гіпотеза Хабибуллина про інтегральних нерівностях в своїй формулюванні містить два числових параметра $ n $ і $ \ alpha $, де $ n $ --целое позитивне число, а $ \ alpha $ --положітельное дійсне число. Раніше було доведено, що гіпотеза Хабибуллина вірна в разі $ n>0 $ і $ 01/2 $ вона не завжди вірна. У даній роботі будується контрприклад для випадку $ n = 2 $ і $ \ alpha = 2 $. Після цього гіпотеза Хабибуллина переформуліруется так, що вона стає вірною при всіх $ \ alpha>0 $.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Шаріпов Руслан Абдулович


Khabibullin's conjecture for integral inequalities has two numeric parameters $ n $ and $ \ alpha $ in its statement, $ n $ being a positive integer and $ \ alpha $ being a positive real number. This conjecture was already proved for the case where $ n>0 $ and $ 01 / 2. $ In this paper a counterexample is constructed for $ n = 2 $ and $ \ alpha = 2 $. Thus Khabibullin's conjecture is reformulated so that it holds for all $ \ alpha>0. $


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2010


    Журнал: Уфимський математичний журнал


    Наукова стаття на тему 'контрприклад до гіпотези Хабибуллина про інтегральних нерівностях'

    Текст наукової роботи на тему «контрприклад до гіпотези Хабибуллина про інтегральних нерівностях»

    ?ISSN 2074-1863 Уфимський математичний журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 99-107.

    УДК 517.444, 517.518.28, 517.518.862

    Контрприклад до гіпотези ХАБІБУЛЛІНА ПРО інтегральних нерівностей

    Р.А. Шаріпов

    Анотація. Гіпотеза Хабибуллина про інтегральних нерівностях в своїй формулюванні містить два числових параметра п і а, де п - ціле позитивне число, а а - позитивне дійсне число. Раніше було доведено, що гіпотеза Хабибуллина вірна в разі п> 0 і 0 < а ^ 1/2. Однак при а > 1/2 вона не завжди вірна. У даній роботі будується контрприклад для випадку п = 2 і а = 2. Після цього гіпотеза Хабибуллина переформуліруется так, що вона стає вірною при всіх а > 0.

    Ключові слова: гіпотеза Хабибуллина, інтегральні нерівності, інтегральні перетворення.

    1. Введення

    Гіпотеза 1.1 (Хабібуллін). Нехай а - позитивне дійсне число і нехай q = q (t) - безперервна функція, така, що q (t) ^ 0 для всіх ? > 0. Тоді, якщо нерівність

    Ця гіпотеза була спочатку сформульована в роботах [1] і [2], хоча і в дещо

    було доведено, що гіпотеза 1.1 вірна в разі 0 < а ^ 1/2. Інший доказ цього результату міститься в [5].

    На жаль, за межами інтервалу 0 < а ^ 1/2 гіпотеза 1.1 не завжди вірна. Основна мета даної роботи - побудувати контрприклад до гіпотези 1.1 для випадку п = 2 і а = 2, після чого переформулювати цю гіпотезу так, щоб вона була виконана при всіх цілих п > 0 і при всіх а > 0.

    R.A. Sharipov, A counterexample to Khabibullin's conjecture for integral inequalities. © Шаріпов Р.А. 2010.

    Надійшла 13 вересня 2010 р.

    (1.1)

    виконується для всіх 0 ^ t < то з нього випливає нерівність

    (1.2)

    іншій формі. В [3] була дана її формулювання дуже близька до наведеної вище. В 4]

    2. Ядро і функція переходу

    Позначення Ап (х) для ядра і функція переходу Фп (?), Пов'язані з гіпотезою 1.1, були введені в [5]. Ядро визначається формулою

    1

    X

    фn (t) dtn + l) ^

    За допомогою ядра (2.1) нерівність (1.1) записується у вигляді

    1

    J An-1 (x) q (tx) dx ^ ta-1, де t ^ 0. (2.2)

    про

    Опускаючи несуттєве значення t = 0 і роблячи в інтегралі (2.2) заміну змінної x на змінну y = tx, перетворимо цей інтеграл до інтеграла

    t

    УAn-i (y / t) q (y) dy < ta, де t > 0. (2.3)

    про

    Поняття функції переходу Фп (t) є більш складним. Ця функція була введена в [5] за допомогою такої формули:

    d i (~ t) n + l dn + l ^ \ dt \ n!

    Тут ф = ^ (t) - деяка гладка функція однієї змінної t. Основною властивістю функції переходу (2.4) є її взаємодія з ядром (2.1):

    Jфn (t) An (y / t) dt = ф (у) для n ^ 0 (2.5)

    y

    (Див. Лему 5.1 в [5]). Для того щоб застосувати формулу (2.5) до гіпотези Хабибуллина

    1.1, треба вибрати конкретну функцію ^ (t) в (2.4):

    ^ (T) = ln (1 + t-2а), де а> 0. (2.6)

    Функція (2.6) залежить від а. Ця залежність успадковується функцією переходу (2.4). Тому ми станемо писати Фп = Фп (a, t). Тоді (2.5) запишеться як

    JФп-1 (а, t) An-1 (y / t) dt = ln (1 + y-2a) для n ^ 1. (2.7)

    y

    Зауважимо, що функція (2.6) входить в підінтегральний вираз в лівій частині нерівності (1.2). З цієї причини формула (2.7) служить мостом, що зв'язує нерівності

    (1.1) і (1.2), в гіпотезі Хабибуллина.

    3. Застосування до гіпотези Хабибуллина

    Зауважимо, що перша нерівність в гіпотезі Хабибуллина 1.1 записано як (2.3). Помножимо обидві частини (2.3) на Фп-1 (а, ^ і отримаємо

    t

    JФп-1 (а, t) An-1 (y / t) q (y) dy ^ Фп- ^ t) ta. (3.1)

    про

    Нерівність (3.1) випливало б з (2.3) за умови Ф п-1 (а, ^ ^ 0. Але в дійсності позитивні значення функції Ф п-1 (а, ^ чергуються з негативними значеннями. З цієї причини ми розділимо позитивну числову піввісь t > 0 на два підмножини M + і M_:

    M + = M + (n, а) = {t G R: t> 0 і Фn-1 (а, t) ^ 0},

    M_ = M_ (n, а) = {t G R: t> 0 і Ф п-1 (а, ^ < 0}. ()

    Нерівність (3.1) виконано при t G M + (n ^). Якщо ж t G M_ (n, а), нерівність (3.1) не виконується. В цьому випадку скористаємося тим, що ядро ​​An (x) позитивно, т. Е.

    An (x) > 0 для 0 < x < 1 (див. [5]). Функція q (y) неотрицательна згідно з умовою гіпотези

    1.1. Що ж стосується функції Ф п-1 (а ^), вона негативна при t G M_ (n, а) (див. (3.2)).

    Як результат цього в разі, коли t G M_ (n, а), отримуємо наступне нерівність:

    t

    JФп-1 (а, t) A, n-1 (y / t) q (y) dy ^ 0. (3.3)

    про

    Скомбінувавши нерівності (3.1) і (3.3), запишемо t (

    { ',,. ,. ,,,, Ф п-1 (а, ^ ta при t G M +,

    Ф п-1 (а ^ ") An- 1 (y / t) q (y) dy ^ (3.4)

    J 0 при t G M_.

    про

    Тепер проинтегрируем (3.4) по t від нуля до нескінченності:

    +<x / t \

    Ф п-1 (а, t) An- 1 (y / t) q (y) dyjdt ^ J Ф, п-l (а, t) ta dt. (3.5)

    о \ о / teM +

    Помінявши порядок інтегрування в лівій частині (3.5), матимемо

    \

    ^ Ф п-1 (а, t) An-1 (y / t) dt \ q (y) dy ^ J Ф, п-1 (а, t) ta dt. (3.6)

    0 \ y / t? M +

    Тепер застосуємо (2.7) до (3.6), що дасть наступне нерівність:

    / Ln (1 + y-2а) q (y) dy ^ f Фп- 1 (а ^) ta dt. (3.7)

    0 t € M +

    Відзначимо, що інтеграл у лівій частині (3.7) збігається з інтегралом в (1.2), т. Е. У другому нерівності з гіпотези Хабибуллина 1.1. є формула

    *.<«| *> = (3-8)

    Вона була виведена в [5]. У ній z = t2а, а Рп (а, z) - це поліном ступеня n щодо

    змінної z. З формули (3.8) виводимо

    O (t2а 1) при t -> +0, O (t-2а-1) при t -> + го.

    Фп (а, t) = ^ ^ Г-2 а-1, ^:. Т. '(3.9)

    В силу (3.9) інтеграл в правій частині (3.7) кінцевий. Його значення - це позитивне

    число, залежне від п і а. Позначимо його С (п, а):

    С (п, а) = JФп-1 (а ,?) 31 < ж. (3.10)

    геї +

    Крім (3.10) ми розглянемо ще два інтеграла:

    / Фп-1 (а ,?) 3Ь, Ф п-1 (а ,?) 3Ь. (3.11)

    г&И- про

    В силу (3.9) обидва інтеграла (3.11) кінцеві. В силу (3.2) перший з них неположітелен. Ці інтеграли пов'язані з (3.10) наступним чином:

    С (п, а) + Ф п-1 (а, Ь) Ьа = Ф п-1 (а, Ь) Ьа? Ь. (3.12)

    г&И- про

    В роботі [5] другий інтеграл з (3.11) був обчислений явно. Як виявилося, цей інтеграл збігається з числом, що стоїть в правій частині нерівності (1.2), яке входить у формулювання гіпотези Хабибуллина 1.1, т. Е. Ми маємо

    п-1

    (1 4-

    до

    Оскільки перший інтеграл (3.11) неположітелен, з (3.12) і (3.13) слід

    / П-1

    Ф "_1 (про !,?) Сі = 7г а ^ 1 + у). (3.13)

    7_1

    0 к =

    П 1

    0 < 7г а (1 + -) ^ С (п, а) < сю. (3-14)

    к = 1

    Формула (3.10) для С (п, а) не настільки проста в порівнянні з (3.13). Проте, С (п, а) слід сприймати як як конкретну величину, яка може бути ефективно обчислена для кожного конкретного значення п і а. Замінивши праву частину нерівності

    (1.2) на С (п, а), можна сформулювати гіпотезу Хабибуллина 1.1 вже не як гіпотезу, а як доведене твердження.

    Теорема 3.1. Нехай а - деяке позитивне дійсне число і нехай q = q (t) - безперервна функція, така, що q (t) ^ 0 для всіх значень Ь > 0. Тоді, якщо нерівність

    (1 - і) "" 1 -) п (ре) Лх < ( "_1 У)

    виконується для всіх 0 ^ Ь < + гс>, то з нього випливає нерівність

    д (г) 1п (Ч + <І < С (п, а). (3.15)

    4. контрприклад до гіпотези Хабибуллина

    У цьому розділі ми показуємо, що гіпотеза Хабибуллина в її формулюванні 1.1 порушується при а > 1/2. Оскільки перше з нерівностей в гіпотезі Хабибуллина при Ь > 0

    було перетворено до виду (2.3), визначимо функцію

    г

    д (Ь) = ^ Ап-1 (у / г) q (y)? у. (4.1)

    про

    Формула (4.1) була названа формулою прямого перетворення. Вона вивчалася в [6], де була виведена формула зворотного перетворення, що виражає функцію q (t) назад через функцію д (Ь):

    ?п (Г д'н) \ ч

    (42)

    Як було показано в роботі [6], при виконанні умов гіпотези Хабибуллина 1.1 функція (4.1) є (n + 1) раз дифференцируемой функцією, яка задовольняє нерівності

    0 ^ g (t) ^ ta для всіх t > 0. (4.3)

    Переходячи до побудови контрпримера до гіпотези 1.1, ми виберемо конкретні значення n = 2 і а = 2. Тоді функція переходу (3.8) набуде вигляду

    ^, 1613 Pi (a, z)

    Ф п ~ i (a, t) =)

    де z = t4 і Р1 (а, z) - це наступний поліном:

    Р1 (а, z) = (2 а +1) z + (1 - 2 а) = 5 z - 3 (4.5)

    (Див. Формулу (7.6) в [5]). Підставивши (4.5) в (4.4), виводимо

    Важливою особливістю функції (4.6) є те, що вона не завжди позитивна. Відповідно до позначеннями (3.2) є два непустих підмножини И_ і M + на позитивній числовий піввісь t > 0:

    M_ = {t Е R: 0 <t<t0}, M + = {t Е R: t ^ t0}, (4.7)

    де to = \ / з / 5 - це корінь полінома 5i4 - 3 в чисельнику дробу (4.6). Спираючись на (4.7), ми побудуємо функцію д = g (t), задавши її двома різними формулами в М_ і в M +. Для цієї мети ми виберемо поліном

    Іг) = (4.8,

    t0

    Оскільки а = 2, покладемо g (t) = ta = t2 для t Е M +. Для t Е M_ задамо g (t) сплайна полиномом, складеним за допомогою полінома (4.8):

    g «= it2 (1 -2? h (t)) при 0<(<t0 '(4.9)

    | t при t ^ t0.

    Нагадаємо, що n = 2 і n +1 = 3. Тому (4.9) повинна бути тричі дифференцируемой функцією. Це призводить до наступних умов в точці t = t0:

    lim g (t) = t02, lim g '(t) = 210,

    t-to t ^ to (4.10)

    lim g "(t) = 2, lim g" '(t) = 0.

    t- »to t-» to

    Легко перевірити, що функція (4.9) задовольняє всім умовам (4.10).

    Зауважимо, що h = h (t) в (4.8) - це монотонна функція на інтервалі 0 ^ t ^ t0, така, що h (0) = 1 і h (t0) = 0. Звідси маємо наступну лему.

    Лемма 4.1. Функція (4.9) задовольняє нерівностям (4.3) для а = 2 тоді і

    тільки тоді, коли її параметр? задовольняє нерівностям 0 ^ ^ 1.

    Побудувавши функцію g (t) за допомогою формули (4.9), ми тепер визначимо функцію q = q (t), застосувавши формулу зворотного перетворення (4.2) до функції g (t). В результаті цієї дії ми отримаємо формулу

    q (t) = 1 121 (1 -? r (t)) при 0 <t<to, (411)

    121 при t ^ t0,

    де т (Ь) - поліном ступеня 4. Для того щоб зробити формулу для полінома т (Ь) простіший, ми запишемо цей поліном як

    ?про - t

    г (Ь) = Я (т), де т =

    (4.12)

    (4.13)

    (4.14)

    (4.15)

    Тоді поліном Я (т) в (4.12) буде здаватися такою формулою:

    Я (т) = 21 Т4 - 34 Т3 + 16 т2 - 2 т.

    Видно, що поліном (4.13) є твір двох поліномів:

    Я (т) = (21 Т3 - 34 т 2 + 16 т2) т.

    Позначимо через Я3 (т) перший множник в (4.14). тоді

    Я3 (т) = 21 Т3 - 34 т 2 + 16 т2.

    Поліном (4.15) - це кубічний поліном від змінної т. Графік такого полінома на відрізку 0 ^ т ^ 1 показаний на рис. 1. На кінцях відрізка поліном Я3 (т) приймає

    значення

    Я3 (0) = -2, Я3 (1) = 1. (4.16)

    Значення (4.16) легко перевіряються прямим обчисленням. Крім (4.16), на цьому відрізку функція Я3 (т) має два локальних екстремуму:

    34 - 2 л / 37 "

    т |

    63

    34 + 2 л / 37

    63

    0.34,

    0.73.

    (4.17)

    Підставляючи величини (4.17) в формулу (4.15), ми легко знайдемо значення полінома Я3 (т) в його локальних екстремуму тт ах і тт? П:

    394 + 592 ^ 37 ^

    (4.18)

    Я

    11907

    0 _ 394 - 592 ^ 37 п

    й ' "1" "Ш07 ~ ° -26'

    З (4.16) і (4.18) негайно випливає нерівність

    Я3 (т) ^ 1 для всіх 0 ^ т ^ 1. (4.19)

    Оскільки т ^ 0 в (4.19), ми можемо помножити обидві частини (4.19) на т. Це дає Я3 (т) т ^ т.

    Потім, скомбінувавши це нерівність з т ^ 1 і взявши до уваги формули (4.14) і (4.15), отримаємо

    Я (т) ^ 1 для всіх 0 ^ т ^ 1. (4.20)

    Застосувавши (4.12), ми перетворимо (4.20) до нерівності

    т (Ь) ^ 1 для всіх 0 ^ ^? 0. (4.21)

    У той же самий час, скомбінувавши (4.16) з (4.15), (4.14) і (4.12), ми отримаємо

    г (0) = 1, т (г0) = 0. (4.22)

    На основі (4.11), (4.21) і (4.22) ми можемо сформулювати наступну лему, яка схожа на лемму 4.1.

    Лемма 4.2. Функція (4.11) задовольняє нерівності ^ (?) ^ 0 для всіх Ь > 0 в тому і тільки в тому випадку, коли її параметр? задовольняє нерівностям 0 ^ ^ 1.

    Теорема 4.1. Для кожного конкретного значення параметра е, що задовольняє нерівностям 0 < е ^ 1, фунция (4.11) є контрприкладом до гіпотези Хабібула-лина 1.1 для випадку n = 2 і а = 2.

    Теорема 4.1 випливає з леми 4.2 і попередніх їй міркувань в розділах 3 і 4. Дійсно, функція (4.11) отримана з функції (4.9) за допомогою формули зворотного перетворення (4.2). З цієї причини підстановка (4.11) в формулу прямого перетворення (4.1) дає функцію (4.9). Цей факт можна перевірити також і прямим обчисленням.

    Формула (4.1) пов'язана з нерівністю (1.1) в формулюванні гіпотези Хабибуллина 1.1 через формули (2.3), (2.2) і (2.1). Тому, підставляючи функцію (4.11) в ліву частину нерівності (1.1) з n = 2, ми отримаємо

    (1 - у) п ~ 1 q (tx) dx = (4.23)

    0 \ x)

    де g (t) задається формулою (4.9). А тепер врахуємо, що а = 2, і застосуємо лему 4.1 до співвідношення (4.23). Це призведе нас до наступного результату.

    Лемма 4.3. Для кожного конкретного значення параметра е, такого, що 0 ^ е ^ 1, функція (4.11) задовольняє нерівності (1.1) при n = 2 і а = 2.

    Наступний крок полягає в тому, щоб обчислити інтеграл в лівій частині нерівності

    (1.2) для функції (4.11). Для цієї мети ми застосуємо формулу

    Jq (t) In (l + dt = jФп_ 1 (a, t) g (t) dt. (4.24)

    00 Формула (4.24) виведена з (4.1) за допомогою формули (2.7). Врахуємо, що в нашому випадку а = 2, а g (t) дається формулою (4.9). При цьому формула (4.24) запишеться в наступному вигляді:

    to

    Jq {t) ln ^ l + dt = J<Pn-i (a, t) ta dt -? Jфn-l (a, t) t2 h (t) dt. (4.25)

    0 0 0 Тепер ми застосуємо формулу (3.13) до (4.25) і запишемо (4.25) у вигляді

    + Г 1 "-1

    q (t) In (l + -) dt = 7Г а Д (l + j) + 51. (4.26)

    0 k =

    Доданок 5I в павою частини (4.26) визначається формулою

    to

    51 = - е JФп-1 (а, t) t2 h (t) dt. (4.27)

    0

    У нашому випадку параметр е позитивний в силу умови 0 < е ^ 1 в формулюванні теореми 4.1. Функція h (t) задається формулою (4.8). Вона позитивна при 0 < t < t0. Що ж стосується функції Ф п-1 (а ^), оскільки n = 2 і а = 2, в нашому випадку Ф п-1 (а, ^ визначається формулою (4.6). Вона негативна при 0 < t < t0 .В силу перерахованих обставин ми отримуємо наступне нерівність для інтеграла (4.27):

    5I > 0. (4.28)

    Нерівність (4.28) завершує доведення теореми 4.1.

    Інтеграл (4.27) може бути підрахований чисельно. Твір в правій частині (4.26) теж може бути підраховано чисельно. У підсумку ми отримаємо

    Jд (г) 1п (1 + <Й І 18.84955592 + 0.01299443 е. (4.29)

    про

    З іншого боку, ми маємо оцінку (3.15) для інтеграла (4.29). Константа С (п, а) в (3.15) дається інтегралом (3.10), який можна підрахувати чисельно. При п = 2 і а = 2 ми маємо С (п, а) ~ 19.65507202. Тоді (3.15) дає

    1п (Ч + < 19.65507203. (4.30)

    про

    Зауважимо, що 0 < ? ^ 1 в формулюванні теореми 4.1. Як ми бачимо, навіть при? = 1 є значна щілина між інтегралом (4.29) і оцінкою (4.30) для цього інтеграла.

    5. Висновки

    Теорема 4.1 показує, що гіпотеза Хабибуллина в формі 1.1 не виконується при а > 1/2. Однак, в силу теореми 3.1 і в силу нерівностей (3.14), ця гіпотеза може бути сформульована у вигляді такої теореми, яка вірна при всіх а > 0.

    Теорема 5.1. Для кожного цілого позитивного числа п > 0 і для кожного позитивного дійсного числа а > 0 існує позитивна константа З [хь] (п, а), яка дає кращу (т. Е. Неулучшаемую) оцінку

    Jq (t) 1п (Ч + (І < З [Кь] (п, а) (5.1)

    про

    в класі всіх невід'ємних безперервних функцій д (?) ^ 0 на числовий піввісь I > 0, що задовольняють інтегральному нерівності

    (1 - у) п ~ 1 -] дих) с1х ^ Ьа ~ 1 для всіх ? > 0. (5.2)

    у)

    В (5.2) ми виключили несуттєве значення? = 0 в порівнянні з початковим нерівністю (1.1) в формулюванні гіпотези Хабибуллина 1.1.

    Відзначимо, що константи С [хь] (п, а) в (5.1) кінцеві. Вони задовольняють оцінці З [хь] (п, а) ^ С (п, а) < то, де константи С (п, а) визначаються формулою (3.10). Я вважаю, що константи С [хь] (п, а) в (5.1) повинні бути названі константами Хабибуллина в силу заслуг Б. Н. Хабибуллина за формулюванням гіпотези 1.1 і по її популяризації протягом багатьох років.

    Відзначимо, що теорема 5.1 проголошує існування констант Хабибуллина З [хь] (п, а), але не дає ні формули, ні алгоритму для їх обчислення. В даний час (тобто на дату 03.09.2010 р) завдання знаходження точних значень констант Хабибуллина З [хь] (п, а) в (5.1) ще не вирішена.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Хабібуллін Б.Н. Проблема Пелі для плюрісубгармоніческіх функцій кінцевого нижнього порядку // Мат. Збірник. 1999. Т. 190, вип. 2. С. 145-157.

    2. Хабібуллін Б.Н. The representation of a meromorphic function as a quotient of entire functions and the Paley problem in Cn: survey of some results // Математична фізика, аналіз, геометрія (Україна). 2002. Т. 9, № 2. С. 146-167; см. також e-print math.CV/0502433 в електронному архіві http://arXiv.org.

    3. B.N. Khabibullin, A conjecture on some estimates for integrals, e-print arXiv: 1005.3913 в електронному архіві http://arXiv.org.

    4. R.A. Baladai, B.N. Khabibullin, Three equivalent conjectures on an estimate of integrals, e-print arXiv: 1006.5140 в електронному архіві http://arXiv.org.

    5. R.A. Sharipov, A note on Khabibullin's conjecture for integral inequalities, e-print ar-Xiv: 1008.0376 в електронному архіві http://arXiv.org.

    6. R.A. Sharipov, Direct and inverse conversion formulas associated with Khabibullin's conjecture for integral inequalities, e-print arXiv: 1008.1572 в електронному архіві http://arXiv.org.

    Руслан Абдулович Шаріпов,

    Башкирська Державний Університет, вул. Заки Валід, 32,

    450074, м Уфа, Росія E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.


    Ключові слова: гіпотеза Хабибуллина /інтегральні нерівності /інтегральні перетворення /khabibullin's conjecture /integral inequalities /integral transformations

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити