будівельний університет, 634003, м Томськ, пл. Соляна, 2; головний учений секретар президії, Російська академія архітектури і будівельних наук, 107031, г. Москва, ул. Велика Дмитрівка, 24, стр. 1, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Тухфатуллін Борис Ахатович, канд. техн. наук, доцент, Томський державний архітектурно-будівельний університет, 634003, м Томськ, пл. Соляна, 2, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Authors Details

    Leonid S. Lyakhovich, DSc, Professor, Academy Fellow of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, Department of Structural Mechanics, Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia, lls @ tsuab. ru

    Pavel A. Akimov, DSc, Professor, Chief Academic Secretary, Academy Fellow of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Tomsk State University of Architecture and Building; 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Boris A. Tukhfatullin, PhD, A / Professor, Department of Structural Mechanics, Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.


    Ключові слова: КРИТЕРІЙ / ОПТИМІЗАЦІЯ / ОСОБЛИВІ ВЛАСТИВОСТІ / СТІЙКІСТЬ / ЧАСТОТА / КРИТИЧНА СИЛА / ФОРМИ ВТРАТИ СТІЙКОСТІ / ФОРМИ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ / НАВЕДЕНІ напруги / CRITERION / OPTIMIZATION / SPECIFIC PROPERTIES / STABILITY / FREQUENCY / CRITICAL FORCE / BUCKLING / EIGEN-FREQUENCY / REDUCED STRESSES

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити