У даній роботі в прямокутнику досліджуються нелокальних крайові задачі для диференціальних рівнянь в приватних похідних дробового порядку з нелокальним лінійним джерелом, які виступають в якості математичних моделей руху вологи і солей в грунтах з фрактальної організацією. Крім декартова випадку, в роботі розглядаються одновимірні випадки з циліндричної і сферичної симетрією. Методом енергетичних нерівностей виводяться апріорні оцінки рішень нелокальних крайових задач в диференціальної формі. Побудовано різницеві схеми та для них доводяться аналоги апріорних оцінок в разностной формі, наводяться оцінки похибки в припущень достатньої гладкості рішень рівнянь. З отриманих апріорних оцінок слідують єдиність і стійкість рішення за початковими даними і правій частині, а також збіжність рішення різницевої задачі до вирішення відповідної диференціальної завдання зі швидкістю ?? (? 2 + 2). Бібл. 31.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Бештоков Мурат Хамідбіевіч


Boundary value problems for degenerate and degenerate fractional order differential equations with non-local linear source and difference methods for their numerical implementation

In the paper we study non-local boundary value problems for differential and partial differential equations of fractional order with a non-local linear source being mathematical models of the transfer of moisture and salts in soils with fractal organization. Apart of the Cartesian case, the paper considers one-dimensional cases with cylindrical and spherical symmetry. By the method of energy inequalities, we obtain apriori estimates of solutions to nonlocal boundary value problems in differential form. We construct difference schemes and for these schemes, we prove analogs of apriori estimates in the difference form and provide estimates for errors assuming a sufficient smoothness of solutions to the equations. By the obtained apriori estimates, we get the uniqueness and stability of the solution with respect to the the initial data and the right par, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem with the rate of ?? (? 2 + 2).


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2019
    Журнал: Уфимський математичний журнал

    Наукова стаття на тему 'КРАЙОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ вироджується і НЕВИРОЖДАЮЩІХСЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ дробового порядку З нелокального ЛІНІЙНИМ ДЖЕРЕЛОМ І різницевим методом їх чисельність РЕАЛІЗАЦІЇ'

    Текст наукової роботи на тему «КРАЙОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ вироджується і НЕВИРОЖДАЮЩІХСЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ дробового порядку З нелокального ЛІНІЙНИМ ДЖЕРЕЛОМ І різницевим методом їх чисельність РЕАЛІЗАЦІЇ»

    ?ISSN 2074-1871 Уфимський математичний журнал. Том 11. № 2 (2019). С. 36-55.

    УДК 519.63

    КРАЙОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ вироджується і НЕВИРОЖДАЮЩІХСЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ дробового порядку З нелокального ЛІНІЙНИМ ДЖЕРЕЛОМ І різницевим методом їх чисельність РЕАЛІЗАЦІЇ

    М.Х. БЕШТОКОВ

    Анотація. У даній роботі в прямокутнику досліджуються нелокальних крайові задачі для диференціальних рівнянь в приватних похідних дробового порядку з нелокальним лінійним джерелом, які виступають в якості математичних моделей руху вологи і солей в грунтах з фрактальної організацією. Крім декартова випадку, в роботі розглядаються одновимірні випадки з циліндричної і сферичної симетрією. Методом енергетичних нерівностей виводяться апріорні оцінки рішень нелокальних крайових задач в диференціальної формі. Побудовано різницеві схеми та для них доводяться аналоги апріорних оцінок в разностной формі, наводяться оцінки похибки в припущень достатньої гладкості рішень рівнянь. З отриманих апріорних оцінок слідують єдиність і стійкість рішення за початковими даними і правій частині, а також збіжність рішення різницевої задачі до вирішення відповідної диференціальної завдання зі швидкістю 0 (h2 + г2). Бібл. 31.

    Ключові слова: крайові задачі, завжди апріорна оцінка, рівняння влагопереноса, диференціальне рівняння дробового порядку, подрібнена похідна Герасимова-Капуто /

    Mathematics Subject Classification: 65N06; 65N12

    Вступ

    Нелокальними крайовими задачами прийнято називати завдання, в яких замість завдання значень рішення або його похідних на фіксованій частині кордону задається зв'язок цих значень зі значеннями тих же функцій на інших внутрішніх або граничних многовидах. Теорія нелокальних крайових задач важлива сама по собі як розділ загальної теорії крайових задач для рівнянь з приватними похідними, як розділ математики, що має численні додатки в механіці, фізиці, біології та інших природно-наукових дисциплінах.

    Диференціальні рівняння, що містять дробові похідні як за часом, так і по просторовим змінним, в даний час стали привертати увагу математиків, фізиків у зв'язку з використанням таких рівнянь в якості математичних моделей різних процесів [1] [9].

    М.КН. Beshtokov, Boundary value problems for degenerate and degenerate fractional

    order differential equations with non-local linear source and difference methods for their numerical implementation.

    © Бештоков М.Х. 2019. Надійшла 29 травня 2018 р.

    Дослідженню різноманітних локальних і нелокальних початково-крайових задач для диференціальних рівнянь типу Соболєва та його підкласу псевдопараболіческіх рівнянь присвячено велику кількість робіт [10] [19].

    В [20] - [25] методом кінцевих різниць досліджуються різні крайові задачі для диференціальних рівнянь Соболевського типу зі змінними коефіцієнтами,

    У даній роботі розглядаються нелокальних крайові задачі для диференціальних рівнянь типу Соболєва з дробової за часом похідною в сенсі Гераспмова-Капуто з нелокальним лінійним джерелом. Крім декартова випадку, в роботі розглядаються одновимірні випадки з циліндричної і сферичної симетрією,

    1. Постановка крайової задачі для псевдопараболіческого рівняння

    з нелокальним лінійним джерелом.

    У замкнутому циліндрі = {(ж ,?): 0 < х < I, 0 < Ь < Т} розглянемо наступну крайову задачу

    ^ = ^ {До (х, 1) + Ж; {П (Х) + Г (Х, 1) ^ - I У (8,1) і (8,1) ^ + f (x, t),

    0 <х<1, 0 < Т, (1.1)

    П (0, г) = рп (г) і (0, г) + ріЮд&і&г) - 0 < г < т, (1.2)

    -п (1, г) = р21&) І (1, г) + И ^ ОММ) - 0 < г < т, (1.3)

    і (х, 0) = в.о. (х), 0 < ж < I, (1.4)

    0 < зі < до (х, г) / ч (х), / 3 \ 2 (г), М) < сь \ Рі&), Г (х, г), д (х, г), (х), кх (х, г), гх (х, г) \ < С2, (1.5)

    = Г (1-а) I - Дробная похідна в сенсі Герасимова-Капуто порядку а,

    (А про (

    0 < а < 1, [26], [27], П (х, Ь) = ких + дгц (х) їх), = 0,1, 2 позитивні постійні числа, д ^ і = О ^ і - ^, Про ^ і = Г (1-а) ^ / (- ін ° бная похідна в сенсі

    Рнмана-Лнувілля порядку а.

    Надалі будемо припускати, що завдання (1.1) (1.1) має єдине рішення, що володіє потрібними по ходу викладу похідними. Будемо також вважати, що коефіцієнти рівняння і граничні умови задовольняють необхідним по ходу викладу умов гладкості, що забезпечує потрібний порядок апроксимації різницевої схеми.

    Під час викладу будемо також використовувати позитивні постійні числа Мг, г = 1, 2, ..., залежні тільки від вхідних даних розглянутої задачі,

    2. Апріорна оцінка в диференціальної формі.

    Для отримання апріорної оцінки рішення задачі (1.1) - (1.4) в диференціальної фор-

    де

    ме введемо скалярне твір і норму в наступному вигляді:

    аіах, \ а, а \ = ци | '2

    про

    Помножимо рівняння (1.1) екалярно на і = і + д ^ і-.

    = Abdx, = || а || 2, де а, Ь - задані на [0,1] функції.

    д «і, і) = ({ких) х, і) + (д ^ {щх) х, і) + {тих, і) - Ц дійз, і) + і). (2.1) Справедлива наступна [28]

    Лемма 1. Для будь-якої абсолютно безперервної на [0, Т] функції v (t) справедливо нерівність

    1

    v (t) d «v (t) d&{V2 (t)), 0 < а < 1.

    2

    Перетворимо складові, що входять в тотожність (2.1), користуючись нерівністю Коші з е [см, [29], стор. 100] і леми 1:

    (D «tu, U) = (д« і, і + д&і) = (1, ід «і) + (l, (d« tu) 2) > 1 д&\\ і \\ 0 + R>|| 0, ([kux) x, U ^ j = (jkux) x, u + = Ukux ^ - (kux, ux + d ^ u ^ =

    (2.2)

    = Uku7

    - (K, u2 ^ j - (до, іхдиі ^ З Ukux ^ - сь \\ їх \\ 0 - 2> j kOQt (ux) 2dx (pSt (vux) x, U ^ = (д&(чи>х) х, і + д&і ^ = Uд ^ (щх) - (ди (щх), їх + dotux ^ = - (г1, іхдиі ^ - (jj, (dotux) 2 ^ j + Ud ^ (r \ ux)

    (23)

    Ud0t (rqux)

    i 1

    V (x) dot (ux? Dx - зі \\ диіх \\ 0.

    (2.4)

    (Rux, u) = (rux, u + <90>) = (Rux, u) + ^ "duu ^ З е \\ д&і \\ 2 + H 0 + \ K \\ 0). (2.5) - (J Quds, U ^ = - (J Quds, u + dQtu ^ = - ^ J quds, uj - ^ J quds, dfit ^ З

    l r S

    з «« Il2 + 2N0 + MH 1,

    quds

    з m:

    3. j u2dsdx + 2 +

    00

    + ONI0 З eR>|| 0 + MeM \ 0

    (F, u) = (f, u + a&u) = (f, u) + (f, a&u) з e№ || 0 + мні \\ 0 + і

    З огляду на перетворення (2.2) - (2.7), з (2,1) знаходимо

    (2.6) (2.7)

    1 + 1 il

    1№110 + №112 + ськ \\ 2 + 1Jo (до + v (x)) d ^ t (ux) 2dx + С0 \\ д «їх \\ 20 з

    з

    UU (x, t) | + eR>|| 2 + Ml (\ І 2 + \ K \\ 0) + M:

    ад \\ 2.

    (2.8)

    1

    Вибираючи e = -, з (2,8) знаходимо

    1

    ri

    1 №110 + 2№110 + * K \\ 2 + 1J (до + v (x)) dzt (ux) 2dx + «, № * \\ 0 С

    +

    ^ Іщх, г) | про + м8 (і0 + | До || 0) + м9щц2.

    Оцінимо перший доданок в правій частині (2,9), тоді отримаємо

    і (х, г) щх, г) | ^ = (І (1, г) + д * і (1 ^)) (^ 2 (1) - р21 (1) 4 (1, г) - Р22 (г) д ^ і (1, *))

    + (І (0, г) + і (0, ^ (^ л (ь) - рпи (0, г) - ри ^ д ^ мо ,?)) = »2&) І (1, ь) + + ^) д&і (1, г) -р21 (г) і 2 (1, г) - р21 $) і (1, г) д&і (1, г) -р22&) І (1, г) д&і (1, г) - И) (д «і (1, ^) 2 + г) +» 1&) д&і (о, г) - / зп (г) і 2 (о, г)-

    (2.9)

    0

    0

    s

    2

    -13пі (0, г) д&і (0, г) - р12 (г) і (0, г) д ™ і (0, ^ - / з ^ д&іф, ^

    ^ Мю (? + $) + ^ ( «Г, г)) 2 + 62 ^ (0, г)) 2 + мц (|| і \\ 2 + | М2) -

    / \ 2 1 / \ 2 1 -№Щі (1, г)) - і 2 (1, г) - игЩіф, г)) -? И'^ ф, г) ^

    < - ^ ('Ф, о) 2 - ^, $) 2 - г) - Мр-ь * 2 «, *) +

    + МЦ м 2 + | КН2) + м ^ (/ л! +?). (2.10)

    З огляду на (2,10), з (2,9) знаходимо

    №110 + [1 (до + ч (х)) д0Ь (їх) 2<1х + ЦіхГо + 0 + ЦдогПхШ ^

    ^ Міці \\ ^ + М15 (Щи + №) +, (2.11)

    де || м112ш1 (о, 1) = N10 + ЬхТо.

    -а ог 5

    Застосовуючи до обох частин нерівності (2,11) оператор дробового інтегрування Д отримуємо

    N1 Ш1 (0,1) + про - г (| КН2 + ЦдоМ \ 2 + || 5М2) ^ мив-ам2щт +

    + М16 (о-а (|| Ш + ц \ (1) +? А (1)) + цщ (х) Ц ^ ^. (2.12)

    Для оцінки першого доданка в правій частині скористаємося лемою [28],

    ()

    ряется для, майже всіх? з [О, Т] нерівності

    д&у (I) < ау (1) + С2 (1), 0 <а < 1, де з \ _ > 0, с2 (Ь) - сумміруемвя на [0, Т] неотрицательная, функція. тоді,

    < у (0) Еа (А1А) + Т (а) Еа, а (а Г) з * ®,

    ті ті

    хп ТТГ / "Л __ХП

    де Еа (г) = ^ Г (АП + 1), Еа ^ (г) = ^ Г (АП + ^ - Функції Миттаг-Леффлера.

    п = 0 п = 0

    На підставі леми 2 оцінимо перший доданок в правій частині (2,12), Нехай у (^ = 11 і 112Wl (оyl), д&у (г) = 11 і 11тогда отримаємо

    ВДМ1 ^ 0,1) ^ Мі (О-22а (Н Ш2о + №) +? + ЦіоШ2 ^)). (2.13) Справедлива наступна

    Лема 3. Для, будь неотрицательной інтегрованою на [0, Т] функції, д (Ь) справедливо нерівність

    о-2ад (г) = 2 (Г) (2) в-ад (2.14)

    т 2 (а) - 1 (2а)

    Доведення. Перетворимо дробовий інтеграл, що стоїть в лівій частині

    Д ® = / V - Г 1 д (т) йт = -1- Г (I - г У (1 - г Г 1д (т) йт. (2.15)

    Г2 (а)

    Інтегруючи (2,15) по частинах, користуючись формулою В (а, а) = ---, після нескладних

    Г (2а)

    перетворень з (2,15) отримаємо (2,14)), В (2,14)) покажемо, що

    аГ2 (а) > Г (2а), Уа е (0,1).

    або

    (2а) \ < 2 (а \) 2, Уа е (0,1). (2.16)

    2

    Для цього розглянемо нерівність 2а < 2. Нерівність справедливо для всіх а е (-1,1). Тоді з (2,16) знаходимо

    (2а) \ ^ 2А2 (а!) 2 < 2 (а \) 2, Уа е (0,1). (2.17)

    Доведемо методом математичної індукції справедливість

    (2а) \ ^ 2А2 (а \) 2, Уа е К. (2.18)

    Дійсно, при а = 0 вірно (2,18), Припустимо, що (2,18) виконується для всіх а = п. Доведемо тепер, що (2.18) виконується при всіх а = п +1, тоді отримаємо

    (2п + 2) \ ^ 2 (п + 1) ((п +1) \) 2. (2.19) Перетворимо ліву частину (2,19)

    (2п + 2) \ = 2п \ (2п +1) (2п + 2) ^ 2п (п \) 2 (2п + 1) (2п + 2) ^ ^ 2п22п (п \) 22 (п + 1) 2.

    З останнього знаходимо

    2п + 1 ^ 22п (п +1), Уп е К. (2.20)

    Повторюючи міркування, методом математичної індукції доводиться справедливість (2.20). "" ?

    За допомогою леми 3 з (2.12) з урахуванням (2.13), (2.14) знаходимо шукану апріорну оцен-

    ку

    I I «IIЩ1т + 0-а (\\ іх11 0 + I I ПЕКЛО0 + 11 ад11 0) ^

    ^ М \ ^ 7 (1I / 11 0 +? А (^) + №)) + 1 + 1 і0 (х) 11 Ж21 (0, о1, (2.21)

    де М- позитивне постійне, залежне тільки від вхідних даних (1.1) - (1.4),

    = Р (а) I - ДР0бньш інтеграл Рімана-Ліувілля порядку а, 0 < а < 1.

    0 (т '

    Теорема 1. Якщо до (х ^) е С1,0 ^ т), 'ц (х) е С1 [0,1], г (х, Ь), д (х, 1), / (х, Ь) е С (Ят), і (х, Ь) е С2'0 (Ят) П С1'0 (^ т), д ^ і (х, 1) е С ((^ т) і виконані умови (1.5), тоді, для, рішення задачі (1.1) - (1.4) справедлива, завжди апріорна, оцінка (2.21).

    З апріорної оцінки (2.21) випливають єдиність і стійкість рішення по початковим і правої частини в сенсі норми

    I I «і 2 = I I« і ^ 1 (0'0 + я-в (і «х 11 0 +1 I пекло 0 +11 пекло 11 0).

    3. Стійкість і збіжність різницевої схеми.

    Для вирішення завдання (1.1) - (1.4) можна застосувати метод кінцевих різниць. Побудуємо монотонну схему другого порядку точності, що містять похідні, що враховують знак г (х, {). Для цього розглянемо замість рівняння (1.1) таке рівняння з обуреними коефіцієнтами [28]

    д ^ і = до (ких) х + ди (г] їх) х + rux - q (s, t) u (s, t) ds + f (x, t),

    Jo

    (3.1)

    де к =, R = - разностное число Рейнольдса.

    На рівномірної сітці ш ^ т диференціальної задачі (1.1) - (1.4) поставимо у відповідність разностную схему порядку апроксимації О (к2 + т2):

    = До '^) + A ^^ y,) + Ьг ^ уИ + b + jai + 1 ^ -? D№ До + Pi,

    Х Х s = 0

    Koaiу {ха0 + A ^. ​​+ A ('yxfi) = рпу0а) + Q.25h2dOy0a) +? 3 ^ + ,, yo -fa, te uT,

    N

    - (Кмаму {° 1 + A ^. ​​+ A (jNyx, N ^ = P21 y {N + 05hYl d ^ K + ~ p22A% t] + a yN - fa

    І

    s = 0

    де

    y (x, 0) = uo (x), x Euh

    Pi2 = Pi2 + 0.5h, fa (tj + a) = Vi (tj + *) + 0.5hp0,? 322 =? 22 (tj + a) + 0.5h, fa (t j + a) = tj + a) + 0.5hp3N,

    k (Xi-0.5, t3 + a), ь = r] (Xi_ o.b), Ц = ^ \, p = f (Xi, tj + a)

    k (x, tj + a)

    І

    ay3 + + (1 -a) y3, d {= d (x ^, tj + a), at

    (A, a)

    a

    A-a

    i (a'a) = (l + a) i-a - (I - 1 + aY-a, l> 1, a = 1 - a,

    (A, a) _

    2-a

    (I + a) - (I - 1 + a)

    2 a

    = 0,

    1

    2

    (A, a)

    o

    (L + a) i-a + (l - 1 + a)

    i a

    a,

    (A, a) _ 0;

    (A, a) Aa, (T)

    ,0 + ЬГі), s = 0, при j > 0, c ^ = {a0r, a) + b ^ - b (sx, a), 1 <S<J- 1,

    (A, a) 7 (a, a) aj by, S = J,

    1 - a

    ,u) >

    ?a, a) > 1-- (s + a) -a > 0,

    (3.2)

    (3.3)

    (3.4)

    (3.5)

    1,

    Aa + 'У = rv9-Q \ У% ~ дискретний аналог дробової похідної Герасимова-Капуто

    j + a Г (2 a) ^ J "

    s = 0

    порядку a, 0 < a < 1 [30].

    Введемо скалярні твори і норму:

    N

    >V]

    i = 0

    N

    (U, v] = ^^ UiVih, [і, і] = [1, і 2] = | [u] |

    i = i

    г 1 ^ ^ i0.5h, i = 0, N,

    [U, V \ = 2_ ^ ігЬгй, К =< ^

    i = 0, N.

    X

    J

    а

    1

    Перепишемо (3.2) - (3.5) в операторної формі

    А «ь + а у = Л (г +) у (а) + 5У + ф, у (х, 0) = щ (х), X € шн,

    де

    (3.6)

    (3.7)

    Л у,

    (А)

    до (ау ^) х + Комерсант-ау ^) + видання + а ^ ур - Е

    «= Про

    Л (г +) у (а) ч А-у0а) = коа1УХ0 - Ріу0а) - ОЖкЧОуО? ^, Г = 0,

    / М \

    Л + Розум) = 2 (- кмамуХ ^ м - р21Ум] - (% у {а) н), г

    4 в = 0 /

    $ Уг = Ат + а ('Уx) х, г = 1 1 5у = ​​{Ь-Уо = 2 (11Ух, о) - РІА «^ Уо), г = 0,

    й + розум = | (- АТ3 + а (1мУх, м) - Розум ^, г

    Ф

    <р = <^ Г, г = 1, N - 1, Ч>~ = 2 (М ^ + а) + 0.Иір>о), г = 0, <Р + = 1 {^ 2 (13 + а) + 0.Иг ^ м), г = N.

    Помножимо тепер (3,6) екалярно на у = у (а + А ^. У

    к =

    Ко =

    км

    1

    1+

    0.5Ь | т- | до 1

    1+ 0.5 ^ | го1 + ^ 0.5 1

    1+

    0.5

    го < 0

    Гм > 0.

    А ° ь + "У, У = 'л (г +) у (а \ у + $ У, У + Ф, у

    , ь, Ь, Ь, (3.8)

    Справедлива наступна [30]

    Лемма 4. Для, будь-якої функції у (Ь), заданої на сітці шт, справедливо нерівність:

    2

    1

    У (а) Аа0Ь + ау > ^^ (у2).

    Оцінимо суми, що входять в (3,8), з урахуванням леми 4:

    А

    оц + Ау, У

    А «ь +" у, у (а) + А.

    У

    А

    оц + Ау, У

    (А)

    +

    ^ (АЩ + а У)

    >

    > - А «2

    Л (1 +) у (а), у

    а) Т,

    ШЮ + I [Ао ^ + г У%. у) + 0.ЬНуоЛ-у {о) + 0.5кум Л + у ^ = (до (Аух)) х, у) +

    (3.9)

    + (Ь-Ауф, у) + (кь + а ^ + 1) вуха), у) - (?? {у ^ П.у) + уоКоац ^ -

    в = про

    (А)

    Уо

    м

    в = про

    -Км ам у (ха) м Розум - 0.25Н2 $ оУоа ') уо - Р21 У ^ Розум - 0.'кйм Розум ^ 2 срау {а) Н. Перетворимо складові в правій частині (3,10):

    - (Ау? \ (Ку)

    (3.10)

    (^ До (ау<ха)) х, у ^ = укау'ха)

    -(, К «У + до (-1) У. - (ау {<\ К<га ° ь + "У

    (А) (а)

    Умк м ^ мух, м - Уокоа1 двох про

    (А) (а)

    умкмамух м - Уокоа.1 двох про

    (

    (А) (а)

    а Ух \ кх У ( '

    (А) (1) (а) Аух), до () Ух)

    (

    ау {<а \ к (-1) Ао

    У х

    <

    ^ Умхмаму ^ - уохосчу ™ + е \ [А ^ у] \ 0 + Мг (\ [у (ст)] \ 0 + ^ Ш)

    / З

    ак, (Ух))

    1

    1 + до М2

    2 (1 + до М2) \ К, ^

    ^ - І І ,

    ^ УмКмамух м - УоКоа.1 ух0 +

    У] \ 2о + \ [УІ] \ 0 + || Л0) - МзЦУхГ)] \ 20 - МА I'2

    14А01 + а || 'Ух] \ 0

    (3.11)

    Ь-ау!? \ У) + (Ь + а<+ «Ух \ у \ =

    +

    = (Ь-ау ^, уИ) + (ь-ау ™, А ^ у) + (ь + а ™ у ^, у (° \

    + (Ь + а (+1) уИ, А ^ у) ^? \ [^ + Ау] \ 0 + М * (\ [у + || у ^. (3.12)

    м

    - (V? {У ^ К, у) - 0.25к2соуМУо - 0.5ИмУм Е ^ у ^ К - Ріу ™ уо - 021 у ^ розум =

    \ / J ^ г / в

    «= 0

    «= 0

    [Е? {У ^ К у&

    «= 0

    г

    [Е АоЬ + ау] - Му0а)) 2 - РпуР ^ Уо-

    в = 0

    -) 2 - Р21У0а) Ааоь + а розум ^ у] \ 20 + М11

    про \ о ~ 1У ± 6 2 / \ 2

    1, (Е ^ к)

    в = 0

    2

    ^, 0 +

    2

    +

    + М ^ 3 \ [у (ст)] \ 2 + ^ (а- ^ уо) + Розум) ^ е1 \ [А&+ Ау] \ 0 +

    + М ^ 3 \ [у (-)] \ 0 + ^ (А ^ уо) 2 + в з (А "^ розум) 2

    8 НУ \\ 0

    З огляду на перетворення (3.11) - (3.13), з (3.10) отримаємо

    2

    Л ^ у ^^ ^ б1 \ [А ^ + а у] \ 1 + б2 [А ^ + а уо) + А "ь + а розум) +

    2

    + \ [У +1 | у ^] \ о) - МЗН розум] \ о - М4А:

    4АМ5 + а || Ух] \ 1.

    , У

    У

    + 0.5к5 уоуо + 0.5И + Розум Розум = ('Ух) х, у) +

    + УоАщ + а (1% Ух, о) - Уор12Ат + АУО - умат + а (1мУх, м) - умр22Ат + Аум

    ь] +<?

    - I А "

    1 Ао * + |

    - I А "

    1 Ао * +

    - (322 У ^ А ^ + з Розум - Р22А + розум) 2 ^ - у А;

    ('Ух), Ух - р12УоА'Ь + а Уо - Умр22А'Ь + а Розум = ИуР), у ^ - (ь, Ух) 2 - Р ^ А », Уо - / 112 (а&,+ "Уо у

    с0а "11 П10 - Сона ^ уЖ-

    Ч + а

    2

    3+&

    у0 - ут А&+. У2м - ^ (а ^ уо) 2 - ^ (а «^ розум) м (3.15)

    12

    Ф, у = ((р, у) + 0.5ку0 + 0.5кр + розум = (р, у) + Уо (^ 1 + 0.5к<р0) + + Розум (^ 2 + 0.5крм) = (р, у) + Уо 1 ^ 1 + 0.5кр0Уо + Ум№ + 0.5крмУм =

    Р, У

    + 1 ^ 1 Уо + №Ум =

    ^ У

    +

    Р, Аои + "У

    2

    +

    +1 | У ^] \ 2

    (3.13)

    (3.14)

    + 1ІУ (а) + ^ АаШ] + АУО + V2у {м) + Розум ^ 81 \ [А «ь + ау] \ 0 + е ^ А« ь + ау0) +

    + Ез (А "^ розум) 2 + М ^ ез + 1Щ + МЬ

    (33.16)

    Беручи до уваги перетворення (3.9) - (3.16), з (3.8) знаходимо

    Ш12 + | [Ай, + "У] | 2 + М12А« ь + а \\ у<] \ О + З \ \ А «ь + а у ^ о + М3 \\ розум] 12+

    + ^ Т Уо +12 У2м + уоу + Ь 2 (а ^ + "Розум У ^

    ^ У] Ц + ^ (а «^ Уо) 2 + ез (А« ь + Аум)%-

    + Мг2, Е3 (| [у (а) Ш + \\ Ш) + мг3 +?) + МЦ И *. (3.17)

    Вибираючи? 1 = 1,? 2 =,? 3 = з (3.17) отримуємо

    1М1 ^ (ОЛ + \\ Л2 + У] 12о + НА ^, У<] 12о ^ ^ М ^ у (а)]) + М1Е (М12 +? А + Ц2), (3.18)

    гДе Ш12 \ У21 (О, 1) = І + \\ Ух] | 2. Перепишемо (3.18) в іншій формі

    ЬМщт < Ма71У + 1] 1 ^ 1) + Маш 1У]? ЩТ + М ^ МЮ +? +? 2), (3.19)

    справедлива наступна

    Лемма 5. Нехай {ре} - послідовність, яка задовольняє таким услови-

    ям:

    -1-аг1 _ т 1 _

    з = 1

    ро = 1, а 1-АР] = ^ (з «-а1 - С0, а) рз> 1,

    тоді

    0<< 1, я - * = ° 1-а, 1 з, (3.20)

    де а1-а = ^^ ((1 + а) 2-а - а 2-а) - 1 ((1 + а) 1-а - а1-а).

    Доведення. Слідуючи [31] доведемо рівність (3.20). Тоді, враховуючи, що с3 < С3-1 для ^ > 1, отримуємо

    ?Р-з «, а < з «-а1, (3.21)

    = 1 = 1

    де

    Т.Р- з «-1 = Е Р>-{З «, а, (3.22)

    * = 1 * = про

    З (3.21), (3.22) знаходимо

    ^ Ре-з = росо = а1-а, (3.23)

    в = 3

    а1-а, е = 0,

    де ~ СГ1-а 1 (, ч "" \ 1 ,,, 1_а ,

    "• 1/1, \ 2-а 2-а \ _1 (1 | 1 а _ / у

    ((1 + а) 2-а - а 2-а) - ^ (1 + а) 1-а - а1-а), 3 > 1,

    2-а \ у) 2

    е е

    <^ 2Ре- * са, а = Росо = yo1-а. (3.24)

    * = 1 * = про

    З огляду на (3,23), (3,24), отримуємо

    Са-а1 = а1-а, ^ р-Са, а <а1-а, ^ р- (Са-а1 -) < а1-а,

    * = 1 * = 1 * = 1

    ] Тр-са, а <?РЕ- * са, а + РеСо, РеСо > 0, З = а1-а. (3.25)

    * = 1 * = 1

    З (3,22) знаходимо

    е

    ° ОРЕ = 52 (° а-а1 з °, а) РЕ- *

    з = 1

    З (3,24), (3,25) отримуємо

    0 < ресо < а1-а, 0 < ре < 1. Нехай 8 = I + до - 1, тоді з урахуванням (3,23) отримаємо

    е З-к + 1

    \ Л а, а \ л а, а -1-а

    Сз-к = Ре-к + 1-1 С1-1 = а, 1 <до < 3.

    з = до 1 = 1

    Лема доведена, ?

    справедливі наступні

    Лемма 6. Нехай виконано (3.20), тоді для т = 1, 2, .... отримаємо

    Г (2 - ^ з (т-1) а < ^ Ч ™ (3 26)

    Г (1 + (т - 1) а) ^ РЕ- * 8 < Г (1 + та). ()

    Лемма 6 доводиться аналогічно лемме 3,2 [31], Лемма 7. Нехай "= (1,1, ..., 1) Т € Яе і

    '0 Р1 ... Ре-2 Ре-1 0 0 ... ре-з Ре-2

    3 = 2аа-1 Г (2 - а) \ т °

    0 0 ... 0 р1 0 0 ... 0 0

    і виконано (3.26), тоді отримаємо

    Г = 0, г >

    3т " < ^^ - ((2М '°) т, (2Ма_,) т, ..., (2М' °) т) Т, т = 0,1, 2,...

    Г (1 + та) \ е е /

    г е-1 Т

    ^ 38 "=" < (Е а (2Щ), Еа (2мА-1), ..., Е а (2мА)), г> 3.

    * = Про 8 = про

    Лемма 7 доводиться аналогічно лемме 3,3 [31],

    Лемма 8. Припустимо, що невід'ємні послідовності, у ^,] = 0,1, 2, задовольняють нерівності

    Ааоь + "у3 у3 + 1 + \ 2У3 + р, 3> 1 де Л1 > 0, Л2 > 0 - константи, тоді, існує таке т0, що есл, і г ^ т0, то

    у3 + 1 ^ 2 (у ° + +) шахові ') Еа (2Л%), 1 ^ 3 ^ Зо, V 1 (1 + а) про ^ з' ^ з / 3

    ті Л2

    де Еа (г) = ^ ------ - функція Миттаг-Леффлера, Л = Л1 + ----

    к = 0 1 (1 + ка) 2 + 21 з

    Лемма 8 доводиться на підставі лем 4-6 аналогічно лемме 3,1 [31] На підставі леми 8 з (3,18) отримуємо

    \ [Уз + 1] \ щ1т ^ \ [Уо] \ 2Щ1тот * х (\ У '] \ о +? + 1 * 2) ^. (3.27)

    де М - позитивна постійна, яка не залежить від до і т.

    про

    т ^ т0, то для, рішення різницевої задачі, (3.2) - (3.5) справедлива, завжди апріорна, оцінка (3.27).

    З апріорної оцінки (3,27) слідують єдиність і стійкість рішення задачі (3,2) - (3,5) за початковими даними і правої частини.

    Нехай і (х, Ь) - рішення задачі (1.1) - (1.4), у (ХГ,) = у \ - рішення різницевої задачі (3,2) - (3,5), Для оцінки точності різницевої схеми (3, 2) - (3,5) розглянемо різницю = у1 - и1; гДе и1 = і (ХГ, tj) | Тоді, підставляючи у = х + і в співвідношення (3.2) - (3.5),

    г

    А ^ = ^ (ф ^) + + Комерсант? ^} + Комерсант + Х + 1 ^ - Е? {^ К + Ф3, (3.28)

    х х в = 0

    коа1 + АЩ + а (цгх, о) = ^^ + 0.25 ^ 0 ^ + Г ^ А ^ го - і'1е шт, (3.29)

    м

    - (кмамг ^ м + А ^. + А И)) = Р21 + 0.5к ^ К + $ 22А ^. + АГМ - щ, (3.30)

    {= Про

    г (х, 0) = 0, х е шн, (3.31)

    де Ф = О {кг2 + т2 ^, Й1 = О {кг2 + т2), й2 = О {кг2 + т2) - похибки апроксимації диференціальної задачі (1.1) - (1.4) разностной схемою (3,2) - (3, 5) в класі вирішенні і = і (х, Ь) завдання (1.1) - (1.4).

    Застосовуючи апріорну оцінку (3.27) до вирішення завдання (3.28) - (3.31), отримуємо нерівність

    до * ^ 1 <м ^ (\ [ф5 "] \ о ++, (3.32)

    де М - позитивна постійна, яка не залежить від до і т.

    З апріорної оцінки (3.32) слід збіжність рішення різницевої задачі (3,2) - (3,5) до вирішення диференціальної задачі (1.1) - (1.4) в сенсі норми \ [^ + 1] \ ^ ^^ на кожному шарі так , що існує таке т0, що при т ^ т0 справедлива оцінка

    \ [УШ - П3 + 1] \ 2Щт ^ М (к2 + г2).

    д (ді \ д (ді \ ді /

    д ° ьі = дх Vк (Х} г) А.Х) + д ° ьдх (Г] (х) ех) + г (х, г) А.Х у0 д (Х} г) і (Х} ^ +

    Слідство 1. Отримані в даній роботі результати справедливі і в разі, коли рівняння (1.1) має вигляд:

    д Л,, Діл пп д (. .ді \ г1

    ) - I + да.-I п (х) - I ,

    ио

    про <х<1, про <г <т,

    якщо, вимагати виконання умови | д | ^ с2.

    4. Постановка крайової задачі для вироджується

    псевдопараболіческого рівняння з нелокальним лінійним

    джерелом

    У замкнутому циліндрі QT = {(х, Ь): 0 < х < I, 0 < ? < Т} розглянемо наступну нелокальну крайову задачу

    даї = х ^ I Іє) + 1х (х ^ '(х) дх) + гдх- [ «(° | м | ^ +? (х'1)-

    0 <х<1, 0 < ?<Т, (4.1)

    Иш ХТП (х, Ь) = 0, 0 <г<Т, (4.2)

    -п (/, г) = р! (1) і (1, г) +, г) -0 <г<т, (4.3)

    і (х, 0) = в.о. (х), 0 <х < I, (4.4)

    де 0 < т < 2.

    При х = 0 ставиться умова обмежене! І рішення | і (0,?) | < то, яке еквівалентно умові (4,2), рівносильному в свою чергу тотожності П (0, b) = 0 [25, с, 173], якщо (0,), (0,), (0,), (0 ,)

    5. Апріорна оцінка в диференціальної формі

    Отримаємо апріорну оцінку методом енергетичних нерівностей, для цього помножимо рівняння (4,1) екалярно на ХТИ = хт (і + д ^ і):

    (д&щхті) = {[хтИх) х, і) + (д «{ХТГ] їх) х, і) +

    + (Гих, ХТІ) - (I ді (1в, ХТІ) + ^, ХТІ). (5.1)

    про

    Беручи до уваги перетворення (2,2) - (2,7), з (5,1) після нескладних перетворень знаходимо

    11 Г1 1

    -дт \\ х + (до + ф)) д «(х 2іх) ЧХ + зі \\ х% їх \\ 1 + - № г ^ і \\ 1+

    + З \\ даих2іх \ 0 ^ хтіп (х, 1) 10 + ХТИ \\ 0 + \\ хтіх \\ 0) + М8 \\ х \\ о. (5.2) Оцінимо перший доданок в правій частині (5,2), тоді маємо

    ХТИ п (х, г) | 0 = г (і (1, г) + д&і (1, г)) п (1, г) =

    = I т (і (1, г) + д&і (1, - р1 ^) і (1, г) - &(Г) даї (1, г)

    = Iті (1, г) ц (г) + Гц (г) д&і (1, г) - Гі2 (I, г) ^) - гр1 (ь) і (1, г) д&і (1, *) - I т / з2 (г) і (1, г) д «і (1, *) - г / з2 (Ши (1, ^) 2 ^ -т&Ш

    Iт& (^

    да ", 2п 4 \ I 1 + \\ 2 I Л / Т I І ™ 2? ^! | 2

    -д * і 2 (1, *) + і (1, г)) 2 + М9 (\\ х 2 і || 2+

    2

    + || s ^ їх \\ 2) + Mwfa (t) < - ,t)) 2 - ^ f ^ d ^ ii, t) +

    + Mg (\\ х -u || 2 + \\ х ЧіЛ2) + Mwfa (t). (5.3)

    З огляду на (5,3), з (5,2) знаходимо

    дол * fUI0 + i (до + ф)) д&(Х ^ ux) 2dx + \\ хтіх \ Ц + \\ д «ХТИ || 0 + Jo

    + \\ тих \ Ю < Mn \\ х-u || ^ + M12 ^ | х \\ 0 + to (tj), (5.4)

    -а 0t ,

    де \ \ х 2 u || 2wim) = \\ ХТИ \\ 0 + \\ х2іх \\ 2.

    Застосовуючи до обох частин нерівності (5,4) оператор дробового інтегрування Д знаходимо

    \ \ Х-uI w2im + да (\\ х ти + х \\ про + \\ да<х -іц 0 + \ № -і, х \ ю) ^ ^ M ^ -ta \\ х-u || 2wim + Mi5 ^ -ta (\\ х \\ 2 + vl (t)) + \\ х fU0 \\ 2wim). (5.5)

    На підставі леми 2 з (5,5) отримуємо шукану апріорну оцінку

    \ \ Хт і \ 2wim + д - * (\\ х fux \ ю + \\ дах-й ​​\\ 2 + \\ дах-их \ ю) ^

    '(Д -? (\\ х \\ 20 + l4 (t)) + \\ х-і0 (х) \\ 2WH0 ^

    ^ Щ І-ГИ \ ХТ / 112 + ^)) + \ 1 * ТЩ (х) \\ ^ (5.6)

    де М - позитивна постійна, що залежить тільки від вхідних даних задачі (4.1) -р

    (4,4), 0-ай = гГ) I {г-т) 1. лробньпиж ич рал Рн.мана-- 1нуг, н. ия порядку а, 0 < а < 1.

    Теорема 3. Якщо до (х, Ь) е С1,0 (((т), г] (х) Е С1 [0, I], г (х, Ь), д (х, Ь),? (Х , г) Е С (((т), і (х, Ь) Е С2 '° ((т) ПС1,0 ((т), ДГІ (х, Ь) Е С (((т) і ви / заповнені , умови (1.5), тоді для вирішення завдання (4-1) ~ (4-4) справедлива завжди апріорна, оцінка (5.6).

    З апріорної оцінки (5,6) слідують єдиність і стійкість рішення за початковими даними і правої частини в сенсі норми

    i i х Ті || 2 = \\ х Ті || ^ + Дот (|| х Тиж \\ 2 + \\ ДГХ Ті || 2 + i \ ДГХ Тих \\ 2).

    6. Стійкість і збіжність різницевої схеми

    На рівномірної сітці ш ^ т диференціальної задачі (4.1) - (4.4) поставимо у відповідність разностную схему порядку апроксимації 0 (Н2 + т2):

    -1 7 _ ^

    = Х + - (хГ_0.5'У ,, г) Х + ^ (х ^ 'Ї) +

    {ХГ + 0.5а1 + 1 Ух, 1) - а "* У * 'п + Щ

    «= 0

    + ^ (Х + 0 ^ + 1 У%) -? diy ^ h + ri, (х, t) Е uhiT (61)

    х А \ 'г.

    1 +5 = 0

    K0aiу {; 0 + так ^ ('ysfl) = (Ааоь + сгУ0 + 0.5hd0y0a)) - fa, (6.2)

    N

    -хмаму ^ - A<at] + "(lNVi>N) = № + ° .5h E + ^ t ^ Розум - fa, (6.3)

    у (х, 0) = щ (х), х Е Uh, (6.4)

    де

    З1 = КР1),? 32 = Кр2 + 0.5к,? 11 1

    0.5к

    до =

    0.5Цго1 (т + 1) к1 + °

    1+

    якщо г0 + а ^ 0,

    т

    Хм =

    (Р0,? 2 = Х ^ з + а) + 0.5к ^ м,

    1

    , якщо г3] + а > 0

    1+

    ОЩг ^ |

    км-0.5

    г = г + + г, | г | = Г + -р, р + = 0.5 ^ т + | г | ^ > 0, г = 0.5 ^ т - | г | ^ ^ 0,

    до (ХГ-0.5, &+ А), 7г = Г] (х ^ 0.5), Ь,

    Л

    !

    -?] + А

    г ,

    ХгЦ Л + а, г = 0, М,

    1 = 1 +

    хГ

    1 = 1, N - 1,

    ,

    0.5кт

    -'г

    - ± 3 + а

    і + а:

    ^ г

    {

    -] + а ХгЩ ,

    - 1,

    д] + а, г = 0 ^,

    До

    1

    \ 0.5h, г = [к, г = Т,

    0,

    1

    0.5Нт I

    Х; =

    1N - 1, 1

    1 + Пг:

    Х;

    т (т - 1) до

    24 х2

    І

    0Щ Г ^ ХГ кг-0.5

    Знайдемо апріорну оцінку методом енергетичних нерівностей, для цього перепишемо (6,1) - (6,4) на операційному вигляді

    ХА «+ Ау = Л (I] + а) у (а) + 6У + *,

    У (х, 0) = щ (х),

    (6.5)

    (6.6)

    де

    х =

    I

    ХГ, х Е Шн,

    1, х = 0, ,

    ХА

    т (т - 1) до

    24 х2

    5уг = Ам, + (Т (хт- 0.5 7гУх, г) х, (х, $ Е

    1 д а (г-т

    х ™ АЩ + *

    Ху = {Ь-У0 = (71 Ух, о), х = 0

    Аа

    н

    л (г] + а) уа =

    Розум = -н (Ааь + а (7мУх, м) + Х32Ащ + Аум), х = I. А () у \) = -т (ухТ-0.5 ^ Ух}) ^ + ^ -т {ХТ-0.5 ^ +

    + Х ™ \ хт-0.5А {+1 Ух Л -? ^ Ув

    г У 'з = 0

    Л-у0а) = Ш (х0а1 у {: 0 - 0И ^), х = 0,

    / М \

    до + У ™ = Н (кмамУ (ха) м + 31 розум + 0.5к?? {у ^ К) = I.

    = <?г, (х, 1) Е ШНт,

    V- = Ш1! ^ Х = 0, ч>+ = Ооk ^ 12, х = I.

    Помножимо тепер (6,5) екалярно на ХТУ = ХТУ + хтА.аг. + (Ту:

    (ХАа0Ь + "у, ХТУ

    )

    ] + А) У {а), хт у

    +

    хт Х

    + Ф, ХТУ

    (6.7)

    де

    2 ^ 2 \ 0.5h, г = 0 ^

    (І, V \ = у мул ^ ЦК, і | 0 = > і. К, К = < V > \ Г г 1 ^ ^ \ к, г = 0, К

    г = 1 г = 1

    (хаа

    К у, ХТУ

    =

    Хаа ^ у, ХТУ (а)

    + (ХАаог ^ У, хтАа] + Ау

    >

    з

    а

    Х -а ^ '' ™ 4 2-1

    > , (Х - у) 2 + (- Х, (А «^ (х ред

    (6.8)

    а), ХТУ

    а) ХТТ!

    +

    у) + 0.5кЛ + у ^ хтум = (х (х ™ 0.5 агуХа)) х, у) +

    г

    + ('- (хт-0.5А] ух)), у) + (ь + (хт + 0.5А] +1 У ^), у) - (? ^ У ^ К ^ ту) -

    = 0

    м

    -хтУм (уХмаму ^ м + 31 Розум) + 01) до? ^ 1У?) К) = - (хт-0.5агУ {° \ (ху) - +

    в = 0

    г

    {Т- (Хтагух ^)), у) + (ь + хт + 0.5А {+1, у ^ Х) - (^^ у ^ К, ХТУ) - ^ ур Розум -

    «= 0

    м

    х

    тт

    хм - хм IУмХмамУ (х1 - хт5х0а1 Уха0У0.

    ьм0.5кУм У]

    Перетворимо складові в правій частині (6,9):

    - (Хт-0.5агУ (ха), (ХУ) х = - {хт-0.5агУ (ха), ХХУ + х (-1) У.

    - (Хтаух-А&^ у

    (6.9)

    -(Хтау-а), х-у (а)

    т (а) (-1) (а)

    х а двох, х () ух

    хтау {х \ х (-1) Ааь + Ау-х

    <

    < е \\ А&+ .Х2уШ + М {(\\ х2у (а)] | 0 + \\ х2

    1

    1 + до М2

    хтая, (у ^) 2

    1

    хтах, А ^ у2, ^ еЦАЬ + .х2у] 120+

    13 + &

    2 (1 + км2)

    + М! (\\ х2у (а)] 120 + \\ х2 ^ Ш) - Моз \\ х2 ^] | 2 - МААО + а \\ х2Ух] 12о. (6.10)

    (Б-(ХТА] у ^)), ^ + (ь + хт + 0.5А (+1), у ^ Х) = (ь-Хтаух \ у (а)) + + (Коммерсант-Хтаух \ Аа ^ у ) + (ь + хт + 0.5А (+1) у ™, у (а)) + (ь + хт + 0 ^ у (х), а *, + ау) ^

    ^ Е \\ Ай, + "х2 УШ + М! (\\ х2 у (а% + Цх * ^ Ш). (6.11)

    г м г

    (? ^ У ^ К, ХТУ) - З ^ Аум - хт0.5кХм? ? 1У (3а) К = - (? ^ У ^ К, ХТХ

    в = 0

    = 0

    в = 0

    ЬхтуЧрХм ^ - (? <рові (а) п, ХТУ (а)] - (у * 1У (а) К, хтАа ^ у \ -? 1хт (У (м]) 2 ​​= 0

    = 0

    З ^ ту ^ Аа ^ Розум < е ^ Аа ^ х2 У] ю + ^ (а ^ Розум) +

    + Мб ^ (\\ х2у (а)] 10 + \\ Х2уЩ.

    (6.12)

    З огляду на (6,9) - (6,12), з (6,9) отримаємо

    а), ХТУ

    < е1 \\ А&^ Х2у] Ц + ЦА ^ розум) +

    (А) 2

    + М.7 (\\ х2у (а)] 120 + \\ Х2у ^ Ю) -МЗ \\ Х2 ^ -М4Аи3 + а \\ х2Ух] | 0 + (хт - хт) УмХмамУ (хм - хт5Х0а1 У ^ АУ0 . (6.13)

    (Бу, ХТХ] = (бу, ухт) + 0.5кхтУм5 + Розум = (Ааь + а (Хст7у-) х, у) +

    2

    + 0.5Нх ^ ум8 + розум = - (А ^ з + сгхт7Ух, Ух + х ^'м розум А&з + а двох, м- -ХГ ^ ум'мА ° ь + аух, м - розуму ° ь + аум - х ^'ХоАщ + а (щух, о).

    (6.14)

    Перетворимо складові в правій частині (6,14):

    І

    - (А ^ + сХт1У "АГ + су.

    Ч + з

    <

    0

    ^ - ^ АЩ + з \\ х ^ вже - З \\ А ^ + сХтуЖ

    З + з

    -до ^ Розум АГ + з розум = 5 * 02 ГКУ ^ А ^ + з Розум -% 02х% {А&+. Розум) З огляду на (6,15) і (6,16), з (6,14) отримаємо

    (6.15)

    (6.16)

    ,

    хт у

    з 2

    < --А&.. \\ хТуЖ - зі! \ Ааоі + ахТуЖо - хм) розуму * Иу ,, м) -

    Ю ~ о1 | -о1з + з

    2

    х ™ 5уоАТь + с (ред У., о) - до ^ х ^ АГ + с (Розум) 2 - ^ з + з розум)

    + З 2

    (6.17)

    Ф, ХТУ \ = (р, ХТУ) + 0.5', х ™ УМР = [р, ХТУ) + х ^ 112ум =

    = (Р, ХТУ ^ + (р, ХТА ^ + су) + х ^ Розум ^ 61 ЦАГ + ХТУ] Ц +

    + М11 (|| х Т у ^ Х + \\ х Т у ™] | 2) + М! 1 \\ х ТІ12 + х ^ 2 Розум. Беручи до уваги перетворення (6.8) - (6.18), з (6,7) отримуємо

    ,(Х Т у) 2} + МюА-з + з \\ х Т У,] Ц + М3 \\ х Т уИ] 12+

    (6.18)

    До АГ

    2 '° З + з'

    + (К, (А ^ + с (ХТУ)) 2] + зі \\ А&+ ХТУ,] 12 + 02хмАаоь + с (Розум) 2+ + 02х ^ А + сум) 2 ^ е1 \\ АаИ] + ахТу] Ц + Ца ^ Розум) \

    + (Хм - хм) (хмаму ^ м + АИз + с (1мУа, м ^ Розум - х ™ 5Уо (коа1? 2 + А °. + А ('1 Ух, о)) +

    + М8 (е 1) \\ х ТрГо + х ^ 2УМ + Мц (е 1, е 2) (\\ х Т у ^ Ц + \\ х Т у ^ о). (6.19) Розглянемо третє, четверте і шосте складові в правій частині (6,19)

    хм - хм) (* маму? м + аи + а (1мУх, м ^ Розум - х ™ .5Уо (коа1 у (х, про + АЩ + с ('Ух, о)) + хм ^ 2УМ =

    мУоШ

    I I ~ гп ™ т

    + \ Хм хм

    0.5к

    т + 1

    АГЗ + з Уо + 0.5ИIоУ ^ о) +

    Розум [р-2 - 01 У [м] - 02Аи + а розум) +

    + хм&2УМ = хо.5У {оа) {ч + х ™ .ф1Ат + а Уо -

    0.5к

    т + 1

    х ™ 5У {а) АоЬ + Суо - АШз + АУО У-

    2

    ^^ - хК.ьуР'уР - ^^ ХКА ^ АГЗ + .Уй + хмуриться ^ + хм ^ А ° т + з розум-

    т + 1

    т + 1

    - (х% - х ^) ШМ) 2 - (х% - х%) Р1 у ^ АГ + з розум - - х ^ УЧР ^ АГ + з розум-

    - хм - х $) АГгз + СУМ) 2 < ^ (Ог + Суо) '+ ^ (Розум)' + М? "(?? 2 +?%) +

    2

    -т "т

    2

    + М1

    13 V \\ ХТУ (а% + (х1У0) 2 + \\ х2уЩ -

    Х0.5А (Нз + а У0

    - хХмт - х м

    \ §2

    0.5к

    УАА% + ст (пом) 2-У0) - (хт-хт) Х2 (Ааь + "розум). (6щ

    1

    - з 2,? 2

    ^ ХЩ _ = НХ% 5 2, Ь 3 4 (т + 1)

    с4 - (хм хм) 2

    (Х, А ^ (Х2у) 2] + МюА «^ \\ Х2у-] Ц + Мз \\ Х2у ^ Ш + (Х, (а ^ (х2у))

    2п

    +

    + С0 \\ Ааь + ах 2 вже + -4 (т

    до

    Хо.5 Уо + 1 2

    0.5к

    1 | 2, до "т так" 2,1 Х32 ^ т, [-т "т \? 2 \ да (" \ 2

    у0.5 '

    2 'Х? 2 _ т

    хт + № -хт) у) (У м) 2+

    (А ^ Розум) 2 ^ М14 \\ х + М15 [Ц + Х2) + М16 [\\ х2 уа] | 2 + \\ Х2 у ^ + (х15У0) 2). (6.21)

    2 {т + ^ (а ^, У0) 2 + [Х32хт + {Хт - хт) (а ^ Розум) 2 ^ Мі \\ х2 і \ 0 +

    Перетворимо перший, четверте, сьоме і дев'яте складові в лівій частині (6,21) з урахуванням

    х

    > 1Х м-0.5 > 6Хм

    'Х. а. т

    у, (х 2

    (

    + (До, (а ^ (х 2 у)) 2] + (

    + I хт + (хт - хт о) А ^, (та) 2+

    + I ^ х '

    2

    хт -хт) Ф) розум

    0.5к

    (Х, (хЧу) 2) + ^ ХТА-а, ^ (та) 2 + (до, (* а1н. (ХЦ) +

    0.5к

    +

    А01 + а (пом 2 'Х32

    2

    + {Хт -хт) (У м) 2+

    хт (А&,+ А розум) 2 + ^

    (Х ^ хт + (хт - хт) §) розум) 2 = (|, а * +. (Х2у) 2) +

    + (Х, (х2 у)) '2) + (Х, 32 хт + -

    0.5к N. -Гхт) А

    м] А0 ^ + а (Розум

    (М) 2 +

    +

    + КХТ (Ааь + "розум) 2 > -?ь? аь + "(х2 у) 2) + 01кхт Аа ^ (пом) 2+

    ХЗ:

    0.5к

    ТХ ™ х

    2 хт + 2 хм до

    А

    ь] +<? М17

    2 М17

    розум) 1 (х 2 у) 2)

    2

    +

    + До хт Аач +, (Розум) 2 + М77 (г, (а! ^ (Х%))) +

    2 1 4

    0.5к

    1

    +1

    (1, (Аа, + (х2 ') + 0§хт (у «) 2 >

    > їх f|?,] | 2 + 1 \\ Аа, н, х Чу]! 2

    0

    (6.22)

    де

    М

    17

    1, т = 0, т 1,

    1, якщо т Е (0,1), до < до0 = .

    2

    2

    З огляду на (6,22), з (6,21) отримуємо

    АГЗ + з \\ хТуШ + \\ ХТЛ + \\ А&+ АхТу] 120 + \\ А&+ АхТу, Щ ^

    ^ М18 \\ ХТУ ^ Ц + М19 (\\ хтрГо +? 2 +? 2), (6.23)

    (Т \ 2

    хо25Уо) .

    Повторюючи міркування (3,18) - (3,27), з (6,23) знаходимо шукану апріорну оцінку

    \\ ХТУ>+% ^ М ^ \\ хТуо] Ц + ти (\\ хТЩ \\ 2 +? 2 +? 2) ^ 1, (6.24)

    де М - позитивна постійна, яка не залежить від до і т.

    Теорема 4. Нехай виконані умови (1-4), (4-5), тоді існують такі то, ко, що якщо, г ^ то, до ^ ко, то для вирішення різницевої задачі, (6.1) - (6.4) справедлива , завжди апріорна, оцінка (6.24)-

    З апріорної оцінки (6,24) слідують єдиність і стійкість рішення задачі (6,1) - (6,4) за початковими даними і правої частини.

    Нехай і (х, Ь) - рішення задачі (4,1) - (4,4) у (х ^,) = у3 - рішення різницевої задачі (6.1) - (6.4). Для оцінки точності різницевої схеми (6.1) - (6.4) розглянемо різницю = у1 - і ^, де і3 = і (ХГ,). Тоді, підставляючи у = х + і в співвідношення (6.1) - (6.4),

    KA0tj + = хт (хГ1-0.5а: '^ х ^ + 1 A0tj + a (ХТ-0.51ггх, А) х + - (ХТ-0.5 aizi, i) +

    {Х + 0 ^ + 1? 1) -? + Щ, (х, t) Е Uh, T (6.25)

    s = 0

    z ^ + '0) = -у (л ^ Z0 + 0.5hd0z0a)) - h, (6.26)

    j + n V / m + 1

    N

    -xNaNz ^ N - Aatj + a (bNz ^ N) = $ 1 zP + 0.5h E diz (^ h + Дд ^ zn - Щ, (6.27)

    s = 0

    г (х, 0) = 0, хе Uh, (6.28)

    де ЦхФ \ 0 = 0 (h2 + т2), Й1 = 0 (h2 + т2), v2 = 0 {h2 + т2) - похибки апроксимації

    і =

    і (х,)

    (6.24)

    ство

    \\ хтz3 +% ^ M max (\\ хтЩ? \\ 2 + і 2, +, (6.29)

    \ /

    M- h

    Звідси випливає завжди апріорна оцінка

    \\ хZJ + 1] I2 ^ M max. (ЦХЩ ^ \\ 0 + і? + Л (6.30)

    V /

    де M- позитивна постійна, яка не залежить від h і т.

    (6.30)

    до вирішення диференціальної задачі (1.1), (1.2), (4.1), (1.4) в сенсі нор ми \\ х на

    кожному шарі так, що якщо існують такі r0, h0, то при т ^ r0, h ^ h0, справедлива завжди апріорна оцінка

    \\ х (у3 + 1 -u3 + 1)] h ^ M (h2 + т2).

    Слідство 2. Отримані в даній роботі результати справедливі і в разі, коли рівняння (4-1) має вигляд:

    * І = «!) +?) +

    ді [1

    + Г (х, 1) --- д (х, Ь) і (х, Ь) йх + / (х, Ь), 0 < х < I, 0 < Ь<Т,

    д х 0

    якщо, вимагати виконання умови | д | ^ с2.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Нахушев A.M. Дробове обчислення і його застосування. Фізматліт. М. 2003.

    2. Учайкін В.В. Метод дробових похідних. Видавництво «Артишок». Ульяновськ. 2008.

    3. В.В. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. New York. 1982.

    4. Беглі P.Л., Торвік П.Дж. Диференціальне числення, засноване на похідних дробового порядку, - новий підхід до розрахунку конструкцій з в'язкопружним демпфуванням // Аерокосмічна техніка. 2: 2, С. 84-93, (1984).

    5. Федер Е. Фрактали. М. Світ. тисячу дев'ятсот дев'яносто один.

    6. динар О.Ю. Фільтрація в тріщинуватої середовищі з фрактальної геометрії тріщин // Изв. АН СССР.сер. МЖГ.1990. 5, С. 66-70.

    7. Нігматуллін P.P. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phvs. Status solidi. B. 133, 425-430, (1986).

    8. Кочубей О.Ю. Дифузія дробового порядку, // Дифференц. рівняння. 1990. 26, С. 660-670.

    9. Чукбар К.В. Стохастичний перенесення і дробові похідні // ЖЕТФ. 1995. 5:11 С. 18751884.

    10. Баренблат Г.І., Желтов Ю.П., Кочина І.І. Про основні уявленнях теорії фільтрації однорідних рідин в тріщинуватих породах // Прикладна математика і механіка. 1960. 25: 5. С. 852-864.

    11. Дзекцер Е.С. Рівняння руху підземних вод з вільною поверхнею в багатошарових середовищах // ДАН СРСР. 1975. 220: 3, С. 540-543.

    12. Hallaire M. Ефективний потенціал води, при висиханні грунту // Термодинаміка грунтової вологи, Гидрометеоиздат, Л., (1966).

    13. Нерпіна C.B., Чуднівський А.Ф. Енергію й массообмен в сістемепочва рослина-повітря. Гидрометеоиздат, Л., 1975.

    14. P.J. Chen, М.Є. Curtin On a theory of heat conduction involving two temperatures // Jornal Angew. Math. Phvs. 1968. 19, P. 614-627.

    15. R.E. Showalter, T.W. Ting Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. 1: 1, P. 1-26.

    16. Соболєв С.Л. Про одну нової задачі математичної фізики // Изв. АН СРСР. Сер. матем. 1954. 18: 1, С. 3-50.

    17. Свєшніков A.A., Алинін А.Б., Корпусов М.О. Плетнер Ю.Д. Лінійні і нелінійні рівняння Соболевського типу. Фізматліт, М. 2007.

    18. Шхануков М.Х. Про деякі крайових задачах для рівняння третього порядку, що виникають при моделюванні фільтрації рідини в пористих середовищах // Дифференц. рівняння. 1982. 18: 4, С. 689-699.

    19. Водахова В. А. Про одну крайової задачі для рівняння третього порядку, з нелокальним умовою A.M. Нахушева // Дифференц. рівняння. 1983. 19: 1, С. 163-166.

    20. Бештоков М.Х. Про чисельному рішенні нелокальної крайової задачі для, вироджується псевдопараболіческого рівняння // Дифференц. рівняння. 2016. 52:10, С. 1393-1406.

    21. Бештоков М.Х. Різницевий метод рішення нелокальної крайової задачі для, що вироджується, псевдопараболіческого рівняння третього порядку, зі змінними коефіцієнтами // ЖВМ і МФ. 2016. 56:10, С. 1780-1794.

    22. Бештоков М.Х. On a non-local boundary value problem, for the third order pseudo-parabolic equation // Computational Mathematics and Modeling. 2016. 27: 1, C. 60-79.

    23. Бештоков М.Х. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation // 11th International Conference on "Mesh methods for boundary-value problems and applications" IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 158, * 2016, 012 019 doi : 10.1088 / 1757-899X / 158 / l / 012019.

    24. Бештоков М.Х. Диференціальні і різницеві крайові задачі для навантажених псевдопараболіческіх рівнянь третього порядку, і різницеві методи їх чисельної реалізації // ЖВМ і МФ. 2017. 57:12, С. 2021-2041.

    25. Бештоков М.Х. Локальні і нелокальних крайові задачі для, вироджуються, і неви, які народжуються, псевдопараболіческіх рівнянь з дробової похідної Рімана-Ліувілля // Диф-ференц. рівняння. 2018. 54: 6, С. 763-778.

    26. Н. Caputo Lineal model of dissipation whose Q is almost frequency independent // II Geophvs J. Astronom. Soc. 1967. 13, P. 529-539.

    27. Герасимов A.H. Узагальнення лінійних законів деформації і їх додаток до завдань, внутрішнього тертя // АН СРСР. Прикладна математика та механіка. 1948. 12, С. 251-260.

    28. Алиханов А.А. Апріорні оцінки розв'язків крайових задач, для, рівнянь дробового порядку, // Дифференц. рівняння. 2010. 46: 5, С. 658-664.

    29. Самарський А.А. Теорія різницевих схем. М .: Наука. тисячу дев'ятсот вісімдесят три.

    30. A.A. Alikhanov A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2015. 280, P. 424-438.

    31. D. Li, H. -L. Liao, W. Sun, J. Wang and J. Zhang Analysis of Ll-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear parabolic problems // Commun. Comput. Phvs. 24:86 (2018).

    Мурат Хамідбіевіч Бештоков,

    Інститут прикладної математики і автоматизації КБНЦ РАН, ул.Шортанова, 89А, 360000, м Нальчик, Росія E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.


    Ключові слова: КРАЙОВІ ЗАВДАННЯ /апріорно ОЦІНКА /Рівняння вологоперенос /ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ дробового порядку /Дробове ПОХІДНА ГЕРАСІМОВАКАПУТО / /BOUNDARY VALUE PROBLEM /APRIORI ESTIMATE /EQUATION OF MOISTURE TRANSFER /DIFFERENTIAL EQUATION OF FRACTIONAL ORDER /GERASIMOV-CAPUTO FRACTIONAL DERIVATIVE

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити