Запропоновано спосіб побудови баргмановскіх гамільтоніані матричного рівняння Шредінгера і рішення цього рівняння, заснований на властивостях характеристичної функції. Його можна використовувати для вирішення багатьох завдань квантової фізики і теорії солітонів.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Зайцев А. А., Каргаполов Д. А.


Construction of Bargman Hamiltonians of matrix Schrodinger equation

In the paper method of construction of Bargman Hamiltonians of matrix Schrodinger equation and its solutions based on properties of characteristic function is stated. It can be used for solution of many problems of quantum physics and soliton theory.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2008
    Журнал: Вісник Балтійського федерального університету ім. І. Канта. Серія: Фізико-математичні та технічні науки
    Наукова стаття на тему 'Конструювання баргмановскіх гамільтоніані матричного рівняння Шредінгера'

    Текст наукової роботи на тему «Конструювання баргмановскіх гамільтоніані матричного рівняння Шредінгера»

    ?про авторів

    А. А. Зайцев - канд. фіз.-мат. наук, ст. науч. співр., РГУ ім. І. Канта. П. В. Дідковський - асп., РГУ ім. І. Канта, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    20

    УДК 530.1

    А. А. Зайцев, Д. А. Каргаполов

    КОНСТРУЮВАННЯ БАРГМАНОВСКІХ гамільтоніані матричного рівняння Шредінгера

    Запропоновано спосіб побудови баргмановскіх гамільтоніані матричного рівняння Шредінгера і рішення цього рівняння, заснований на властивостях характеристичної функції.

    Його можна використовувати для вирішення багатьох завдань квантової фізики і теорії солітонів.

    In the paper method of construction of Bargman Hamiltonians of matrix Schrodinger equation and its solutions based on properties of characteristic function is stated. It can be used for solution of many problems of quantum physics and soliton theory.

    Гамільтоніан матричного рівняння Шредінгера для m-рівневої квантової системи в зовнішньому полі

    ihy = Ну, H = JE + V, diagV = 0, (1)

    J = diag (cl, ..., cm), ci > c2 >... > cm. (2)

    називається баргмановскім, якщо рівняння (1) має рішення виду

    у = P (E, t) exp (JEt / ih), (3)

    де P (E, t) - многочлен від E з матричними коефіцієнтами, залежними від t.

    Якщо підставити (3) в (1), то отримаємо наступне рівняння для многочлена P (E, t):

    ihP = E [J, P] + VP. (4)

    Можна показати, що для будь-якого полиномиального рішення цього рівняння старший коефіцієнт є постійною матрицею.

    Для конкретного баргмановского гамильтониана H існує нескінченно багато рішень, що мають уявлення виду (3). Дійсно, помножимо рішення (3) справа на довільний матричний діагональний многочлен Po (E), що не залежить від t, тоді отримаємо нове рішення рівняння (1), так як експонента в (3) - діагональна матриця, тому комутує з будь-якою іншою діагональною матрицею . Після перестановки експоненти вправо нове рішення також буде мати вигляд (3), але з заміною многочлена P (E, t) на P (E, t) P0 (E).

    Зазначимо найважливіше властивість рівняння (4).

    Вісник РГУ ім. І. Канта. 2008. Вип. 4. Фізико-математичні науки. С. 20 - 25.

    Теорема 1. Для будь-якого рішення Р (Е, ї) рівняння (4) функція Р (Е, ї) = БР (Е, ї) Б, 5 = | ° 1 | , Також буде рішенням цього рівняння.

    I-1 °)

    Доведення. Простим обчисленням можна переконатися в справедливості співвідношень] Б + Б] = Бїг], УБ + БО = ° .

    Використовуючи їх, отримуємо:

    йР - е [, ~] - УР = ЇНБРБ - е [], БРБ] - УБРБ = = -ЕЗІ], Р] -БУРБ -е], БРБ] - УБРБ =

    = Е (БР (] Б + Б]) - (] Б + Б]) Рб) - (БО + Уб) Рб = Еїг] (БРБ - БРБ) = ° .

    теорема доведена.

    Многочлен Р (Е, ї) називається нормалізованим, якщо він має найменший ступінь і його старший коефіцієнт є одиничною матрицею I.

    Теорема 2. Для кожного баргмановского гамильтониана нормалізований поліном единственен.

    Доведення. Дійсно, нехай Р (Е, ї) і Р1 (Е, ї) - два різних нормалізованих многочлена. Тоді їхні старші мірою збігаються. Далі різниця рішень рівняння (1) знову буде вирішенням цього рівняння, тому функція р = (Р (Е, ї) - Р1 (Е, ї)) ехр (] Еї / ЇН) є рішення рівняння (1). Вона також має уявлення виду (3), в якому ступінь многочлена менше ступенів многочленів Р (Е, ї) і Рі (Е, ї), що суперечить визначенню нормалізованих многочленів. Отримане протиріччя доводить справедливість твердження про єдиності нормалізованого многочлена.

    Ступінь нормалізованого многочлена назвемо порядком баргма-ського гамильтониана.

    Можна показати, що баргмановскій гамильтониан порядку п виражається через другий за старшинством коефіцієнт нормалізованого многочлена за допомогою формули

    У (ї) = - [], Рп-1 (ї)]. (5)

    Ряд властивостей баргмановского гамильтониана викладено в [1].

    Далі розглядається випадок дворівневої квантової системи, п = 2.

    Теорема 3. Нормалізований многочлен підпорядковується тотожності

    Р (Е, ї) = -БР (Е, ї) Б. (6)

    Доведення. Згідно з теоремою 1, обидві частини рівності (6) будуть рішеннями рівняння (4). Старшим коефіцієнтом многочлена в правій частині (6) буде матриця -БІБ = -Б2 = I (в справедливості рівності Б2 = І переконуємося прямим обчисленням). Отже, цей многочлен нормалізований і по теоремі 2 збігається з Р (Е, ї).

    Наслідком тотожності (6) буде уявлення

    Р (Еї) = (р11 (Е, ї) р12 (Е, ї) 1 (7)

    Р (Е'ї) [- Р12 (Е, ї) Р11 (Е, ї). (7)

    21

    22

    назвемо матрицю

    в (Е) = аеЬ Р (Е, ї) (8)

    характеристичним многочленом баргмановского гамильтониана. Очевидно, що для баргмановского гамильтониана порядку п ступінь характеристичного многочлена дорівнює 2п.

    Теорема 4. Характеристичний многочлен є парна функція від Е, його коефіцієнти не залежить від ї і є дійсними числами, причому старший коефіцієнт дорівнює 1. Рівняння Є (Е) = 0 не має дійсних коренів, все коріння прості і розпадаються на пари комплексно сполучених чисел.

    Доведення. Скористаємося наступними відомими фактами: 1) нехай В - матриця, елементами якої є алгебраїчні доповнення до матриці А, тоді АВТ = ВТЛ = ІйеїЛ,

    2) якщо А і В залежать від ї, А = А (ї), В = В (ї), то

    - деь А = їг (А тв) = їг (А Вт), йї \ \)

    3) для будь-яких матриць А, В, С має місце тотожність їт (АВС) = їт (САВ).

    Тоді з рівняння (4) і рівності їгУ = 0 (наслідок (1)) отримуємо:

    -гіе ^ Р = ІМТ (РВТ) = Еїг (] РВТ - Р] ВТ 1 -ї

    ihddetP = ihtr (PBT) = Etr (JPBT -PJBT) + tr (vPBt) =

    = Etr (JPBT) - Etr (PJBT) + tr (VI det P) = Etr (JI det P) - Etr (btPJ) + det PtrV =

    = E det PtrJ - Etr (I det PJ) = E det PtrJ - E det PtrJ = G .

    Тому

    G = d det P = G ^ G (E) = const, dt

    і перша частина теореми доведена.

    Далі, з вистави (7) випливає, що, дійсно, характеристичний многочлен є парною функцією від E і його старший коефіцієнт дорівнює 1.

    Припустимо, що рівняння G (E) = 0 має дійсний корінь E = E0. тоді

    G (Eg) = | pu (Eg, t) 2 + | pl2 (Eg, t) = G,

    звідки p11 (E0, t) = 0, p12 (E0, t) = 0. Це означає, що матричний многочлен P (E0, t) = 0. Тоді P (E, t) можна представити у вигляді P (E, t) = (E - E0) Q (E, t). Звідси випливає, що рівняння (l) має рішенням виду (З) з заміною P (E, t) на Q (E, t). Але старший коефіцієнт Q (E, t) є I, значить, Q (E, t) - нормалізований поліном, і тоді P (E, t) НЕ нормалізований, що суперечить умові теореми. Отже, рівняння G (E) = 0 дійсних коренів не має. Оскільки коефіцієнти G (E) дійсні, то все коріння розпадаються на пари комплексно сполучених чисел. теорема доведена.

    Теорема S. Для кожного кореня Ek характеристичного многочлена G (E) мають місце такі уявлення:

    р (р л (&(І) К (і)>| р (ЛІ * (і) До Ш (і)

    Р (Ек, ^ _ пі Кк (п®), ррк'4_Па) до (пах

    де

    Кк (і) _ ехр (с! - с2) Ек (^ - ^) / ІЛ) К (і) _ ехр ((с! - с2 ^ (і - і] *) / Гй), (10)

    комплексні константи ІК і ІК * пов'язані співвідношенням и * - їк _П / (- с2), а пари (§с (і), щ (і)) і (§<* (І), Цк (і)) є рішеннями систем рівнянь

    ІЙ4 (і) _ у (і) Лк (і) (і) _- (з1 - з 2) ЕкПк (і) + у (і) # до (і) ,

    ій4 * (і) _ ь ки (і), іПЛк (і) _- (з і-з 2) епі (і) + ^ до * (і),

    1 (і) _ Кк (і) пк (і), пі (і) _- Кк (і) # до (і);

    тут у (і) і V (і) - недіагональні елементи матриці У (Ь),

    0 У (і) \

    у (} - { «) про

    Доведення. Нехай Е = Ек - комплексний корінь характеристичного многочлена. Оскільки йеЬР (ЕкгЬ) = С (Ек) = 0, то в визначнику (7) при Е = Ек другий стовпець пропорційний першому. Вважаючи? К (1) = ри (Екл), т) до () = Р12 (Ек, ^), будемо мати

    Р11 (Ек, t) = Кк ^) # до ^), р12 (Ек, t) = Кк (*) Лк (*),

    де Як (Ь) - коефіцієнт пропорційності. Записуючи рівняння (4) покомпонентно і підставляючи туди ці рівності, отримуємо формули (9), (10) і інші співвідношення. теорема доведена.

    На основі теорем 3 - 5 пропонуємо такий спосіб побудови баргмановскіх гамільтоніані.

    Многочлен С (Е) факторізуется наступним чином:

    0 (Е) = 0 + (Е) 0_ (Е), 0_ (Е) = С + (Е), (11)

    де коріння З + (Е) розташовані у верхній півплощині, а коріння С- (Е) - в нижній. Позначимо Р ^ Е ^) - перший стовпець матричного многочлена Р (Е, Ь). Тоді відношення Р1 (Е, Ь) / С (Е) розкладається по найпростішим дробям

    <12>

    де {Е} - коріння З + (Е). Вважаємо в розкладанні (12) Е = Ек, тоді, враховуючи, що Рг (Ек, Ь) є перший стовпець матриці (9), отримуємо систему

    # До (() '| = С- ^ до ^ + С- ^ Ке - * ^ ^'

    п ()) _ с- (рк 10 Г С- (Е '-1 Щ (- Е) 4 (і)

    , до _ 1, п, (13)

    або

    п К (і)

    ІК (і) _ С- (Вк) + С (Ек)? с, р (к-р) п (і), (14)

    23

    24

    п Я ^) _

    Пк) = ~ С- (Ек ^ С'_Щ (-Е)) (#) '(15)

    Після підстановки (15) в (14) і деяких перетворень, що використовують друге з співвідношень (11), отримуємо наступну лінійну алгебраїчну систему для% до ^) = р11 (Ек, t), к = 1, п:

    ^ Ак] №; (0 = С_ (Ек), к =% П, (16)

    1 = 1

    де

    Ч (1) = ° кі + ^ +

    Ац (і) = 8ц + С + ІЕ; % (І Еі) • (17)

    Вона вирішується за допомогою формул Крамера. Формули (14) дають лінійні вираження для елементів р21 (Ек, і) через Р11 (Ек, і) • Це дозволяє визначити матричний многочлен Р (Е, і), а потім за допомогою формули (5) сам гамильтониан матричного рівняння Шредінгера.

    Тепер можна вказати процедуру побудови баргмановскіх гамільтоніані.

    1. Слід взяти два набору комплексних чисел {Ек}, {ІК}. Для першого набору 1тЕк>0, а комплексні числа ІК - довільні.

    2. По набору {Ек} будуються многочлени

    З + (Е) = П (Е-Ек), С_ (Е) = С + (Е), С (Е) = С + (Е) 0_ (Е).

    к = 1

    3. Для набору {ІК} будуються функції

    Кк (і) = ехр ((С1 - с2) Ек (і -) / ІП), к = 1 п.

    4. Набори {Ек}, {ІК}, ЩК (і)} визначають систему лінійних алгебраїчних рівнянь для першого елемента матриці Р (Ек, і) (система (16)).

    5. Вирішується алгебраїчна система (16) для §к (і), потім визначаються щ (і) за формулами (15); результатом буде перший стовпець матриці Р (Ек, і).

    6. За формулами (7), (9), (10) знаходиться другий стовпець матриці Р (Ек, і).

    7. За допомогою розкладання (12) відновлюється матричний многочлен Р (Е, і) для довільного Е.

    8. За формулою (5) знаходиться матриця V і, отже, баргма-новський гамильтониан.

    Варто зауважити, що запропонована схема нагадує схему інтегрування методом оберненої задачі, але набагато простіше.

    Висновок. Запропоновано спосіб побудови баргмановскіх гамільтоніані матричного рівняння Шредінгера і рішення цього рівняння, заснований на властивостях характеристичної функції. Перевагами нового способу в порівнянні з методом оберненої задачі розсіювання і перетворенням Дарбу є простота отримання результату і велика компактність уявлень для гамильтониана і

    рішень рівняння Шредінгера (пор. відповідні формули для вирішення аналогічних завдань в [2; З]). Його можна використовувати для вирішення багатьох завдань квантової фізики і теорії солітонів.

    Список літератури

    1. Зайцев А. А., Каргаполов Д. А. Про точні рішеннях матричного рівняння Шредінгера // Вісник РГУ ім. І. Канта. Вип. 3: Сер. Фізико-математичні науки. Калінінград: Изд-во РГУ ім. І. Канта, 2007.

    2. Захаров В. Є., Мінаков С. В., Новіков С. П., Пічаевскій Л. П. Теорія солить-нів: Метод оберненої задачі. М., l9S0.

    3. Тахтаджян Л. А., Тадея Л. Д Гамильтонов підхід в теорії солітонів. М., 1986.

    про авторів

    А. А. Зайцев - канд. фіз.-мат. наук, ст. науч. співр., РГУ ім. І. Канта.

    Д. А. Каргаполов - асп., РГУ ім. І. Канта, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    УДК 551.465

    В. А. Гриценко, А. Г. Зацепін, І. П. Чубаренко, С. С. Низов

    Про гідравлічні стрибка при розшаруванні ВДОЛЬСКЛОНОВОГО гравітаційного ПЕРЕБІГУ

    Аналіз результатів численних і лабораторних експериментів при вивченні взаємодії вдольсклонових течій з пікноклину дозволив ідентифікувати виникнення внутрішнього гідравлічного стрибка для течій з розшаруванням і зміни режиму з закритичного на докритический.

    Analysis of the results of numerical and laboratory experiments on interaction of down-slope currents with a pycno-cline has allowed to identify an occurrence of an internal hydraulic jump and a change of a regime of currents from supercritical to subcritical in the case of shearing.

    Посилки. Ефект розшарування вдольсклонового гравітаційного течії в вертикальній площині при його зануренні в стратифіковану рідина відомий вже досить давно [7; 9] і був отриманий як в лабораторних [9; 10], так і в численних [1; 8] експериментах. Разом з тим через складність реєстрації в зоні контакту різних за щільністю водних мас і на сьогоднішній день відсутній опис механізму їх взаємодії. Мета даної роботи - дослідження ефекту виникнення внутрішнього гідравлічного стрибка при взаємодії поширюється вздовж схилу дна гравітаційного течії з пікноклину.

    В основі роботи лежать результати лабораторних експериментів в гідролотке ІВ РАН [1], що дозволили припустити існування

    Вісник РГУ ім. І. Канта. 200S. Вип. 4. Фізико-математичні науки. С. 2B - 29.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити