представлені кордони Крамера-Рао дисперсії спільних оцінок доплеровской деформації і затримки для ситуації, коли ширина спектра сигналу не дозволяє застосувати розгляд в рамках узкополосной моделі. Розглянуто два підходи: оцінка всіх невідомих параметрів сигналу, в тому числі і початкової фази, і усереднення функціоналу правдоподібності по його заданому апріорно розподілу. Показано, що дисперсії оцінок однакові для обох способів вирішення завдання.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Гоголів Іван Васильович


Doppler stretch and delay Cramer-Rao lower bound for signal with large bandwidth

In this paper Cramer-Rao lower bound of joint Doppler stretch and delay estimation for wideband signal is derived. We use wideband term to denote cases in which narrowband signal model is inappropriate. Two alternative estimation methods are considered: first method implies estimation of all unknown parameters, both desired and nuisance; second involves the averaging of likelihood function by nuisance parameter with considering its probability density. Estimation variances are equal for specified methods.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал
    Известия вищих навчальних закладів Росії. Радіоелектроніка

    Текст наукової роботи на тему «КОРДОН Крамера-РАО ОЦІНКИ Доплеровське ДЕФОРМАЦІЇ І ЗАТРИМКИ СИГНАЛУ З ДОВІЛЬНОЇ ширина спектру»

    ?Радіотехнічні засоби передачі, прийому

    і обробки сигналів

    УДК 621.396.96

    І. В. Гоголів

    АТ «НДІ" Вектор "» (Санкт-Петербург)

    Кордон Крамера-Рао оцінки доплеровской деформації і затримки сигналу з довільною шириною спектру

    Представлені кордону Крамера-Рао дисперсії спільних оцінок доплеровской деформації і затримки для ситуації, коли ширина спектра сигналу не дозволяє застосувати розгляд в рамках узкополосной моделі. Розглянуто два підходи: оцінка всіх невідомих параметрів сигналу, в тому числі і початкової фази, і усереднення функціоналу правдоподібності по його заданому апріорно розподілу. Показано, що дисперсії оцінок однакові для обох способів вирішення завдання.

    Доплеровская деформація, межа Крамера-Рао, матриця Фішера, випадкова фаза

    У стандартній моделі вимірювань [1], [2] відлуння

    г (г) =? [г-т (г)] '

    излученного локатором сигналу 5 (г) приймається із запізненням т (?). При ненульовий відносної радіальної швидкості V (г) воно виявляється деформованим щодо 5 (г) внаслідок ефекту Доплера.

    У узкополосной моделі сигналу деформацією обвідної нехтують і ефект Доплера зводиться до зсуву центральної частоти сигналу юс

    на величину Юд = (2 ^ с) юс, де с - швидкість поширення електромагнітних коливань.

    Можна показати (див., Наприклад, [2]), що опис ефекту Доплера за допомогою єдиного параметра Юд є наслідком розкладання

    повної моделі вимірювань по параметру В / юс, де В - ширина спектра обвідної.

    Для деяких завдань радіолокації, гідроакустики, а також пасивної локації [2] - [4] узкополосная модель перестає бути адекватною проведеним вимірам і інформативними параметрами, такими, що підлягають оцінці, є запізнювання т і фактор доплеровской деформації (масштаб) про.

    В реальних задачах оцінювання сигнали містять крім інформаційних параметрів і заважають, такі, як амплітуда і початкова

    1 Точки над позначеннями змінних вказують на аналітичні сигнали.

    © Гоголів І. В., 2016

    фаза. Незнання апріорних щільності виключає можливість знаходження байесовских оцінок [5]. В цьому випадку переходять до критерію незсуненості і мінімуму умовної дисперсії оцінок. Особливість такого підходу полягає в тому, що введений критерій не веде явно до конкретного правилом оцінки, але саме такими асимптотическими властивостями володіє оцінка по максимуму правдоподібності (ОМП). При цьому нижня межа умовної дисперсії будь несмещенной оцінки визначається кордоном Крамера-Рао.

    Для з'ясування перспектив застосування моделі сигналу, не обмеженої вузькосмуговими розкладаннями, необхідно обчислити нижню межу дисперсії оцінки введених параметрів.

    Постановка задачі. У загальному вигляді прийнята реалізація г (г) розглядається як функція часу г, вектора вимірюваних інформативних параметрів {т, ст}, що заважають параметрів - амплітуди а й випадковою початкової фази ф, а також містить і перешкоджаючі складову:

    Ч? ) = 5 (,

    а, т, ст,

    .(Г-'

    = А51 -

    V ст

    ,ГФ

    ф) + п (г) = + п (г),

    (1)

    де п (г) - внесок білого гауссовского шуму зі спектральною щільністю Жд. При подальшому розгляді передбачається, що апріорні щільності ймовірності інформаційних пара-

    3

    метрів і амплітуди невідомі, а фаза розподілена рівномірно на інтервалі [0, 2 л].

    Стандартне завдання - формування рівнянь для отримання оцінки та обчислення її дисперсії - при великому відношенні "сигнал / шум" можна вирішувати за методом максимальної правдоподібності. Відомо [1], [5], що максимально правдоподібні оцінки асимптотично заможні і ефективні, т. Е. Їх дисперсія збігається з нижньою межею Крамера-Рао (НГКР).

    При такій постановці оцінка визначається як координата максимуму функціонала правдоподібності (ФП) г [г (г) | е], де е - вектор параметрів сигналу, а дисперсії компонент задовольняють нерівності

    4-1

    про {0 / | е}>ф-.

    (2)

    4-1

    Тут 0, - 1-я компонента вектора е; Ф, - - діагональний елемент матриці, зворотної інформаційної матриці Фішера

    ф .. = -

    а 21П w [г (г) | е]

    Таким чином, завдання зводиться до формування фп w [г (г) | е] і обчисленню Ф,-,-.

    Вид ФП в рамках ОМП може бути різним у залежності від обраного способу вирішення труднощів, пов'язаних з заважають неінформаційних параметрами.

    Перший підхід передбачає оцінювання всіх невідомих параметрів сигналу і подальше відкидання неінформаційних параметрів. Це призводить до збільшення вектора Реальні показники можуть відрізнятися, а для сигналу (1) - до збільшення розмірів інформаційної матриці до 4 х 4.

    Другий підхід заснований на усередненні функціоналу правдоподібності по заважає параметру з урахуванням його апріорного розподілу. Для розглянутого випадку усереднення по фазі призводить до інформаційної матриці з розмірами 3 х 3.

    З введеного опису не очевидно, що дисперсії оцінки інформаційних параметрів, обчислені відповідно до (2), розподілених ФП по фазі і без такого усереднення, однакові і відповідають НГКР. У цій статті представлено доказ такого рівності.

    Оцінка з усередненням ФП по фазі. ФП реалізації г (г) за умови наявності в ній сигналу має вигляд

    = До ехр

    W [г (г) |<

    (Л ю

    -- 1

    N -100

    ф] =

    > (Г)-

    г-х

    ст

    еф

    г (г) - а5

    * (Г - х

    ст

    аг

    (3)

    де до - довільна константа; - символ комплексного сполучення. Так як випадкова фаза сигналу є неінформативної завбільшки з відомої апріорної щільністю ймовірності, можна усереднити ФП по всьому т з урахуванням відомого розподілу фази:

    w [г (г) | е] = 1 w [г (г ^ е, ф] w (ф) а ф,

    де е = {а, х, ст} - вектор параметрів, що вимірюються.

    Після усереднення по фазі при великих співвідношеннях "сигнал / шум" ФП набуває вигляду

    W [г (г) | е] = до ехр

    е5 (е) (е)

    м0

    (4)

    де

    е8 (е) = а21 г (е) =

    ст

    2 ^ (? -11 / Г? -2. Аг;

    ст

    1 г (г) а5 (г) * [2 \ аг

    ст

    Так як максимум ФП (4) досягається в тій же точці, що і максимум логарифма ФП, то процедура обчислення оцінки полягає у вирішенні системи рівнянь

    д 1п w [г (г) | е]

    50,

    = 0.

    Елементи матриці Фішера обчислюються як відповідні похідні логарифма (4) в точці правильного рішення а = а0; х = х0; ст = Ст0. Результат можна записати у вигляді

    . 2а0 Е (\ Ф3 = х

    2/2

    Ст0 / а0

    0

    # 0ст0 0 (2а0)

    о2 -о2

    го2 - ого

    Ст0 / (2а0) го2 -ого г2о2 - го2

    (5)

    Вирази, що входять в матрицю Фішера (5), визначаються в такий спосіб:

    о = --1т 15 (г)? '* (г) аг;

    Е0

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2016. Вип. 6

    ?о = - 1т Г (г) (г) З ?;

    Е0

    О2 = ± | 15 (г) | 2

    Е0

    го2 = - Г ф '(г) | 2 Сг;

    Е0

    = Г г2 '(г) | 2 з?,

    Е0

    причому

    Е0 = |

    Ст0

    . (? -0. 1 / (г -т0

    Ст0

    С;

    (7)

    (8) (9)

    (10)

    (11)

    верхньої межею позначено усереднення за часом; штрихом - похідна за часом.

    В (6) - (11) форма позначень обрана з метою підкреслити аналогію з результатами, відомими для узкополосной моделі. Залежність матричних елементів матриці Фішера (5) від вибору початку відліку детально досліджена в [6] - [8] і далі не розглядається.

    Дисперсії оцінки інформаційних параметрів т і про обчислюються відповідно до (2):

    1 -М2' Ау = "

    1 Л7

    -М 33

    Ф3 <<е! Ф3

    де Мц - додатковий мінор елемента Ф 3ц матриці Ф3. Після нескладних обчислень отримаємо:

    Бт =

    Ж0ст0 (2О2 - го2) -14;

    2а0 Е0

    Б

    Ау =

    Ж0ст0 О2 - О2

    2а0 Е0

    Б

    де

    Б = (О2 - О2) [((2 - го2) -14

    + (О2-ого) .

    Оцінка повного вектора параметрів сигналу.

    Перепишемо вихідний функціонал правдоподібності (3):

    W [г (г ^ а, т, ст, ф] =

    = До ехр

    л ю

    - Г

    N 1

    г (г)-

    а5

    г-т

    ст

    ,1ф

    г (г) - а5

    * (Г - т

    ст

    -ГФ

    сг

    Записавши вектор Реальні показники можуть відрізнятися як 8 = {а, т, ст, ф} і розкривши дужки під інтегралом, отримаємо:

    W [г (г) | 8] =

    = До ехр Е а т, ст) + 2Ке [(8)]

    N0

    N0

    (14)

    де

    Е5 (а, т, ст) = а2Е0 (т, ст) = = а215

    ст

    2 Г5 (? -11 [? -1 | з ?;

    ст

    г (8) = Р г (г) а5 (г) * [? - т] ехр (-гф) ССЛ

    ст

    Матриця Фішера для ФП (14) має вигляд

    , 2а0 Е0 Ф4 = х

    Ст0

    Ж0ст0

    2 / -2 0 Ст0 / (2а0) 0

    0 О2 го2 про

    Ст0 / (2а0) го2 г 2О2? Про

    0 о? Про ст2

    (12)

    (13)

    (15)

    Елементи інформаційної матриці оцінки вектора параметрів 8 = {а, т, ст, ф} визначені в [9], але отриманий в ній результат не можна вважати вірним, так як в зазначеній роботі прийнято Ф13 = Ф аст = 0, що призводить до висновку про некоррелированности вимірювань амплітуди і деформації сигналу. В отриманій матриці (15) відзначена помилка усунена, т. Е. Врахована кореляція результатів вимірювань амплітуди і деформації сигналу.

    Дисперсії оцінок т і про обчислюються відповідно до (2):

    Бт =

    <<е! Ф.

    1 Т .

    Т22;

    БСТ =

    '4

    <<е! Ф.

    1 Т

    Т33,

    4

    де Тц - додатковий мінор елемента Ф4ц матриці Ф4.

    Незважаючи на відмінності в розмірах матриць (5) і (15), а також на різний вигляд їх компонент, справедливі рівності

    ае Ф4 = - ае Ф3; Т22 = -М22; Т33 = -М33.

    х

    Отримані результати показують, що дисперсія оцінки інформаційних параметрів не залежить від обраного підходу до формування ФП при наявності заважають параметрів.

    Так як ОМП асимптотично ефективні, то отримані вирази (12), (13) можна трактувати як НГКР спільної оцінки Доплера-ської затримки і деформації для сигналу з випадковою початковою фазою і невідомої амплітудою. Вирази для дисперсії оцінок параметрів сигналу з випадковою фазою і відомої амплітудою отримані раніше в [7].

    Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки.

    При використанні моделі сигналу, не обмеженої розкладаннями по малим параметрам, необхідно переходити від оцінки затримки і до-

    плеровского зсуву частоти до спільних оцінками затримки і доплеровской деформації сигналу. Отримані в цій статті вираження для дисперсії оцінок запроваджених параметрів дозволяють обчислити НГКР для сигналу довільної форми.

    Незважаючи на те, що інформаційні матриці вимірів при оцінці всіх параметрів сигналу і при усередненні функціоналу правдоподібності по початковій фазі з урахуванням форми її розподілу різні, дисперсії оцінок інформаційних параметрів виявляються однаковими. Таким чином, можна зробити висновок про те, що вибір способу побудови оцінки по максимуму правдоподібності не впливає на дисперсію оцінки, а отримані вирази для дисперсії спільних оцінок затримки і доплеровской деформації збігаються з НГКР.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Ван-Тріс Г. Теорія виявлення, оцінок і модуляції: в 3 т. / Пров. з англ., під ред. В. Т. Горяїнова. М .: Сов. радіо, 1977. Т. 3. 664 с.

    2. Swick DA An Ambiguity Function Independent of Assumptions about Bandwidth and Carrier Frequency // NRL Report 6471, 1966. URL: http://www.dtic.mil/dtic /tr/fulltext/u2/645918.pdf (дата звернення 11.12 .2016).

    3. Гоголів І. В., Яшин Г. Ю. Обмеження вузькосмугового разностно-часового та разностно-частот-ного методів і їх модифікація для широкосмугового сигналу // Успіхи сучасної радіоелектроніки. 2015. № 5. С. 75-78.

    4. Weiss L. G. Wavelets and Wideband Correlation Processing // IEEE Signal Processing Magazine. 1994. P. 13-32.

    5. Гришин Ю. П., Іпатов В. П., Казаринов Ю М. Радіотехнічні системи / під ред. Ю. М. Казари-нова. М .: Вища. шк., 1990. 496 с.

    I. V. Gogolev JSC «SRI" Vector "» (Saint Petersburg)

    Doppler stretch and delay Cramer-Rao lower bound for signal with large bandwidth

    In this paper Cramer-Rao lower bound of joint Doppler stretch and delay estimation for wideband signal is derived. We use wideband term to denote cases in which narrowband signal model is inappropriate. Two alternative estimation methods are considered: first method implies estimation of all unknown parameters, both desired and nuisance; second involves the averaging of likelihood function by nuisance parameter with considering its probability density. Estimation variances are equal for specified methods.

    Doppler stretch, Cramer-Rao Lower Bound, Fisher Information Matrix, Unknown Phase

    Стаття надійшла до редакції 2 вересня 2016 р.

    6. Трифонов А. П., Беспалова М. Б. надширокосмугові оцінка дальності, швидкості і прискорення // Изв. вузів. Радіоелектроніка. 2003. Т. 46, № 5/6. С. 3-11.

    7. Гоголів І. В., Яшин Г. Ю. Кордон Крамера-Рао спільної оцінки доплеровской деформації і затримки сигналу з випадковою початковою фазою // ХХ11 Міжнар. наук.-техн. конф. "Радіолокація, навігація, зв'язок", Воронеж, 19-21 квіт. 2016 г. / НПФ "САКВОЕЕ". Воронеж, 2016. Т. 1. С. 42-46.

    8. Jin Q., Wong K. M., Luo Z. The Estimation of Time Delay and Doppler Stretch of Wideband Signals // IEEE Trans. on Signal Proc. 1995. Vol. SP-43. P. 904-916.

    9. Wei H., Ye S., Wan Q. Influence of Phase on Cramer-Rao Lower Bounds for Joint Time Delay and Doppler Stretch Estimation // Proc. of 9th Intern. Symp. on Signal Processing and Its Applications (ISSPA-2007), Sharjah, 12-15 Feb. 2007. Piscataway: IEEE, 2007. P. 1-4.


    Ключові слова: Доплеровське ДЕФОРМАЦІЯ / DOPPLER STRETCH / КОРДОН Крамера-РАО / CRAMER-RAO LOWER BOUND / МАТРИЦЯ ФІШЕРА / FISHER INFORMATION MATRIX / ВИПАДКОВА ФАЗА / UNKNOWN PHASE

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити