В роботі запропонований спосіб формування ділянки кубічним В-сплайном із забезпеченням монотонного зміни кривизни через контроль параметрів базисних трикутників. Запропоновано спосіб визначення радіусів кривизни в граничних точках дуги По-сплайна через параметри контрольного багатокутника. Запропоновано способи коригування контрольного багатокутника з метою забезпечення монотонного зміни кривизни вздовж кривої.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Дубініна О.В., Гавриленко О.А., Холодняк Ю.В.


CHECKING THE REGULARITY OF CHANGING CURVATURE ON THE PART OF THE CUBIC B- SPLINE

This article describes the method for forming the part of the curve with a cubic B-spline, with a monotone change in the curvature through the control of the base triangles parameter's. The method of determining the curvature radii in the boundary points of the B-spline arc through the parameters of the control polygon is proposed. Methods of correction of the control polygon are proposed in order to provide a monotonic change in the curvature along the curve.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2017
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'КОНТРОЛЬ ЗАКОНОМІРНОСТІ ЗМІНИ КРИВИЗНИ НА ДІЛЯНЦІ кубічних В-сплайнів'

    Текст наукової роботи на тему «КОНТРОЛЬ ЗАКОНОМІРНОСТІ ЗМІНИ КРИВИЗНИ НА ДІЛЯНЦІ кубічних В-сплайнів»

    ?УДК 514.18

    О.В. ДУБЩЩА

    Мел ™ польський державний педагопчній ушверсітет iMeHi Богдана Хмельницького

    Е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. Холодняк

    Таврiйській державний агротехнологiчній ушверсітет

    КОНТРОЛЬ ЗАКОНОМ1РНОСТ1 ЗМ1НІ Кривин НА Д1ЛЯНЦ1 КУБ1ЧНОГО

    По-сплайнів

    У po6omi предложено cnoci6 формирование дшянкі кубiчного В-сплайна i3 ЗАБЕЗПЕЧЕННЯМ монотонноi змті Кривин через контроль nараметрiв базисних трікутніюв. Предложено споаб визначення радiусiв Кривин в граничних точках дуги По-сплайна через параметри контрольного багатокутніка. Предложено Способи корегування контрольного багатокутніка з метою забезпечення монотонної змті Кривин вздовж кривої.

    Ключовi слова: ку6iчній В-сплайн, дискретно представлена ​​крива (ДПК), контрольний багатокутнік, базисний трикутник (БТ), Кривіна.

    Е.В. ДУБІНІНА

    Мелітопольський державний педагогічний університет імені Богдана Хмельницького

    Е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. Холодняк

    Таврійський державний агротехнологічний університет

    КОНТРОЛЬ ЗАКОНОМІРНОСТІ ЗМІНИ КРИВИЗНИ НА ДІЛЯНЦІ кубічних В-

    сплайн

    В роботі запропонований спосіб формування ділянки кубічним В-сплайном із забезпеченням монотонного зміни кривизни через контроль параметрів базисних трикутників. Запропоновано спосіб визначення радіусів кривизни в граничних точках дуги По-сплайна через параметри контрольного багатокутника. Запропоновано способи коригування контрольного багатокутника з метою забезпечення монотонного зміни кривизни уздовж кривої.

    Ключові слова: кубічний В-сплайн, дискретно представлена ​​крива (ДПК), контрольний багатокутник, базисний трикутник, кривизна.

    O.V. DUBININA

    Melitopol State Pedagogical University named after Bohdan Khmelnytsky

    E.A. GAVRILENKO, Yu.V. KHOLODNYAK

    Tavria State Agrotechnological University

    CHECKING THE REGULARITY OF CHANGING CURVATURE ON THE PART OF THE CUBIC B- SPLINE

    This article describes the method for forming the part of the curve with a cubic B-spline, with a monotone change in the curvature through the control of the base triangles parameter's. The method of determining the curvature radii in the boundary points of the B-spline arc through the parameters of the control polygon is proposed. Methods of correction of the control polygon are proposed in order to provide a monotonic change in the curvature along the curve.

    Keywords: a cubic B-spline, a discrete curve, a control polygon, a basic triangle, a curvature.

    постановка проблеми

    Формування складних поверхонь, завдань дискретного лшйчатім каркасом, е важлівім завдання геометричного моделювання. Властівосп одновім1рніх обвод1в, яш е зайвими елементами каркасу, визначаються функцюнальш властівосп поверхш. Например, при моделюванш дінам1чніх поверхонь, призначення якіх взаемод1я i3 середовище (канал двигуна внутршніх згоряння, лопатка турбші, крило лтака та шш1), вимоги до зайвих елеменпв - другий порядок гладкосп обводу при мшмальнш шлькосл особливо точок (точки змші опуклосп-вві-нутосп та точки змші напряму зростання - Зменшення значення Кривин вздовж криво!). Б ^ шють СУЧАСНИХ пакетiв геометричного моделювання для побудова одновімiрніх обводiв Використовують кубiчній В-сплайн. Коригування закономiрностi змiни Кривин уздовж По-сплайна можливо в ручному режиму А самє, на екраш Монiтор с помощью мішi через параметри контрольного багатокутніка змiнюеться закономiрнiсть змiни кривизни уздовж сплайна. При цьом орiентуемося на фантом графша змiни Кривин. Забезпечення контролю змші Кривин уздовж

    обводу, Який складаеться з велико! кшькосп вузл1в, в ручному режим! віявляеться трудомюткім, а годиною -неможлівім. Розробка шструмента, Який дозволити в автоматизоване режим! Забезпечити завдань характер змші Кривин вздовж куб1чного В-сплайна, надасть можлівють ефективного моделюваті поверхш! з заданими функцюнальнімі властівостямі.

    Анaлiз останшх дослiдження i публiкацiя

    В робот! [3] дослвджено положення дотичність у віх1дніх точках, при якіх завдання формирование обводу з монотонною змшою Кривин травні розв'язок. Форма базисного трикутника (БТ), обмеження дотичність до обводу, вздовж которого рад1усі Кривин монотонно зростають, та вщповщною Хорді супроводжуючий! лама! ' лші (слл), винна вщповщаті умовг

    a <b (1)

    де a, b - довжина сторш БТ, яш належати дотичність до обводу, при цьом сторона з довжина a вщповщае Вузли з меншим рад1усом Кривин.

    Виконання умови (1) необхвдно Забезпечити Незалежності ВВД того, дшянкамі якіх кривих формуеться

    обвщ.

    В [1] Розглянуто метод под1лу сплайна за алгоритмом Кокса де Бура та криво! Без'е с помощью алгоритму де Кастельжо. Если куб1чній В-сплайн визначавши контрольний багатокутнік, что складаеться з трьох ланок, то В-сплайн щентічній куб! Чнш Кривша Без'е. У цьом випадка, підшитий В-сплайна можливо здшсніті с помощью алгоритму де Кастельжо. Если контрольний багатокутнік, Який задає неоднорщній куб1чній В-сплайн складаеться з трьох ланок, то візначіті будь-яку точку на В-сплайш можливо с помощью алгоритму де Кастельжо. Кожна ланка контрольного багатокутніка под1ляеться у сшввщношенш u: (1 - u), де 0 < u < 1. З'еднавші точки, что подшяють ланки, отрімуемо в1др1зкі, ЯК-1 кож д1лімо у сп1вв1дношенн1 u: (1 - u). К1льк1сть крок1в под1лу в1др1зк1в за алгоритмом де Кастельжо дор1внюе к1лькост1 ланок контрольного багатокутніка сплайна. В результат! Виконання алгоритму отрімуемо точку (т. А), яка Належить сплайну, та два контрольш багатокутнікі, шкірні з якіх задати д! Лянка вих! дно! криво!.

    Завдан В-сплайна через контро! точки носити дискретний характер та забезпечуе гнучшсть управлiння его формою. П1дх! Д до управлшня В-сплайном через контро! точки Близько до формирование дискретно представлено! криво! на основ! віхвдного точкового ряду. Завдання формирование геометричність образ! В, як! заданий! впорядкованим множини точок может буті розв'язано вар! атівность дискретним геометричність моделювання (ВДГМ). Основн! принципи та напрямки ВДГМ сформульован! в 2].

    Мета дослвдження

    Запропонувати споаб визначення закону зм! Ні Кривин вздовж куб! Чного В-сплайна, заданого вих! Дним контрольних точках. Розробити спос! Б корегування точок, что задають В-сплайн, з метою забезпечення монотонно! зм! ні Кривин вздовж криво!.

    Викладення основного мaтерiaлу дослвдження

    Дискретно представлена ​​крива (ДПК), вздовж яко! радий! уси Кривин монотонно зростають, формуеться на основ! впорядковано! множини точок [i ... ri]. Назначімо у Вузли ДПК дотічт, в таких положеннях, як! дозволяють Сформувати шкірних д! Лянка криво! з монотонною зм! ною Кривин [3]. Отрімуемо ланцюг БТ, шкірні з якіх в! Дпов! Дае умів! (1). Контрольний багатокутнік, что задати В-сплайн, поеднуемо з базисним трикутником. Розглянемо i-ий БТ та умови, при якіх можливо Сформувати д! Лянка ДПК куб! Чним В-сплайном. Дотичність !, як! утворюють БТ, ti та ti + 1 проходять через контро! точки багатокутніка, что задати В-сплайн, P0, Pi та P2, P3 в! дпов! дно (див. рис. 1).

    У точках i та i + i, як! обмежують д! Лянка сплайна, могут буті заданий! значення Кривин ДПК.

    Дугу В-сплайна, яка визначавши дшянку ДПК, задаемо, призначивши положення ланки багатокутніка

    PiP2. Ланка PiP2 визначавши положення точки А, что Належить сплайну, та дотичність tA в ц! Й точц !. У Першому наближенням! Ланка PiP2 Встановлюється паралельно хорд! P0P3. У цьом випадка точц! А

    ввдповвдае значення параметру р! вняння В-сплайна u = -, а дотичність tA паралельна хорд! БТ P0P3.

    3

    Дотичність t находится на вщсташ -І в! Д Хорді P0P3, де h - ввдстань в! Д Хорді P0P3 до ланки P-P2 багатокутніка POP-P2P3.

    Мал. 1. Оцшка характеристик По-сплайна через параметри базисних трікутніКв

    * = 4 12

    де S - площа БТ згущення; I - довжина основи БТ згущення.

    За алгоритмом де Кастельжо розд! Ляемая вих! Дну дугу В-сплайна на дшянкі, кожнiй з якіх вiдповiдаe контрольний багатокутнік та поєднаності з ним БТ згущення.

    Необх! Дною умів монотонно! змші Кривин вздовж По-сплайна е вщповщшсть параметрiв скiлькі завгодно великого числа БТ згущення умовi (1). Максимально можливе вiдхілення сформованому В-сплайна в! Д криво! з монотонною змшою Кривин будемо оцiнюваті с помощью коефщенту:

    Если БТ згущення, якому вiдповiдае максимальне значення коефiцiенту до, чи не перевищуе наперед завдання значення та при цьом форма вах БТ згущення вiдповiдае умовi (1), завдання формирование В-сплайна з монотонною змшою Кривин будемо вважаті Виконання.

    Ланцюг, Який складаеться з будь-яко! кiлькостi БТ згущення, вiдповiдае задачi формирование В-сплайна з монотонною змшою Кривин, если перший та останнш БТ ланцюга в! дпов! дають умовi (1).

    Если форма будь-которого БТ згущення НЕ вщповщае (1) та при цьом значення коефщенту недостатньо мало, необх! Дно зм! Нитки форму У-сплайна, корегуючи положення середньо! ' ланки вих! дного контрольного багатокутніка.

    На Першому етапi корегування змшюемо положення середньо! ланки Р \ Р2, яка залішаеться паралельних основ! БТ Р0Р3. Если Умова (1) не віконуеться в Першому БТ згущення (на рис. 1 це БТ Р0Т1А), ланку р1р2 перемiщуемо в напрямку Хорді Р0Р3. При цьом змшюеться форма нд! Х БТ згущення ланцюга. Вкрай положення середньо! ланки настає тод !, коли останнi БТ згущення зграї рiвнобедренім. Если Останнi БТ згущення не в! Дпов! Дае умів! (1) - середня ланка змiщуеться у зворотньому напрямку.

    Досл! Димо, як положення дотичність! визначавши радий! уси Кривин у точках 7 та 7 + 1, что обмежують д! Лянка сплайна.

    Для криво !, что задана параметрично р! Вняннямі, радий! Ус Кривин визначаеться за формулою:

    ,3

    До

    ґ (і) [

    ґ (і) X г "(і) |

    де г (і) - вектор-функц! я криво!.

    Вирази Першу та другу пох! Дну сплайна через радий! Ус-Вектори контрольних точок [1], отрімуемо формули визначення радий! Ус! В Кривин у крайшх точках д! Лянка 7 та 7 + 1 (Кг та Ш + 1 в! Дпов! дно):

    До

    31 г1 - г0

    ,3

    2 | (г1 - го) х (г2 - г) 1 '

    До

    7 + 1

    3 1 г3 - г2

    2 | (Г2 - г1) х (Г3 - г2) 1

    Вирази радий! Ус-Вектори через параметри контрольного багатокутніка, отрімуемо:

    3

    В1СНІК ХНТУ №3 (62), 2017р., ТОМ 2 ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА _КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГІЇ

    я = Зс3 я = 3 г + 4 ^ 2

    де с - довжина ланки Р0Р1 контрольного багатокутніка (див. рис.1); й - довжина ланки Р2Р3; та S2 -площi трікутнік1в Р0Р1Р2 та Р1Р2Р3 вiдповiдно.

    При формуваннi обводу іншого порядку гладкосп необхвдно Забезпечити рiвнiсть радiусiв Кривин в шнцевш точц1 Попередньо! та Першi точщ Наступний! дiлянки.

    Если при змщент середньо! ' ланки р1р2 паралельно хордi Р0Р3 перший та Останнi БТ згущення досягають рiвнобедреностi, то корегування параметрiв ланцюга Виконуемо змiною кута Нахил середньо! ланки р1р2 до Хорді Р0Р3.

    При корегуваннi первого БТ згущення повертаемо СЕРЕДНЯ ланку р1р2 таким чином, щоб ланка Р0Р1 контрольного багатокутніка зменшувалася, а ланка Р2Р3 збiльшувалася (рис. 2). При корегуванш последнего БТ згущення - д1емо навпаки.

    Если тсля Виконання корегувань, Сформувати дiлянку ДПК з монотонною змiною Кривин дугою одного В-сплайна Неможливо, дiлянка формуеться як склад крива іншого порядку гладкосп, что складаеться з двох та б№ше дiлянок В-сплайна. У цьом випадка БТ згущення формуються с помощью алгоритму Кокса де Бура.

    Висновки

    В робот предложено спосiб формирование дiлянки кубiчного В-сплайна iз ЗАБЕЗПЕЧЕННЯМ монотонно! змші Кривин вздовж криво! при накладення граничних условиях на координати граничних точок та положення дотичність в них.

    Предложено споаб, Який дозволяе візначіті закономiрнiсть змiни Кривин вздовж кубiчного В-сплайна, что визначаеться контрольно багатокутніком. Предложено спосiб визначення радiусiв Кривин в граничних точках дуги По-сплайна через параметри контрольного багатокутніка. Предложено Способи корегування контрольного багатокутніка з метою забезпечення монотонно! змші Кривин вздовж криво!.

    Завдання майбутшх дослщжень е формирование обводу іншого порядку гладкосп з монотонною змшою Кривин, дмнкі которого складаються з В-сплайна, что может складатіся з довшьно! кiлькостi дiлянок.

    Список вікорістаноТ лггературі

    1. Лі Кунву. Основи САПР CAD / CAM / CAE / Кунву Лі. - СПб. : Пітер, 2004. - 560 с.

    2. Найдіш В.М. Дискретна штерполяц1я / В. М. Найдіш. - Мелгтополь: Люкс, 2008. - 250 с.

    3. Холодняк Ю.В. Варіативної дискретне геометричне моделювання обводів на основі базисних трикутників по заданому зміни кривизни: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / Ю.В. Холодняк. - Мелітополь, 2016. - 24 с.


    Ключові слова: Кубічних В-СПЛАЙН / ДИСКРЕТНО ПРЕДСТАВЛЕНА Крива (ДПК) / A DISCRETE CURVE / КОНТРОЛЬНИЙ багатокутника / CONTROL POLYGON / БАЗИСНИЙ ТРЕУГОЛЬНИК / A BASIC TRIANGLE / кривизни / CURVATURE / CUBIC B-SPLINE

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити