В роботі методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянута крайова задача магнітоелектроупругості для плоскої анізотропного середовища, ослабленою тріщинами досить довільних конфігурацій. Побудовано точний розв'язок для випадку довільно орієнтованої прямолінійною тріщини в платівці. Отримано асимптотичні подання польових величин в околиці вершин розрізів, з використанням яких виведені формули для коефіцієнтів інтенсивності механічних, електричних і магнітних величин, а також потоків енергії в вершинах тріщин.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Фільштінській Л.А., Носов Д.Н., Єременко А.А.


THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM OF FRACTURE MECHANICS OF NEW MAGNETOELECTROELASTIC MATERIALS WEAKENED BY CRACKS

In the paper the boundary-value problem of magnetoelectroelasticity for plain anisotropic medium weakened by cracks of rather arbitrary configurations is considered by the method of singular integral equations. Exact solution was constructed for the example of arbitrarily oriented rectilinear crack in the plate. The asymptotic representations of the field quantities in the vicinity of crack tips were obtained. Then using the latter formulae for intensity factors of mechanical, electrical, and magnetic magnitudes and crack tip energy fluxes were derived.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'КРАЙОВА ЗАВДАННЯ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ НОВИХ МАГНІТОЕЛЕКТРОУПРУГІХ МАТЕРІАЛІВ, ОСЛАБЛЕНИХ ТРІЩИНАМИ'

    Текст наукової роботи на тему «КРАЙОВА ЗАВДАННЯ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ НОВИХ МАГНІТОЕЛЕКТРОУПРУГІХ МАТЕРІАЛІВ, ОСЛАБЛЕНИХ ТРІЩИНАМИ»

    ?УДК 539.3

    Л.А. ФІЛЬШТІНСЬКІЙ, Д.Н. НОСОВ, А.А. ЄРЕМЕНКО

    Сумський державний університет, Україна

    КРАЙОВА ЗАВДАННЯ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ НОВИХ МАГНІТОЕЛЕКТРОУПРУГІХ МАТЕРІАЛІВ, ОСЛАБЛЕНИХ ТРІЩИНАМИ

    В роботі методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто крайову задачу магнітоелектроупругості для плоскої анізотропного середовища, ослабленою тріщинами досить довільних конфігурацій. Побудовано точний розв'язок для випадку довільно орієнтованої прямолінійною тріщини в пластинці. Отримано асимптотичні подання польових величин в околиці вершин розрізів, з використанням яких виведені формули для коефіцієнтів інтенсивності механічних, електричних і магнітних величин, а також потоків енергії в вершинах тріщин.

    Ключові слова: магнітоелектроупругая (МЕУ) понеділок, тріщина, інтегральні уявлення польових величин, сингулярні інтегральні рівняння, коефіцієнти інтенсивності механічних, електричних і магнітних величин, потоки енергії в вершинах.

    Л.А. ФІЛЬШТІНСЬКІЙ, Д.М. НОСОВ, Г.А. СРЕМЕНКО

    Сумський державний ушверсітет, Укра1на

    КРАЙОВА ЗАВДАННЯ МЕХАН1КІ руйнування НОВИХ МАГН1ТОЕЛЕКТРОПРУЖНІХ МАТЕР1АЛ1В, послаблення ТР1ЩІНАМІ

    У роботi методом сингулярних ттегральніх рiвнянь Розглянуто Крайову задачу магнiтоелектропружностi для плоского ан1зотропного середовища, ослаблених трiщінамі Досить довшьніх конфiгурацiй. Побудовали Точний розв'язок для випадка довшьно орiентованоi прямолттног трщіні в пластінi. Отріманi асімптотічнi Подання польових величин в околi вершин розрiзiв, з Використання якіх віведенi формули для коефiцieнтiв iнтенсівностi мехатчніх, електричних i магнтніх величин, а такоже потоюв енергії в вершинах трщін.

    Ключовi слова: магнтоелектропружне середовище, трщіна, iнтегральнi Подання польових величин, сінгулярнi iнтегральнi рiвняння, коефщенті iнтенсівностi мехатчніх, електричних i магнтніх величин, потоки енергії у вершинах..

    Ь.А. FILSHTINSKII, D.M. NOSOV, H.A. EREMENKO

    Sumy State University, Ukraine

    THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM OF FRACTURE MECHANICS OF NEW MAGNETOELECTROELASTIC MATERIALS WEAKENED BY CRACKS

    In the paper the boundary-value problem of magnetoelectroelasticity for plain anisotropic medium weakened by cracks of rather arbitrary configurations is considered by the method of singular integral equations. Exact solution was constructed for the example of arbitrarily oriented rectilinear crack in the plate. The asymptotic representations of the field quantities in the vicinity of crack tips were obtained. Then using the latter formulae for intensity factors of mechanical, electrical, and magnetic magnitudes and crack tip energy fluxes were derived.

    Keywords: the magnetoelectroelastic medium, crack, integral representations of the field quantities, singular integral equations, intensity factors of mechanical electrical and magnetic values, energy fluxes in tips.

    Постановка проблеми

    У зв'язку зі створенням нових керамічних, зокрема магнітоелектроупругіх матеріалів, отриманих спіканням рідкоземельних елементів (Terfenol-D), на початку XXI століття виник новий напрям в механіці - електромагнітоупругость. Отримані нові матеріали володіють багатьма чудовими властивостями, зокрема гігантської магнітострикції, проте страждають значним утворення тріщин в процесі експлуатації. У зв'язку з цим виникає необхідність в розробці механіки руйнування таких матеріалів, ослаблених тріщинами.

    Розглянемо віднесену до декартовій системі координат Ox \ x2 нескінченну МЕУ платівку

    ослаблену тріщинами Гу (j = 1, n). Будемо вважати, що Гу ляпуновском дуги і (Л Гу = О). На нескінченності задамо рівномірні поля механічних напруг і у, а також компоненти

    електричної та магнітної індукції, 02 і Б \, Б2, а на берегах тріщин рівномірний розпирає тиск ру (рис.1).

    Мал. 1. Пластина з тріщинами під дією рівномірних фізичних полів на нескінченності

    Завдання полягає в побудові алгоритму, що дозволяє визначити поля в пластині і характеристики руйнування в вершинах тріщин.

    Аналіз останніх досліджень і публікацій

    Магнітоелектроупругіе (МЕУ) матеріали вперше були виявлені Ван Сухтеленом (1972 р) і Ван Раном (1974 р), які з'ясували, що феррит-сегнетоелектрічеськие композити володіють як п'єзоелектричний (ПЕ), так і п'єзомагнітних (ПМ) фазами, представляючи електромагнітний ефект сполучення. Далі дослідження в цій області були продовжені в роботах [1, 2, 3].

    Виклад основного матеріалу дослідження

    Постановка завдання та

    магнітоелектроупругості містить: - матеріальні рівняння [4]:

    метод

    рішення.

    математична

    Модель

    Е11 511 ^ 12 516 §11 §21 Р11 Р21 ° "12

    е22 s22 ^ 26 §12 §22 Р12 Р22 а22

    2е12 516 566 §16 §26 Р16 Р26 2ст12

    Е1 = - §11 - §12 - §16 вп в 12 v11 П2 А

    Е2 - § 21 - § 22 - §26 в 12 В22 П2 v22 А

    Н1 - Р11 - Р12 - Р16 П2 / 11/12 Б1

    Н 2 _ Р21 - Р22 - Р26 П2 v22 / 12/22 _ _ Б2

    двовимірної

    (1)

    | Диференціальні рівняння рівноваги, електро- і магнітостатики [5, 6]:

    д1 ^ 11 + д 2 ° 12 = 0,

    д

    д1 ° "12+ д 2СТ22 = 0 д к =

    дх

    до

    (К = 1,2);

    д 1?>1 + д 2 Б2 = 0, д1Б1 + д 2 В2 = 0, д1Е2 - д 2 Е1 = 0, д1Н2 + д 2 Н1 = 0; | Співвідношення Коші:

    єп = д ^, е22 = д2і2, 2е12 = ді + д2і1;

    умова спільності деформацій:

    д2е22 + д2еп = 25152е ^ .

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    До цих співвідношень необхідно приєднати відповідні механічні, електричні і магнітні крайові умови на кордоні тіла.

    ПРО

    В (1) - (5): Sij = Sij - коефіцієнти деформації, виміряні при постійних індукціях

    ПРО ПРО

    електричного і магнітного полів, §kj = §kj і РЩ = РЩ - п'єзоелектричні і п'єзомагнітних коефіцієнти деформації і напруженості, виміряні при постійних напругах і індукціях; ВК1 = вс, / к1 = / с і Vkl = vkkl - коефіцієнти діелектричної, магнітної і електромагнітної сприйнятливості, виміряні при постійних напругах; і = (и1, і 2) - вектор переміщення; з? у і еу - тензори напруги і деформації; і Б ^ - компоненти векторів електричної та магнітної

    індукції; Е ^ і Н {- електрична і магнітна напруженості полів. Комплексні уявлення польових величин [7]:

    {С11, с12, С22} = 2Яе? Ць-ЦклН (1, Цк) фк (гк),

    к = 1

    4

    КО2} = 2Яе? Цк, -1} А2 (1, ц) фк (ч), (6)

    до = 1 4

    {Б1, Б2} = 2Яе? Цк, -1} Аз (1, ^ к) Ф до (? К),

    к = 1

    {Е1, Е2} = 2Яе? {1, ЦФК (* к), {Н1, Н2} = 2Яе? {1, цКФк (* к), (7)

    к = 1 к = 1 4

    {Іьі2} = 2Яе? {Рк, Як} рк (гк), к = 1

    г = Х1 +? Х2,? к = Яе г + Цк 1т г, де Фк (гк) - аналітичні функції своїх комплексних змінних, характеристичні числа Цк, н н

    величини А у, ак і ак, Рк, Як задані.

    Крайова задача для магнітоелектроупругой пластинки з тріщинами

    Механічні, електричні і магнітні крайові умови на берегах розрізу Гт представимо в

    вигляді.

    х \ п = Р сов ^ Х ± "= Р ьту, Р = {Рт егт}, = ±, Б ± = бщ ± (8)

    Тут верхній знак відповідає лівому березі розрізу Гт (при русі від його початку ат до

    кінця Ьт), - кут між позитивною нормаллю до лівого берега і променем 0x1,,, Б ± -компоненти вектора напруги, нормальні компоненти векторів електричної та магнітної індукції на берегах розрізу.

    Крайові умови представимо у вигляді:

    2Яе? Кукакі (^) [фк] = 1 (/ = 1,4) ак И = Цксо ^ - я ^ к = 1

    2Яе? Яукак (^) (ф ++ Ф -) = +? /), (У = м), (9)

    к = 1

    де Яук - відомі комбінації матеріальних коефіцієнтів,? у - відомі праві частини.

    Для вирішення крайової задачі теорії функцій (9) скористаємося узагальненням формалізму, розробленого одним з автором в [8]. Комплексні потенціали Ф до (гк) представимо у вигляді узагальнених інтегралів типу Коші

    Фк (2К) = Ск + ^ Ь ^ *, (Ш)

    а = Яе ^ + Цк Іоп ^ ^ (С) 4кт) ШеГт} •

    Тут ds - елемент дуги в фізичній площині, С? - постійні які повинні забезпечити умови на нескінченності, а>? визначаються з крайових умов на Г і деяких додаткових умов.

    З використанням уявлень (10) крайові умови (8) зведемо до матричних сингулярного інтегрального рівняння:

    | К (С, С = п (З), З ЕГ, 1т д = 0, (11)

    Г

    до (С, З) = Яе ^^ о) я-1} д (с) = ис), Д2 (с), дз (с), д4 (з!,

    д = Яа, Я = || Яд |,

    О (С З) = \ а1 (^ о) А2 (уо) а3 (Уо) а4 (Уо) | 1 ^ 1 - С1 С2 - Со2 Сз - Соз С4 - ^ 04

    N (З) = {- р ОС8Уо - щ (З), - р 8туо - N2 (З), - N3 (З), в ° - N4 (З) [, (т + ^ БШ + +? І ° "

    q = (q (m), D ° = D- ± DnI, BS = -

    2 + 2

    Для замикання рішення залучимо умову однозначності переміщень електричних і магнітних потенціалів:

    J q (m) (C) ds = 0, (m = 1м). (12)

    Г

    m

    Асимптотика рішення в вершинах тріщин. Використовуючи вирази для асимптотики інтеграла типу Коші в вершинах розрізів [9], знаходимо головні асимптотики польових величин:

    fol ^ 12, * 22} = - 7 ^ Rfi iй "", 1>An (l, ^ kу * до + 0 (1),

    <2r до = 1 4

    у2} = -TT Rc I "k, -1} ^ 12 (1," k M + I

    до = 1 4

    52} = ^ Re I ( "k, -1} A13 (1," kM + 0 (1), (13)

    к = 1

    4

    i2} = Re I {1, "k W ^ k" +1

    'K = 4

    г2} = ^ = Re I (1, "kW ^ г? + 1

    k = 1

    Tkc = (± 11)) (cos0C + "k sin ^) - 2. (14)

    V ^ k (± 1)

    де верхній знак відповідає кінцю тріщини c = b, нижній - початку c = a.

    У механіці руйнування коефіцієнти інтенсивності механічних, електричних і магнітних величин в вершинах тріщин визначаються формулами [1,10]:

    ki = lim), kii = limy2nrTnS), kd = lim (V2nDn), kb = limУ2ППвп). (15)

    r ^ 0 r ^ 0 r ^ 0 r ^ 0

    Остаточно ці величини отримуємо у вигляді:

    Kl (21 (± 1) ° 0S ^ c +? 2 (± 1) sin ^ c}, KII 7 (71) {- 01 (± 1) sin Vc + Q2 (± 1) cos Wc}, (16)

    14

    {D1, D2} = - T = Re I { "k, -1} A12 (1," kM + 0 (1),

    v2r k = 1

    14

    {B1, B2} = "T ^ Re I" k, -1} A13 (1, "k) ^ kc + 0 (1), V2r k = 1

    14

    E1, E} = - / ^ Re I (1, "k ^ + 0 (1),

    v2r k = 1

    14

    H1, H} = ^ Re I (1, "k]« kH ^ k + 0 (1), ^ 2r k = 1

    де Qj = |

    -| (В)

    ^^ = i 1Щ Q3 (± 1), кв = \ WT) q4 (± 1),

    Wi-e2 '

    Приклад. Прямолінійна довільно орієнтована тріщина в платівці. Отримано точне рішення:

    Kj = ^ ЛП \ p + (o "n) cos2 Y + sin + {^ 22) sin2

    Kjj = ЛП-

    {A22) - {an) .

    sin 2y + {a12) cos 2y;

    Kd =-& {D1) cosy + (D ^) sin y} Kb = 4d {B1) cosy / + {B2) sin y}

    ds

    Потік енергії необхідний для просування тріщини за вершину, c, на малу величину cc 'уздовж дотичній визначається формулою:

    = 2 \ ° tn? +2 j Dfnj +2 j b (% >;

    cc 'cc' cc '

    де <cjj0), D, B (0 визначені до просування тріщини, а u (l), qAE), a) (H) - скачки відповідних

    U J J 111

    величин на відрізку cc '.

    Результати розрахунків. Розглядалася електромагнітоупругая пластина з кераміки Terfenol-D, поляризована вздовж осі Х2 [6], що містить прямолінійні тріщини: Xj = в, x2 = 0, l = 1, -1 < в < 1, 0 <а<п і xj = kp cos а, x 2 = kfi sin a + h, k = 0.5, -1 < в < 1, розташована над нею під кутом а і відстанню між центрами тріщин h = 2 .

    0,1

    g про

    -0,1

    -0,2

    © / X- "4. \

    / \ \

    \\

    1 \\

    \ /: / ^ Vyi X _ /

    t «2 J |і, h A

    a, b, x?

    2,5

    1,5

    -0,5

    -1,5

    -2,5

    ® S \

    У / h ч "/ /

    i «2 / - h Il a: >// 1 / уч

    h, JE,

    л / 2

    я / 2

    Мал. 2. До п для прямолінійної тріщини в залежності від кута а, коли на нескінченності діє магнітна індукція <В 2> = 1 Тл. Суцільна лінія відповідає вершині тріщини а, пунктирна - вершині Ь.

    висновки

    З отриманих результатів випливає, що коефіцієнти інтенсивності механічної напруги можуть істотно залежати від діючих на нескінченності магнітних і електричних полів. Наприклад, при дії на нескінченності ^ 2 >= 1 Кл м-2, KI, з конфігурацій двох тріщин, де одна нерухома горизонтальна, а друга довільно орієнтована прямолінійна, то для горизонтальної тріщини дорівнює 0 ^ 80.

    Список використаної літератури

    1. Bao-Lin Wang, Yiu-Wing Mai. (2007). Applicability of the crack-face electromagnetic boundary conditions for fracture of magnetoelectroelastic materials. International journal of solids and structures, 2 (44), 387-398.

    2. Hua-dong Yong, You-he Zhou. (2007). Transient response of a cracked magnetoelectroelastic strip under anti-plane impact. International Journal of Solids and Structures, 2 (44), 705-717.

    3. Ke-qiang Hu, Guo-qiang Li. (2005). Electro-magneto-elastic analysis of a piezoelectromagnetic strip with a

    q

    2

    finite crack under longitudinal shear. Mechanics of Materials, 9 (37), 925-934.

    4. Nan CW. (1994) Magnetoelectric effect in composites of piezoelectric and piezomagnetic phases. Phys Rev B Condens Matter, 50 (9), 6082-6088.

    5. Новацький В. Електромагнітні ефекти в твердих тілах / В. Новацький. - М .: Наука, 1986. - 160 с.

    6. Калоєров С.А. Двовимірні задачі електромагнітоупругості для багатозв'язних тіл / С.А. Калоєров, А.В. Петренко. - Донецьк: Юго-Восток, 2011. - 232 с.

    7. Фільштинський Л. А. Пружне рівновагу плоскої анізотропного середовища, ослабленою довільними криволінійними тріщинами. Граничний перехід до ізотропному середовищі / Л.А. Фільштинський // Известия АН СРСР. Механіка твердого тіла. - 1976. - № 5. - С. 91-97.

    8. Фільштинський Л.А. Плоска задача Магнітопружний для п'єзомагнітних середовища з тріщинами / Л.А. Фільштинський, Д.Н. Носов, А.А. Єременко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2015. - Т. 51. - № 2. - С. 109-115.

    9. Мусхелишвили Н.І. Сингулярні інтегральні рівняння / Н.І. Мусхелишвили. - М .: Физматгиз, 1962. - 599 с.

    10. Черепанов Г.П. Механіка крихкого руйнування / Г.П. Черепанов. - М .: Наука, 1974. - 640 с.


    Ключові слова: МАГНІТОЕЛЕКТРОУПРУГАЯ (МЕУ) серед / ТРІЩИНА / CRACK / ІНТЕГРАЛЬНІ ПОДАННЯ ПОЛЬОВИХ ВЕЛИЧИН / INTEGRAL REPRESENTATIONS OF THE FIELD QUANTITIES / Сингулярних інтегральних рівнянь / SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS / КОЕФІЦІЄНТИ ИНТЕНСИВНОСТИ МЕХАНІЧНИХ / ЕЛЕКТРИЧНИХ І МАГНІТНИХ ВЕЛИЧИН / INTENSITY FACTORS OF MECHANICAL ELECTRICAL AND MAGNETIC VALUES / ПОТОКИ ЕНЕРГІЇ В вершини / ENERGY FLUXES IN TIPS / MAGNETOELECTROELASTIC MEDIUM

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити