Досліджуються властивості фільтра-інтерполятора-екстраполятор, синтез якого здійснено в [1], що стосуються оптимальності процедури виключення аномальних компонент вектора спостереження, залежно точноаі оцінювання від розмірності вектора аномальних перешкод і структури впливу його компонентний компоненти вектора спостережень.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Дьомін М. С., Рожков С. В., Рожкова О. В.


ANALYSIS OF CONTINUOUS-DISCRETE ESTIMATION OF STOCHASTIC PROCESSES THE CASE OF OBSERVATIONS CHANNELS RESERVATION WITH MEMORY IN THE PRESENCE OF ANOMALOUS NOISES

The paper investigates the properties of filter-interpolator-ex-trapolator concerning 1) optimality of procedure of the observation vector anomalous components elimination, 2) the dependence of the accuracy of the estimation on the dimension of the vector of the anomalous noise and 3) the structure of action of its components on the components of the observation vector.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2003


    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ


    Наукова стаття на тему 'Аналіз завдання безперервно-дискретного оцінювання випадкових процесів в разі спостережень з пам'яттю при наявності аномальних перешкод'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз завдання безперервно-дискретного оцінювання випадкових процесів в разі спостережень з пам'яттю при наявності аномальних перешкод»

    ?Природні науки

    УДК 519.714.2

    АНАЛІЗ ЗАВДАННЯ БЕЗУПИННО-ДИСКРЕТНОГО ОЦІНЮВАННЯ СТОХАСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У ВИПАДКУ СПОСТЕРЕЖЕНЬ З ПАМ'ЯТТЮ ЗА НАЯВНОСТІ АНОМАЛЬНИХ ЗАВАД

    Н.С. Дьомін *, C.B. Рожкова **, О.В. Рожкова **

    |Томскій державний університет, "" "Томський політехнічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Досліджуються властивості фільтра-інтерполятора-екстраполятор, синтез якого здійснено в [1], що стосуються оптимальності процедури виключення аномальних компонент вектора спостереження, залежно точності оцінювання від розмірності вектора аномальних перешкод і структури впливу його компонент на компоненти вектора спостережень.

    1. Введення

    В [1] на основі аналізу наукових публікацій була поставлена ​​і вирішена задача синтезу оптимального в середньоквадратичному сенсі незміщеної фільтра-інтерполятора-екстраполятор (далі ФІЕ) в разі безперервно-дискретних каналів спостереження з пам'яттю довільної кратності, коли екстраполяція здійснюється одночасно в довільному числі майбутніх моментів часу, а в дискретному каналі спостереження діють аномальні перешкоди. В результаті розгляду крайніх ситуацій відсутності аномальних перешкод, або їх впливу за всіма компонентами вектора спостережень, а також змістовного прикладу, була заявлена ​​необхідність дослідження питань залежності точності оцінювання від кількості аномальних каналів спостереження і структури впливу компонент вектора аномальних перешкод на компоненти вектора спостережень. Моделі процесів х, система позначень ті ж, що і в [1].

    2. Оптимальність процедури виключення

    аномальних спостережень

    Нехай вектор дискретних спостережень) розміру -р) виходить з вектора г) (ГТ) шляхом виключення компонент з номерами, / 2, • • •, /, за якими діють аномальні перешкоди. нехай

    (Л ") - матриці

    відповідно розмірів [(^ -г) хл], [(<?-/ -) Хя], [(^ - / -) х (7У + 1 + 1) і], які виходять з матриць? "(*"), ^ N + 1 + 1 ((т) винятком рядків з номерами цл2 , ---, 1г, а матриця розміру

    [(Д-р) х (д-р)] виходить з матриці V (/ т) винятком рядків і стовпців з зазначеними номерами. Тоді оптимальний в середньоквадратичному сенсі ФІЕ, в якому використовується вектор спостережень 'п (^ т)' будемо називати усіченим.

    Твердження 1. Усічений ФІЕ на інтервалах < ? < ?т + 1 визначається для

    Г0 * (**, /). Г "(*" /),

    рівняннями (2.1-2.11) теореми 1 з 11] з початковими умовами, які визначаються наслідком 2 з [2], в яких Л (С). Л (О '^ о (0> ^ (О '- ^ СО замінюються відповідно на

    Дане твердження очевидним чином випливає з згаданих теореми і слідства.

    Теорема 1. ФІЕ, певний теоремою 1 з [1], і усічений ФІЕ еквівалентні.

    Доведення. Нехай момент - перший момент появи аномальної перешкоди. Це означає,

    що

    І 1 Л '+ /, + 1 (ТЛ' '

    в усіченому фільтрі збігаються з відповідними величинами в ФІЕ з Теореми 1 в [1]. тоді

    А * +? + 1 Л Л) = Дл + Л + 1 Л, - Ь) +

    ^ М ^ - 'ОЛ (2)

    ЛСЗ ^ СО ^ Ж) * тям призводить з урахуванням (2.35) з [1] до відповід-

    носіння

    ХДлг + ^ + 1 ~, Ч, ч "Г-Н / ч, г-1 / \ ~ 1 -, 7-

    Таким чином, з (п.45) в [1] і (1) випливає, що № {гт) =]? {1т) + (* і)] З ,

    доказ сформульованої Теореми сво- звідки слід матричне тотожність диться до доказу рівності

    Введемо в розгляд булеву матрицю? Разме- хСЙ'1 (г) СТ1? ~]) 1) -

    ра <?], Яка виходить з матриці 1д т

    винятком рядків з номерами г ',, ^, ..., г'г.Очевід- (О ~ ^ (Ох

    але, що хСЛГ ~ 1 (ГТ) СГЖ- '(0] ** ЧО "

    = ^ (О • Отже, доказ згаданого рівності зводиться до доведення

    Нехай - ліва частина (7). використовуючи

    для

    уіімінушш уавьпива свідт ^ і 14 дік.а.зсісльі1ву ~ 7 '\ V т / ^' - • |

    1 ~ / \ (г (), які стоять в якості співмножників

    матричного тотожності До {1т) Е = К {1т), яке прич кратної скобці зліва і справа в? (/ "),

    з урахуванням (2) і (п.46), (п.74) з [1] розписується в формулу (2.35), а потім (п.70) з [1], отримуємо:

    вигляді:

    (? Л, л - ол) х х ^^ ^ ^ _ ^ ^ ^ ^ СГ х

    = (Гл ^ т -О'О * тоді з (7) СЛедуех:

    т) Г) Г ( ' «) • IV'1 (/") - ж-1 (* ") СДГ1 (* і) 1 (/") =

    Таккак = ЄС ^ т), У {1т) = ^ "ЧО- ^ ЖК ^ ЧО ^ 'ЧО-

    = ЄУ {1т) ЕТ, то Ж ^ т) = ЕЖ ^ я) Ет, і дока- Використання (8) в (5) з урахуванням (п.47), (2.33), (п.70)

    зання (4) зводиться до доказу матрічно- з [1] призводить до того, що доказ (4) сво-

    го співвідношення диться до доказу властивості

    Ет [ш (і) ЕтуЕ ^ {1а) Ця). \ У (1т) Ет [Е1? {1т) ЕтХЕ +

    Використання матричного тотожності [3] (? Т) С'І / ~ 1 (/ ",) = 1гГ

    [А + ВІВ7] '= А'1 - А'ХВ х Введемо позначення:

    х ^ -Ч / Л - ^ / Л "1 Д = ГГ ^ Я) ЕТ [Е1? ья) ЕТТ1Е,

    А2 ^ си ~ х {(т) Ст1У-1 ((т).

    з урахуванням (2.35) з [1] дає, що для рангів довільних матриць Аш В мають

    - , . . ... . . х місце властивості [4]

    1Г<(,.) = 1Г - (/.) - 1ГЧОСх * 1АВ] -Л [А-ЛВ] = * [Л11Г].

    х Г © "1 (/ т) + N (/ т)] СТ \ У ~ Л (ГТ), В результаті послідовного застосування (10)

    до А1 і А2 і того, що для оборотної матриці

    де А / "(/ т) = СГ1? ~ '(ГТ) С. Помноживши обидві частини (6) ^ _ отримуємо

    зліва на СТ і праворуч на С, а потім згортаючи пра- г ву частину по згаданому матричному тотожності, отримуємо

    гк [А2] = гк з + з [ст1? -1 (1т) су С1

    Так як з побудови матриці Е і С є Звідси з урахуванням (п.70) з [1] слід матрицями відповідно з незалежними будів-

    = Множення обох до? Ми і стовпцями, то ЇЇ + =

    у.! ч / 4 '[41. З огляду на (10) і остання властивість в (11) підлозі-

    частин останнього виразу зліва на С неправа ^ гк \ А \ = * \ ЕТЛ = ч-г, гк \ АЛ = гк \ сТ ~ \ = г.

    на С з подальшим збільшенням до обох час- 1 ^ J ь J LJ

    З визначення А1 і А2 слід, що А] = А1, = А2, тобто матриці А1 і А2 є проекційними [5]. За побудовою матриць С і Е маємо ЄС = О. Тоді А, А2 = О, А2Аг - О і, крім того, гк ^] * - ц. Оскільки проекційні матриці, що задовольняють цим умовам, мають властивість А1 + А ^ = 1д [4], то це з урахуванням виду А1 і Аг доводить (9), а тим самим (4). Довільність моменту 1т слід по індукції. Теорема 1 доведена.

    Дана теорема дає пояснення нечутливості ФІЕ з [1] до неточного знання матриці інтенсивності аномальної перешкоди (див. Теорема 2 в [1]) і означає, що процедура виключення аномальних компонент вектора спостережень в разі невідомого математичного очікування аномальної завади є оптимальною в сенсі мінімуму середньоквадратичної помилки оцінки в класі лінійних незміщених ФІЕ виду (п.45) з 11]. Використання в прикладних задачах ФІЕ з [1], а не усіченого ФІЕ краще, так як в ньому обробляється повний л), а не усічений г [) вектор спостережень. Якщо частина аномальних компонент Л (с) стають не аномальними, то в структурі ФІЕ це враховується через зміну структури матриці С.

    3. Точність оцінювання

    Оскільки матриця Охарактеризуйте вплив компонент вектора аномальних перешкод на

    компоненти вектора спостереження Г | ), То різним матрицями З відповідатимуть різні точності ФІЕ (среднеквадратические помилки оцінок).

    Нехай - логічний вектор розміру (], в якому компоненти з номерами ^, / 2, ..., 1г є нульовими, а решта одиничними. Під точністю оцінювання (? Т) в момент часу 1т, відповідної вектору 1 (г}, будемо розуміти величину

    АГ (г>

    Л)

    де А - довільна симетрична неотрицательно певна матриця, а (г ^, /, ^) матриця других моментів помилок ФІЕ, відповідна вектору / (г). Очевидно, що (? Т) при А - ^ +? + 1) «є среднеквадратической помилкою ФІЕ, відповідної .

    Зауваження 1. Введенням матриці А в (? Т) завдання узагальнюється в тому сенсі, що нас може цікавити не тільки спільна точність ФІЕ, але і роздільні точності фільтра, інтерполятора і екстраполятор, тобто

    3

    I

    відповідні вектору. Це забезпечується відповідним конструюванням матриці з А неотрицательно певних матриць А0, Ак, А1, відповідних розмірів.

    Теорема 2. Нехай / (0), - вектора,

    послідовно відрізняються один від одного значенням лише однієї компоненти. Якщо tm - перший момент появи аномальної перешкоди, то має місце властивість

    Доведення. Розглянемо два вектори і

    , відрізняються один від одного значенням лише

    однієї компоненти, тобто г2 = г, +1. Цим векторах відповідають матриці С ,, Е1 і, відповідно,

    ')' I = 1; 2 • Тоді доказ Теореми зводиться до доведення нерівності

    Розписуючи (п.79) з [1] з урахуванням (п.47), (2.33), (п.70) з [1] і (8) отримуємо

    {Уи ^ т ^ ь) = ГЛГ + 1 + 1

    (ТДГ ЛТ- ОЛ) (? І) X ( ' ") [/, |-« СДГ1) .З ^ "1)]: X (*") Г (т ", (т - 0,), (13 )

    де ЛГ. (* ") = С? Г'1 (* і) СУ, / = 1 ^ 2. В (13) враховано, що = =

    (•), так як - перший момент появи аномальної перешкоди. тоді

    = Ь [ЛГ "+ 1 + 1 (ти, гт -0Л) х

    -^ ЛГЧО ^ КЧО *

    х (с) Гн + Ш (ти, 1т - 0, зь)]. (14)

    Використовуючи властивість = йг [525,], (14)

    можна записати у вигляді

    г,. , \ Ш-Ч Л Оскільки теорема 2 передбачає, що 1т -перо-

    ^ Ут) = ™ ут)], (15) вий момент появи аномальної перешкоди, то віз-

    никает питання про те, за яких умов неравен-

    де = ство (12) буде справедливо, якщо зняти це обмеження.

    (Гл ,, 1т -О, ^) 01, ш (* "), (* і) =

    Теорема 3. Нехай

    1 N + L + l \ TN'lm і>ЛЛ, /-

    Так як А>0, то >0 [6]. Использова- _ ня (9) при С = С2 і Е = Е2 дає, що

    де А) 2 = Ж (ф г2 = П + 1. (16)

    хЕ2 [е ^ (г)] 'Ег АГХ = СХИХ1 (/) х Тоді нерівність (12) справедливо для довільним-

    (/, "). Як і при доказі Теореми ного моменту часу 1т.

    1, отримуємо гк [Аі] = д - г2, гк [Ап \ = гх. Так Доказ. Для доказу даної ті-

    як 4 - Ап, = Л21, то Л] 2 і Л2] - проек- ° реми Досить показати, що з нерівності

    ційних матриці [5]. За побудовою матриць С, ^ (О-0 'наступного з Теореми 2, з урахуванням

    і Е2 маємо, що Е2СХ = О. Тоді Л12Л21 = О, Умови <16)> записаного для моменту часу

    А2ХАп = О. Для проекційних матриць, які > буде слідувати нерівність ДУ (* я + 1) > 0.

    задовольняють цій умові, матриця Матриця О, з урахуванням (16)

    А = Ап + А1Х також є проекційної [5] і може бути представлена ​​у вигляді (т ",

    = = Так як ~ ° А) = ^ Иш ^ я ^ ж * + де

    г2 = гх +1. Матриця Ьх 2 ((т) = 1д ~ А також яв- Г > 0 [3]. Тогдаіз (2.37) в [1] слід

    ляется проекційної, так як = = 1) +

    = 1 - А. Оскільки для проекційної матриці "/ / V \ ранг дорівнює сліду [5], то г« [Д2 =

    = &| \ 2 (0] = ь [1д] - * х [Ау ^ [1д] -гк [А] = д З (п.79) і (п.47) в [1], отримуємо

    -(Д-1) = 1. Нехай тут і далі ШФ)) г ^ '^ (т / (т / -0? "I-

    (Г = 1,2, ...) означає спектр матриці Ф. поскольу- , .

    ку власні числа проекційної матриці рав- и + ш ^ л "т + 1 + 1 '

    нилібоО, або 1, а -СД ^)] *

    )] - рр [А>2 = (А, 1, ХСД, +? + 1 (гд ,, / т +, -0А) - (18)

    то (я ,. {Ьхг (/ і))} = {о, 0, ..., 1,0, ... 0} / = 1; ТО Записуючи (8), (9) для С, і відповідної їй

    Е1 і використовуючи ці співвідношення в (18) з урахуванням

    є? 12 (О-0- Так як I) > 0, 1,, 2 (Про > 0 ^^ да 70) з [1] та подання ^) з (6),

    і №-1 (1п)> 0, то [6] А, 2 (0 ^ ' «) отримуємо

    (Про ^ 0>тобто ГА) = ~

    ММОМО ^ 'М) * 0. * ^ _Г (,), _оЛСг (7) х Таким чином,

    Теорема 2 доведена. х? лг +? + 1 (^>^? + 1 (19)

    Вважаючи г, = г2 в (19) з урахуванням (17) отримуємо остаточний вираз для (т ^,

    у вигляді

    ^ ЛГ + 1 + 1 ~ ^ (ЛГ +? + 1) я -

    -(Г (тд ,, - О, ^) + Г)) X

    + (20)

    Введемо матричну функцію

    скалярного змінного а > 0. Розглядаючи матрицю (гд ,, ^ ,, ^) як функцію а, з (20) отримуємо

    Згідно (20), (21), t {^ L + l (xN, tm + l, ~ sL) =

    |Ль)

    (N + L + 1);

    I (^ A ^ m + l '^ i'01) ~~ In

    ~ E2W (ri] {tm + l) ET2 + + aE2GN + L + l (t ^) fGTN + L + l (tm ^ Jlx

    lMJgH- (21)

    x E2GN + L + l i

    Використання формули диференціювання оберненої матриці в (21) дає

    (Т N, tm + I, sL; a) / da = BY В1, (22)

    де

    ~ E2W {ri) {tm + l) El + i

    Так як Г > 0, то з (22) випливає, що [6],

    тобто Гд? +? + 1 (; а) - монотонно неубутна по а в сенсі визначеності матриця. тоді

    Ч *)

    + А E2GN + L + iy

    ^ N + L + l

    - Гjvi /, + 1 (i JV J J ^ L'a)

    a = 0

    (23)

    _ F (i) ~ L N +

    слід

    = (Хдг, / і + 1,5 г; а) | а = 1, звідси, з (21), (23)

    f ^ (х t ч \>Ч *

    1 N + L + 1 V Л "/ і + 1} - т '

    (24)

    де

    4 =

    (Ч)

    l (N + L + \) n х N + L + l (V А + 1 ^) Х

    хЕ2 gn + l + 1 (tm +]) f (; L + 1 (t ^ 'Ch-i ~),

    З (9) для С ,, Ех, j в момент часу im + 1 слід

    Звідси отримуємо

    Щ ^ Е?

    El

    -El

    е2 =

    х ~ Е21? м (^) ЕГ1

    + CxN; \ tm + l) clw {^ (tm, l)

    E2 +

    (25)

    Аналогічно доведенню властивостей Ц 2 (? Т) > О і?, 2 (? Т) Ь ((т) IV1 ((т)>0 в попередній теоремі може бути доведено, що

    Е2 +

    + CxK {tn + x) cTxw ^ (tm + x)

    Тим самим, згідно (25) \ E2W (n] {tm ^) El

    >0

    El

    -El

    Е2> 0.

    (26)

    Вважаючи rt = rx, отримуємо з (19), (26) з урахуванням виду для? , що

    4х (ТДГ, / т + 1,5?)-

    -E ^ E.W ^ t ^ El

    (U) fiL. (-0Л) * 0- (27)

    Тоді з (24), (27) випливає f (|) > ^ F i'Li (•) • Оскільки A > 0, то [6]

    iL. 0-f<; L, (|)]) *<>,

    j = l; (N + L + \) n. З визначення J ^ (tm +]) маємо, що

    MO (0 - ^. (0]].

    тоді

    = I 4

    г

    и

    N + L + l

    O-fIL, (.)])> 0.

    Теорема 3 доведена.

    Сенс наведених результатів полягає в тому, що додавання аномальних компонент вектора спостереження до вже наявних аномальним компонентів може лише погіршити точність оцінювання.

    У загальному випадку для двох векторів і ^ у,) таких, що рр > /}, Але набір нульових компонент вектора \ Г1) не поглинає набір нульових компонент вектора ^, нічого певного про співвідношення

    між / (п) (0 і ^ (О сказати не можна.

    Зауваження 2. Відповідно до зауважень 1 Теореми 2 і 3 справедливі також і для роздільних завдань фільтрації, інтерполяції та екстраполяції.

    4. Висновок

    Для ФІЕ, синтез якого здійснено в [1], доведені наступні властивості:

    - процедура виключення аномальних компонент вектора спостереження є оптимальною;

    - додавання аномальних компонент вектора спостереження до вже наявних аномальним компонентам не покращує якість оцінювання;

    - властивості ФІЕ, зазначені вище, справедливі також і для роздільних завдань фільтрації, інтерполяції та екстраполяції.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Дьомін Н.С., Рожкова C.B. Безперервно-дискретне оцінювання випадкових процесів в разі спостережень з пам'яттю при наявності аномальних перешкод. Синтез // Изв. РАН. Теорія і системи управління. - 2000. - № 3. - С. 5-16.

    2. Дьомін Н.С., Сушко Т.В., Яковлєва A.B. Узагальнена обернена екстраполяція випадкових процесів по сукупності безперервних і дискретних спостережень з пам'яттю // Изв. РАН. Теорія і системи управління. - 1997. - № 4. - С. 48-59.

    3. Гантмахер Ф.Р. Теорія матриць. - М .: Наука, 1988. -576 с.

    4. Альберт А. Регресія, псевдоінверсії і рекуррентное оцінювання. - М .: Наука, 1977. - 224 с.

    5. Абгарян К.А. Матричні і асимптотичні методи в теорії лінійних систем. - М .: Наука, 1973. -432 с.

    6. Маркус М., Мінк X. Огляд по теорії матриць і матричних нерівностей. - М .: Наука, 1972. -232 с.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити