Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2005


    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Аналіз збіжності алгоритму дискретного кватерніонів перетворення'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз збіжності алгоритму дискретного кватерніонів перетворення»

    ?Знаючи параметри елементів еквівалентної схеми, можна по виразу (5) і експериментальної АЧХ отримати частотну залежність чутливості мікрофона, а інтегруючи її в смузі частот, отримати оцінку чутливості для шумового сигналу, що діє в обраній смузі частот.

    В.В. Владимиров, Н.С. Звягінцев, Д.Г. громадян

    АНАЛІЗ ЗБІЖНОСТІ АЛГОРИТМА ДИСКРЕТНОГО кватернионами ПЕРЕТВОРЕННЯ

    Алгоритм дискретного кватерніонів перетворення (ДКП) [1] є ітераційним і реалізує обертання вектора До в декартовій системі координат із заданими початковими координатами (хд.уд ^ д) навколо довільно за-

    даної осі обертання ю на кут в методам чисельного інтегрування по Стіл-тьесу [2]. Алгоритм ДКП має вигляд

    X + 1 = X ~ ДГ (у, а 2 (+1) + Лг (2, ау (+1);

    Уi + 1 = Лг (х, аг (+1) + Уi-Лг (2, ах ^ + 1); (1)

    % + 1 = -Лг (хау (+1) + ЛТ (у, ах (+1) + ^, де Лг (до Містечко) ^ + 1), до, Iе {х, у, г \, КФ1 в залежно від порядку розкладання має вигляд

    Лг (до, а 1 (+1) = до, ААІ {+1) (2)

    - за формулою прямокутників,

    Аг (до, а 1 (+1) = 2 (Щ - к-1) ЛА1 ^ + 1)

    - за формулою трапецій,

    Лг (до, а 1 (+1) = - [(2Щ - 1Щ-1 + 6к-2) Лal (i + 1) - (2 ^ - 3х-1 + ^ -2) Лац] - за формулою квадратичних парабол. величини ЛА1 ^ + 1) є приростами кутів обертання а1 навколо кожної з осі координат на (+1) -й ітерації і в загальному випадку має тимчасову залежність, яка визначається конкретним завданням [3].

    Необхідною умовою використання алгоритму (1) є його збіжність. Слід зазначити, що класичні методи оцінки збіжності ітераційних алгоритмів [4] виявилися неприйнятними для алгоритму ДКП. Для доказу збіжності обертання (1) скористаємося такою логікою.

    Найменшому порядку розкладання відповідає алгоритм (1) - (2) (формула прямокутників) і саме від цього алгоритму можна очікувати гірших результатів в сенсі точності відпрацювання кватерніонів перетворення. Отже, вирішивши питання збіжності алгоритму (1) - (2) можна стверджувати про збіжність алгоритмів з більш високим порядком розкладання і екстраполяції. Доведемо, що алгоритм ДКП (1) - (2) відпрацьовує з деякою точністю на кожній ітерації саме кватернионами перетворення.

    Кватернионами перетворення описує обертання вектора

    Кб = (ХД, Уд, 1д) навколо довільно спрямованої осі обертання Ю (юх, ЮУ, південь) на кут в [5]

    Известия ТРТУ

    Т ематіческій випуск

    x = x0 cosO + a (1 - cos в) (ax0 + by0 + yz0) + (p? z0 -yy0) sinO ,

    y = y0 cosO + b (1 -cosO) (ax0 + by0 + yz0) + (yx0-az0) sinO, (3)

    z = z0 cosO + y (1 - cosO) (ax0 + by0 + yz0) + (ay0 -Px0) sinO, де x, y, z - координати перетвореного вектора, a, b, y - напрямні косинуси осі обертання.

    Уявімо вираження (3) у вигляді

    x = (cosO + a2 - a2 cos O) x0 + (ab -ab cos O - y sin O) y0 + (ay- ay cos O + b sin O) z0,

    y = (aft-aft cosO + y sinO) xq + (cosO + fi2 - fi2 cosO) y0 + (by- by cosO -asinO) z0, (4)

    z = (ay -ay cosO - b sinO) xg + (by- by cosO + a sinO) y0 + (cosO + y2 -y2 cosO) z0. Враховуючи що

    a2 + b2 + y2 = 1 (5)

    розкладемо в на приватні кути обертання (навколо кожної осі координат)

    O2 = ax2 + ay2 + az2 = (Oa) + (Ob) + (Oy). (6)

    Далі, уявімо (4) у вигляді

    x = axx + bxy + cxz ,

    y '= ayx + byy + cyZ, (7)

    z = azx + bzy + czz .

    Коефіцієнти a?, B?, C? в натуральному вираженні (7) з урахуванням (5) і (6) рівні

    п / О2 2 + 2 i J - cosO. sinO

    ax = cosO (b + y) + a, bx = aay (--------- 2 -) - az

    O2 O

    7 - cosO. sinO

    cx = axaz (---) + ay ~ ^ ~

    OO

    .1 - cosO. sinO. Л / 2 + 2. o2

    av = axay (------------ -) + az ----, by = cosO (a + y) + b, (8)

    O2 O

    1 - cosO sinO

    cy = ayaz (O) ~ ax O 5

    1 - cosO. sinO, J - cosO. sinO

    az = axaz (2) -ay ~ Z, bz = ayaz (2) + ax

    O2 o O2

    cz = cosв (a2 + р2) + у2 .

    Оцінимо значення коефіцієнтів (8) при малих значеннях в, що відповідає умовам реалізації ДКП. При цьому

    Пт ах = Пт Ьу = Пт cz = 1 ,

    в®д в®д в®д

    а значення аналогічних меж інших коефіцієнтів дорівнюють нулю.

    З аналізу меж Пт ау, Пт az, Пт Ьх, Пт bz, Пт сх, Пт су видно, що

    в®д в®д в®д в®д в®д в®д

    перше їхнє доданок являє собою нескінченно малу величину другого порядку, в той час як другий доданок є нескінченно мала першого порядку. Це означає, що другий доданок коефіцієнтів

    а у, а z>bx>bz>c х, С у (9)

    визначає їх значення при малих кутах. Таким чином, при малих в маємо

    ах 1, Ьх az, з х ау, а у az, Ьу 1, с у ах, az ау, bz ах, з z 1 ,

    з точністю до першого доданка коефіцієнтів (9). З огляду на викладене, запис (7) перетворення (4) зводиться до вигляду

    х »х - у а + гау,

    у ' »xaz + в1 - Гах, (10)

    I »- хау + УАХ + zi.

    Таким чином, вираз (10) виконує кватернионами перетворення (3) з точністю до перших доданків коефіцієнтів (9), що відповідає кожній ітерації алгоритму (1) - (2), отже, збіжність ДКП для однієї ітерації визначена. Питання про інтервал збіжності вирішується вибором порядку формули і кроку інтегрування, а конкретніше, урахуванням методичної та трансформованою похибки.

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Владимиров В.В. Звягінцев Н.С. Аналіз і синтез алгоритмів дискретного обертання століття-

    тора для вирішення завдань навігації. / Проблеми водного транспорту. / Известия вузів, Північно-Кавказький регіон, 2004.

    2. Каляєв А. В. Теорія цифрових інтегруючих машин і структур. - М .: «Радянське радіо», 1970.

    3. Владимиров В. В. Звягінцев Н. С. Громадян Д. В. Застосування кватерніони преобразо-

    ваний для опису траєкторії судна. / Проблеми водного транспорту. / Известия вузів, Північно-Кавказький регіон, 2004.

    4. Г.Корн, Т. Корн. Довідник з математики для науковців та інженерів. СПб .: Видавництво. «Лань», 2003.

    5. Казанова Г. Векторна алгебра. - М .: Мир, 1979.

    О.Н.Пьявченко, А.М.Педошенко, М.М.Пцарева СЕТЕВОЙ НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНИЙ СТЕНД

    Ускладнення новостворюваних технічних об'єктів, підвищення вимог до якості, економічності і безпеки їх функціонування, необхідність вирішення проблем запобігання техногенних аварій і катастроф, усунення негативного впливу людського фактора роблять актуальним створення нового покоління інтелектуальних систем моніторингу, діагностики та управління.

    Моніторинг динамічного об'єкта (процесу) - це цілеспрямоване визначення його стану на основі інформації про параметри, значеннях вхідних, вихідних та інших змінних і оцінки відповідності цього стану вимогам (обмеженням), які мають місце в контрольний час. Виходячи з цього, можна припустити, що будуть будуватися системи моніторингу не тільки автономні, але і вбудовані в системи діагностики і управління.

    Серед різних систем моніторингу гідне місце займуть розподілені інтелектуальні системи [1], які матимуть такі переваги і особливості:

    - бути високореактівние і високочутливими до змін стану об'єкта моніторингу (ОМ);


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити