Дана стаття присвячена застосуванню аналогії і узагальнення для отримання нового знання з теми: «Фігурні числа і їх властивості».

Анотація наукової статті по наукам про освіту, автор наукової роботи - Мамедяров Даглар Мамедяровіч


The analogy and generalization as a way of obtaining new knowledge

This article focuses on the use of analogy and generalization to obtain new knowledge on the topic. «Figured numbers and their properties»


Область наук:

  • Науки про освіту

  • Рік видавництва: 2016


    Журнал

    Шкільні технології


    Наукова стаття на тему 'АНАЛОГІЯ І УЗАГАЛЬНЕННЯ ЯК СПОСІБ ОДЕРЖАННЯ НОВОГО ЗНАННЯ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛОГІЯ І УЗАГАЛЬНЕННЯ ЯК СПОСІБ ОДЕРЖАННЯ НОВОГО ЗНАННЯ»

    ?НІ ....... У ....... ІІ1

    АНАЛОГІЯ І УЗАГАЛЬНЕННЯ ЯК СПОСІБ ОДЕРЖАННЯ НОВОГО ЗНАННЯ

    Даглар Мамедяровіч Мамедяров, директор МКОУ «Мітаг - Казмалярская ЗОШ» Дербентського району Республіки Дагестан, кандидат педагогічних наук, м Дербент

    • трикутні числа • пірамідальні числа • коефіцієнти розкладання бінома Ньютона

    Одним з дуже важливих типів умовиводів є так зване традуктів-ве умовивід (лат. ^ АСийо - переміщення), при якому від двох або кількох суджень певної міри спільності переходять до нового судженню тієї спільності. Як метод дослідження, традукция в тому, що, встановивши подібність двох об'єктів в деякому, роблять висновок про подібність тих об'єктів і в іншому відношенні. Найважливішим видом традуктивного умовиводи є аналогія (грец. Апа! Од1а - відповідність, подібність). При умовиводі за аналогією знання, що отримується з розгляду будь-якого об'єкта ( «моделі»), переноситься на інший, менш вивчений (менш доступним для дослідження, менш наочний і т.п.) в будь-якому сенсі об'єкт. По відношенню до конкретних об'єктів укладання, одержувані по аналогії, носять, взагалі кажучи, лише ймовірний характер: вони є одним з джерел наукових гіпотез, індуктивних міркувань і грають важливу роль в наукових відкриттях [2, с. 93].

    Аналогія є, мабуть, одним з найпоширеніших методів наукового дослідження. Широке застосування аналогії часто призводить дослідника до більш-менш правдоподібним припущенням про властивості вивченого об'єкта, які можуть бути потім підтверджені або спростовані досвідом, або більш строгими міркуваннями.

    У процесі навчання математиці вчителю землю треба лише самому користуватися корисними аналогіями, а й залучати учнів до самостійного проведення умовиводів за аналогією. При цьому учні повинні розуміти, що висновки, підлозі-

    ченние за аналогією, вимагають обов'язкового обґрунтування, так як не виключено те, що вони можуть виявитися помилковими. Наприклад, за аналогією з відомими ознаками подільності на 3 і на 9 можна сформулювати ймовірний ознака подільності на 27: «Якщо сума цифр числа ділиться на 27, то й саме число ділиться на 27». Однак це твердження не так, переконатися в цьому можна на якомусь конкретному прикладі [2, с. 94].

    Однак слід пам'ятати: широке застосування аналогії в процесі навчання математики є одним з ефективних прийомів, здатних пробудити в учнів живий інтерес до предмета, прилучити їх до того виду діяльності, яку називають дослідницьким. Крім того, широке застосування аналогії дає можливість більш легкого і міцного засвоєння школярами навчального матеріалу, так як часто забезпечує уявний перенесення певної системи знань і умінь від відомого об'єкта до невідомого (що сприяє також і актуалізації знань).

    Важливе значення для отримання нового знання має науковий метод - узагальнення. При узагальненні подумки виділяють якусь властивість, що належить безлічі об'єктів і об'єднує ці об'єкти воєдино.

    Наведемо приклади застосування аналогії і узагальнення. Учні, варіюючи числами поєднань, виявили такі рівності:

    З ^ + С1 = 2-1 = 1, С} -С} = 1, С4-С1 = 1.

    Учні думають, що отримаємо, якщо поміняємо різниця між номерами чисел поєднань? перевіряють:

    Ci-C, 1 = 2, Ci-Ci = 2, Ci = Ci = 2, Ci-Ci = 2.

    31 '42 '5 3 '64

    і т. д. Учні роблять висновок: виконується рівність C1,, С1 = d. І помічають, що

    ~ N + d n '

    коефіцієнти перед числами поєднань є коефіцієнтами розкладу бінома Ньютона (a-b) r. За аналогією з отриманими равенствами учні отримують такі рівності для коефіцієнтів (a-b) 2 і так далі.

    Для n = 2 отримують: С2-2С, + С0 = о, C'i-2C2 + Ci = о, С} -2С3-С2 = о, С5-2С, + С1 = о і т.д. При d = 2 отримують: С5-2С3 + С} = про: С6-2С1 + С1 = о. С1-2С5 + С3 = о і т.д.

    Для d = 3 отримують: С6-2С3 + С1 = о, С ^ З ^ С1 = о, С ^ З ^ + С1 і т.д.

    У загальному вигляді записують рівність:

    з + ^ з ^ + з1 = про.

    n + 2d n + d n

    Далі учні перевіряють справедливість цієї закономірності для r = 3, 4, 5 і т. Д. Отримують: С14-3С13 + 3С12-С11 = о, С15-3ci + 3ci-ci = о, С6-3С1 + 3С4-С3 = про , ci-

    432 '65 43 '6

    3С5 + 3С1 + С1 = о і т.д. CMCi + oC ^ q + C1 = о, С7-4С6 + 6С5-4С4 + С3 = о, С8-4С7 + 6С (1-4С5 + С4 = о, С8-4С4-4С1 + С1 = о, С1о-5С1 + 1оС6-1оС1 + 5С1-С0 = 0 і т. д. Учні в загальному вигляді записують рівності: З * -2С * + С1 = о, С * -3С * + 3С *-

    n + 2d n + d n 'n + 3d n + 2d n + d

    Ci = 0, С ^ З ^ З ^ З ^ С = 0

    З ^ З ^ + ТЗ + ^ З ^ -С = 0 і так да-

    "N + 5d

    леї.

    Далі записують узагальнену формулу:

    РГД + ГС *** ± СкСп 0 *

    Учнів цікавить питання: чи виконується ця закономірність для чисел? Отримують: З \ -2С1 + С \ = 1, С ^ З ^ + С2 = ^ С2-2С2 + С3 = 1, С2-2С5 + С2 = 1 і т. Д. Учні висувають гіпотезу: має виконуватися рівність С2п + 2 -2Сп + г + С1п = 1. Використовуючи визначення числа сполучень, доводять це тотожність. В учнів виникає думка: що отримаємо? Якщо замінимо послідовності п + 2, п + 1, п на п + 4, п + 2, п? Отримують такі рівності: = 4, 66-264 + 62 = 4, Ог-2С \ + зй = 4 і т.д.

    = 9, C2-2Cn + Cn = 9, CП-2Cп + C3 = 9 і т.д. Учні помічають, що в правих частинах виходить квадрат різниці номерів

    чисел поєднань. Висувають гіпотезу: має виконуватися рівність С7п + 1й ~ 2 ^ + ^ = С2. Використовуючи визначення числа сполучень, доводять це. Учні побачили в цих равенствах аналогію з коефіцієнтами розкладання бінома Ньютона (, чи отримаємо ми подібні закономірності, якщо замінимо коефіцієнти 1, 2, 3 на 1. 3, 3.1 і т.д.?). Перевіряють при С = 1, отримують:

    С3-3С3 + 3С3-С? = 1, Пн-зc3 + зcз-cn = 1, С3-

    4 3 21 '5 4 32' 6

    ЗС ^ + ЗС ^ -СЗ = 1 і т.д.

    При С = 2 отримують: З ^ -зС ^ + ЗС ^ С3 = 4, С3-ЗС ^ + ЗС ^ -С ^ = 4, С3-3С6 + 3С3-С! = 4 і т.д. Учні висувають гіпотезу: виконується рівність З + З ^ 3С ^ + 3С3 + з-С3 + з = сР,

    ^ З "3 ^ 3 ^ = с3. Далі ін ° перевіряють справедливість цих рівностей для коефіцієнтів розкладання бінома четвертої і п'ятої ступенів і т. Д. Отримують і записують в загальному вигляді наступні тотожності:

    Cn + 4d ~ 4C4 + 3d + 6C4 + nd + 4C4 + d + Cn = Сі + 5С_

    5 С5 + 4С + 10С5 + 3 з "10 С5 + 2С + 5 С5 + з-С5 = з і так далі У більш загальному вигляді записують тотожність:

    З ° СГ + з-С1С + (1) З-С2Сг + (2) + ... ± СГСГ = С.

    г п + ГС г п + (г-1) З г п + (г-2) г п

    Учні, варіюючи числами поєднань, отримують наступні рівності: С3-2с3 + с3 = 3, С3-2С3 + С3 = 4, С3-2С3 + С3 = 5, С8-2С3 + С6 = 6, С9-2С8 + С7 = 7, і т.д. Учні помічають, що виконується рівність зй + 2-2С'п + г + С'п = п (при С = 1), С7-2С3 + С3 = 16, С3-2С3 + С4 = 20, С9-2С6 + С3 = 45,

    53 64 '9 63'

    СГ0-2С6 + С3 = 80 і т.д.

    Учні приходять до висновку, що виконується рівність: C3J + nd-2C3n + d + C3J = С2 (п + З-1) С. У загальному вигляді доводять це. Далі учні перевіряють рівність для чисел СП4, С5п і т.д. Отримують: С4-2С4 + С4 = 6 (ф, з {-2С4 + С4 = 10 (С5), С5-2С6 + С5 = 10 (С5), С8-2С5 + С5 = 20 (С3) і т.д.

    Учні помічають цікавий факт: у всіх равенствах в правій частині отримують числа С-2.

    Учні складають наступні рівності: С4-3С6 + 3С5-С4 = 4, C-3C4 + 3CI-CI = 5,

    7 6 5 4 '8 7 65'

    С4-3С8 + 3С7-С6 = 6 і т.д.

    90

    МАМЕДЯРОВ Д.М.АНАЛОГІЯ І УЗАГАЛЬНЕННЯ ЯК СПОСІБ ОДЕРЖАННЯ НОВОГО ЗНАННЯ

    НІ ....... У ....... ІІ1

    Учні помічають, що виконується рівність: С4-3С4 + 3С4-С4 = п ..., С4 -

    п + 3 п + 2 п + 1 п 'п + 3

    3С4 + 3С4 -С4 = п

    -"-П +2 11 •••

    Учні, таким чином, отримують безліч цікавих тотожностей. Наведемо ще приклад узагальнення. Учні комбінують числами, отримують: С2 + 2С1 + С0 = С2, С5 + 2С5 + С1 = С3, С45 + 2Св5 + С25 = С * ... і т.д. С4-3 С3 + 3 С2-С '= С4 С4-3С3 + 3С'2-С1 = С4 С3 + 3С2 + 3С1 + 3С0 = С3, С6 + 3С2 + 3С6 + С6 = С9 і

    5 5 5 5 8 66 66 9

    т.д.

    Учні записують в загальному вигляді тотожності: Ст + 2ст-1 + Ст-2 = У розділі ст + 2, Ст + 3Ст-

    "П п п п + 2 п п

    1 + 3ст-2 + Ст-3 = СТП + 3 [с. 98] і т. Д.

    Далі учні записують узагальнену формулу для біноміальних коефіцієнтом-

    тов. Можна привести багато прикладів. При організації такої пізнавальної діяльності в учнів розвиваються не тільки дослідницькі вміння і навички, а й підвищується інтерес до предмету. ?

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Мамедяров Д.М., Вакіль Ш.М. Як навчити учнів «маленьким відкриттям» Модернізація системи безперервної освіти. III Міжнародна науково-практична конференція. Дербент, 2011. - 263 с.

    2. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкін Г.Л., Саннінскій, В.Я. Методика викладання математики в середній школі. Просвітництво, 1980. - 368 с.


    Ключові слова: ТРИКУТНІ ЧИСЛА /TRIANGULAR NUMBERS /пірамідальних ЧИСЛА /PYRAMIDAL NUMBERS /КОЕФІЦІЄНТИ РОЗКЛАДАННЯ біном Ньютона /BINOMIAL COEFFICIENTS OF EXPANSION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити