Пропонується модель формування цін на фінансовому ринку при незбіжних очікуваннях учасників торгів. Доводиться існування цін, балансують попит і пропозицію. Вказується метод чисельного пошуку таких цін. Показано, що модель допускає агрегування зі збереженням її структури.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Горєлов Михайло Олександрович


COMPETITIVE EQUILIBRIUM IN THE FINANCIAL MARKET

A model of prices forming in the financial market under the circumstances of lack of coincidence of expectations of trade participants is suggested. The existence of prices which balances the demand and supply is proved. The method of numerical search of such prices is proposed. It is shown that the model permits aggregating with preserving of its structure.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2008
    Журнал: Управління великими системами: збірник праць

    Наукова стаття на тему 'Конкурентна рівновага на фінансовому ринку'

    Текст наукової роботи на тему «Конкурентна рівновага на фінансовому ринку»

    ?УДК 519.865 + 519.95 ББК 22.165

    КОНКУРЕНТНЕ РІВНОВАГА НА ФІНАНСОВОМУ РИНКУ

    Горєлов М. А.1

    (Обчислювальний центр РАН, Москва)

    Пропонується модель формування цін на фінансовому ринку при незбіжних очікуваннях учасників торгів. Доводиться існування цін, балансують попит і пропозицію. Вказується метод чисельного пошуку таких цін. Показано, що модель допускає агрегування зі збереженням її структури.

    Ключові слова: Конкурентна рівновага, ієрархічні ігри, фінансові ринки.

    Вступ

    У першій половині п'ятдесятих років минулого століття з'явилися моделі, що формалізують набагато більш ранні уявлення про ринкову рівновагу [8]. Зокрема, було доведено існування цін, балансують попит і пропозиція.

    Приблизно в той же час були запропоновані перші моделі управління фінансовими активами [10]. Пізніше на їх основі були побудовані моделі рівноваги на фінансовому ринку [9, 11]. Ці моделі дуже популярні донині, хоча при їх викладі роботи по ринковому рівноваги чомусь не згадуються [7].

    Моделі рівноваги на фінансовому ринку мають, на думку автора, істотним недоліком: в них предполага-

    1 Михайло Олександрович Горєлов, кандидат фізико-математичних наук (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    110

    ється, що всі учасники ринку, приймаючи рішення, орієнтуються на один і той же прогноз. У той же час одна з основних функцій фінансового ринку полягає в тому, що він агрегує думки інвесторів щодо майбутнього і за рахунок такого «колективного розуму» забезпечує раціональний перетік капіталів між галузями економіки. При цьому істотно, що є оплачені реальними грошима, але різні думки. В іншому випадку ринковий механізм був би не потрібен, а необхідну інформацію можна було б отримувати, наприклад, шляхом експертних оцінок.

    Пропонована нижче модель відрізняється від традиційних двома моментами. По-перше, в ній явно враховані незбіжні прогнози інвесторів щодо розвитку ринку. По-друге, в ній не враховується наявність невизначеності прогнозу. Якщо цю невизначеність враховувати так, як це пропонує Г. Марковіц [10] (див. Також [7]), ми прийдемо до ситуації, описуваної класичною моделлю Ерроу-Дебре [1, 4, 5]. Автору такий спосіб усунення невизначеності представляється не дуже природним. У всякому разі, він не є єдиним можливим. Деякі інші способи обліку невизначеності прогнозу (наприклад, принцип максимального гарантованого результату) призводять до моделі, описаній нижче.

    Дозволю собі зауваження загального характеру. Автору доводилося чути думку, що ієрархічна теорія ігор для фахівців з ринкової економіки марна. Проста теорема 1 показує наявність прозорої зв'язку між ієрархічними іграми і традиційними моделями ідеального ринку.

    Більш того, використання цього взаємозв'язку є ключовою ідеєю при отриманні елементарного докази існування рівноважних цін. До того ж традиційні докази існування рівноваги (див., Наприклад, [1, 4, 5]) спираються на теорему Какутані про нерухому точку, а тому практично не піддаються інтерпретації в економічних

    термінах. Пропоноване нижче доказ цілком природно якраз з точки зору економічного здорового глузду.

    Підкреслимо, що, вводячи при доказі цієї теореми суб'єкта, який призначає ціни, ми аж ніяк не змінюємо моделируемую дійсність. Мова при цьому не йде про введення регульованого ринку. Ми міняємо тільки модель.

    Яка доводиться нижче теорема 2 не є прямим наслідком теореми Ерроу-Дебре, оскільки в класичній моделі функції корисності строго увігнуті, а в нашому випадку вони лінійні. В принципі, можна поступити наступним чином: малим обуренням зробити функції корисності строго увігнутими, послатися не теорія Ерооу-Дебре, а потім перейти до межі, спрямовуючи обурення до нуля. Можливо, такий доказ і коротше, але воно набагато менш прозоро.

    Крім того, таким чином ми отримаємо чисту теорему існування. Звичайно, пошук нерухомих точок можна спробувати конструктівізіровать, однак відповідні алгоритми виходять вкрай неефективними [6]. Наше доказ дозволяє звести пошук рівноважних цін до стандартної задачі опуклого програмування.

    За рамками класичної теорії рівноваги зазвичай залишається питання про те, звідки береться рівновагу. У доведенні теореми 2 неважко побачити опис процедури намацування рівноваги ринком.

    В останньому розділі даної замітки показується, що розглянута в ній модель допускає агрегування зі збереженням її структури. Це досить характерно для моделей рівноваги.

    1. Прийняття рішень портфельним інвестором

    Пропонована нижче проста модель поведінки інвесторів добре описує валютний ринок або ринок дисконтних цінних паперів. Втім, після перетворень до того ж виду

    можуть бути приведені моделі поведінки інвесторів і на інших сегментах фінансового ринку. Оскільки в подальшому будуть істотні лише деякі якісні особливості поведінки інвесторів, які при таких перетвореннях зберігаються, ми обмежимося розглядом цього варіанту.

    Будемо вважати, що на ринку обертається І видів фінансових активів (в їх число зручно включати і гроші). Позначимо N = {1, ..., п} - безліч працюючих на даному ринку інвесторів. Нехай в початковий момент часу до-й інвестор має

    портфель (А1К, ..., А1К), де а>'До - кількість активу 7-го виду «в

    штуках ». Розглянемо задачу інвестування на заданий період часу.

    Припустимо, що до-й інвестор має власний прогноз цін (qlk, .., Ц) на кінець планового періоду. тоді цінність

    портфеля хк = (х \, ..., х1к) для цього інвестора природно ототожнювати з вартістю цього портфеля в кінці планового

    и

    періоду Е цгкхгк. При формуванні портфеля, зрозуміло,

    7 = 1

    І І

    виконується фінансовий обмеження Е р'х'к = Ергю'к, де

    7 = 1 7 = 1

    р = (р1, ..., р1) - вектор цін на момент формування портфеля.

    За економічним змістом компоненти вектора р невід'ємні і не дорівнюють нулю одночасно.

    Таким чином, інвестор вирішує завдання лінійного програмування

    и

    Е Я'кх'к ® та ^

    7 = 1

    (1) Ір'хк = Ір'агк ,

    7 = 1 7 = 1

    (2) хк > 0,7 = 1, ..., и.

    Безліч рішень Вк (р) цього завдання в загальному випадку являє собою симплекс, описуваний в такий спосіб. Нехай S, (р) = <!/ 'Е {1, ..., /}: - = max - I. Тоді

    L pl 1? 1Р1 \

    Bk (р) = | (4, ..., хк): хк ^ 0, lLpx'k = Tpw, 1? Sk (р) ^ хк = °).

    L i = i i = i)

    У «типовому» випадку безліч Вк (р), зрозуміло, вироджується в точку, але в подальшому нам доведеться розглядати залежність цієї множини від p, і в такому параметричної сімействі вироджені випадки можуть бути невід'ємними.

    2. Конкурентна рівновага

    На змістовному рівні під рівновагою розуміють такий стан рику, при якому попит дорівнює пропозиції. У класичній теорії (див., Наприклад, [1, 4, 5]) розглядаються строго опуклі завдання, тому при заданих цінах попит і пропозиція кожного учасника ринку визначаються однозначно. В такому випадку вказане розуміння природним чином трансформується в суворе визначення.

    Для розглянутої нами лінійної задачі це вже не так, тому потрібен якийсь уточнення. Зробимо його наступним чином.

    Визначення. Вектор цін р називається рівноважним, якщо існують такі портфелі хк е Вк (р), що рівності

    n П

    Е x'k = EW виконуються для всіх 1 = 1, ..., /.

    к = 1 к = 1

    Змістовно такий спосіб уточнення представляється досить природним. Якщо якийсь інвестор, прийшовши на ринок, виявить, що активи l-го виду вже розкуплені, але є в продажу активи j-го виду, які йому здаються не менш привабливими, він задовольниться купівлею цих активів і при цьому буде цілком задоволений.

    У класичній теорії рівноважні ціни встановлює

    «Невидима рука ринку». Нам буде зручно персоніфікувати ринок. До речі, це відповідає економічній практиці, оскільки на деяких сегментах ринку ціни встановлюють «живі» market maker'и.

    Розглянемо наступну гру. Безліч гравців N ° = {0, 1, ..., n} складається з виділеного гравця з номером 0 ( «ринку») і n інвесторів. Безліч управлінь «ринку»

    р = {(р \ .. ^ р1): р ф ^ р1 > ^ 1 = і, /}. Безліч управлінь до-

    го інвестора хк ^ (Х. ^ хк): Ер'х'к = Ер'К, хк >° 1 = 1, ..., 4.

    L i = 1 i = 1 J

    Мета «ринку» полягає в зменшенні дефіциту, що формально описується прагненням до мінімізації критерію

    | n П j

    g ° (р, x1, ..., xn) = max < Е x'k - E W f. Цілі інвесторів, як і

    1? I? / Lk = 1 k = 1 J

    /

    вище, задаються критеріями gk (р, xk) = E q'kxl, k = 1, ..., n (разу-

    i = 1

    розуміється, інвестори їх максимізують).

    Отже, задана гра Г = (N °, Р, X1, ..., Xn, g °, g1, ..., gj. Слідуючи

    [2, 3], визначимо максимальний гарантований результат g «ринку» за умови доброзичливості інших гравців:

    (3) g = min min g ° (р, x1, ..., xn).

    РЕР xk eBk (р) k = 1, ..., n

    Теорема 1. На даному сегменті ринку існує рівноважний вектор цін тоді і тільки тоді, коли g = °.

    Доведення. Доведемо спочатку необхідність. Нехай вектор цін р - рівноважний. Тоді за визначенням знайдуться портфелі xk е B /. (Р), k = 1,., N, для яких g ^, x1,., Xn) = °. Значить, g< °.

    Припустимо, g< °. Тоді для деяких р і xk е B ^ р),

    n n

    k = 1, ..., n, мають місце співвідношення Е xk - EW < °. розумно-

    k = 1 k = 1

    жая на відповідні ціни і підсумовуючи їх по i, ми прийдемо до

    115

    I П I П

    висновку, що ЇЇ Р'хк "ЇЇ Р'тк < 0- А підсумовуючи рівності (1)

    і = 1 до = 1 і = 1 до = 1

    по до, отримаємо

    (4) ЕЕрх = ЕЕрч -

    к = 1 і = 1 до = 1 і = 1

    Отримане протиріччя доводить, що насправді у = 0.

    Встановимо достатність. Нехай вектор цін р реалізує мінімум в (3). Тоді, для хк є Вк (р), до = 1, ..., п, виконується рівність

    (5) тах {Ехк "Е®к | = 0-

    1? І? І [к = 1 к = 1]

    Якби для деякого и ціна активу і-го виду дорівнювала нулю, попит на актив цього виду був би нескінченно великою, і значить, відповідний вектор цін не міг реалізовувати мінімум в (3). А в умовах позитивності компонент століття-

    П П

    тора р з умов (4) і (5) випливає, що рівності Е X = Е аг

    к = 1 к = 1

    виконуються для всіх і = 1,., I.

    теорема доведена.

    Зауваження. Таким чином, показано, що задача пошуку рівноваги на ринку формально еквівалентна якоїсь задачі управління ринком. Причина, по якій виникає необхідність в ринкових механізмах, полягає в тому, що керована система (ринок) є «великий». Для ефективного управління нею необхідно знати критерії агентів (в нашому випадку їх прогнози д'к). На практиці це неможливо.

    3. Існування рівноваги

    Теорема 2. У моделі існує рівноважний вектор цін.

    Доведення. Введемо позначення. Нехай вектор цін р доставляє мінімум у формулі (3). виберемо портфелі

    хк е Бк (р), до = 1, ..п, так, що

    g0 (p, Х1, ..., хп) = шт g0 (p, У1Уп) і при цьому безліч

    Ук Евк (Р)

    індексів

    к = 1

    j, для

    тах

    1< у <1

    Е хк -Ёт

    яких досягається максимум, складається з найменшого можливого числа

    _к = 1 к = 1

    елементів. позначимо

    Ь = \ и е {1, ..., /}: Е х'к -Ё ак = тах

    1< у <1

    Е хк-Е

    т

    к = 1

    к = 1

    к = 1 к = 1

    Отримаємо ряд необхідних умов оптимальності в задачі обчислення мінімуму (3).

    Лемма 1. Існує така безліч інвесторів М з N, що виконуються умови

    • ХГК = 0 для всіх / е X і до е М;

    • хк = 0 для всіх у е X і до е М.

    Доведення. Припустимо, існують до е N / е X і у е X, для яких хк Ф 0 і хк Ф 0. Тоді / е <Я (р) і у е <Я (р), а значить для будь-якого досить малого позитивного? порт-

    ? ?

    Фель хк (?) з компонентами х1к?) = х1к ------- ХГК?) = ХГК + --,

    Р1 р

    хк (?) = хк, (Ф?, у належить Бк (р). Так як? е X, виконується

    нерівність Е хк -Ё до < тах

    к = 1

    к = 1

    1<ґ <1

    Е хк -Ёт

    .к = 1

    к = 1

    . отже,

    для досить малих позитивних? виконується неравен-

    ство Е хк (є) -Ё до < тах

    к = 1

    к = 1

    1<ґ <1

    Е хк -Ётк

    к = 1

    к = 1

    , а крім того, і нера-

    венство Е хк (є) -Ё Ф1 < тах

    к = 1

    к = 1

    1< <1

    Е хк -Ёт

    .к = 1

    к = 1

    воречие способу вибору портфелів хк. протиріччя доводить лему.

    . Останнє проти-Отримане

    Лемма 2. Якщо у> 0, а безліч М вибрано як в умовах леми 1, то знайдеться до е М і у е X для яких зі] до > 0 .

    Доведення. Нехай у доставляє максимум

    тах

    1<и <1

    е хк -Ёт

    'до

    к = 1 к = 1

    , де портфелі хк обрані так, як зазначено вище. Тоді в силу леми 1

    Е хк -Е®к = Е хк - Е > °.

    Ким к = 1 к = 1 к = 1

    Якщо припустити, всупереч доказуваному твердженням, що А1К = 0 для всіх до е М і у е X, то

    Е хк- Е ®к = Е хк- Е ®к >0.

    Ким ким ким к = 1

    Підсумовуючи ці нерівності по у е X, отримаємо ЇЇ хк - ЇЇ (° 1к > 0. А підсумовуючи рівності (1) по к е М,

    уеЬкеМ зе'кеМ

    матимемо Е Е хк-її (0к = 0. Отримане протиріччя

    Ким уе? Ким уе?

    доводить лему.

    Визначимо новий вектор цін р (з>) умовами

    ^ [(1 + ^) Рг, якщо г е X, р (^ = 1 г

    [Р в іншому випадку.

    В силу оптимальності вектор цін р не має нульових компонент (інакше попит на відповідні активи був би нескінченним). Крім того, не обмежуючи спільності можна вважати,

    г

    що Ер ®к > 0 для будь-якого к = 1, ..., п. Нехай портфелі хк (з>)

    г = 1

    мають компоненти

    Ер7 (^ К; г

    хк ВІД = ^-------------

    YOрут р (5)

    "до

    у = 1

    Лема 3. При досить малих 8> 0 мають місце включення хк (5) е Бк (р (5)).

    Доведення. Нехай М - безліч, певне в лемі 1.

    Розглянемо спочатку випадок до е М. Тоді Sk (p) з Ь. для лю-

    г о / \ Як Як

    Бих г і] з Sk (p) виконується рівність - = -, а значить і

    р Р1

    як Як

    рівність --к- = --к-. Якщо ж г е Sk (p), а]? Sk (p), то ви-р (8) p] (8)

    як як

    виконується нерівність -- > -, отже, при досить

    Р Р1

    як Як

    малому 8 > 0 справедливо нерівність --к- > --к-. Тому

    Р (8) p1 (8)

    Sk (p) = Sk (p (8)).

    З умови хк е Бк (^) слід, що х] = 0 при]? Sk (p). Але тоді хк (8) = 0 при]? Sk (p (8)). Отже, xk (p (S)) еBk (p (S)).

    Звернемося до випадку до? М. Тоді Sk (p) IЬ = 0. Подальші міркування дослівно такі ж, як в попередньому випадку. Лема доведена.

    Якщо 8 настільки мало, що виконується твердження леми 3, то для всіх г е Ь мають місце нерівності

    Ехк (8) -Еак? Ехк -ек, так як хк (8)? Хк.

    к = 1 к = 1 к = 1 к = 1

    Якщо у> 0, то в силу леми 2 для деякого до е М і для всіх г е Sk (p) виконуються нерівності х] (8) < х]. Отже, для таких г має місце нерівність

    Ехг (8) -ЕЧ <± хк -Еак .

    к = 1 к = 1 к = 1 к = 1

    Якщо при цьому безліч Ь складається з одного елемента, виходить протиріччя з тим, що вектор p доставляє міні-

    мум в (3).

    В іншому випадку, виходячи з оптимальних вектора цін p і портфелів xk, ми отримуємо новий оптимальний набір з вектора цін p (S) і портфелів xk (d), для якого відповідне безліч L містить менше елементів. Проробивши таку процедуру кінцеве число раз, ми знову прийдемо до протиріччя.

    Отже, встановлено, що g< 0. При доведенні теореми 1 показано, що це означає рівність g = 0. Залишається послатися на достатня умова теореми 1.

    Зауваження. Економічний сенс використаних конструкцій досить прозорий. Якщо якісь активи користуються ажіотажним попитом, ціни на них слід підняти. Для нашого докази важливо, щоб при цьому не виникло ефекту Гріффіна, т. Е. Попит на ці активи не зріс. Це самий технічно складний елемент докази. У Лемма 1 показується, що якщо якісь активи користуються підвищеним попитом, то інвестори, які подали заявки на їх придбання строго за краще ці активи всім іншим. У лемме 2 показано, що якщо на якомусь сегменті ринку попит перевищує пропозицію, то на нього приходять якісь гроші ззовні. У лемме 3 встановлюється, що якщо ми пропорційно збільшимо ціни на активи підвищеного попиту і залишимо незмінною структуру портфелів (у вартісному вираженні), то портфелі залишаться оптимальними для інвесторів, але будуть краще для «ринку».

    4. Пошук рівноваги

    Наведене вище доказ існування конкурентної рівноваги використовує лише елементарні засоби. У ньому, по суті, моделюється поведінка розумного market makef а. В принципі, його конструкції можна перетворити в алгоритм пошуку рівноважних цін і відповідних оптимальних портфелів. Втім, це завдання можна звести до задачі

    опуклого програмування і вирішувати її стандартними методами.

    Перетворимо завдання обчислення мінімуму (3) до стандартного вигляду.

    Щоб позбутися від максимуму в визначенні функції g0, введемо допоміжну змінну і, стесненную обмеженнями

    (6) і >] Гх1 ®, 7 = 1, ..., /.

    к = 1 к = 1

    Так як максимум лінійної функції на многограннике неодмінно досягається в одній з його вершин, умови хк е Вк (р), до = 1, ..., п, рівносильні системі нерівностей

    / Е р®к

    Е Чкхк > чк • 1 ^ -1-, 7 = 1, --- Л k = 1,., n,

    1 = 1 Р

    або

    (7) ре, чкхк >чк • Ер1® *, 7 = 1, •••, /, к = 1,., п.

    1 = 1 1 = 1

    Крім того, за економічним змістом

    (8) р > 0, 7 = 1, ..., /.

    В силу однорідності можна, не обмежуючи спільності, вважати, що

    (9) Ер7 = 1.

    7 = 1

    Очевидно, що якщо змінні і, р, 7 = 1, ..., /, ХГК, 7 = 1, ..., /, к = 1, ..., п, є рішенням задачі мінімізації величини і при обмеженнях ( 1), (2), (6) - (8) і (9), то змінні р, 7 = 1,., /, і ХГК, 7 = 1,., /, к = 1,., п, доставляють мінімум у формулі (3).

    5. Рівноважний агрегування

    Модель, описану в другому розділі даної замітки, в

    121

    Надалі будемо називати вихідної. Поряд з нею будемо розглядати ще одну модель того ж типу, яку нижче будемо називати агрегированной.

    Фіксуємо вектор цін р = (р1, ..., р1) в вихідної моделі. Безлічі інвесторів в обох моделях збігаються. У агрегированной моделі є т + 1 видів активів (т + 1 < і). Перші т з них характеризуються тими ж запасами со'к і тими ж прогнозами у всіх інвесторів (тут і = 1,., Т, к = 1,., П).

    Що залишився актив є у к-го інвестора в кількості

    и

    Ок =? Р1 ф {, а прогноз його ціни визначається рівністю

    1 = т + 1

    Як = ІЦ-Т .

    т + 1< 1<1 р->

    Теорема 3. Якщо вектор цін р = (р1, ..., р1) є рівноважним в вихідної моделі, то вектор цін р = (р, ..., рт, і) буде рівноважним в агрегированной.

    Доведення. Позначимо В до (р) безліч рішень задачі

    т

    Е Як4 + йкУк ® тах, і = 1

    т т

    (10)? Р'х'к + Ук = Ер'а'к + Ок ,

    і = 1 і = 1

    х'к > 0, і = 1, ..., т, ук>0.

    Нехай портфелі хк = (х [..., х1к) задовольняють умовам

    п п

    хк є Вк (р), до = 1, ..., п, Ехк =? ®к, і = 1, ..., і. Покажемо, що

    к = 1 к = 1

    (і >

    тоді портфелі хк = х [..., х ^ т,? р

    V 1 = т + 1

    задовольняють усло-

    /

    виям Xk е Bk (p), k = 1, ..., n, Exk = EW, i = 1, •••, m і

    k = 1 k = 1

    n n

    E л = EWk •

    k = 1 k = 1

    Друге з цих умов очевидно. Третє виходить сум-

    n П

    мування рівності Exk = EW, i = m + 1, l з вагами p \

    k = 1 k = 1

    Залишається перевірити перше. Можливі три випадки.

    i

    Розглянемо випадок max - < Qk • Тоді умова Xk е Bk (p)

    1<i<m рг

    l

    рівносильно умов xlk = 0, i = 1, m, і yk = E рг W + Wk • В

    г = 1

    силу визначення величини Qk в цьому випадку знайдеться

    а ', qj

    j = m + 1, ..., l, для якого нерівності -- <- виконуються

    р Р1

    для всіх i = 1, m. Але тоді умови xk е Bk (p) тягнуть xlk = 0,

    i

    i = 1, m, а рівність yk = E p'w'k + Wk випливає з формули

    i = 1

    (10).

    ii Випадки max - = Qk і max - > Qk розглядаються ана-

    1<i<m p1 1<i<m pl

    логічно. теорема доведена.

    Зрозуміло, безліч M = {m + 1, ..., 1} агрегіруемих активів вибрано саме таким тільки для спрощення формул. В принципі, воно може бути вибрано довільно. Зокрема, в агрегированной моделі безліч активів {1, ..., m} теж може бути агрегований. В результаті отримаємо нову модель з двома видами активів, в якій вектор цін (1, 1) буде рівноважним. Зрозуміло, що при цьому порядок агрегування може вибиратися довільно, так само як і кількість «агрегованих» активів може бути більше двох.

    Ці результати насправді показують, що виконуються якісь необхідні умови для того, щоб розглянуту нами модель можна було вважати адекватною. Дійсно, на сучасному фінансовому ринку звертається величезна кількість інструментів. При цьому окремий інвестор працює на якомусь невеликому сегменті цього ринку. Зазвичай він досить детально представляє ситуацію про «свою» частини ринку і не може мати настільки ж докладної інформації про все інше. Вище показано, що модель «не буде зруйноване», якщо він буде користуватися агрегированной інформацією про «навколишнього середовища».

    Примітно, що при цьому для агрегування прогнозів використовується згортка типу максимуму, а не традиційна для економіки згортка типу зваженої суми.

    література

    1. АЛІПРАНТІС К., БРАУН Д., БЁРКЕНШО О. Існування і оптимальність конкурентного рівноваги. М .: Світ, 1995. - 384 с.

    2. Бурко В. Н. Основи математичної теорії активних систем. М .: Наука, 1977. - 256 с.

    3. Гермейера Ю. Б. Ігри з непротилежними інтересами. М .: Наука, 1976. - 327 с.

    4. КАРЛІН С. Математичні методи в теорії ігор, програмуванні та економіці. М .: Світ, 1964. - 838 с.

    5. Никайдо Х. Опуклі структури і математична економіка. М .: Світ, 1972. - 517 с.

    6. Тодд М. ДЖ. Обчислення нерухомих точок і додатки до економіки. М .: Наука, 1983. - 112 с.

    7. ШАРП У., АЛЕКСАНДЕР Г., Бейлі ДЖ. Інвестиції. М .: ИНФРА-М, 1997. - 1024 з.

    8. ARROW K. J., DEBREU G. Existence of an equilibrium for a competitive economy // Econometrica. - 1954. - Vol. 22. -P. 265-290.

    9. LINTNER J. The Valuation of Risk Asserts and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics. - 1965. - Vol. 47, № 1. -P. 13-37.

    10. MARKOWITZ H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance.

    - 1952. - Vol. 7, № 1. - P. 77-91.

    11. SHARP W. F. Capital Assert Prices: a Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance. - 1964.

    - Vol. 19, № 3. - P. 425-442.

    COMPETITIVE EQUILIBRIUM IN THE FINANCIAL MARKET

    Mikhail Gorelov, Computer Center of RAS, Moscow, Cand.Sc., (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    Abstract: A model of prices forming in the financial market under the circumstances of lack of coincidence of expectations of trade participants is suggested. The existence of prices which balances the demand and supply is proved. The method of numerical search of such prices is proposed. It is shown that the model permits aggregating with preserving of its structure.

    Keywords: competitive equilibrium, hierarchical games, financial markets.

    Стаття представлена ​​до публікації членом редакційної колегії М.В. Губко


    Ключові слова: КОНКУРЕНТНЕ РІВНОВАГА / ІЄРАРХІЧНІ ІГРИ / ФІНАНСОВІ РИНКИ / COMPETITIVE EQUILIBRIUM / HIERARCHICAL GAMES / FINANCIAL MARKETS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити