У роботі на базі запропонованої раніше системи антікомпактних множин в класі банахових просторах, мають рахункова тотальне безліч лінійних неперервних функціоналів, отримані аналоги теореми Крейна-Мільмана про крайніх точках для не обов'язково компактних опуклих обмежених множин. В банахових просторах, мають антікомпакти, доведений аналог теореми Хана-Банаха про продовження всякого лінійного безперервного функціоналу, заданого на вихідному просторі на простір, породжене деяким антікомпактом. На базі цього результату отримано опис всякого обмеженого опуклого замкнутого безлічі в банаховому просторі, що має антікомпакт, через опуклі компакти в просторах, породжені антікомпактамі в вихідному просторі і сформульований відповідний аналог теореми Крейна-Мільмана.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Стонякін Ф.С.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2014


    Журнал

    динамічні системи


    Наукова стаття на тему 'АНАЛОГИ ТЕОРЕМИ Крейн-Мільман ДЛЯ обмежених опукла множина В безконечномірні простори'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛОГИ ТЕОРЕМИ Крейн-Мільман ДЛЯ обмежених опукла множина В безконечномірні простори»

    ?УДК 517.98

    Аналоги теореми Крейна-Мільмана для обмежених опуклих множин в нескінченновимірних просторах

    Ф. С. Стонякін

    Таврійський національний університет ім. В. І. Вернадського, Сімферополь 295007. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Анотація. У роботі на базі запропонованої раніше системи антікомпактних множин в класі банахових просторів, що мають рахункова тотальне безліч лінійних неперервних функціоналів, отримані аналоги теореми Крейна-Мільмана про крайніх точках для не обов'язково компактних опуклих обмежених множин. У банахових просторах, мають антікомпакти, доведений аналог теореми Хана-Банаха про продовження всякого лінійного безперервного функціоналу, заданого на вихідному просторі на простір, породжене деяким антікомпактом. На базі цього результату отримано опис всякого обмеженого опуклого замкнутого безлічі в банаховому просторі, що має антікомпакт, через опуклі компакти в просторах, породжені антікомпактамі в вихідному просторі і сформульований відповідний аналог теореми Крейна-Мільмана. Ключові слова: Банахів простір, антікомпакт, тотальне безліч лінійних неперервних функціоналів, теорема Крейна-Мільмана, теорема Хана-Банаха про продовження лінійного безперервного функціоналу.

    Вступ

    Добре відома теорема Крейна-Мільмана, яка стверджує збіг всякого опуклого компакта з опуклою замкнутої оболонкою своїх крайніх точок [2]. Однак в нескінченновимірних випадку ця теорема вже, взагалі кажучи, невірна в класі опуклих обмежених замкнутих множин [1, 2]. Більш того, некомпактності опукле безліч в нескінченновимірних просторі може взагалі не мати крайніх точок [1, 2].

    Існують аналоги теореми Крейна-Мільмана для обмежених множин в нескінченновимірних банахових просторах. Найбільш відомий підхід полягає у виділенні класу банахових просторів E з так званим властивістю Крейна-Мільмана. Але це властивість невірно у багатьох найважливіших банахових просторах, серед яких простору числових послідовностей з і [2]. Також слід згадати узагальнення теореми Крейна-Мільмана для замкнутих обмежених множин в банахових просторах, мають гладке поєднане [3]. Завдання побудови аналога теореми Крейна-Мільмана для необов'язково компактних (і навіть необов'язково опуклих) множин була досліджена М.В. Балашових і Е.С. Половинкин в [4, 5] методами сильно опуклого аналізу в класі Гільбертових просторів.

    Ми ж ставимо завдання отримати аналог теореми Крейна-Мільмана для необов'язково компактних множин в нескінченновимірних випадку без таких істотних звужень класу просторів. Наш підхід до даної проблеми заснований на понятті антікомпактного безлічі в банахових просторах, яке введено і досліджено

    © Ф. С. СТОНЯКІН

    нами раніше в роботах [6, 7]. Такий підхід дає можливість розглядати клас просторів, який суттєво відрізняється від класу просторів з властивістю Крейна-Мільмана і седержіт, зокрема, простору послідовностей зі і

    Робота складається з вступу і трьох основних розділів. У першому розділі ми нагадуємо поняття антікомпактного безлічі в банахових просторах, наведено два приклади систем антікомпактов - системи еліпсоїдів в сепарабельних Гільбертових просторах, а також системи еліпсоїдів в просторі числових послідовностей (приклади 1 і 2). Також наведені отримані раніше результати, що описують клас банахових просторів, що мають антікомпакти (теорема 1 і наслідок 1).

    У другому розділі ми доводимо допоміжний результат, який стверджує, що для будь-якого банахових просторах E, що має антікомпакт, поєднане йому простір E * представимо у вигляді векторного індуктивного межі сполучених просторів E ^, породжених антікомпактамі C € C (E) (теорема 2). Це, по суті,

    з

    аналог теореми Хана-Банаха про продовження лінійного безперервного функціоналу.

    І, нарешті, в третьому розділі отримані фінальні результати роботи - аналоги теореми Крейна-Мільмана про крайніх точках для обмежених опуклих не обов'язково компактних множин в банахових просторах, мають антікомпакти. Перший результат стверджує включення будь-якого обмеженого (не обов'язково замкнутого) опуклого безлічі A в певний компакт в Eс і, як наслідок, в замкнуту опуклу оболонку його крайніх точок (лема 3). Другий аналог теореми Крейна-Мільмана для банахових просторів, що мають антікомпакти - більш тонкий результат, точно описує будь-яке опукле замкнутий обмежене безліч в термінах крайніх точок його замикань в просторах, породжених антікомпактамі (теорема 3).

    1. Визначення та приклади антікомпактов

    Позначимо через Q, ac (E) набір всіх замкнутих абсолютно опуклих підмножин простору Фреше Е.

    Визначення 1. Назвемо безліч C € Q-ac антікомпактним в E, якщо:

    (I) pc (a) = 0 ^ a = 0 ве (або f | Л • C = {0});

    А>0

    (Ii) будь-обмежена підмножина E міститься і предкомпактно в просторі Ec = (span C, pe (•)). Тут під Рс (^) ми розуміємо функціонал Маньківського абсолютно опуклого безлічі C З E і вважаємо що Eс поповнено щодо норми || • Ус = Рс (•). Приймемо позначення: C (E) - набір антікомпактних підмножин простору Фреше E.

    Наведемо приклади антікомпактних множин (або, скорочено, антікомпактов) в деяких просторах.

    Приклад 1. Нехай E = H = I2 - сепарабельное гільбертовому просторі. У таких просторах існує система так званих еліпсоїдів [8]. Нехай е = (е \ ,? 2, | ||, єп, | ||) - послідовність позитивних чисел. Для кожної такої послідовності е еліпсоїдом називається наступне безліч

    (™ x \ 2)

    CE = < X = (X1, X2, ..., Xn, ...) € I2 I У ^ -% r < 1> . {K = l? K)

    Доведено, що Ce компактно тоді і тільки тоді, коли е ^ 0 (див. [8]). Відзначимо, що безліч Ce абсолютно опукло. норма || • 1с Е, породжена Ce в просторі Hos = span Ce, має вигляд

    (Е xrl2

    \ K = 1? 2k)

    INI = 1 /. 2

    ?k

    2 12

    Лемма 1. Якщо? - ж, то C? - антікомпакт.

    Доведення. Дійсно, оскільки будь-яке обмежене безліч B З H поглинається одиничним кулею, то без зменшення спільності міркувань, замість B досить розглянути одиничний куля

    в = jж = [xk} e I2 | ? x \ < lj .

    Ясно, що рв (•) = II • Це2 • Так як

    ~ ~ I ™, | 2 ~? X'21

    | X | 22 = ZIxkI2 = z? K-Xt = ZЩ k = l k = l k k = l k

    де? k = -l і E = (El, Ж2, ..., xn, ...) € Hqs, xk = x (? - + ж), то на увазі? k - 0 при k - ж маємо, що - B компакт в Eq? , Тобто C? антікомпактно в H. ?

    Зауваження 1. Попередній приклад дозволяє пояснити сенс терміна «антікомпактность». Справа в тому, що умова компактності еліпсоїда? - 0 в деякому сенсі є протиставлення умові антікомпактності еліпсоїда? - + ж.

    Тепер покажемо, як можна будувати приклади антікомпактов в сепарабельних банахових просторах. Для цього розглянемо приклад в «типовому» банаховому просторі числових послідовностей Типовість простору послідовностей ми розуміємо в тому сенсі, що будь-яке сепарабельное Банахів простір изометрически ізоморфно подпространству E С (див. [2], стор. 556).

    Приклад 2. Для довільної числової послідовності? = (? K > 0) ^ = 1 назвемо (невироджених) еліпсоїдом в E З безліч

    C? = < x = (x \, x2, ..., xn, ...)? E

    \ Xk | . 1 sup -- < 1

    keN

    kk \

    .

    Ясно, що безліч C? абсолютно опукло. норма || •! Ce, породжена C? в Eqs = span C ?, має вигляд

    || x || c: = sup Щ. (1.1)

    keN I? k1

    Відзначимо, що якщо послідовність? - 0, то C? - компакт в Iх (при цьому зворотне твердження не так). Дійсно, в такому випадку xk - 0 при k - ж рівномірно по всім x € E. Тому C? рівномірно мажоріруется послідовністю (? 1,? 2, ...,? n, ...) € c0, звідки випливає компактність C? в просторі c0 (див. [2], стор.

    336, теорема 1), а значить і в E З I (тут ми враховуємо замкнутість підпростору З З

    Покажемо, що для будь-якої зростаючої послідовності позитивних чисел? - безліч Ce антікомпактно.

    Лемма 2. Для будь-якої зростаючої послідовності позитивних чисел? - безліч Ce антікомпактно в E.

    Доведення. По-перше, з побудови норми в Eqs

    \\ x \\ os = sup < - • sup \ xk \ = K | \\ x \\ p

    fceN \? k \? 1 fceN

    для деякого K > 0. Тому Eq? містить деякий куля в E з центром в нулі.

    По-друге, предкомпактность будь-якого обмеженого безлічі B З E в просторі Eqs випливає з наявності послідовності, e2,-год ~ e ~ ^ зі, рівномірно мажорірующей все послідовності з B по нормі Eq? =? Ж (тут ми знову враховуємо замкнутість підпростору С0 С). ?

    Відзначимо досить непогано перевіряється критерій наявності антікомпактов в банаховому просторі, яку ми здобули в [7].

    Теорема 1. банахових просторах Е має антікомпакт тоді і тільки тоді, коли існує лінійний безперервний ін'єкційних оператор А: Е ^ 12.

    Слідство 1. банахових просторах Е має антікомпакт тоді і тільки тоді, коли над Е існує рахункове тотальне підмножина лінійних неперервних функціоналів.

    З використанням попередніх результатів неважко навести приклади банахових просторах як мають, так і не мають антікомпакт. Так, добре відомо, що лінійно ін'єкційних і безперервно в? 2 вкладено всяке сепарабельное Банахів простір. Покажемо, що таке можливо і в деяких несепарабельних просторах.

    Приклад 3. Простір обмежених числових послідовностей лінійно ін'єкційних і безперервно вкладено в 12. Дійсно, досить розглянути оператор А:? Ж ^ 12, що задається наступним чином Ах = (х \, Х2, Х3, •••> П, •••) •

    Також наведемо приклад банахових просторах, яке жоден антікомпакт не має. При цьому таке простір Гільбертів (несепарабельно) і тому рефлексивно.

    Приклад 4. Розглянемо простір 12 ([0; 1]) таких речових функцій /: [0; 1] ^ М, що? Ц (?) | 2 < то. Ясно, що будь-яка функція / € 12 ([0; 1]) має не більше, ніж? € [0; 1]

    рахункова безліч значень. Норма в цьому просторі має вигляд

    у / к = (Е I / (? І < то,

    а всякий лінійний безперервний функціонал I на ([0; 1]) представимо у вигляді

    1 (/) = 1д (/) = Е \ / (* м *) 1>

    ?е [0; 1]

    де д - деякий фіксований елемент з ([0; 1]).

    Ясно, що будь-яке рахункове безліч лінійних неперервних функціоналів {? Дп} °° _1 на 12 ([0; 1]) ми не вибрали, вони всі будуть приймати нульові значення на безлічі функцій з / € 12 ([0; 1]) , які звертаються в нуль в точках Ь € [0; 1], для яких дп (Ь) = 0 Ун € N. тобто будь-яке рахункове безліч лінійних неперервних функціоналів на 12 ([0; 1]) набуває нульових значень на ненульових функціях і тому в просторі 12 ([0; 1]) немає рахункового тотального підмножини лінійних неперервних функціоналів.

    2. Аналог теореми Хана-Банаха про продовження лінійних неперервних функціоналів в просторах, що мають антікомпакти

    Даний розділ статті присвячений допоміжному результату, що показує при наявності антікомпакта З € С (Е) представимость всякого сполученого простору Е * у вигляді векторного індуктивного межі сполучених просторів Е *, породжених антікомпактамі З € С (Е). Іншими словами, ми доводимо, що всякий лінійний безперервний функціонал, заданий на банаховому просторі Е, можна продовжити до лінійного безперервного функціоналу, заданого на деякому просторі Е ^, породжених антікомпактом З € С (Е). Це, по суті, аналог теореми Хана-Банаха про продовження лінійного безперервного функціоналу з «зменшенням» норми.

    Теорема 2. Якщо в банаховому просторі Е існує антікомпактное безліч, то

    Е * = і ЄС, (2.1)

    СЕС (Е)

    Доведення. 1) Ясно, що

    УС € С (Е) ЄС з Е *. (2.2)

    Дійсно, з побудови антікомпакта Е з Її УС € С (Е) і тому всякий лінійний функціонал на Її буде лінійним і на підмножині Е. Безперервність ж цього функціоналу випливає з нерівності

    \\ х \\ С < До • Перші для всякого х € Е УС € С (Е), (2.3)

    справедливого для деякого числа До > 0.

    2) Доведемо тепер, що будь-який функціонал I € Е * можна продовжити на Е * при деякому З € С (Е). Розглянемо функціонал рС (0: Е ^ М: рС (х) = \ 1 (х) \ + \\ х \\ е для деякого безлічі З € С (Е). Ясно, що р ^ (•) - норма на Е . Розглянемо безліч С = {х € Е \ р ^ (х) < 1}, Е = = (ВРС, р ^ (•)) - Банахів простір, породжене С (і

    З З З

    доповнене за цією нормою).

    Будь-яке обмежене безліч B З E предкомпактно Ec. Дійсно, для будь-якої послідовності {yn} ^ L \ С B можна вибрати сходящуюся в Ec підпослідовність {упк А в свою чергу з послідовності {? (Ynk)}<k = 1 також можна вибрати сходящуюся підпослідовність, яка буде сходитися в E = з побудови. Отже, С Е C (E). При цьому Ух Е E

    \? (X) \<\? (X) \ + || х || с = \\ х \\ з |

    Далі, на підставі теореми Хана-Банаха [2] про продовження лінійного безперервного

    функціоналу зі збереженням норми | 1 (х) | < \ 1хЦ = Ух Е E =, тобто I Е E =.

    ОС з

    Таким чином, вірно (2.1), ЧТД. ?

    При цьому, спираючись на попередню теорему, можливо з'ясувати зв'язок між збіжністю послідовності з E в топології просторів Ec і слабкою збіжністю послідовності у вихідному просторі Е. Якщо в просторі Е існує межа хо = lim хп, то УС Е C (E) lim || х хп | з

    = 0. Виникає природне запитання: а

    п - ^^ про п - ^^ про з

    якщо послідовність {хп} з ^ = 1 С E сходиться до х Е E в топології будь-якого простору Ec, С Е C (E), то чи буде збіжність цієї послідовності в Е і якщо так, то який тип цієї збіжності? На це питання відповідає наступний результат, безпосередньо випливає з попередньої теореми.

    Наслідок 2. Нехай в банаховому просторі Е існує антікомпакт. Тоді послідовність {хп} '^' = 1 С E сходиться до х Е E в топології будь-якого простору Ec, породженого антікомпактом З тоді і тільки тоді, коли послідовність {хп} '^ == 1 слабо сходиться в Е до елементу х Е E.

    3. Аналоги теореми Крейна-Мільмана для обмежених замкнутих множин в банахових просторах

    Тепер перейдемо до фінальних результатів роботи - аналогам теореми Крейна-Мільмана для опуклих замкнених обмежених множин в банахових просторах, мають антікомпакт. Нагадаємо, що згідно з класичною теоремі Крейна-Мільмана всякий опуклий компакт А є замкнута опукла оболонка крайніх точок безлічі А [1, 2]. Нехай в банаховому просторі Е існує антікомпакт З Е C (E). Тоді для обмеженого опуклого безлічі A З E замикання Aec - опуклий компакт в Ec. Згідно з теоремою Крейна-Мільмана (в просторі Ec)

    AEC = coeC ехг (AEC) ,

    де вхЬ (Х) - безліч крайніх точок безлічі Х. Це означає, що справедливий наступний аналог теореми Крейна-Мільмана для обмежених опуклих множин, який стверджує включення будь-якого такого безлічі A в певний компакт в Ec і, як наслідок, в замкнуту опуклу оболонку його крайніх точок (замкнутість не потрібно).

    Лема 3. Якщо в просторі існує антікомпакт (або в існує рахункове тотальне безліч лінійних неперервних функціоналів), то для будь-якого обмеженого опуклого безлічі A З E

    A З COecехг (AEC) | (3.1)

    Будемо інтерпретувати (3.1) так: якщо ін'єкційних компактно вкладено в Її і Фс: Е ^ Її - відповідне канонічне вкладення, то 3.1 означає, що

    Фс (A) з coec ext (A). У просторі останню рівність можна переписати так:

    A з ф-1 (coecext ^ c (A) П Ф (Е)) .

    Тепер розглянемо більш тонкий результат - аналог теореми Крейна-Мільмана, точно описує будь-яке опукле замкнутий обмежене безліч за допомогою крайніх точок його замикання в просторах, породжених антікомпактамі. нехай

    Ac = Фс (E) ПC0Ec ext ФС (A), Ac: = ф-1 (Ac) З E. Справедлива

    Теорема 3. Нехай в E існує антікомпакт. Тоді для будь-якого замкнутого опуклого обмеженого безлічі A З E

    A = П Ac-

    з eC (E)

    Доведення. Включення A З П Ac випливає з попередньої леми. нехай

    CeC (E)

    існує x € П Ac, але x € A. Тоді по теоремі Хана-Банаха існує такий з eC (E)

    лінійний безперервний функціонал I € E *, що l (x) > sup 1 (A). По теоремі 2 існує C € C (E) такий, що I € Eу і I (tpc (x)) > sup I {ф ^ (A)). Це означає, що

    Фc '(x) € C0Ec (ф ^ (A)) = c0Ec ext (ФC' (A)). Тому x € Ac '. Отримали протиріччя, яке доводить теорему. ?

    висновок

    Справжня робота - розвиток попередніх досліджень автора, пов'язаних із запропонованою раніше системою антікомпактних множин в просторах Фреше. У класі банахових просторів, що мають рахункова тотальне безліч лінійних неперервних функціоналів, в статті отримані аналоги теореми Крейна-Мільмана про крайніх точках для не обов'язково компактних опуклих обмежених множин. Попутно в банахових просторах, мають антікомпакти, доведений аналог теореми Хана-Банаха про продовження всякого лінійного безперервного функціоналу, заданого на вихідному просторі на простір, породжене деяким антікомпактом.

    Список цитованих джерел

    1. Diestel J., Uhl J. J. Vector Measures, Providence, Amer. Math. Soc., 1977.

    2. Кадец В. М. Курс функціонального аналізу. - Х .: ХНУ ім. В. Н. Каразіна, 2006.

    3. Обен Ж.-П, Екланд І. Прикладний нелінійний аналіз. - М .: Мир, 1988.

    4. Балашов М. В. М-сильно опуклі підмножини та їх породжують безлічі просторі / М. В. Балашов, Е. С. Половинкин // Математичний збірник. - 2000. - Т. 191., № 1 - С. 26 - 64.

    5. Балашов М. В. Про аналогу теореми Крейна-Мільмана для сильно опуклої оболонки в гільбертовому просторі / М. В. Балашов // Математичні замітки. - 2002. - Т. 71., вип. 1 - С. 37 - 42.

    6. Стонякін Ф. С. Антікомпакти та їх застосування до аналогам теорем Ляпунова і Лебега в просторах Фреше / Ф. С. Стонякін // Сучасна математика. Фундаментальні напрямки. - 2014. - Т.53. - С. 155-176.

    7. Стонякін Ф. С. секвенційного версія теореми Ула про опуклості і компактності способу векторних заходів / Ф. С. Стонякін // Вчені записки Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського. Серія «Фізико-математичні науки.» - 2014. - т.27 (66), №1. - С. 100 - 111.

    8. Орлов І. В. Гільбертові компакти, компактні еліпсоїди і компактні екстремуми. / І. В. Орлов // Сучасна математика. Фундаментальні напрямки. - 2008. - Т. 29. - С. 165 -175.

    отримано 01.11.2014


    Ключові слова: банахових просторах /АНТІКОМПАКТ /Тотальна БЕЗЛІЧ лінійних неперервних функціоналів /ТЕОРЕМА Крейн-Мільман /ТЕОРЕМА ХАНА-Банаха про продовження лінійного БЕЗПЕРЕРВНОЇ функціонал

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити