Розглядається задача формального визначення мети системи адаптивного управління. Наведено структуру мети. Визначено основні критерії якості в сталому режимі систем управління. Наведено критерії для вирішення задачі оптимізації. Запропоновано метод завдання критеріїв якості в умовах невизначеності.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Белоглазов Денис Олександрович, Бублей Сергій Євгенович


CHOICE OF THE DISCRETE MOMENTS OF TIME OF FUNCTIONING OF AUTOMATIC ADAPTIVE CONTROL SYSTEMS

The problem of formal definition of the purpose of system of adaptive management is considered. The purpose structure is resulted. The basic criteria of quality in the established mode of control systems are defined. Criteria for the decision of a problem of optimisation are resulted. The method of the task of criteria of quality in the conditions of uncertainty is offered.

Область наук:

  • Математика

 

Рік видавництва: 2010

Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки

Наукова стаття на тему 'Критерії функціонування систем автоматичного управління'

Текст наукової роботи на тему «Критерії функціонування систем автоматичного управління»

 

?УДК 519.95

Д.А. Белоглазов, С.Є. Бублей

КРИТЕРІЇ ФУНКЦІОНУВАННЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ

Розглядається задача формального визначення мети системи адаптивного управління. Наведено структуру мети. Визначено основні критерії якості в сталому режимі систем управління. Наведено критерії для вирішення задачі оптимізації. Запропоновано метод завдання критеріїв якості в умовах невизначеності.

адаптація; управління.

D.A. Beloglazov, S.E. Bubley

CHOICE OF THE DISCRETE MOMENTS OF TIME OF FUNCTIONING OF AUTOMATIC ADAPTIVE CONTROL SYSTEMS

The problem of formal definition of the purpose of system of adaptive management is considered. The purpose structure is resulted. The basic criteria of quality in the established mode of control systems are defined. Criteria for the decision of a problem of optimisation are resulted. The method of the task of criteria of quality in the conditions of uncertainty is offered.

Adaptation; management.

Структурування мети функціонування систем направлено на визначення глобальної мети, виділення сукупності підцілей з глобальної мети, завдання безлічі критеріїв і виявлення безлічі завдань, вирішення яких дозволить забезпечити досягнення поставленої мети.

Нехай задана глобальна мета C об'єкта управління C = {cl, c2, ..., cn}. Якість функціонування об'єкта управління визначається безліччю критеріїв K = {k], k2, ..., km}. Між елементами безлічі K і елементами безлічі C встановлюється відповідність G.

C урахуванням елементів безлічі конструктивних параметрів Z = {zl, z2, ..., zv} і моделі об'єкта управління визначається безліч (перелік) вирішуваних завдань F = {fi, f2,., Fr}, що забезпечують досягнення оптимальних (заданих) значень критеріїв з безлічі K = {kl, k2,., km}.

Модель об'єкта управління - відповідність Q, встановлене між елементами безлічі Z і елементами безлічі F. Відображення зв'язку між безліччю вирішуваних завдань F = {fl, f2,., Fr} і елементами безлічі критеріїв K = {kl, k2,., Km} здійснюється відповідністю P.

У класичній теорії управління до систем автоматичного управління пред'являють вимоги по точності, характером перехідних процесів, виду задають і обурюють зовнішніх впливів, характеристикам енергоживлення і т.д. [1-3].

При оцінці ефективності розглядаються характеристики системи управління, пов'язані з її динамікою і точністю. Так як ці характеристики є якісними, то вводяться кількісні еквіваленти якісних характеристик, які називають критеріями (показниками) якості систем автоматичного управління. Ці показники ділять на показники якості в сталому режимі і показники якості в перехідному режимі.

Критерії якості в сталому режимі характеризують якість підтримки законів зміни змінних керованого процесу (точність). У перехідному режимі критерії характеризують динаміку системи або характер рухів системи при переході з одного сталого стану в інше.

Так як критерії оцінки ефективності функціонування систем управління не втрачають свій сенс і в умовах неповноти даних, то розглянемо критерії класичної теорії управління більш детально.

По перехідній функції h (t) визначаються наступні показники:

| Стале значення перехідної функції:

h = lim h (t). (1)

t

| Час регулювання tp (показник характеризує швидкодію системи):

tp = min {t \ h (t) -hx, \<8hx}, (2)

де 8-число (зазвичай? = 0,05, іноді 0,01 або 0,03);

| Перерегулирование:

а = hmax - h "-100%, (3)

До

де hmax - максимальне значення перехідної функції h (t);

| Число коливань h (t) за час перехідного процесу (коливальність системи):

Nk = tp / Tk, (4)

де Tk - період коливань; Nk - число повних коливань h (t) за час tp.

Припускають, що сталий режим роботи системи починається з моменту закінчення перехідного режиму tp і триває до нескінченності, так як зміна режимів роботи системи відбувається досить рідко в порівнянні з

тривалістю перехідних процесів. Тоді показники якості системи в уста-

новівшемся режимі знаходять з аналізу вимушеного руху системи, яка описується приватними рішеннями систем диференційних рівнянь системи автоматичного управління.

Критеріїв якості системи в сталому режимі є її помилка

8 = max \ y3m (t) -yebm (t) \, (5)

де y ^ ft) - вимушена складова керованої змінної системи; Ует ^) - бажаний закон зміни керованої змінної системи.

Так як для стежать систем Ует (t) дорівнює задає впливу g (t), то помилка по задає впливу:

8g = max | g (t) - ySMH, g (t ^ = max | sg (t ^ (6)

говорить про відхилення або неузгодженості системи управління зі зворотним зв'язком.

Помилки систем автоматичного управління класифікують в залежності від виду впливів - помилки по задающему g (t) і обурює f (t). Визначення помилок розрізняються тим, що в при обуренні f (t) у формулі

(5) Ует (0 = 0:

8f = max | у eblHf (t) | = Таx \ sf (0L (7)

t>tp

де уеин () - вимушена складова вихідної величини, а Sf (t) - відхилення системи, зумовлені дією тільки обурення f (t).

Формули (5-7) визначають структурну помилку системи, так як вони визначаються структурою системи.

Точність систем управління визначається помилками, з якими вони відтворюють задають впливу і пригнічують вплив збурень. При створенні систем управління прагнуть забезпечити якомога меншу помилку при хорошому перехідному процесі.

Ефективним способом зменшення помилок є надання системам автоматичного управління властивості інваріантності [1,2]. Мета управління визначається групою показників, об'єднаних у функціонал (цільову функцію). Цільова функція доповнюється аналітичної моделлю оптимізується системи з безперервним або дискретним [4] часом. В адаптивних системах управління з визначенням цільової функції пов'язують локальні і глобальні критерії ефективності функціонування.

Завдання оптимізації системи автоматичного управління в рамках опису в просторах станів для безперервного динамічного об'єкта має вигляд:

Хвих ( ') = Р [хвх ('), а, ''], а ( ') = 0, а = а ^ ТТ1 (Хю, хвьа), (8)

а

де ^ - символ оператора; а - вектор постійних параметрів, що підлягає ідентифікації; хвх - вектор вхідних параметрів; хеи1х - вектор вихідних параметрів; 1 [х<хах) иа1 - цільової функціонал. На змінні у формулі (8) впливають обмеження виду нерівностей.

Завдання оптимізації систем автоматичного управління визначені класом систем: стабілізація, стеження, термінальне управління, керована операція. Для оптимізації у всіх чотирьох класах задач теорії автоматичного управління застосовують класичний цільової функціонал у вигляді функціоналу Больцах [5]:

I = УЗ [х ( '2)] + 1Ь [х (&), І (©), ©] а ©, (9)

'1

де УЗ - задана скалярная функція кінцевого стану, Ь - задана скалярная функція векторів станів і управління, а також часу; і ( ') - функція управління; х (0) - функцією вектора станів.

Відомі такі види цільових функціоналів, що застосовуються в теорії автоматичного управління [2]:

| Критерій точності безперервного спостереження:

|| у (1) - Узад (1) || = || Нх (1) - Узад ||, (10)

де у (1;) - вихідна величина; узад - задане значення вихідної величини;

Н - задана матриця;

| Функціонал з адитивною функцією витрат на управління:

'2' 2

I = У3 [х ( '2)] + | дз [х (©), ©] а © + 1ЬЗ [і (©), ©] yo0, (11)

'1' 1

де УЗ, ДЗ, з - задана функції;

| Функціонал з адитивною квадратичною функцією витрат на управління

'2' 2

I = у3 [х ( '2)] + | Д3 [х (©), ©] а © + о, 51 і Т (©), к-'і (©) а ©, (12)

'1' 1

де до - задана невироджених матриця (функція вектора станів х (©));

| Квадратичний функціонал (функціонал Лєтова-Калмана):

'2' 2

I = 0,5хТ ( '2) рх (' 2) + 0,5 | ХТ (©) вх (©) а © + 0,51 і Т (©), до-, і (©) а ©. (13)

'1' 1

Т акже застосовуються функціонал узагальненої роботи з адитивними статечними функціями витрат на управління і з квадратичними функціями витрат на управління, квадратичний функціонал узагальненої роботи.

Застосування перерахованих критеріїв оптимальності можливо при апріорно завданні аналітичних моделей об'єктів управління, що є істотним обмеженням при управлінні в умовах неповноти даних.

Розглянемо формалізацію критерію адаптивних стохастичних систем управління в умовах неповноти даних.

При вирішенні завдань адаптивного управління в умовах неповноти даних відсутні відомості про модель об'єкта управління, тому не можна застосовувати критерії (1) - (7) та цільові функціонали (9) - (13) для оцінки ефективності функціонування. Однак отримувати відомості про досягнення поставленої мети управління необхідно, тому для адаптивних стохастичних систем управління в якості цільових функціоналів використовують математичні очікування функціоналів.

Якщо ввести р (х, і, ') двовимірну щільність безумовного розподілу ймовірностей векторів стану і управління від часу, то при вирішенні стохастичних задач оптимізації цільової функціонал являє собою безумовне математичне сподівання:

де М - символ математичного очікування.

Якщо стан об'єкта управління протягом аналізованого інтервалу часу визначати, як х = до (х) + п ( '), де до - відома функція вектора станів, т) ('} - шум спостереження, і ввести р (х, і, ' / 2) - умовну щільність розподілу ймовірності при спостереженні величини, то при вирішенні стохастичних задач оптимізації цільової функціонал являє собою умовне математичне очікування:

де МУ - символ умовного математичного очікування.

Оцінка досягнення поставленої мети управління з застосуванням функціоналів (14) і (15) вимагає ідентифікації розподілів р (х, і, ') і р (х, і,' / 2), що представляє собою складну задачу, тому що гіпотези про вид розподілів р (х, і, ') і р (х, і,' / 2) повинні бути обгрунтовані, а параметри цих розподілів ідентифіковані. Це є істотним обмеженням для застосування даного підходу.

Для формалізації критерію адаптивних стохастичних систем управління в умовах неповноти даних застосуємо наступний підхід. Мета управління формулюється в термінах математичного очікування заданого функціонала якості управління. Так як адаптивна система управління є системою зі зворотним зв'язком, то для кожного моменту часу присутній оцінка х ( ') зі-

I = м [I] = 11 [х, і] р (х, і, ©) Ахаї

(14)

I у = М у [I] = 11 [х, і] р (х, і, і / 2) yoхёі

вершать управління y (t-1) як оцінка зміни вихідного параметра e (t) об'єкта управління. Параметри x (t), y (t) і e (t) є випадковими величинами.

Зміна вихідного параметра e (t) (t = 0, 1, 2, 3, ...) об'єкта управління в термінах теорії ігор будемо розглядати, як виграш чи програш за досконале управління (дія в термінах теорії ігор). В цілому, для стохастичних систем при випадковому виборі управління в рамках обраної стратегії функціонал для оцінки якості будемо розглядати як математичне очікування досягається результату управління. Тоді задача оптимального управління зводиться до задачі максимізації виграшу за вчинені управління при обраному виді критерію, як функціоналу якості. Функціонал якості залежить від часу t, є вимірним і має вигляд:

(Pt = q (xt, yt ~ 1) = V (xt, Xt-b ..., Xbyt-byt-2, ---, yo), (16)

де x = (xt, Xt-1, ..., X3, X2, Xi), yt-1 = (yt-i, yt, У2, yi, Уо), тобто для t = 1 pi = p ( xi, yo), для t = 2

P2 = p (X2, Xi, yi, yo), для t = 3 P3 = P (X3, X2, Xi, y2, yi, yo) і т.д.

Математичне сподівання функціоналу визначається за формулою [6]:

Eppt + l = W (yt) = J p (xj, x2, ..., xt + 1, Уо, У1; ..., yt) p (dxt + Jx1>x2, -5xt,

X

yo, yhy2, -, yt) p (dx / xhX2, ..., xt-hyo, yhy2, -, yt-i) x- x (dx2 / xi, yo, yi) p (dxi / yo) (17 )

і розглядається як виграш W (yt) = W (yo, yi, y2,., yt) від скоєних управлінь в тактах часу 0, 1, 2,., t. У термінах теорії ігор значення функціоналу pt називають виграшем в момент t, а Ept - середнім виграшем при обраної стратегії управління об'єктом в умовах неповноти даних.

Якщо в кожному такті часу t прийнято стохастическое правило Ft, відповідно до якого вибирається управління yt, то можна говорити, що задана програмна випадкова стратегія <7 = {Fo, Fi, F2, ..., FtJ. Математичне сподівання Ept функціоналу pt = p (xi, x2, ..., xt, yo, yi, .., yt_i) в цьому випадку є стохастичною функцією попередніх управлінь і має вигляд [6]:

ЕР = Wa (t) = J p (xP|r ^. ^ Xt; yo ^ .. ^ yt-1) M (dx11yo) F (dyo) x

X xYl

XpdX2 / Xi, yo) F (dyi / Xi, yo) pdX3 / X2, Xi, yi, yo) F (dy2 / X2, Xi, yi, yo) x. ..

XjU (dx / Xi, X2, ..., Xt-i, yayi, y2, -, yt-i) F (y / Xi, X2, ..., Xbyayi, y2, -, yt-i). (18)

Коректність з математичних позицій завдання функціоналів виду (17) і (18) вимагає, щоб вид функціонала як цілі управління повинен бути необр-вающий, тобто потрібно необмежену продовження управління об'єктом. У більш загальній постановці завдання будемо вважати, що задано безліч 2 = {а} стратегій управління і в кожен такт t вибирається стратегія a (t). Нехай за такти управління 0,1,2 ,. , T вибрано а стратегій. Найбільше значення математичного очікування функціоналу p (t) визначиться за формулою:

W = sup wxo, (19)

Gtе2

де W () - математичне очікування функціоналу при обраної стратегії управління а

При асимптотичному значенні t ^ x математичного очікування функціоналу p (t) являє собою максимальний граничний середній виграш адаптивної системи управління

Щ = ііш Щ (і).

(20)

и

Відома формулювання мети управління в сильному сенсі [6] як пошук стратегії а, яка дозволить забезпечити виконання нерівності для довільного відхилення ?>0:

Якщо величина 8 довільна, то метою є асимптотична оптимальність, яку формально визначають у вигляді меж:

Згідно формального визначення критерію адаптивних стохастичних систем управління в умовах неповноти даних завдання адаптивного управління полягає в пошуку стратегії, яка забезпечить при всіх значеннях тактів >0 виконання нерівності:

Пошук стратегії (або сукупності стратегій) управління для адаптивних стохастичних систем в умовах неповноти даних здійснюється евристичним шляхом, т. Е. Для обраних моделей систем управління розробляються і досліджуються алгоритми пошуку управління, що забезпечують виконання умов (21) - (26) [7].

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Бессекерскій В.А., Попов О.П. Теорія систем автоматичного управління. - 4-е изд., Перераб. і доп. - СПб .: Професія, 2003.

2. Красовський О.О. та ін. Сучасна прикладна теорія управління: Оптимізаційний підхід в теорії управління / Под ред. А.А.Колеснікова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч.1. - 400 с.

3. Гайдук А.Р. Безперервні і дискретні динамічні системи. - 2-е вид. перераб. -М .: Навчально-методичний і видавничий центр «Навчальна література, 2004. - 252 с.

4. Стейц В. Метод простору станів теорії дискретних лінійних систем управління. - М .: Наука, 1985.

5. Фельдбаум А.А. Основи теорії оптимальних автоматичних систем. - М .: Наука, 1966.

6. Сраговіч В.Г. Теорія адаптивних систем. - М .: Наука, 1976. - 320 с.

7. фіналу В.І., Мажди Наср Аллах. Адаптивні автоматні системи управління. - Таганрог: Изд-во ТТІ ПФУ, 2008. - 151 с.

у-1

або фіксованого відхилення 8 (кажуть про мету 8-оптимальності):

(21)

(22)

(23)

або

(24)

Щ ^^) > Щ (і) -8, 8 > 0,

(25)

або нерівності

Ща (і) > Щ-8.

(26)

Белоглазов Денис Олександрович Бублей Сергій Євгенович

Технологічний інститут федерального державного автономного освітнього закладу вищої професійної освіти «Південний федеральний університет» в м Таганрозі.

E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

347928, м Таганрог, пров. Некрасовський, 44.

Тел .: 88634371773.

Beloglazov Denis Aleksandrovich Bubley Sergey Evgen'evich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University".

E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371773.

УДК 004.932.2

Е.А. Вершовскій МЕТОД КОНТРОЛЮ ЯКОСТІ КЛАСТЕРИЗАЦІЇ мультиспектрального ЗОБРАЖЕННЯ

Розглядається задача порівняння результатів кластеризації мультіспектраль-них зображень. Пропонується розроблений автором для її вирішення метод контролю якості кластеризації. Наведено результати порівняння методу контролю якості кластеризації з відомим методом матриці помилок. Розглядається застосування цього завдання на практиці.

Дані дистанційного зондування; матриця помилок; матриця відповідності; метод контролю; якість кластеризації.

E.A. Vershovsky

QUALITY CONTROL METHOD FOR REMOTE SENSING DATA CLUSTERING

Problem is considered about remote sensing data clustering results comparing. It is offered designed by author for her decisions method to clustering quality control. The broughted results of the comparison of the clustering quality control method with well known error matrix method. It is considered using of this problem in practice.

Remote sensing data; error matrix; accuracy matrix; clustering quality; control method.

При проведенні автоматичного контролю якості кластеризації МультіСім-пектрального знімка виникає ряд складнощів. На сьогоднішній день для завдання кластеризації мультиспектральних даних не існує, так званих, «бенчмарок» - загальновизнаних тестових наборів даних і завдань, за допомогою яких можна оцінити відсоток правильності кластеризації того чи іншого використовуваного алгоритму [1]. Під правильністю, в даному випадку, розуміється загальний відсоток збігу всіх точок кожного кластера всім заздалегідь відомим точкам відповідного класу поверхні, отриманим методом польових досліджень або натурних спостережень. Як приклад бенчмарки для спільної справи кластеризації можна згадати Fisher's Iris data set [2,3]. Однак бенчмарки для спільної справи кластеризації не можуть використовуватися для оцінки якості кластеризації мультиспектральних даних.

І9І

Ключові слова: АДАПТАЦІЯ /УПРАВЛІННЯ /ADAPTATION /MANAGEMENT

Завантажити оригінал статті:

Завантажити