Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2009
    Журнал: Наукові відомості Бєлгородського державного університету. Серія: Математика. фізика

    Наукова стаття на тему 'Конструювання многопараметрических полиномов на Бікубічеський елементі серендіпова сімейства'

    Текст наукової роботи на тему «Конструювання многопараметрических полиномов на Бікубічеський елементі серендіпова сімейства»

    ?УДК 519.6

    КОНСТРУЮВАННЯ багатопараметричний полінома НА Бікубічеський елементів СЕРЕНДІПОВА РОДИНИ

    І.А.Астіоненко, Е.І.Літвіненко, А.Н.Хомченко

    Херсонський національний технічний університет,

    Бериславське шосе, 24, м Херсон, 73008, Україна e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    В роботі приведено конструктивне доказ існування многопараметрических базисів кінцевого елемента серендіпова сімейства. На прикладі плоского елемента з 12 вузлами (бікубічеськая інтерполяція) вперше побудовано безліч інтерполяційних поліномів, що містять від 12 до 16 параметрів.

    Ключові слова: кінцевий елемент серендіпова сімейства, поліноміальний базис типу Лагранжа, багатопараметрична інтерполяція, лінії нульового рівня.

    1. Введення. На початку 40-х років минулого століття, коли Курант опублікував ідею методу скінченних елементів (МСЕ), в середовищі інженерів і обчислювачів безроздільно панував метод кінцевих різниць (МКР), заснований на ідеях Бьyoркнеса і розвинений в роботах Річардсона, Саутвел-ла і Мотц. Курант запропонував розділити прямокутну осередок ортогональної сітки МКР навпіл на два трикутника, маючи на увазі можливість застосування в трикутнику лінійної інтерполяції функції двох аргументів. Пізніше Тернер узагальнив ідею Куранта на довільно орієнтовані трикутники, а процедура тріангуляції стала найбільш природним і звичним способом дискретизації області в двовимірних крайових задачах. Після появи унітарного базису билинейной інтерполяції відродився інтерес до прямокутним (квадратним) осередкам. Стало зрозуміло, що при дискретизації плоскою області довільної конфігурації квадратні осередки зручні всередині області, а трикутні - в прикордонній смузі. Інша можливість апроксимувати криву кордон області пов'язана з введенням криволінійних координат в чотирикутнику. Перша спроба використовувати Білінійні функції форми для введення неортогональних координат була зроблена тайзі в 1961 р [1, 2]. Він застосував білінійну базис для деформування прямокутника в довільний чотирикутник. У 1964 р Білінійні апроксимації з тією ж метою успішно застосовували Гал-лагер, Раттінгер і Арчер [2]. У 1966 р Айронс узагальнив цю ідею на інші кінцеві елементи [1].

    Так з'явилася вельми зручна форма відображення кінцевого елемента

    - параметричне відображення, коли залежність між локальними координатами елемента (?, п) і глобальними координатами (x, y) записується з використанням інтерполяції того ж виду, що й застосовувана для апроксимації польової функції (ізопараметричних перетворення). У 1968 р Ергатудіс, Айронс, Зенкевич і Ахмад [3-5] розглянули сімейство "ізопараметричних" елементів з криволінійними межами. Винахідливим підбором полиномов за допомогою заданих граничних точок ці автори несподівано відкрили елементи, аппроксимирующие досить спільні кордони [1]. Зенкевич запропонував вдала назва - "serendipity" family, і цей термін відразу ж прижився в науково-технічній літературі. Слово "serendipity" ( "дар несподіваних відкриттів") увійшло в англійську мову ще в 1754 р з легкої руки Горація Уолпола - англійського письменника, який переказав в приватному листі перську казку "Три принца з СЕРЕНДІП" (СЕРЕНДІП - давня назва Цейлону). Наведені в літературних джерелах базисні функції серендіпових КЕ називають стандартними. Ці функції добре справляються із завданням ізопараметричних відображення квадрата в довільний чотирикутник, однак інтерполяційні якості стандартних базисів не завжди бездоганні. Всі стандартні базиси серендіпових кінцевих елементів (СКЕ), крім білінійної, мають недоліки. До них можна віднести наявність негативних навантажень в повузлова розподілі рівномірної масової сили, кратні нулі в вузлах. В рамках традиційного матричного аналізу позбутися цих недоліків не вдається. Запропонована Тейлором в 1972 р [6] процедура систематичного генерування базису привела до тих же стандартним моделям. В кінці 70-х років завдяки роботам Уачспресса [7] з'явився геометричний метод моделювання базисних функцій. Однак цей метод не отримав належного розвитку, а на серендіповом сімействі зовсім не застосовувався. На початку 80-х років був запропонований вероятностно-геометричний метод побудови базису КЕ [8-10]. Переваги цього методу особливо чітко проявилися на серендіпових моделях [11,12]. Зворотні завдання серендіпових аппроксимаций [13] зажадали створення комбінованого (алгебро-геометричного) методу рішення. Об'єднання двох підходів в один ефективний метод є природним наслідком історичного розвитку алгебри і геометрії. Так само, як і метод Уачспресса ( "products of planes"), наш метод творів площин і поверхонь другого порядку своїм корінням сягає в епоху Жирара і Декарта (17 ст.), Які вперше висловили (без дока-

    зательства) основну теорему алгебри (ОТА). Маклорен і Ейлер уточнили формулювання ОТА, надавши їй сучасну форму: всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток лінійних і квадратичних множників. У 1799 р Гаусс отримав докторський ступінь за точне доказ ОТА. Пізніше Гаус привів ще два бездоганних докази (1814 р 1850р.). У цій теоремі неважко побачити не тільки чіткий геометричний сенс, але і спосіб геометричного конструювання інтерполяційних поліномів зі спеціальними умовами. Як відомо [1, 14-18], серендіпови поліноми мають дійсні коефіцієнти, тому базис СКЕ можна отримати перемножением площин і нелінійних поверхонь. Використовуючи цю властивість, в даній роботі автори спробували уніфікувати процедуру побудови багатопараметричних інтерполяційних поліномів з регульованою кількістю параметрів на прикладі Бікубічеський елемента серендіпова сімейства.

    2. Стандартний інтерполяційний поліном СКЕ-12. Розглянемо Бікубічеський СКЕ: це квадрат розміром 2x2, на кордоні якого регулярно розташовані 12 вузлів (рис.1) і система базисних функцій.

    9 8

    10О С-О 07

    11 Про

    12 С

    про

    ) 5

    1? 1 < 1, 1п1 < 1-

    1

    ? п

    ^ 2 п2

    ?3? 2п? П2 П3

    ?3п? П3

    12 3 4

    Рис.1. Бікубічеський СКЕ. Рис.2. елементи трикутника

    Паскаля для стандартного полінома СКЕ-12.

    Стандартний інтерполяційний поліном цього елемента має 12 параметрів:

    п) = а + «2<? + АЗП + «4<?2 + а5? П + «БП2 +

    (1)

    + «7? 3 + ав? 2п + ад? П2 +« 1оп3 + ап? 3п + а ^ П3 -

    Це неповний поліном четвертого ступеня, елементи якого симетрично

    розташовані в трикутнику Паскаля (рис. 2). Стандартні (ізопараметрі-етичні) функції форми цього елементу можна знайти, наприклад, за допомогою методу оберненої матриці [14]:

    Щ?, 'П) = - ^ {1 +? Ш1 + гЦ'п) [9 (^ 2 + 772) - 10], г = 1,4, 7,10; &,гц = ± 1,

    (2)

    9 1

    N * (?, * 7) = з2 (1+? 7 *? 7) (1? 2) (1 + 9? Го, г = 2,3,8,9; = ± -, ц = ± 1 , (3)

    91 ЛЩ,>7) = Д2<1 + 9'от) (1 - '? 2) (1 +60, * = 5,6,11,12; & = ± 1,) ;, = ±- .

    (4)

    У загальному випадку аппроксимирующий поліном Бікубічеський СКЕ має вигляд

    12

    i = 1

    де - базисна функція, що відповідає вузлу г на КЕ (r = 1,12), [/ * - вузлове значення шуканої функції у вузлі г.

    Базисні функції (як стандартні ізопараметричних, так і альтернативні многопараметрические) повинні мати наступні властивості (умови типу Лагранжа):

    Щ? К, п *) = $ гк, (5)

    де ^ ik - символ Кронекера, г - номер функції, до - номер вузла. При цьому виконується умова вагового балансу

    12

    !>,(?,>,) = 1. (6)

    i = l

    Крім того, функції форми Д; (?, п) забезпечують безперервність на кордоні: якщо вузол г належить конкретної стороні квадрата, то функція Д; (?, п) уздовж цієї сторони змінюється за законом кубічної параболи (4 вузли).

    Одна з характеристик базису - повузлова розподіл рівномірної масової сили. Вузлова частка навантаження визначається подвійним інтегралом

    по області та кінцевого елемента від відповідної базисної функції, зваженої з поверхневою щільністю 7

    Pi = 7Ni (^, n) d ^ dn, I = І, 2, ..., І2 .

    Для однорідної пластинки 7 = 0, 25.

    У моделі (2) - (4) кутовий значення в повузлова розподілі рівномірної масової сили р = -. Позбутися від цього недоліку (і від хати-

    8

    точних кратних нулів в вузлах) можна за допомогою додаткових, "поза-вузлових" параметрів, додавши в поліномі (1) ще одне або кілька доданків. Назвемо такі інтерполяційні поліноми "багатопараметричний". Для побудови таких поліномів раніше було запропоновано кілька способів [9,11,12]. У даній роботі пропонується метод отримання незліченної безлічі функцій форми для СКЕ-12 з кількістю параметрів від 12 до 16, що дозволяє істотно змінювати властивості інтерполяційного полінома.

    S. Інтерполяційний поліном Бікубічеський СКЕ з 1S параметрами. Застосуємо комбінований алгебро-геометричний метод, запропонований в [13]. Реалізується він в два етапи:

    1) з геометричних міркувань базисна функція a priori записується як добуток лінійних і нелінійних множників з невідомими коефіцієнтами;

    2) відповідно до гіпотезою Лагранжа складається система алгебраїчних рівнянь, яка вирішується за допомогою матричних методів.

    Для отримання 13-параметричного полінома, не порушуючи умови зміни функції форми уздовж боку квадрата по закону кубічної параболи, можна уявити N1 (^, n) і N2 (4, n) у вигляді

    N1 = К1 (І - 4) (І - n) (A {2 + BCn + Cn2 + D + En +1); (7)

    N2 = K2 (1 - С2) (І - n) (F? + Gn + І). (8)

    Співмножники в дужках можна асоціювати з площинами і поверхнями другого порядку, що проходять через відповідні вузли і точку (-1, -1,1) для першого вузла або точку (-1/3, -1,1) для другого вузла. Невідомі коефіцієнти знайдемо, вирішивши систему, складену за допомогою (5) (k - номер вузла):

    '= 1 ,

    = про,

    ^ 2 (^ до, Пк) = 1 ,

    < ^ 2 (^ до, Пк) = 0 ,

    [= Р,

    к = 1;

    к = 2,3,11,12; к = 2; к = 3;

    (9)

    1

    4

    Зазвичай за допомогою вхідних в систему (9) подвійних інтегралів обчислюють частку відповідного вузла в повузлова розподілі рівномірної масової сили, коли функції ^ (?, п) і ^ (?, п) вже відомі. Прирівнюючи ці інтеграли від невідомих поки функцій змінної р - вузловому значенням рівномірної масової сили в вершині СЕ (в останньому рівнянні -залежність р2 від р, тому що 4р + 8Р2 = 1), ми ставимо зворотну задачу - отримати функції форми Ж * ( ?, п) у вигляді виразів, що залежать від змінної р.

    Система (9) має єдине рішення, яке дозволяє записати

    + Ш (! + Т) х

    х [9 (^ 2 + п2) + 9 (8р + 1) (&?п * п - &? - П * П) + 72р - 1 ,

    (10)

    г = 1,4, 7,10; ^ = ± 1,

    9

    ЛЩ, V) = ^ (1 - <?2) (1 + т) [Щ? + (8р + 1>'Від +1 - 8р],

    «= 2,3,8,9; ^ = ± -, ту * = ± 1,

    9

    -^? 2) (1 + ШІ18 ^ + (8Р +!)&? + 1 - 8р] ,

    г = 5,6,11,12; ? = ± 1,7 * = = ^.

    (12)

    Отримані базисні функції повністю відповідають умовам (5), (6). Щоб знайти компоненти інтерполяційного полінома типу (1), розкриємо всі дужки в N1 (^ 5 п) і перегруппіруем складові

    (9 1 \ 5 5 9 2 5 ^ 9 2

    "1 = (УЗГ + 16« + Тб4 - 4Р «-16С '" - 4Р "-

    9 9 ^ 2 9 2 9 3 9. 9 3 (9 9 \ 2 + 2

    ~ 32С "32" "32" 32 "+ 32 ^" + 32 ^ + (32 + АР) ^ П

    (13)

    Та ж процедура для Ж2 (?, П) дозволяє визначити, що ця функція не вносить додаткових доданків в загальний поліном

    N2 =

    99

    64 8

    27. 9

    32 "3277 М 8і" 647

    27

    32е

    99

    8 64

    П

    27

    32 (

    -^ € 8ч- (| р + ^) «У-

    (14)

    При зміні змінної р отримуємо безліч базисів (10) - (12), які містять 13-й параметр а13? 2П2 (рис. 3а).

    1

    ? п

    ?2 + 2 п п -іу>

    п 2 + 2 п

    ? 3п? 2П2? П3

    (А)

    1

    ? п

    ?2? П п2 П3? 3? 2п? П2 П3

    ?3п? П3

    ?3П2? 2п3

    (Б)

    ? 3

    1 + 1

    ? П? п

    ?2? П 2 п? 2? П 2 п2

    ? 2п 3 2 -іу> 2? ? ? п2

    ? 3п 2 + 2? П3? 3п 2 + 2? ? П3

    2 3 (в) 2 + 2 3 × 3? (3 п ?

    П3

    Мал. 3. Елементи трикутника Паскаля для багатопараметричних полиномов СКЕ-12.

    При р = -1/8 цей параметр зникає, інтерполяційний поліном (13) стає стандартним (рис. 2), функції (10) - (12) переходять в (2) - (4).

    Цікавим видається аналіз і візуалізація ліній нульового рівня - ліній перетину складових функцію поверхонь і площини елемента. В Ж [(?, П) перші дві дужки - це сторони квадрата 4-7 і 7-10, протилежні першим вузлу. Визначити тип лінії, представленої останньої дужкою, можна за допомогою стандартного методу дослідження кривих другого порядку, склавши і проаналізувавши визначник з коефіцієнтів при змінних. Результати цього дослідження зображені на малюнках 4-12. Як випливає з цих малюнків, отримані нові типи базисних функцій (різні гіперболи - рис. 4, 10, 12; еліпс - рис.6), а відомі раніше базиси виходять при приватних значеннях р (базис з параболою

    - рис.5, з окружністю - рис.7 (стандартний базис), з еліпсом - рис.8, з паралельними прямими - рис.9, з пересічними прямими - рис.11).

    Пунктиром проведена пряма на всіх малюнках - це лінія нульового рівня для N2, що задається останньої дужкою (перші дужки N - це сторони квадрата 4-7, 7-10, 10-1).

    ЛС.4.Р6 (-І, -! '

    Рис.7. р = -. 1 8

    р, до: .8. г, "(Ч§)-

    Рис.9. р = -. 1 8

    р, к10р € (^: 1)-

    Рис.11. р = -. 1 16

    / 3 1 \ Рис.12 .. р € -, - .

    1 \ 16 2 /

    Візуалізація ^ (?, п) і N2 (?, N) (рис.13) наочно демонструє основні властивості базисних функцій: в своєму вузлі - одиниця, в інших - нуль, за відповідною кордоні СЕ - кубічна парабола.

    а) ^ ({, п)

    б) N2 (?, п)

    Рис.13. Візуалізація 13-параметричних базисних функцій СКЕ-12 при р = 0.

    4. Інтерполяційний поліном Бікубічеський СКЕ з 14 і 15 параметрами. Нескладно помітити, що, не порушуючи умови зміни функції форми уздовж боку квадрата по закону кубічної параболи, ^ (^, п) можна уявити замість (7) у вигляді

    При цьому Ж2 (?, П) залишається таким же - (8). (У всіх випадках, що розглядаються далі, ^ 2 (?, п) залишається незмінним). При такому поданні ^ (?, п) система (9) має чотири рішення: два з них симетричні щодо діагоналі квадрата 1-7, а два - з порушенням геометричної изотропии. Це легко пояснити: в останній скобці в загальному вигляді записано вираз, що задає пряму, що проходить через два вузла: пряму 2-12 або 3-11 (симетричні випадки), або пряму 3-12 або 2-11 (несиметричні випадки). Одне з симетричних рішень для Ж1 (?, П) має вигляд

    Розкривши всі дужки в (16), отримаємо поліном з 15 параметрами, зазначеними

    Змінюючи значення р, отримуємо безліч 15-параметричних базисів, які відповідають умовам (5), (6). Лінії нульового рівня

    N1 = Кі (1 -?) (1 - п) (А? П + В? + Сп + 1) (С? + Еп + 1). (15)

    М = ^ (1 -?) (1 - >>) [Е (8р - 1)? 17 + 3 (24р + 1)? + 3 (24р + 1>, + (72р - 1)] х

    х (3? + 3п + 4).

    (16)

    на ріс.Зв,

    N1

    9 2

    -?РП

    П3 +

    (17)

    ^ (?, п) і ^ (?, п) зображені на малюнках 14-20. Візуалізація функції ^ (?, п) в точці виродження гіперболи в дві пересічні прямі представлена ​​на рис.21.

    Всі відомі раніше 15-параметричні моделі є окремими випадками (16) або інших рішень системи (9) при певних значеннях р (рис.18). Якщо р = -1/8 (рис.15), то поліном містить 14 параметрів, зазначених на ріс.Зб. Тобто, як і в випадку виродження 13-параметричного базису в 12-параметричний, в поліномі (17) зникає доданок а13? 2П2. Якщо р = 1/8 (рис.19), отримаємо базис з 13 параметрами (рис. За) - окремий випадок (10), когдар = 1/8 (рис.9).

    РПС 14 »е (Ч § '

    Рис.15. р =-------,

    1 8

    Рис.16. р Є (~ 2 0

    Рис.19. р = -1 8

    Одне з рішень з порушенням геометричної изотропии:

    ^ = З ^ 1 _ ??) (3? + 6? 7 + 5) х

    х [9 (16р - 3)? п + 3 (48р + 1)? + 12 (24р - 1) п + 2 (72р - 1)]. (18)

    Лінії нульового рівня ^ (?, п) і ^ (?, п) цього базису зображені на малюнках 22-28.

    Рис.23. р = -. 1 8

    II) 1

    11

    12

    про з ° V | 1 + 1 1

    1 'т

    1

    ч

    1

    1

    • V

    1

    1

    ь

    1

    Про 1 ^ -. г |

    Рис.28. ре | ^

    Рис.25. р = -. 1 32

    Рис.26. р € (-, -) • 1 V 32 16 /

    Рис.27. р = -. 1 16

    Рис.29. Візуалізація 15-параметричної функції Nl (?, П) з порушенням геометричної изотропии при р = 0.

    При виродження гіперболи в дві пересічні прямі (рис.17 і 25) поліноми (17) і (18) відповідно містять 15 параметрів (рис. 3в), якщо р = -1/8 (рис.23), то - 14 параметрів ( рис. 3б). Якщо ж р = 3/16 (рис.27), отримаємо базис з 13 параметрами (рис.3).

    5. Інтерполяційний поліном Бікубічеський СКЕ з 16 параметрами. Не порушуючи зазначених раніше обмежень, Ж1 (?, П) можна задати і таким чином:

    N1 = К1 (1 - 0 (1 - П) (А? П + ?? + Вп + 1) (С? П + + Еп + 1). (19)

    При цьому система (9) має два рішення, що дозволяють уявити Ж1 (?, П)

    в двох варіантах:

    Nl = 32 (Е-1]<~ 1-0 ^ П) [(7'Ер-Е-72р + Щг1 + + (72Ep - E - 72p) (? + N) +

    + (72p- 1) (E- 1)] • [(3-4E)? N + E (? + N) + 1] (20)

    або

    Ni = 32 (Д_ (1 -?) (1-<?) [(72Др-Д-72р-3)? |? +

    + (72Ep - E - 72p) (? + N) +

    + (72p- 1) (E- 1)] • [(3 - 2E)? N + E (? + N) + 1]. (21)

    Отримані рішення є функціями змінної p і одного з невідомих коефіцієнтів, наприклад, E початкового рівняння (19). Змінюючи значення цього коефіцієнта, ми можемо конструювати безліч базисів для одних і тих же значень p. Всі ці базиси відповідають умовам (5), (6) і дозволяють записати 16-параметричний поліном типу (13), елементи якого представлені на ріс.Зг. Розглянемо окремий випадок (21) при E = 2,

    Nl = ^ _ ^) (1 ~ г1Ш2р ~ 5) C'f + (72Р-2Ж + '7) + (72р - 1)] х

    x [-? n + 2 (? + n) + 1] • (22)

    Після розкриття дужок і перегрупування отримаємо

    (9 1 ^ (9 3 V (9 3 \

    Nl - {4P ^ 32) + {2P ^ 32) i + {2P ^ S2) rl ^

    9, 2 (9 5 V 9 2

    -4Pi - {- 4Р + ^)&--4РГ1 +

    + (- \ р + й + (ЛР + й е,) + (ЛР + й ^ + (~ 1р + йпЧ

    +

    1 \ 9

    8 У 32 '

    ~ ЛР + ее) + (\ р + ее) їїїї ^ 3 + (~ ЛР + ЇЇЇЇ)? 2 ^ 2 +

    1 \ 9

    8 У 32 '

    '9

    327

    +1 ір -? Г) «У + (16р- ^) <У + (-ТР + ^) «У

    (23)

    9

    21

    32

    327

    9

    327

    Лінії нульового рівня жі (?, П) і Ж2 (?, П) цього базису зображені на малюнках 30-35.

    р "з-зо-" е (Ч-ш '

    Рис.31, р =------,

    ^ 8

    Рис.32. р = -

    Рис.33, р =

    1 V тисячі чотиреста сорок п'ять 72 ,

    Рис.34, р = -. 1 72

    Рис.35, р Є (А *

    Як і в попередніх випадках, при р = -1/8 (рис.31) кількість параметрів полінома (23) зменшується, він стає 15-параметричних - зникає доданок а13? 2П2. Отриманий при цьому поліном відрізняється за складом від 15-параметричного (17), елементи якого наведені на рис. 3в. Поліном з такими ж компонентами, як в (17), утворюється з (23) при р = 5/72, коли А16 = 0 (рис.34). Крім цього, при р = 13/144 зникають складові А14? 2П3 і А15? 2п3, в поліномі (23) залишається 14 параметрів (рис.35).

    5. Висновки. Знайдені модифіковані многопараметрические моделі дозволяють позбутися від "негативізму" в повузлова розподілі рав-

    номерний масової сили, а також істотно зменшити кількість кратних нулів в вузлах, що пом'якшує надлишкову жорсткість моделі [19].

    література

    1. Зенкевич О. Метод кінцевих елементів в техніці / О.Зенкевіч. - М .: Світ, 1975. - 541с.

    2. Оден Дж. Кінцеві елементи в нелінійної механіки суцільних середовищ / Дж.Оден. - М .: Світ, 1976. - 464 с.

    3. Ergatoudis I., Irons B.M., Zienkiewicz O.C. Curved isoparametric "quadrilateral" elements for finite element analysis // Internat. J. Solids Struct. -1968. - 4. - P.31-42.

    4. Ergatoudis I., Irons B.M., Zienkiewicz O.C. Three dimensional analysis of arch dams and their foundations // Proc. Symp. Arch, Dams, 1968. - P. 21-34.

    5. Ahmad S., Irons B.M., Zienkiewicz O.C. Curved thick shell and membrane elements with particular reference to axisymmetric problems // Proc. 2d Conf. Matrix Methods Struct. Mech, AFFDL-TR-68-150 (Oct. 15-17, 1968), Wright-Patterson AFB, Ohio. - P.539-572.

    6. Taylor R.L. On the completeness of shape functions for finite element analysis // J. Num. Meth. Eng. - 1972. - 4; 1. - P. 17-22.

    7. Wachspress E.I. A rational finite element basis / E.I. Wachspress. - Academic Press: New York, 1975. - 216p.

    8. Хомченко А.Н. Деякі ймовірні аспекти МСЕ / А.Н.Хомченко.

    - Івано-Франк. ін-т нафти і газу: Івано-Франківськ, 1982. - 9с; деп. в ВІНІТІ, №1213.

    9. Хомченко А.Н. Про базисних функціях МСЕ для рівнянь в приватних похідних / О.М. Хомченко. - III Респ. симпозіум з диффер. і ін-ТЕГРА. рівнянням: тез. доп. - Одеса: ОДУ, 1982. - С. 257-258.

    10. Хомченко А.Н. Про модифікації серендіпових елементів / О.М. Хомченко. - Івано-Франк. ін-т нафти і газу: Івано-Франківськ, 1983. - 4с; деп. в ВІНІТІ, №3643.

    11. Камаева Л.І., Хомченко А.Н. Про моделювання кінцевих елементів се-рендіпова сімейства // Прикл. проблем міцності та пластичності: Всесоюз. межвуз. зб. - Горький: ДКУ. - 1985. - С.14-17.

    12. Хомченко А.Н. Литвиненко Є.І., Гучок П.І. Геометрія серендіпових аппроксимаций // Прикл. геом. і інж. графіка. - К .: Будiвельник, 1996..

    - Вип.59. - С.40-42.

    13. Хомченко А.Н., Астіоненко І.А., Литвиненко Є.І. Зворотні задачі про інтегральних середніх для серендіпових полиномов // Вісник Херсонського национ. техн. ун. - 2007. - 2 (28). - С.383-389.

    14. Зенкевич О., Морган К. Кінцеві елементи і апроксимація / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1986. - 318с.

    15. Коннор Дж. Метод кінцевих елементів в механіці рідини / Дж. Коннор, К. Бреббія. - Л .: Суднобудування, 1979. - 264с.

    16. Галлагер Р. Метод кінцевих елементів. Основи / Р.Галлагер. - М .: Світ, 1984. - 428с.

    17. Сегерлінд Л. Застосування методу кінцевих елементів / Л.Сегерлінд. -М .: Світ, 1979. - 392с.

    18. Немчинов Ю.І. Розрахунок просторових конструкцій (метод кінцевих елементів) / Ю.І. Немчинов. - К .: Будiвельник, 1980. - 232с.

    19. Стренг Г. Теорія методу скінченних елементів / Г.Стренг, Дж.Фікс. -М .: Світ, 1977. - 350С.

    CONSTRUCTION OF THE MULTIPARAMETER POLYNOMIALS BY THE BICUBIC ELEMENT OF SERENDIPITY FAMILY

    I.A.Astionenko, Ye.I.Litvinenko, A.N.Khomchenko

    Kherson National Technical University Berislavskii Way 24, Kherson, Ukraine, 73008, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    The existence of multiparameter bases constructed by the serendipity family of finite elements

    is proved constructively. The infinite set of interpolation polynomials which contains from 12 to 16

    parameters is built in the frame of 12-node flat element (bicubic interpolation).

    Key words: finite element of serendipity family, multiparameter interpolation, Lagrange polynomial

    basis, zero-level lines of basis functions.


    Ключові слова: кінцевий елемент серендіпова сімейства / поліноміальний базис типу Лагранжа / багатопараметрична інтерполяція / лінії нульового рівня

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити