Класичні індекси центральності для аналізу системи взаємозв'язків і взаємодії певної кількості об'єктів і поширені методи виділення ключових елементів мережі за допомогою ранжирування вузлів за величиною загальномережевого індексу центральності не завжди враховують інтенсивності внутрішньогрупових взаємодій в різних частинах системи. У даній роботі пропонується використовувати контекстно-залежні заходи центральності - на основі внутрішньогрупового взаємодії елементів мережі. Тобто пропонована міра центральності кожного елемента залежить від того підмножини елементів, для якого розглядається в даний момент. Для загальної інтегральної характеристики важливості, впливовості і т.д. деякої групи вершин пропонується використовувати мінімальне або максимальне, а не середнє, значення індексу центральності вершин цієї групи. Для визначення підмножини ключових вузлів мережі пропонується використовувати алгоритми спеціального кластер аналізу - алгоритми виділення ядра монотонної системи. Це не тільки забезпечує визначення глобального екстремуму функціоналу у відповідній оптимизационной задачі, але і дозволяє більш детально проаналізувати структуру мережі. Як приклад застосування пропонованого підходу розглянута мережа експортних зв'язків країн - членів Євросоюзу. Виявлено особлива - прикордонна роль Великобританії в ядрі Євросоюзу.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Кузнецов Євген Миколайович


Network interactions structure analysis: context-sensitive centrality measures

Classical centrality indexes for the analysis of system of interrelating and interacting objects and widespread methods of key elements detection by ranging nodes on the value of common network centrality index not always consider intensity of intra-group interactions in the system. We offer context-dependent measures of centrality - based on intra-group interaction of elements in the network. Namely the proposed centrality measure of each element depends on the subset of elements for which is considered. For general integrated characteristic of importance, influence, etc. of some group of nodes we offer to use minimum or maximum, but not an average, value of the centrality index of nodes in this group. For definition of subset of key nodes in the network, we offer to use algorithms of special cluster analysis - algorithms for monotone system kernel detection. It not only provides determination of global extremum of functional in the corresponding optimization task, but also allows to analyze structure of network in more detail. As an example of application of the offered approach, the network of export links of the member countries of the European Union is considered. The special front boundary role of United Kingdom in the core of the European Union is revealed.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2019
    Журнал: Управління великими системами: збірник праць

    Наукова стаття на тему 'Аналіз структури МЕРЕЖЕВИХ ВЗАЄМОДІЙ: контекстно-залежна заходи центральної'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз структури МЕРЕЖЕВИХ ВЗАЄМОДІЙ: контекстно-залежна заходи центральної»

    ?АНАЛІЗ СТРУКТУРИ МЕРЕЖЕВИХ ВЗАЄМОДІЙ: контекстно-залежна заходи центральної

    Кузнєцов Е. Н.1

    (ФГБУН Інститут проблем управління ім. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

    Класичні індекси центральності для аналізу системи взаємозв'язків і взаємодії певної кількості об'єктів і поширені методи виділення ключових елементів мережі за допомогою ранжирування вузлів за величиною загальномережевого індексу центральності не завжди враховують інтенсивності внутрішньогрупових взаємодій в різних частинах системи. У даній роботі пропонується використовувати контекстно-залежні заходи центральності - на основі внутрішньогрупового взаємодії елементів мережі. Тобто пропонована міра центральності кожного елемента залежить від того підмножини елементів, для якого розглядається в даний момент. Для загальної інтегральної характеристики важливості, впливовості і т.д. деякої групи вершин пропонується використовувати мінімальне або максимальне, а не середнє, значення індексу центральності вершин цієї групи. Для визначення підмножини ключових вузлів мережі пропонується використовувати алгоритми спеціального кластер аналізу - алгоритми виділення ядра монотонної системи. Це не тільки забезпечує визначення глобального екстремуму функціоналу у відповідній оптимизационной задачі, але і дозволяє більш детально проаналізувати структуру мережі. Як приклад застосування пропонованого підходу розглянута мережа експортних зв'язків країн - членів Євросоюзу. Виявлено особлива - прикордонна роль Великобританії в ядрі Євросоюзу.

    Ключові слова: заходи центральності, ключові елементи системи взаємопов'язаних об'єктів, монотонні системи.

    1. Введення

    Для представлення та аналізу системи взаємозв'язків і взаємодії певної кількості об'єктів часто використовується граф ( «соціальна мережа») [18]. Вершини в цьому графі представляють об'єкти (або суб'єкти, «актори»), а ребра - зв'язки між німі2. При цьому наявність зв'язку може характеризувати близькість

    1 Євген Миколайович Кузнєцов, к.т.н., ст.н.с. (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    2 Зрозуміло, не всі пари вершин пов'язані ребрами. Граф, в якому всі пари вершин пов'язані ребрами, називається повним.

    (Схожість) між об'єктами, відмінність (відстань) між ними або факт (інтенсивність) їх взаємодії. У перших двох випадках, як правило, мова йде про симетричних зв'язках, і цього схематично відповідає неорієнтовані граф. В останньому випадку зазвичай розглядають спрямовані зв'язку між об'єктами, що представляється орієнтованим графом. Нарешті, часто використовуються зважені графи, в яких кожному ребру приписана певна кількість - вага, що характеризує міру близькості або відстані (ступінь схожості або відмінності) між об'єктами або інтенсивність впливу (впливу) одного об'єкта на іншого, обсяг (величину) матеріального, інформаційного або фінансового потоку між ними тощо.

    Для аналізу тієї ролі, яку відіграє кожен об'єкт під взаємозалежної системі (кожен суб'єкт в соціальній мережі), розглядається сама концепція центральності і вводяться різні її числові характеристики - заходи центральності (centrality indices). Концепція центральності широко використовується в соціальних і поведінкових науках, а також в області політичних наук, управління, соціальних мереж в інтернеті, економіки, біології і т.д. [19].

    Так, в аналізі соціальних мереж розглядають тісно пов'язані поняття центральності і індивідуальної влади, лідерства, положення комунікативного посередника, периферійного або майже ізольованого вузла [15, 18]. В аналізі властивостей мереж на ринку міжбанківського кредитування та платіжних систем проводиться кількісна оцінка значущості елементів фінансових взаємодій і накопиченого системного ризику [7]. Індекси впливу і заходи центральності використовуються також для визначення ключових гравців на міжнародному ринку капіталу [13]. Зрозуміло, використовується цей апарат і для дослідження структури і процесів в політичних інститутах, таких як парламент [1], дослідження структури потоків міжнародної міграції [12] і в багатьох інших областях .

    Дослідники соціальних мереж розробили безліч кількісних заходів (індексів) центральності. найбільш з-

    Вестн і поширеними є наступні чотири групи заходів [15, 16]:

    - центральність за ступенем зв'язності (degree centrality);

    - центральність по близькості (closeness centrality);

    - центральність з посередництва (betweenness centrality);

    - центральність за впливовістю (eigenvector centrality).

    У той же час, як неодноразово зазначалося в літературі (див., Наприклад, [14, 17]), класичні індекси не завжди враховують структуру мережі і індивідуальні характеристики окремих акторів, а також інтенсивності прямих і опосередкованих, зокрема, внутрішньогрупових взаємодій в системі . Тому були запропоновані й інші заходи центральності, зокрема, індекси центральності по ближнім (short-range interactions centrality, SRIC) і далеким (long-range interactions centrality, LRIC) взаємодій, які дозволяють враховувати-ватьданние особливості [3, 13, 14] . Запропонований в [13] індекс центральності позичальника враховує характер і кількісну складову зв'язків між суб'єктами фінансової системи для прямих контрагентів і непрямих контрагентів першого рівня.

    Проте жодна з наявних у розпорядженні дослідника заходів центральності, ні всі вони в сукупності не дозволяють повністю задовольнити потреби аналізу мережевої структури близькості (відмінності) між елементами, мережевої структури складної системи матеріальних, фінансових, інформаційних та інших потоків або системи взаємодії між акторами . Тому розвиток нових підходів до аналізу мережевої структури є актуальним.

    Прикладні роботи з мережевого аналізу, як правило, складаються з двох основних етапів. Спочатку для всіх вузлів наявної мережі (акторів) розраховуються ті чи інші індекси (заходи центральності). Потім на основі отриманих значень проводиться ранжування всіх вузлів по кожному індексу. Це дозволяє виділити в мережі групи вузлів з найбільшими або найменшими значеннями цих індексів (ТОП-3, ТОП-5 і т.д.). Або ширше - виділити групи вузлів, що відповідають тим чи іншим апріорно накладаються вимогам. Наприклад, групу вузлів,

    індекси центральності яких перевищують (або не перевищують), деяке порогове значення або приймають максимальні значення. Так, в [2] визначаються найбільш важливі міжнародні та російські економічні журнали в мережах в результаті аналізу перехресного цитування наукових публікацій цих журналів. По кожному використовуваному індексу визначається група ТОП-3 найбільш впливових журналів з економіки. Зрозуміло, перелік цих «найбільш впливових журналів» за різними індексами сильно відрізняється.

    Спільною рисою всіх відомих автору робіт з аналізу мережевої структури на основі заходів центральності є те, що значення індексів обчислюються для кожної вершини раз і назавжди - по всіх вершин мережі. Інакше кажучи, індекс центральності розглядається як властивість або функція вузла на всій мережі (тобто функція одного аргументу - вузла). Крім того, для загальної характеристики важливості, впливовості і т.д. деякої групи вершин використовуються такі стандартні інтегральні характеристики цієї групи як середнє (рідше, сумарне або медіанне) значення використовуваного індексу центральності [19].

    У даній роботі для мережевого аналізу центральності пропонується три нововведення.

    1. Пропонується розглянути контекстно-залежні заходи центральності. Тобто з самого початку міра центральності вводиться як функція двох аргументів: деякого вузла мережі і деякого підмножини вузлів мережі. Інакше кажучи, міра центральності розглядається як міра відносини (зв'язку, ролі, взаємодії і т.д.) елемента і групи елементів. Тобто міра (ступінь) центральності кожного елемента визначається не один раз, по всій мережі, а залежить від контексту -від того підмножини елементів, для якого розглядається в даний момент. Таким чином, значення індексу центральності кожної вершини явно залежить від підмножини вершин, для якого воно обчислюється. Актор, який займає лідируючі позиції в одній групі вершин, може бути цілком периферійним вузлом в складі іншої групи. цей

    підхід як би реалізує ідею відомої приказки «Молодець-серед овець, а на молодца - і сам вівця».

    2. Для загальної інтегральної характеристики важливості, впливовості і т.д. деякої групи вершин пропонується використовувати крайні значення індексу центральності вершин цієї групи (мінімальне або максимальне, а не середнє). Тобто група характеризується по самому впливовому своєму члену або, навпаки, підсумкове час марш-кидка взводу - по найбільш відстав солдату.

    3. Для визначення підмножини ключових вузлів мережі пропонується використовувати алгоритми спеціального кластер-аналізу - алгоритми виділення ядра монотонної системи. Це не тільки забезпечує визначення глобального екстремуму функціоналу у відповідній оптимизационной задачі, але і дозволяє більш детально проаналізувати структуру мережі.

    У другій частині статті вводяться всі необхідні формальні поняття. З математичної точки зору дана робота заснована на роботі [6]. У третій частині описуються алгоритми вирішення поставленого завдання. У четвертій частині розглядаються властивості побудованих структурних об'єктів. Нарешті, в п'ятій частині роботи коротко описується практичний приклад застосування пропонованого підходу до мережевого аналізу системи торгово-економічних потоків між країнами-членами Євросоюзу.

    Автор дякує Ф.Т. Алєскєрова і Ю.Е. Гурову за цінні зауваження та допомогу в роботі над статтею.

    2. Контекстно-залежна міра мережевий центральності

    Нехай V = {1, 2, ..., п} - кінцеве безліч пов'язаних вузлів (вершин, елементів, акторів і т.д.). Характер зв'язків між ними може бути самий довільний. Широко відомі принаймні три типи таких зв'язків:

    1. Міра близькості (подібності) або відстані (відмінності) між двома вузлами.

    2. Величина (обсяг, маса) потоку між ними (матеріального, фінансового, інформаційного та ін.).

    3. Інтенсивність взаємодії (впливу) одного елемента на інший.

    Розглянемо зважений граф G = (V, E, W>, де V, IV = N-безліч вершин, E з V х V - безліч ребер, а Ж = ^ у}-безліч ваг ребер, де Wij - невід'ємне дійсне число, відповідне ребру (/ ', 7) е Е. Граф G називається орієнтованим, якщо ребро (/ ', 7) е е характеризує спрямовану зв'язок між вузлом i і вузлом 7 (наприклад, величину деякого потоку від вузла i до вузла 7, міру впливу вузла i на вузол 7 і т.п.), і неорієнтованим, якщо ребро (/ ', 7) е е характеризує ненаправлену зв'язок між вузлами i і 7 (наприклад, міру схожості або відмінності між ними).

    Незважений граф G може бути представлений за допомогою матриці суміжності А = [ау] м * м, де а ^ = 1, якщо (/ ', 7) е Е, і ау = 0 в іншому випадку, а зважений - за допомогою матриці ваг Ж = ^ у] ^^ При цьому передбачається, що всі вершини графа пронумеровані і, тим самим, помітні. Граф G називається повним, якщо кожна вершина з'єднана з кожною вершиною, тобто Е = V х V. Однак часто під повним графом розуміють повний граф без петель. Тобто граф, в якому кожна вершина з'єднана тільки з кожною іншою вершиною.

    Виходячи зі змісту ваг ребер, будь зважений граф можна представити у вигляді повного графа, відповідним чином доповнивши матрицю ваг (парних зв'язків). Наприклад, якщо вага Wгj характеризує близькість (схожість) вершин i і 7, і при цьому максимальної близькості відповідає значення ваги, наприклад, рівне 1, то природно заповнити діагональ матриці ваг одиницями (кожна вершина найбільшою мірою схожа сама на себе). Якщо вага - це відстань між вершинами (наприклад, відстань, що обчислюється за будь-якої формулою в просторі ознак), то вага відсутніх ребер у вихідному графі можна визначити як кратно збільшене максимальне можливу відстань між вершинами (замінюючи, таким чином, для практичних потреб подальшого ана-

    лізу нескінченну величину). Діагональ в цьому випадку - відстані від кожної вершини до самої себе - природно заповнити нулями. Якщо вага Wij характеризує величину будь-якого потоку між вершинами (матеріального, фінансового або інформаційного), то, навпаки, значення ваг відсутніх ребер у вихідному графі природно заповнити нулями. Аналогічним чином діють і в тому випадку, якщо вага ребер характеризує інтенсивність взаємодії (прямого впливу) одного елемента на інший.

    У будь-якому випадку, ми маємо кінцеве безліч V пов'язаних вузлів (вершин, елементів, акторів і т.д.) і матрицю Ж = [Wy] wxw, кількісно характеризує парні зв'язки між ними. (Спочатку ми розглядаємо тільки симетричні матриці зв'язків.) Для визначеності будемо припускати, що WiJ > 0, V / ФWiJ = 0.

    Розглянемо довільне підмножина Н з V. Визначимо на кожному такому підмножині скалярную числову функцію його елементів

    (1) л (г, Н) =? , VI е Н .

    ^ н

    Число я (/, Н), яке приписують цією функцією елементу / на підмножині Н, назвемо вагою елемента / на Н. Таким чином, вага кожного елемента підмножини Н дорівнює сумі зв'язків цього елемента з усіма елементами того ж підмножини. Відповідно до змістовним сенсом ваг ребер можна інтерпретувати вагу ЛЦ, Н) як близькість елемента і підмножини вузлів вихідного графа, або як відстань елемента від підмножини елементів, або як величину сумарного потоку від одного вузла до групи вузлів, або як міру впливу одного вузла на підмножина вузлів тощо. Тобто в даному випадку число л (/, Н) - це прямий аналог заходи статечної центральності (зваженої), тільки виміряної не по всій мережі, а на деякому підмножині вузлів Н або, можна сказати, виміряної на підграфі вихідного графа, який визначається підмножиною вузлів Н.

    Система функцій ЛЦ, І), так визначених на множині всіх підмножин множини V, очевидно, задовольняє умові монотонності (нагадаємо, що ваги ребер невід'ємні, Wij > 0). Дійсно, для будь-яких двох вкладених підмножин Hi з H2 і для будь-якого елемента i е І \ виконується нерівність ТЛ}, Hi) < ЛЦ, И2), тобто.

    (2) л (i, H) < л (i, И2), Vi, H, І: i е H З И2 з V. Властивість монотонності можна записати й інакше (можна

    показати, що ці два записи еквівалентні):

    (3) л (i, І \ к) < л (1, І), Vi ф до, i, до е І, VH з V.

    Такого роду системи названі в [9] монотонними. Істотний внесок у розвиток теорії таких систем внесли роботи [5, 8, 10] та ін.

    Визначимо тепер на безлічі всіх підмножин множини вузлів одну скалярну функцію за наступним правилом

    (4) F (І) = min л (\, І), V і з V.

    iеІ

    Таким чином, функція F (H) є величина найменшої міри центральності підмножини вузлів H. Тобто кожна підмножина вузлів будемо характеризувати середньою, а найменшою мірою центральності його елементів. Нагадаємо, що міра центральності кожного вузла тут контекстно-залежна, тобто характеризує зв'язку цього вузла з іншими вузлами тільки в межах розглянутого підмножини.

    Тепер поставимо завдання виділити таке найбільше підмножина K, K з V, вузлів вихідного графа, на якому функція F (H) приймає максимальне значення

    (5) F (K) = max F (І) = max min T (i, І).

    І СV І СV iеІ

    Підмножини K, K з V, на яких функція F (H) приймає максимальне значення, названі в [9] ядрами монотонної системи. У цій же роботі показано, що безліч всіх ядер монотонної системи замкнуто щодо операції об'єднання множин, і, тим самим, в будь-монотонної системі існує одне найбільше по вкладенню ядро.

    Інакше кажучи, потрібно визначити таке підмножина вузлів K, в якому навіть вузол з найменшою мірою центрально-

    сті (в межах цього підмножини) має найбільшу міру центральності серед всіх підмножин Н з V. Можна трактувати це і таким чином, що мова йде про виділення підмножини «найбільш взаємопов'язаних (взаимовлияющих)», центральних елементів вихідної системи, що утворюють її ядро.

    Припустимо, що вага Wij характеризує величину будь-якого потоку між вершинами (матеріального, фінансового або інформаційного). Нехай вузли - це суб'єкти деякої економічної системи (наприклад, країни Євросоюзу), а вага Wij парної зв'язку характеризує обсяг торгівлі (або тільки експорт з / -й країни в у-у, або весь товарообіг між ними). Тоді ядро ​​До включає країни з найбільшим внутрішньогрупових товарообігом в сенсі критерію (5) в складі економічної системи.

    Ядра монотонних систем володіють багатьма чудовими властивостями [4-6, 9, 10], деякі з яких описані нижче в розділі 4. Але спочатку розглянемо алгоритм виділення ядра монотонної системи.

    3. Алгоритм виділення ядра - центрального підмножини елементів взаємозалежної системи

    За роки, що минули з появи теорії монотонних систем [9], було запропоновано кілька різних алгоритмів виділення ядер монотонної системи (див., Наприклад, [5] та ін.). Екстремальні властивості ядра монотонної системи, зрозуміло, не залежать від алгоритму, що застосовується для його виділення. Тут дамо короткий опис найпростішого алгоритму, слідуючи роботі [6].

    В основі алгоритму розв'язання задачі (5) використовується процедура побудови так званої визначальною послідовності елементів і виділення в ній найбільшого ядра -определімого безлічі [9].

    Алгоритм описується рекурентним чином по кроках. Перший крок. Покладемо Н \ = V. Знаходимо такий елемент а \ е V, що

    п (ах, V) = min n (i, V).

    ieV

    Елемент ai першим «віддаляється» з безлічі V і оголошується першим елементом вибудовується визначальною последовательності1. Позначимо його вага 7i (ai, V) через Si. Це число буде використовуватися як початкове значення порога для порівняння з вагами інших елементів, але розглядаються вже на безлічі H2 = Hi \ ai, на наступному кроці. Порівняння здійснюється для «видалення» інших елементів. У той же час значення порога порівняння надалі буде змінюватися.

    k-й крок. Нехай після виконання (k - 1) кроків алгоритму вибудувана послідовність елементів (ai, a2, ..., an) і в якості поточного значення порога для порівняння отримано певна кількість S-i. Позначимо через Hk = Hk-i \ ak-i підмножина всіх, хто лишився до k-му кроці, тобто ще не включених в визначальну послідовність, елементів множини V:

    Hk = V \ {ax, a2, ..., ak_).

    Знаходимо такий елемент ak е Hk, що

    ж (ак, H) = min n (i, Hk),

    ieHk

    і проводимо порівняння його ваги з поточною величиною порога Sk-i. Якщо виконується умова (6) л (ак, Hk) <Sk_x

    і k < N = | V |, то переходимо до (k + 1) -му кроці, причому величина порога зберігається:

    Sk = Sk_i.

    В іншому випадку, тобто якщо не виконується нерівність (6), перед переходом до наступного кроку величина порога змінюється:

    Sk = x (ak, Hk) .

    1 Якщо таких елементів декілька, то в визначальну послідовність

    вставляється будь-який з них. Як показано в роботах [5, 9], це не впливає не

    тільки на склад виділяється в подальшому найбільшого ядра, але і на з-

    ставши всіх квазіядер - див. далі. Аналогічне властивість має місце на каж-

    будинок кроці алгоритму.

    У цьому випадку, очевидно, Зк > 3-1 (тобто це нерівність виконується тільки для деяких к). Алгоритм закінчує роботу, коли повністю вичерпано вихідне безліч V, тобто всі його елементи збудовані в послідовність (а \, а 2, ..., аи), яка і названа визначальною. При цьому отримана також супутня послідовність підмножин Н:

    Н = (Н1, Н2, ..., Нм), де Н = V, Нк = Н \ ак-1, (Ни = аи) а ак - к-й елемент визначальною послідовності. Послідовність елементів (а1, а2, ..., аи) і супутня їй послідовність підмножин Н можуть бути збудовані не єдиним чином, якщо на певному етапі виявилося більш одного елемента з мінімальною вагою. Однак, як показано далі, це не завадить вирішення поставленого завдання.

    Виділимо з визначальною послідовності (а1, а2, ..., аи) спеціальну підпослідовність

    (А, а, ..., а), елементи якої визначають кроки алгоритму

    \ Л 32 Зр /

    зі зміною значень порога порівняння (покладемо а. = а). Позначимо загальне число таких різних значень порога через р. Для спрощення подальшого розгляду введемо спеціальні позначення для цієї послідовності елементів і пов'язаної з нею послідовності підмножин:

    (7) у = (п = Ал, г2 = ан, ..., Ур = а),

    (8) Г = (Г1 = НЛ, Г2 = Н32, ..., Гр = Нь) .

    Аналогічним чином переобозначив і числову послідовність виникаючих порогів:

    (9) * = (* = 3 ^ = * "..., *, = ЗР),

    де?} - 1 < ?},] = 1, ..., р.

    Позначимо через До відповідне підмножина Г = Н, тобто підмножина елементів, включених у визначенні-

    р Зр

    ляющая послідовність після останньої зміни зна-

    чення порога на ур-му кроці, починаючи з самого елемента у до кінця визначальною послідовності. В [9] доведено, що на підмножині К = Гр функція F (H) досягає глобального максимуму і таке підмножина К = Гр едінственно1. Тим самим безліч вузлів До є рішення поставленого завдання про виділення підмножини «найбільш взаємопов'язаних (взаімовлія-чих)» елементів.

    Алгоритм є досить простим в обчислювальному відношенні і тому придатний для обробки великих систем взаємопов'язаних елементів.

    Для того щоб наочно продемонструвати роботу алгоритму, розглянемо наступний простий приклад системи взаємопов'язаних елементів, якій відповідає зважений граф на рис.1.

    Мал. 1. Приклад найпростішої системи взаємопов'язаних елементів. Ядро виділено плавною кривою

    1 В [5] доведено, що, незважаючи на довільний вибір елемента з мінімальною вагою на кожному кроці алгоритму, в разі, якщо таких елементів декілька, послідовність квазіядер Y також визначається єдиним чином.

    Описаний алгоритм виділяє на це зваженому графі ядро, що складається з вершин 1, 4 і 5 (тобто ядро ​​K = Гр = {1, 4, 5}). При цьому будується визначає послідовність (2, 3, 1, 4, 5), послідовність множин

    Г = (Г = {1,2,3,4,5}, Г ^ = {1,4,5} ^ і послідовність зростаючих порогів s = S = 3, е2 = 6.

    4. Властивості монотонної системи на матриці зв'язків як основа для виділення підмножини ключових елементів мережі

    Важлива особливість алгоритму полягає в тому, що разом з визначенням підмножини «найбільш взаємопов'язаних» елементів в результаті виконання завдання відшукується система вкладених один в одного підмножин Г = (Г, Г, •••, Гр) останнім

    з яких, Гр, є шуканим ядром. Ці підмножини мають особливі властивості [5, 6, 9].

    Перш за все зробимо два загальних зауваження, що випливають безпосередньо з самого побудови алгоритму розв'язання задачі. По-перше, послідовність значень порога, що вибудовуються в ході виконання алгоритму, строго впорядкована за величиною

    si <s2 <••• <sj <sj + i <... <sp,

    де

    s = min n (i, Г) = min V wik .

    j i ЕГ j ieT ^^ 1

    j j кеГj

    По-друге, безлічі послідовності Г представляють собою точки локальних екстремумів (максимумів) функції F в послідовності підмножин H:

    F (Г) = max F (H), VH е H, j = 1,2, ^, p -1,

    Г, 3HзГ

    або

    (10) F (H) * F (: Fj) = Sj F (H) <F (Гj + i) = Sj + i

    VH е H, Г j з H ЗГ j + i, j = 1,2, _, p -1

    Більш того, як це зазначається в [5], співвідношення (10) вірні для будь-якої підмножини Н, Гу з Н з Гн, не обов'язково є членом послідовності підмножин Н.

    Теорема 11. Для будь-якого власного підмножини Н, Г з Н з Г; _1 справедливо

    ^ (Н)<ЯГ,) = ej, Г] ДТ ^ (Н) < ^ (Г, + 1) = у = 1,2, ..., р -1.

    З теореми 1 випливає, що послідовність множин Г є послідовність точок строго зростаючих локальних максимумів функції F на безлічі всіх підмножин множини вузлів V. Інакше кажучи, в множині всіх підмножин множини вузлів V як на решітці виділяється послідовність вкладених інтервалів підмножин Н, Гу з Н з Гу-1, у = 1, 2, ..., р -1, межі яких служать локальними максимумами функції F. Останній з цих максимумів є в той же час глобальним. З цієї причини підмножини послідовності Г називають також квазіядрамі.

    Таким чином, функція F (H) має вельми просту структуру: у неї є всього р < N =? V] локальних максимумів. Саме ця простота, яка є наслідком монотонності системи, визначає можливість побудови швидкого алгоритму розв'язання задачі (5): алгоритм можна розуміти як просту процедуру послідовного перебору всіх локальних максимумів функції F (H), тобто квазіядер монотонної системи.

    Розглянута особливість алгоритму виділення ядра монотонної системи дозволяє вирішувати вихідну задачу з додатковими обмеженнями. Так, зокрема, в умовах завдання може бути апріорно зазначено перелік особливих ключових елементів, які повинні обов'язково увійти в результуючий центральне підмножина; в іншому випадку можуть бути задані допустимі розміри шуканого підмножини (бажаний діапазон). В обох випадках рішенням буде найменше безліч Гу, яке задовольняє відповідному усло-

    1 Докази теорем наведені в [6].

    70

    вию, тобто, наприклад, найменше квазіядро Г /, що включає апріорно задані ключові елементи.

    З точки зору змістовної інтерпретації результатів, дуже бажано для оцінки якості одержуваного рішення мати загальні кількісні характеристики близькості (віддаленості, зв'язності, інтенсивності взаємодії і т.д.) елементів ядра K і однорідності їх взаємного розташування (взаємозв'язків). В якості таких характеристик пропонується використовувати відповідно величини F (K) і Q (K), які визначаються наступним чином: (11) F (K) = s = min ^ (i, k) = min V wtl

    '1С f 1С f

    ie K keK

    (12) Q (K) = max max У ж ,, H е H, (H з K, K \ H Ф ф).

    vik

    HcK ieK \ H f-i keH

    Величина F (K), як уже зазначалося, визначає особливий, крайній елемент ядра - ур (центр або антіцентр ядра, в залежності від змістовного сенсу ваг ребер між вузлами), а характеристика Q (K) виділяє деяку власну частину H 'ядра K = гр, причому з властивості монотонності слід, що елемент ak е K \ H, такий, що V w, = max V w,, варто

    keH 'ieK \ H' keH '

    безпосередньо перед першим елементом H 'в визначальною послідовності. Тим самим, величина Q (K) визначає та максимальна розріз ядра K (в визначальною послідовності).

    Доцільність використання величин F (K) і Q (K) в якості заходів загальної близькості елементів ядра і однорідності їх взаємозв'язків обґрунтовується тим, що вони задовольняють певним співвідношенням.

    Теорема 2. Міра однорідності ядра не перевищує величину порога Sp = F (K):

    Q (K) < min V w

    . "^ V ik

    ieK keeK

    Іншими словами, не можна ядро, розташоване біля правого кінця визначальною послідовності, розрізати на дві частини таким чином, щоб максимальна сумарна зв'язок елемента з однієї частини ( «лівої») з усіма елементами іншої

    частини ( «правої») перевищила мінімальну зв'язок першого елемента ядра з усім ядром Sp = F (K).

    Теорема 3. Мінімальна сума зв'язків будь-якого елементу ядра K з усіма іншими його елементами, тобто величина порога Sp = F (K) незгірш від максимальної величини парної зв'язку між будь-якими двома елементами всієї множини V:

    F (K) - max wk .

    На відміну від теореми 2, яка гарантує в певному сенсі «щільність» ядра K, теорема 3 встановлює суттєве обмеження знизу на величину мінімальної зв'язку, тобто «Мінімальної взаємозв'язку» елементів в цій множині.

    Введені з допомогою теорем 2 і 3 кількісні характеристики взаємозв'язку і однорідності (щільності) елементів ядра, тобто підмножини вузлів, на якому функція F (H) має глобальний максимум, можна узагальнити для оцінки всіх локальних екстремумів цієї функції. Визначимо їх аналогічним чином:

    F (Гj) = min ж (1, Гj) = min Z, j = 1,2, •••, Р -1

    j j кеГj

    Q (Tj) = max max Z W, Г j з H з j H е H, j = 1,2, -, p -1

    H 1еГ j keH

    Теорема 4. Для будь-якого безлічі Г / справедливо наступне нерівність:

    Q (Tj) < min Z Wik, j = 1,2, ---, p-1.

    ,el j кеГj

    Теорема 5. Для будь-якого безлічі Г / мінімальна сума зв'язків його елемента з усіма іншими його елементами, тобто величина порога s / = F (Р /), що не менше максимальної величини зв'язку між двома елементами i і до, не належать безлічі Г / + 1, тобто i, до е V \ Г / + 1,,

    F) - max W *, j = 1,2, •••, p-1 .

    J г, keV \ ГJ + 1

    Теореми 4 і 5 служать обгрунтуванням можливості використання локальних екстремумів функції F, тобто множин (Г /), / = 1, 2, ..., р-1, в якості прийнятного рішення задачі

    виділення підмножини «найбільш взаємопов'язаних» елементів для випадку, коли на це підмножина накладаються додаткові апріорні обмеження (див. вище). Введені в цих теоремах заходи «взаємозв'язку» і однорідності елементів підмножин, що доставляють локальні максимуми функції і порівняння їх з відповідними характеристиками для глобального максимуму вказує, наскільки спотворюється ідеальне рішення введенням додаткових обмежень.

    На закінчення розглянемо теорему 6, яка встановлює, що безлічі (ГД] = 1, 2, ..., р-1, є в певному сенсі точками локальних екстремумів також і функціоналу, рівного середньої попарной зв'язку між елементами підмножини.

    Теорема 6. Нехай УН з V

    Тоді справедливі твердження:

    А. Для будь-якої підмножини Нс Г;, у = 1, 2, ..., р-1, з числом елементів | Н |, рівним | Г; +1 |, що відрізняється від безлічі Г + 1 не більше ніж одним елементом, виконується нерівність

    Б. Для будь-якої підмножини Н з Г;,] = 1, 2, ..., р-1, з числом елементів | Н |, рівним (| Г; +1 | + 1), що містить безліч Г + 1, т . Е. Н з Г + 1, також виконується нерівність (14).

    Розглянуті властивості монотонної системи, побудованої на матриці зв'язків, надають широкі можливості для змістовних інтерпретацій.

    Зауваження. Формальна постановка задачі про виділення підмножини «найбільш взаємопов'язаних» елементів і алгоритм її рішення повністю зберігаються і тоді, коли елемент Wгj матриці зв'язків акторів носить сенс не близькості, міри схожості, інтенсивності взаємодії між ними, а відстані. Завдання в цьому випадку полягає у виділенні підмножини «найбільш ізольованих», в сенсі (5) елементів

    (14) / (Я) < / (Г / + 1) .

    безлічі V. Більш того, весь запропонований підхід цілком прийнятний і до аналізу мережі з несиметричною матрицею зв'язків вузлів, що не задовольняє нерівності трикутника, а саме, до аналізу потокової матриці зв'язків.

    5. Ядро Євросоюзу за даними взаємного експорту країн - членів (2016 рік)

    Як приклад застосування пропонованого підходу розглянемо задачу виділення ядра Євросоюзу за даними про експорт (зовнішній торгівлі товарами) за 2016 рік (www.eurostat.eu).

    Євросоюз - найвідоміше і найрозвиненіша економічне і соціально-політичне об'єднання країн в світі. На частку ЄС в останні роки припадало близько чверті світового валового внутрішнього продукту (за паритетом купівельної спроможності), і це при тому, що частка країн ЄС в світовому населенні становить не більше десяти відсотків [20]. Сукупний розмір ВВП країн ЄС перевищує розмір ВВП США [11]. Як відомо, найважливішою частиною економіки є зовнішня торгівля. Зовнішньоторговельні зв'язку країн - членів Євросоюзу не тільки характеризують ступінь залученості їх у внутрішньо регіональної торговий оборот, але і виступають як суттєвий фактор їх регіонального єдності і розвитку. Велика роль Євросоюзу і в світовій торгівлі: частка ЄС (з урахуванням внутрішньо регіональної торгівлі) становить близько 40% міжнародної торгівлі товарами [11, 20]. Однак, незважаючи на постійно розвивається процес інтеграції, Євросоюз не став поки повністю однорідним утворенням. Все частіше йдуть розмови про «Європі двох швидкостей». І хоча обсяг і частка зовнішньої торгівлі всередині об'єднання у країн - членів Євросоюзу останні десятиліття постійно росли, вони розвивалися по-різному у різних країн ЄС.

    Для виявлення особливостей торгових відносин держав Євросоюзу всередині ЄС застосуємо розглянутий вище підхід.

    В цьому випадку V - це безліч країн - членів Євросоюзу, V | = N = 28, а Wij - обсяг експорту з країни 7 в країну у. Якщо взяти довільна підмножина Н з V, функція (1)

    л (г, Я) =? ^, У / е Я

    зен

    буде визначати сумарний експорт з країни 7 в усі країни підмножини Н.

    Таким чином, вага ЛЦ, Н) кожного елемента підмножини Н дорівнює сумі обсягів експортних зв'язків цього елемента з усіма елементами того ж підмножини, тобто величиною сумарного потоку від одного вузла до групи вузлів, або міру впливу одного вузла на підмножина вузлів. Тобто в даному випадку, як уже зазначалося вище, число л (7, Н) - це прямий аналог заходи статечної центральності (зваженої), яка вимірюється не по всій мережі, а на деякому підмножині вузлів Н (внутригруп-повая міра центральності).

    Потрібно визначити таке підмножина вузлів К, в якому навіть вузол з найменшою мірою центральності (в межах цього підмножини) має найбільшу внутригрупповую міру центральності серед всіх підмножин Н з V. Іншими словами потрібно визначити підмножина «найбільш взаємопов'язаних (взаимовлияющих)» центральних елементів вихідної системи внутрішніх експортних зв'язків країн Євросоюзу, що утворюють її ядро. Таким чином, ядро ​​До включає країни з найбільшим внутрішньогрупових товарообігом в сенсі критерію (5) в складі економічної системи Євросоюзу.

    За даними про експорт (зовнішній торгівлі товарами) країн Євросоюзу за 2016 рік отримано такі результати.

    Як ядро ​​(доставляє глобальний максимум функціоналу (4)) алгоритм виділив наступні країни: Великобританія, Іспанія, Італія, Франція, Бельгія, Німеччина, Нідерланди (або ПРО, Е8, 1Т, БЯ, ВЕ, БЕ, кь - в дволітерні кодуванні) . Підкреслимо: це виділення зроблено не людиною-експертом, можливо враховує всю повноту інформації про країни Євросоюзу, а пропонованим формальним алгоритмом

    на основі тільки даних про обсяги експорту товарів з кожної країни в кожну іншу країну.

    Нагадаємо також, що в пропонованому підході дуже важливий порядок елементів. Більш того, найважливішу інформацію несе сама визначає послідовність всіх елементів і супроводжуюча її послідовність значень вагової функції Мг, І), що характеризує суму внутрішньогрупового експорту кожної країни г в країни, розташовані в цій послідовності праворуч від нее1 (див. Рис. 2):

    Мал. 2. Ядро Євросоюзу по внутригрупповому експорту 2016

    Першим елементом ядра Євросоюзу в визначальною послідовності (за даними внутрішньогрупового експорту 2016 року) стала Великобританія. Тобто це якраз перший (особливий, крайній) з ключових елементів європейської спільноти.

    Зауважимо, що механічне видалення Великобританії зі складу ядра призводить до його руйнування - ніяка інша

    1 Нехай не бентежить значення ваги, що дорівнює нулю, у Голландії: тут показаний сумарний експорт кожної країни в групу країн, розташованих в послідовності праворуч від неї. Голландія була включена в послідовність останньої, після Німеччини: це означає, що коли залишилися тільки дві країни (Німеччина та Голландія), то експорт з Німеччини до Голландії виявився менше, ніж експорт з Голландії до Німеччини, і тому вона (Німеччина) була включена в визначальну послідовність раніше Голландії, що залишилася останньою.

    група країн Євросоюзу без Великобританії не дає таке ж або більшого значення функції (4), що характеризує, як зазначалося вище, мінімальну взаємопов'язаність групи країн. Нагадаємо, що ядро ​​- це підмножина країн з максимальною серед всіх можливих груп країн мінімальної внутрігруппо-вої взаимосвязанностью.

    Щоб оцінити в цілому внутрішньо групові та зовнішні експортні зв'язку країн ядра розглянемо наступну таблицу1.

    Таблиця 1. Сумарний експорт країн - ядра Євросоюзу (млрд євро), 2016 рік ___

    Країна Сумарний експорт всередині ядра Євросоюзу Сумарний експорт всередині всього Євросоюзу Сумарний експорт в усі країни світу крім країн ЄС

    Великобританія 124,354 174,980 194,459

    Іспанія 126,087 171,666 86,999

    Італія 163,312 232,525 183,856

    Франція 218,065 268,807 183,767

    Бельгія 216,134 260,131 100,681

    Німеччина 410,200 707,545 499,720

    Нідерланди 313,074 391,170 124,015

    Разом 1571,226 2206,824 1373,497

    Легко бачити, що дійсно серед групи країн, що складають ядро ​​Євросоюзу, Великобританія має найменший сумарний експорт в країни ядра, а Німеччина, як і можна було очікувати, - найбільший. Бачимо також, що саме і тільки Великобританія продає в інші країни світу крім ЄС більше (194,459 млрд євро), ніж всередині Євросоюзу

    1 Дані про торгівлю з країнами - нечленами Євросоюзу в цій роботі не беруть участь у досліджуваній системі взаємопов'язаних елементів, а використовуються для інтерпретації складу виділеного ядра.

    (174,980 млрд євро). Решта країн ядра набагато більшою мірою орієнтовані на внутригрупповую зовнішню торгівлю. Експорт деяких з них (Іспанія, Бельгія, Нідерланди) всередині Євросоюзу перевищує експорт в інший світ більш ніж удвічі. Важко уявити, щоб хтось із них захотів вийти з Євросоюзу.

    Міра однорідності ядра Q (K), як виявилося, відповідає розрізу ядра по Італії:

    е (к) = 120.

    Її значення, близьке за величиною до максимального порогу F (K) = 124,4, якраз і свідчить про те, що крайній елемент ядра - Великобританія - за даними внутрішньогрупового експорту дуже близький до центру ядра.

    Зрозуміло, тут представлені тільки перші, самі поверхневі результати, як приклад застосування пропонованого підходу до мережевого аналізу центральності системи взаємопов'язаних елементів.

    6. Висновок

    Для аналізу тієї ролі, яку відіграє кожен об'єкт під взаємозалежної системі ( «мережі»), в соціальних і поведінкових науках, в економіці і інших областях широко використовується концепція центральності. Мережа при цьому представляється зваженим графом, в якому ваги зв'язків визначаються мірою близькості або відстані (ступенем схожості або відмінності) між об'єктами або інтенсивністю впливу (впливу) одного об'єкта на іншого, об'ємом матеріального, інформаційного або фінансового потоку між ними тощо.

    Однак класичні індекси центральності і поширені методи виділення ключових елементів за допомогою ранжирування вузлів за величиною загальномережевого індексу центральності не завжди враховують структуру мережі і, перш за все, інтенсивності прямих і внутрішньогрупових взаємодій в системі.

    Індекс центральності при цьому розглядається як функція одного аргументу - вузла, тобто обчислюються для кожної вершини раз і назавжди - по всіх вершин мережі.

    Підхід до аналізу структури мережі взаємопов'язаних елементів, пропонований в даній роботі, має три основні особливості.

    Перша. Пропонується використовувати контекстно-залежні заходи центральності - на основі внутрішньогрупового взаємодії елементів мережі. Тобто міра (ступінь) центральності кожного елемента визначається не один раз, по всі мережі, а залежить від контексту - від того підмножини елементів, для якого розглядається в даний момент.

    Друга. Для загальної інтегральної характеристики важливості, впливовості і т.д. деякої групи вершин пропонується використовувати крайні значення індексу центральності вершин цієї групи (мінімальне або максимальне, а не середнє значення).

    Третя. Для визначення підмножини ключових вузлів мережі пропонується використовувати алгоритми спеціального кластер аналізу - алгоритми виділення ядра монотонної системи. Це не тільки забезпечує визначення глобального екстремуму функціоналу у відповідній оптимизационной задачі, але і дозволяє більш детально проаналізувати структуру мережі.

    Як приклад застосування пропонованого підходу розглянута мережа експортних зв'язків країн - членів Євросоюзу. Виділене алгоритмом ядро ​​за даними експорту за 2016 рік включає сім країн: Великобританія, Іспанія, Італія, Франція, Бельгія, Німеччина, Нідерланди. Першим (особливим, крайнім) елементом з підмножини ключових елементів європейської спільноти виявилася Великобританія, єдина з них, яка продає в інші країни світу крім ЄС більше, ніж усередині Євросоюзу.

    література

    1. Алескер Ф. Т., БЛАГОВІЩЕНСЬКИЙ Н.Ю. [та ін.].

    Вплив і структурна стійкість в російському парламенті (1905-1917 і 1993-2005 рр.) / Н.Ю. Алеськеров, Ф. Т. Благовіщенський, Г.А. Сатаров, А.В. Соколова, В.І. Якуба, 2-е изд., Москва: Фізматліт, 2009. 312 с.

    2. Алескер Ф.Т. [та ін.]. Значимість основних російських і міжнародних економічних журналів: мережевий аналіз // Журнал Нової економічної асоціації. 2016. № 2 (30). C. 193-205.

    3. Алескер Ф.Т., МЕЩЕРЯКОВА Н.Г., Швидун СВ. Вплив в мережевих структурах з використанням індексів далеких взаємодій // XIII Всеросійська школа -конференція молодих вчених «Управління великими системами». 2016. C. 13-22.

    4. Закс Ю.М., МУЧНИК І.Б. Монотонні системи для побудови неповних класифікацій кінцевого безлічі об'єктів // Автоматика і телемеханіка. 1989. № 4. C. 155-164.

    5. КУЗНЕЦОВ E.H., МУЧНИК І.Б., Шварцер Л.В. Монотонні системи і їх властивості // Аналіз нечислової інформації в соціологічних дослідженнях. 1985. C. 29-57.

    6. КУЗНЕЦОВ О.М. Аналіз структури матриці зв'язків з допомогою побудови на ній монотонної системи // Автоматика і телемеханіка. 1980. № 7. C. 128-136.

    7. ЛЕОНІДОВ А.В., РУМЯНЦЕВ Е Л. Оцінка системних ризиків міжбанківського ринку Росії на основі мережевої топології // Журнал Нової економічної асоціації. 2013. № 3 (19). C. 65-80.

    8. МАЛИШЕВСЬКИЙ А.В. Властивості порядкових функцій множин // Якісні моделі в теорії складних систем. 1998. C.169-173.

    9. МУЛЛАТ І.Е. Екстремальні підсистеми монотонних систем. I // Автоматика і телемеханіка. 1976. № 5. C. 130139.

    10. МУЧНИК І.Б., Шварцер Л.В. Субмодулярние функції множин і монотонні системи в задачах агрегування. I // Автоматика і телемеханіка. 1987. № 5. C. 135-148.

    11. РОДІОНОВА І. А .; УМЕРОВА І.А. Позиції країн-членів ЄС в світовій і внутрішньо регіональної торгівлі // Зарубіжний досвід. 2009. № 134 (41). C. 103-108.

    12. ALESKEROV F. [и др.]. Network analysis of international migration // Математичні методи аналізу рішень в економіці, бізнесі та політиці. 2016. (WP7 / 2016/0). C. 155.

    13. ALESKEROV F., ANDRIEVSKAYA I., PERMJAKOVA E.

    Key borrowers detected by the intensities of their short-range interactions // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 2016. (156). C. 267-280.

    14. ALESKEROV F., MESHCHERYAKOVA N., SHVYDUN S. Centrality measures in networks based on nodes attributes, long-range interactions and group influence // Mathematical methods for decision making in economics, business and politics. 2016. C. 1-44.

    15. BONACICH P. Power and Centrality: A family of Measures // American Journal of Sociology. 1987. № 5 (92). C. 1170-1182.

    16. BONACICH P., LLOYD P. Eigenvector-like measures of centrality for asymmetric relations // Social Networks. 2001. № 3 (23). C. 191-201.

    17. LANDHERR A., FRIEDL B., HEIDEMANN J. A Critical Review of Centrality Measures in Social Networks // Business & Information Systems Engineering. 2010. № 6 (2). C. 371-385.

    18. WASSERMAN S., FAUST K. Social Network Analysis: Methods and Applications / S. Wasserman, K. Faust, Cambridge: Cambridge Univercity Press, 1994. 828 c.

    19. Models and Methods in Social Network Analysis. під ред. P.J.Carrington, J. Scott, S. Wasserman, Cambridge: Cambridge Univercity Press, 2005. 334 c.

    20. World Trade Statistical Review 2016. WTO, 2017. 165 c.

    NETWORK INTERACTIONS STRUCTURE ANALYSIS: CONTEXT-SENSITIVE CENTRALITY MEASURES

    Eugene Kuznetsov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, cand.sc., professor (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    Abstract: Classical centrality indexes for the analysis of system of interrelating and interacting objects and widespread methods of key elements detection by ranging nodes on the value of common network centrality index not always consider intensity of intra-group interactions in the system. We offer context-dependent measures of centrality - based on intra-group interaction of elements in the network. Namely the proposed centrality measure of each element depends on the subset of elements for which is considered. For general integrated characteristic of importance, influence, etc. of some group of nodes we offer to use minimum or maximum, but not an average, value of the centrality index of nodes in this group. For definition of subset of key nodes in the network, we offer to use algorithms of special cluster analysis -algorithms for monotone system kernel detection. It not only provides determination of global extremum of functional in the corresponding optimization task, but also allows to analyze structure of network in more detail. As an example of application of the offered approach, the network of export links of the member countries of the European Union is considered. The special front boundary role of United Kingdom in the core of the European Union is revealed.

    Keywords: centrality measures, key elements of the interconnected objects system, monotone systems.

    УДК 519. 87 + 51-77 ББК 22.176

    Стаття представлена ​​до публікації членом редакційної колегії Ф.Т. Алескеровим.

    Надійшла до редакції 17.01.2019.

    опублікована 31.07.2019.


    Ключові слова: заходи центральної /КЛЮЧОВІ ЕЛЕМЕНТИ система взаємопов'язаних ОБ'ЄКТІВ /Монотонна СИСТЕМИ /CENTRALITY MEASURES /KEY ELEMENTS OF THE INTERCONNECTED OBJECTS SYSTEM /MONOTONE SYSTEMS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити