Розглядаються лінійні диференційно-різницеві системи рівнянь з лінейновозрастающім запізненням. Основним результатом є коефіцієнтний достатні умови асимптотичної стійкості і нестійкості. Детально розбирається висновок рівнянь математичної моделі динаміки руху автоколони під час здійснення маршу. Розглянуті рівняння добре описують виникнення нештатних зупинок автоколони на маршових ділянках в умовах гірської місцевості.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Жабко Олексій Петрович, Камачкін Олександр Михайлович


dYnamiC ProCesses stabilitY analYsis desCribed bY linear differential-differenCe sYstems With linearlY inCreasinG delaY

Linear differential-difference systems of equations with linear-increasing delay are considered. The main result is coefficient sufficient conditions for asymptotic stability and instability. The conclusion of the equations of the mathematical model of the movement dynamics of the convoy during the мarch is analyzed in detail. The equations under consideration describe well the occurrence of emergency stops of the convoy on marching sections in mountainous terrain.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2020
    Журнал
    Повітряно-космічні сили. Теорія та практика
    Наукова стаття на тему 'АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ, описується лінійною диференціально-різницевих СИСТЕМАМИ З лінійно зростає запізнювання'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ, описується лінійною диференціально-різницевих СИСТЕМАМИ З лінійно зростає запізнювання»

    ?УДК 517.929.4

    ДРНТІ 27.31.17

    АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ, описується лінійною диференціально-різницевих СИСТЕМАМИ З лінійно зростає запізнювання

    А.П. Жабка, доктор фізико-математичних наук, професор

    Санкт-Петербурзький державний університет (м.Санкт-Петербург)

    А.М. КАМАЧКІН, доктор фізико-математичних наук, професор

    Санкт-Петербурзький державний університет (м.Санкт-Петербург)

    Розглядаються лінійні диференційно-різницеві системи рівнянь з лінійно-зростаючою запізненням. Основним результатом є коефіцієнтний достатні умови асимптотичної стійкості і нестійкості. Детально розбирається висновок рівнянь математичної моделі динаміки руху автоколони під час здійснення маршу. Розглянуті рівняння добре описують виникнення нештатних зупинок автоколони на маршових ділянках в умовах гірської місцевості.

    Ключові слова: диференційно-різницеві рівняння, системи з запізненням, асимптотична стійкість, стійкість по Ляпунову, метод функціоналів Ляпунова-Красовського.

    DYNAMIC PROCESSES STABILITY ANALYSIS DESCRIBED BY LINEAR

    DIFFERENTIAL-DIFFERENCE SYSTEMS WITH LINEARLY INCREASING DELAY

    A.P. ZHABKO, Doctor of Physico-Mathematical sciences, Professor

    Saint Petersburg state University (Saint Petersburg)

    A.M. KAMACHKIN, Doctor of Physico-Mathematical sciences, Professor

    Saint Petersburg state University (Saint Petersburg)

    Linear differential-difference systems of equations with linear-increasing delay are considered. The main result is coefficient sufficient conditions for asymptotic stability and instability. The conclusion of the equations of the mathematical model of the movement dynamics of the convoy during the мarch is analyzed in detail. The equations under consideration describe well the occurrence of emergency stops of the convoy on marching sections in mountainous terrain.

    Keywords: differential-difference equations, systems with delay, asymptotic stability, Lyapunov stability, Lyapunov-Krasovsky functionals method.

    Вступ. Диференційно-різницеві системи часто використовуються в математичних моделях для опису реальних явищ. Методи аналізу систем з обмеженим і необмеженим запізненням істотно розрізняються. Наприклад, необмежено зростаюче технологічне запізнювання в хімічних процесах з'являється при моделюванні динаміки перемішування. При моделюванні динамічних процесів в інформаційному сервері [1] слід враховувати час, необхідний для обробки інформації. У динамічної моделі трафіку на Непрямолінійність ділянці маршруту зростаюче запізнювання з'являється при описі позаштатних зупинок.

    Актуальність. В останнє десятиліття минулого століття актуалізувалася проблема опису різного роду процесів математичними формалізмами, що базуються на

    W U

    диференційно-різницевих системах або їх аналоги. Причиною тому стала алгоритмизация таких процесів і подальша числова обробка отриманих даних. При цьому істотну роль грають запізнювання (обмежені або необмежені), властиві переважній кількості природничо процесів. Методи аналізу з обмеженим і необмеженим запізненням істотно розрізняються. Наприклад, необмежено зростаюче технологічне запізнювання в хімічних процесах проявляється при моделюванні динаміки перемішування. При моделюванні динамічних процесів в інформаційному сервері слід враховувати час, необхідний для обробки інформації, а значить, тимчасове запізнювання. У динамічної моделі трафіку на прямолінійній ділянці маршруту зростаюче запізнювання з'являється при описі позаштатних зупинок. В роботі розглядаються лінійні диференційно-різницеві системи рівнянь з лінійно-зростаючою запізненням. Основним результатом є коефіцієнтний достатні умови асимптотичної стійкості і нестійкості. Надалі передбачається поширити метод функціоналів Ляпунова-Красовського, обгрунтований для систем з обмеженим запізненням, на розглянуті системи і отримати необхідні і достатні умови стійкості таких систем в термінах прямого методу Ляпунова.

    Моделювання динаміки руху автоколони під час здійснення маршу в гірських умовах. Розглянемо непрямолінійний маршрут (НПМ), розділений на ділянки. Перенумеруем ці ділянки від 1 до N, тому перший і N -ий ділянки будуть сусідніми.

    Нехай ХI (V) і V (ХI (V)) означають середню щільність і середню швидкість руху автоколони на ділянці з номером I в момент V. Нехай г (V) позначає середню щільність автоколони на в'їзді на початку I-го ділянки, а di (V) позначає середню щільність на з'їзді в кінці (I-1) -го ділянки.

    Припущення 1. Припустимо, що Vо - максимальна допустима швидкість на НПМ.

    Введемо функцію:

    V = V (x,) =

    Vо, якщо xi < Xо V (х ^, якщо xi> Xо

    (1)

    Тут функція V (х) строго монотонно спадна. Позначимо через? {Довжину I -го ділянки. Нехай функції xi (V), V (V), г (V), di (V), безперервно діфференцируєми. Тоді можна виписати таку систему звичайних диференціальних рівнянь:

    lrx, (t) =

    7 = 1,2, ..., JV

    (2)

    де Хо (t) = xN (t) і Vo (0 = VN (t).

    Постановка задачі. Нехай є можливість управляти щільністю автоколони на в'їзді на НПМ, а саме, введемо управління u (t) = (^ (t), r2 (t), ..., rN (t)) і обмеження

    r (t)> 0 npui = 1,2, ..., N.

    Розглянемо функціонал J (u (•)) = mini = 1,2v, N minte [0, T] V (xi (t)) .

    Завдання 1. У класі допустимих управлінь знайти оптимальне управління

    u "

    , (T), t е [0, Т] тако ^ що J (uonm (•)) = тжі J (u ()).

    и

    е

    і

    Завдання 2. Для заданого значення Угай описати все безліч допустимих управлінь та (г), г е [0, Т], для яких виконується нерівність 3 (і (•)) >У ^. Рішення даного завдання будемо шукати в класі функцій:

    Г (0 = 2>* • ^ (г - К), г = 1,2, ..., N,

    (3)

    де 0 = К0 (/) <ка (/)<•••</г.((/). У рівності (3) вважаємо =, якщо

    г + 5 > N.

    Основні результати. Нехай функція У (х) визначена при х > х0 > х0 рівністю

    V х

    -, і х Б є середня швидкість збільшення щільності автоколони між

    у [х) =-,

    I а (^ с)

    ділянкою з номером 5 і ділянкою з номером г в момент часу р Якщо х1 (г) = х0г., то запізнювання кБ в лінійному наближенні можна визначити рівністю:

    к = Гх0 '+ а • х * (г - г)

    .Б гБ

    Уо • хо

    -До + У, (г - 'г),

    (4)

    в якому? ^ = ^? у і? у - довжина у -го ділянки.

    'У = Б + 1 у у

    Зауважимо, що, виходячи з фізичної постановки задачі, при моделюванні процесу виникнення нештатної зупинки можна вважати виконаними обмеження:

    0<до ° <Н <ю, 0<уі <1, г = 1,2,., N, 5 = 1,., N-1 ,

    причому, = у0 = 0, У = 1,2,., N.

    В системі (2), взагалі кажучи, існують положення рівноваги:

    (5)

    х.

    (6)

    Випишемо систему лінійного наближення в околиці рішення (6). Якщо ввести нові змінні, то система лінійного наближення для системи (2), (3), (4) в околиці рівноваги (6) є:

    а

    у (0 = т [(4 - + 4) (У I (0 - я (0) + ^ (0

    N-1

    ^ {Г) =? "" • у + б (г - КО-уь • г) .

    г = 1,2,., N

    (7)

    де = - (

    х0 + а (ХГ х0) Б = 0

    Припущення 2. Будемо вважати, що числа Кг0 і задовольняють умові (5). Припустимо також, що існують величини 0 <до < да, 0 <у < 1 і цілі невід'ємні і, пов'язані рівністю К.0 = пБ • до і 1п (1 -уБ) = • 1п (у) при

    г = 1,2,., N, 5 = 1,., N -1.

    и

    Е

    і

    5 = 0

    Тоді систему (7) можна записати у вигляді системи лінійних диференціально-різницевих рівнянь запізнілого типу:

    Сі

    (8)

    1 = 1, = 0

    де Л, - постійні матриці.

    Для того, щоб знайдені рішення задач 1 і 2 могли бути реалізовані, необхідно забезпечити асимптотическую стійкість системи (8). Наступні теореми можуть бути застосовані при побудові стабілізуючого управління.

    Випадок 1. Відсутні лінійно зростаючі запізнювання і, отже, система (8) набирає вигляду:

    С7 (0

    • Y (г _ п, • щ.

    (9)

    Теорема 1 [2]. Система (9) є експоненціально стійкою тоді і тільки тоді,

    N N _1

    коли характеристичний квазіполіном системи (9) / (^) = det [^ E • ехр (_ ^ - п, • h)]

    1 = 1, = 0

    є гурвіцевим.

    Випадок 2. Відсутні постійні запізнення і, отже, система (8) набирає вигляду:

    dt

    = ?? А • ^ (г).

    (10)

    Теорема 2 [3]. Система (10) є асимптотично стійкою тоді і тільки тоді,

    dY (г) ^ Г * Л ** _

    коли системи

    0 • Y (г) і 0 • 2 (т) = ?? Л1, • 7 (Т_ щ, • 1п у) також

    г = 1

    . ?= 1 У

    г = 1, = 1

    асимптотично стійкі.

    У загальному випадку буде справедливо наступне твердження.

    Теорема 3. Система (8) є асимптотично стійкою тоді і тільки тоді, коли dY (г) * * * ^

    системи

    ?Ло • Y (t_По • к) і? Ао • 2 (т_По • Щ = • 2 (г • ущ _п, • h) також

    1 = 1 1 = 1 1 = 1, = 1

    асимптотично стійкі.

    Проведемо доказ в кілька етапів. Спочатку вивчимо найпростіший випадок рівняння, що містить одне постійне запізнення і одне лінійно зростаючу запізнювання. А саме, розглянемо рівняння:

    Су (г)

    = А • у (г) + Ь • у (г _ к) + с • у ( «• г), г > г0 > 0,

    (11)

    в якому а, Ь, с, а - речові числа, причому 0 < б < 1. В якості початкової функції вибираємо безперервну функцію г (т), задану на проміжку г е [го _ Н, г0] при Н = тах {до; (1 _а) •? 0}.

    и

    е

    і

    Зауважимо, що при (1-а) го > до виконується нерівність (1-а) г > (1-а) го > до, тому

    Н = (1 - б)? Про .

    Лемма 1. При г >А1К | го (к = 1,2, ...) рішення у (г) рівняння (11) має до безперервних похідних і задовольняє рівності:

    y (k) (t) = а • y (* -ц (t) + b • y (ц (t - h) + ak ~ 1 • з • y (k-ц (a • 1), t > a1 " '• t0 > 0.

    (12)

    Доведення. Гладкість рішення доведена в монографії [2], а справедливість рівності (12) перевіряється безпосереднім диференціюванням тотожності (11). Припустимо, що допоміжне рівняння:

    dz (t) dt

    = А • z (t) + b • z (t - h),

    (13)

    експоненціально стійко по Ляпунову. Тоді існує [2] такий позитивно

    про

    певний квадратичний функціонал уо () = і (о) | 22 (г) + 2Ь | г (г) - | і (до + г (г + т) йт +

    -до

    0 0 + з1 | | {? Г + т) -22 (V + т) йт + '2 | Л ^ т-! - г2) -г ^ + г1) -р (Т +, що вздовж рішень

    -h

    - h

    рівняння (13) при t > t0 виконується рівність

    dvo (zt) dt

    \ j

    -2 • z2 (t) -d • jz2 (t + r) dr.

    У цих равенствах безперервно диференціюється при т Ф про функція і (г) визначається

    відомим чином [2].

    Лемма 2. Якщо рівняння (13) експоненціально стійко і натуральне число до

    задовольняє нерівності у к-1 | | з | | | І (0) | < 1 і нерівності ак-2 | | з | | | І (о) | +

    + Ak 2 • h • lb • з | • maxu (r) < 1, то нульовий розв'язок рівняння:

    1 1 0<r<h 1 4 71

    z {t) = a-z (f) + b-z (t-ti) + cf ~ l-c-z (a-i), t>t0> 0, (14)

    буде асимптотично стійко за Ляпуновим.

    t

    Доведення. Знайдемо похідну функціонала v (zt) = v0 (zt) + jz2 (r) dr уздовж

    рішень рівняння (14), отримаємо

    dv (zt) dt

    про

    -2 • z2 (t) - d • jz2 (t + r) dr + z2 (t) - a • z2 (at) -

    +2

    про

    b • ju (h +?) • z (t + r) dr + u (0) • z (t)

    • ak 1 • з • z (at). Застосовуючи нерівність 2 • u (h + r) x

    xz (t + r) • z (at)< z2 (t + r) + max | u (r) | ^ z2 (at) і нерівність 2 • z (t) • z (at) < z2 (t) + z2 (at) можна отримати оцінку похідною функціоналу v (zt) в силу рівняння (14)

    < - (1 - ak- 1 | з | \ u (0) |) • z2 (t) - (d - ak- 1 | b | з | пшх | u (r) |) • j z2 (t + r) dr - (a - ak- 1 | з | \ u (0) | -

    -h

    -ak-1 • b • з • h • max | u (r) |) • z2 (at).

    o<r<h 4 71 4 '

    и

    ь

    і

    Неважко перевірити, що, якщо натуральне число до задовольняє умовам леми 2, а число d - нерівності d >ак-1 • \ b • c | • max \ і (г) |, то похідна функціоналу v (zt) в силу

    рівняння (14) буде негативно певним функціоналом. Тобто, за умови відповідності умовам теореми про асимптотичну стійкість рівняння (14).

    Лема 3. Нехай рівняння (13) експоненціально стійко по Ляпунову. Тоді різницеве ​​рівняння:

    a

    z (t) + b • z (t-h) + am • c • z (at) = 0, t >t0 > 0:

    (15)

    асимптотично стійко за Ляпуновим при т = 0,1, ... тоді і тільки тоді, коли:

    '+ Ь <0 <-а, | з | <| А + Ь |, (16)

    a-

    рівняння (11) є асимптотично стійким.

    Доведення. Так як рівняння (13) експоненціально стійко, то а + Ь < 0.

    про

    якщо 0 <а < Ь, то диференціюючи функціонал V () = | г2 (г + т) Ст в силу рівняння

    - до

    (15) отримуємо:

    dt

    dv (zt) f b, ,, am-1-c, Л2 - (b2 Л - ,, fam-1-

    - z (t-h) - z (at) -z (t-h) =

    a a J

    4 /

    -1

    Va J

    "Bam- | c, Л M + 2 - z (t - h) • z (at)>

    (b2

    \

    a-1 va J

    ; (T - h)-

    • z-t - h) +

    a- c2

    V a J

    '(At)-

    (17)

    V a J

    (1 z2 (*).

    Далі покажемо, що в разі 0 <а <-Ь рівняння (15) нестійкий. дійсно,

    Ь2

    візьмемо число е = 1 і 0 < у2 < - -1. Якщо в якості початкової функції вибрати функцію

    і

    ц (/) = 0 при г < г0 - до, ц (?) = z0 Ф 0, при р е [г0 - до, г0], то в певний момент г > г0

    чималій г0 буде виконано рівність г2 (г) = 1, що доводить нестійкість в цьому випадку.

    Таким чином, ми довели необхідність умови а + Ь <0 < - а. Необхідність і достатність умови | з | < | А + Ь | випливає з роботи [7]. Лема доведена.

    Теорема 4. Якщо рівняння (13) експоненціально стійко і коефіцієнти рівняння (11) підпорядковані умовам (16), то рівняння:

    y {t) = a-y (t) + b-y (t-k) + c-y (a-t), />/ 0>0.

    (18)

    буде асимптотично стійко за Ляпуновим.

    Доведення. З умови теореми на коефіцієнти рівняння слід, що рівняння а- г (г) + Ь-г (г - к) + ат-1-з-г (а-г) = 0 задовольняють умовам леми 3 при т = 0,1 , ..., до -1, тому ці рівняння асимптотично стійкі. Визначимо функції гт (г) = ут (г) при т = 1, ..., к. Розглянемо рівності (12), як рівняння:

    w і

    t >am | 10 >0,

    (19)

    а | y {m] (t) + b | y {m> (T-h) + am| з | У "> (А | t) = Zm + 1 (t),

    при m = 0,1, ..., до - 1. За лемі 2 маємо, що zm + 1 (t) ^ 0 при t ^ да, при m = до - 1. Тому, використовуючи лему 3 отримуємо граничне співвідношення y (m) (t) = zm (t) ^ 0 при t ^ да. Повторюючи ці міркування послідовно при m = до - 2,., 0 завершуємо доказ.

    Зауваження 1. Доказ теореми 3 проводиться аналогічним чином.

    Зауваження 2. У роботах [4, 5] запропоновані конструктивні алгоритми перевірки умов теореми 1 і теореми 2.

    Зауваження 3. У роботі [1, 6] сформульовані достатні умови асимптотичної стійкості деяких класів нелінійних систем диференціально-різницевих рівнянь виду (7).

    Висновки. У даній роботі отримані достатні умови для управління рухом автоколони під час здійснення маршу в умовах гірської місцевості з виключенням позаштатних зупинок, засновані на підході Б.С. Разумихина, асимптотичної стійкості лінійних диференціально-різницевих систем з лінійно зростаючим і постійним запізнюваннями. Надалі передбачається поширити метод функціоналів Ляпунова-Красовського, обгрунтований для систем з обмеженим запізненням, на розглянуті в статті системи, і отримати необхідні і достатні умови стійкості таких систем в термінах прямого методу Ляпунова.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Жабко А.П., Чижова О.М. Аналіз стійкості однорідного диференційно-різницевого рівняння з лінійним запізненням // Вісник СПбГУ. 2015. Серія 10. Вип. 3. С. 105-115.

    2. Kharitonov V.L. Time-Delay Systems - Lyapunov Functionals and Matricies // Springer, 2012. 311 P.

    3. Zhabko A., Chizhova O., Zaranik U. Stability Analysis of the Linear Time Delay Systems with Linearly Increasing Delay // Cybernetics and Physics. 2016. vol. 5. no. 2. Р. 67-72.

    4. Kharitonov V.L., Zhabko A.P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay system // IEEE Trans. Automatica. 2003. Vol.39. Р. 15-20.

    5. Жабко А.П., Медведєва І.В. Алгебраїчний підхід до аналізу стійкості диференційно-різницевих систем // Вісник СПбГУ. 2011. Серія 10. Вип. 1. С. 9-20.

    6. Александров А.Ю., Жабко А.П. Про стійкість рішень одного класу нелінійних систем з запізненням // Автоматика і телемеханіка. 2006. № 9. С. 3-14.

    7. Александров А.Ю., Жабко А.П. Стійкість різницевих систем // Навчальний посібник, СПб: НДІ Хімії СПбГУ, 2003. 112 с.

    REFERENCES

    1. Zhabko A.P., Chizhova O.N. Analiz ustojchivosti odnorodnogo differencial'no-raznostnogo uravneniya s linejnym zapazdyvaniem // Vestnik SPbGU. 2015. Seriya 10. Vyp. 3. pp. 105-115.

    2. Kharitonov V.L. Time-Delay Systems - Lyapunov Functionals and Matricies // Springer, 2012. 311 p.

    3. Zhabko A., Chizhova O., Zaranik U. Stability Analysis of the Linear Time Delay Systems with Linearly Increasing Delay // Cybernetics and Physics. 2016. vol. 5. no. 2. pp. 67-72.

    4. Kharitonov V.L., Zhabko A.P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay system // IEEE Trans. Automatica. 2003. Vol.39. pp. 15-20.

    W U

    5. Zhabko A.P., Medvedeva IV Algebraicheskij podhod k analizu ustojchivosti differencial'no-raznostnyh sistem // Vestnik SPbGU. 2011. Seriya 10. Vyp. 1. pp. 9-20.

    6. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P. Ob ustojchivosti reshenij odnogo klassa nelinejnyh sistem s zapazdyvaniem // Avtomatika i telemehanika. 2006. № 9. рр. 3-14.

    7. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P. Ustojchivost 'raznostnyh sistem // Uchebnoe posobie, SPb: N11 Himii SPbGU, 2003. 112 p.

    © Жабко А.П., Камачкін А.М., 2020

    Жабко Олексій Петрович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри теорії управління, Санкт-Петербурзький державний університет, Росія, 199034, г. Санкт-Петербург, Університетська набережна, 7-9, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Камачкін Олександр Михайлович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри вищої математики, Санкт-Петербурзький державний університет, Росія, 199034, г. Санкт-Петербург, Університетська набережна, 7-9, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    м і


    Ключові слова: диференційно-різницеві рівняння / системи з запізненням / асимптотична стійкість / стійкість по Ляпунову / метод функціоналів ЛяпуноваКрасовского / differential-difference equations / systems with delay / asymptotic stability / Lyapunov stability / Lyapunov-Krasovsky functionals method

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити