Запропонований раніше підхід до дослідження стійкості релейних автоколивальних систем узагальнено на клас систем з розривної перехідною характеристикою лінійної частини ланцюга зворотного зв'язку.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - Ружников В.А., Силіна М.В., Чернишов Е.П.


Analysis of stability of self-oscillations in a relay circuit with the explosive transitive characteristic of a linear part

Relay self-oscillatory systems have found the application owing to their high speed and simplicity of processing of the information. At construction of such systems especially important place borrows research of stability. In the given work the approach offered earlier to research of stability of relay self-oscillatory systems on a class of systems with the explosive transitive characteristic of a linear part of a circuit of a feedback is generalized


Область наук:
  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології
  • Рік видавництва: 2008
    Журнал
    Известия вищих навчальних закладів Росії. Радіоелектроніка
    Наукова стаття на тему 'АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ автоколивань у релейного КОЛА З розривні перехідної характеристики ЛІНІЙНОЇ ЧАСТИНИ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ автоколивань у релейного КОЛА З розривні перехідної характеристики ЛІНІЙНОЇ ЧАСТИНИ»

    ?Системи телекомунікації, пристрої передачі, прийому і обробки сигналів

    УДК 621.3.001

    В. А. Ружников

    Іркутський державний технічний університет

    М. В. Силіна, Е. П. Чернишов

    Санкт-Петербурзький державний електротехнічний

    університет "ЛЕТІ"

    I Аналіз стійкості автоколивань в релейного ланцюга з розривної перехідною характеристикою лінійної частини

    Запропонований раніше підхід до дослідження стійкості релейних автоколивальних систем узагальнено на клас систем з розривної перехідною характеристикою лінійної частини ланцюга зворотного зв'язку.

    Релейний система, автоколебания, перехідна характеристика, стійкість, передавальна функція, дискретні ланцюга

    Завдяки високій швидкодії і простоті обробки інформації релейні автоколивальні системи знаходять широке застосування. У побудові таких систем особливо важливе місце займає дослідження стійкості. В [1] запропонована нова методика аналізу стійкості автоколивань (АК) в релейних ланцюгах (РЦ) з симетричними характеристиками гістерезисного релейного елемента (РЕ) і безперервної імпульсної характеристикою (ІХ) І (г) лінійної частини (ЛЧ) ланцюга. Методика аналізу стійкості АК при нескінченно малій зміні моменту перемикання РЕ базується на елементах теорії дискретних ланцюгів (ДЦ) [2], оскільки в цьому випадку варіація змінних на виході РЕ є періодичну послідовність нескінченно коротких прямокутних імпульсів, які зручно розглядати як сигнали в деякій ДЦ.

    В [3], [4] методика розширена для випадку розривної ЇХ І (г) = (г) ЛЧ, коли перехідна характеристика (ПХ) І (г) ще залишається безперервною. У цій статті зроблена спроба розширення методики для випадку розривної ПХ ЛЧ, коли ЇХ містить 8-функ-цію 5 (г), як зазначено в [2].

    Проведене дослідження привело до несподіваних результатів, можливо розширюють класичне визначення стійкості по Ляпунову [5], коли нескінченно мала варіація змінної х ^ (г) в початковий момент часу г = 0 дає

    х ^ (0) <р0 ^ х ^ (та) <в (р0), (1)

    де р0 і в - нескінченно малі. Якщо ж при г варіація х ^ ^ 0, говорять про асимптотичної стійкості.

    © Ружников В. А., Силіна М. В., Чернишов Е. П., 2008

    45

    Аналіз стійкості АК в РЦ з безперервною імпульсною характеристикою

    ЛЧ. Розглядалося РЕ з гистерезисной характеристикою

    y (t) = a sign [x (t) - b sign x (t -)], (2)

    де y (t) і x (t) - вихідна і вхідна змінні РЕ відповідно; a = i- висота петлі гистерезиса, b = 1 - її полушіріна (обидві величини нормовані); x (t -) = lim x (t -у) при у ^ 0 - швидкість зміни змінної x (t) в момент часу t, що передує розглянутого.

    РЕ охоплений ланцюгом лінійної зворотного зв'язку з передавальної функцією (ПФ) ЛЧ

    H (s) = = ^ + - + bis + Ь0, (3)

    Yw ansn + ----- + ais + ao

    де X (s) і Y (s) - зображення по Лапласа вхідний і вихідний змінних РЕ відповідно; s - аргумент перетворення Лапласа; k, bj, ap, j = [i, m], p = [i, n] - постійні коефіцієнти; m і n - ступеня поліномів чисельника і знаменника ПФ ЛЧ.

    На початку аналізу передбачалося m < n - 2, т. е. не тільки ПХ hi (t) • Hi (s) = H (s) / s, але і ЇХ h (t) o H (s) задавалися безперервними:

    h (0 -) = h (0 +) = 0. (4)

    Використовувалися наступні два допущення.

    1. АК передбачалися симетричними, т. Е.

    x {t) = -x {t ± т); y (t) = -y (t ± т), (5)

    де T = T / 2 - напівперіод АК, проста методика розрахунку параметрів якого запропонована в [6] і коротко описана в [i].

    2. Передбачалося, що в невозмущенной РЦ перемикання РЕ з рівня y (t -) = -i до рівня y (t +) = + i відбувається в нульовий момент часу t = 0, а зворотне перемикання при t = т .

    При аналізі стійкості вважалося, що "зникаюче" короткий вхідний обурення [6]

    / Вх (t) =? 0O (t) (6) (при більш суворої записи / вх (t) =? 0O (t + At) в момент t = 0 - At при At ^ 0) призводить до передчасного спрацьовування РЕ ( 5 (t) - S-функція). В результаті з'являється зсув вихідної змінної РЕ y ~ (t) відносно її невозмущенного значення y (t) на нескінченно малий інтервал At. В результаті варіація змінної

    yq (t) = y ~ (t) - y (t) (7)

    на підставі (5) представляла собою Знакозмінні прямокутні імпульси, амплітуда яких згідно (2) і допущенню 2 склала ymax - ymin = 2 при нескінченно

    малої площі, рівній | sn | = | 2Atn |; їх тривалість при n-м перемиканні РЕ наближено визначалася за формулою

    Агп = х- (пт у х (0 -) = х- (пт ух0, (8)

    де х ^ (пт) - значення варіації, що обчислюється аналогічно (7) як різниця обуреного і невозмущенного рухів: х ^ = х ~ - х; хо = х (0-) - швидкість зміни вхідний координати РЕ (т. е. вихідної змінної ЛЧ) в момент, що передує вихідному переключенню умовно при г = 0 (обчислюється відповідно до методики з [6]).

    В результаті система рівнянь для розрахунку варіації змінних в РЦ наближено (з точністю до обліку лінійних членів розкладання процесів в ряд Тейлора, як цього вимагає аналіз стійкості по Ляпунову [5]) записується з використанням (6), (8) у вигляді

    у. (Г) = 2х-1 [Р5 (г) + х. (Г) 5 (г - пт)];

    (9)

    що для дискретних моментів часу г = пт дає (в позначеннях [2])

    (10)

    Xg (s) = H (s) Yq (s),

    Y (z) = 2 V [Pq + Xg (z)];

    X. (г) = Н ДЦ (г) У. (г), де 2 - аргумент? -Перетворення в теорії ДЦ [2]; НДЦ (г) - ПФ еквівалентної ДЦ,

    забезпечує обробку інформації аналогічно другому рівнянню в (9). Перше рівняння в (9) - це сукупність коротких прямокутних імпульсів у-(г), які

    наближено можна описати згідно [2] 8-функціями нескінченно малої площі Уд (пт) Агп8 (г - пт), що діють тільки в моменти пункту (з точністю до нескінченно малих

    Агп). Тому їх можна розглядати як дискретну послідовність у-(пт) о- У-(г)

    і здійснити перехід до еквівалентної ДЦ (10).

    Передавальну функцію ДЦ НДЦ (г) найбільш логічно формувати по ПФ ЛЧ

    Н (я) на базі методу повної відповідності (інваріантності) ЇХ в моменти г = пт, т. Е.

    НДЦ (пт) = І (пт). (11)

    З урахуванням (10) ПФ замкнутої ДЦ

    = Х ^ = 2 V Н ДЦ <г> = (12)

    Р0 1 - 2 х-1Н ДЦ (г > г - гк

    причому Е - коефіцієнти розкладання (12) на найпростіші дроби по полюсах гк, т. е. по корінню знаменника (12). Таким чином,

    ХД (пт) = (XЕкг1) в0, (13)

    а в разі | гк | < 1 відповідає АК, стійким по Ляпунову (1) при г ^ да (т. Е. При п ^ да).

    Аналіз стійкості АК в РЦ з розривної імпульсною характеристикою ЛЧ.

    При т = п -1 в ПФ (3) імпульсна характеристика ЛЧ є розривної [2]:

    І (0 +) = * І (*) | * = кЬт / ап Ф до (0 -) = 0, (14)

    т. е. принципово відрізняється від (4).

    Це означає, що варіація згідно (9) у- (0) у вигляді прямокутного імпульсу при

    його ідеалізованому описі 8-функцією дасть миттєвий відгук х ^ (0) ф 0, що спотворить картину реальних процесів в РЦ. Дійсно, варіація у- (0) - прямокутний імпульс, а ПХ ЛЧ на відміну від (14) при т = п -1 є безперервною, т. Е. К1 (0 +) = 0 = до (0 -); отже, миттєвого відгуку в х? (0) від цього імпульсу НЕ

    буде. Оскільки стійкість згідно (1) оцінюється при г ^ так, то без шкоди для аналізу стійкості при переході до ДЦ в (11) можна опустити початкове значення ЇХ до (0 +) при п = 0 і записати скориговану формулу переходу до ДЦ у вигляді

    ИДЦ (пт) = І (пт) 51 (пт-т), (15)

    де згідно [2] 5} (пт-т) - зміщена на один крок одинична ступінчаста послідовність.

    Друга відмінність в разі розривної ЇХ стосується обчислення значення швидкості в формулах (10), (12):

    Х0 = X (0 -) = Х (т-), (16)

    що випливає з (5). Для обчислення швидкості (16) використовуються результати загальної методики розрахунку АК, описаної в [6] або коротко в [1].

    Слід зазначити, що для контролю правильності розрахунків в (12), (13) необхідно враховувати зазначене в [3], [4] умова обов'язкового отримання в (12), (13) кореня одиничного модуля = -1, що відповідає фізичному змісту АК.

    Аналіз стійкості АК в РЦ з розривної перехідною характеристикою ЛЧ. У розглянутих раніше випадках ПХ до (г) про И1 (*) = І (*) / * була неперервна:

    до (0 +) = І (*) | * = І (*) | * = 0 = І (0 -). (17)

    Якщо ж в (3) ступеня чисельника і знаменника однакові (т = п), то на відміну від (17) ПХ стає розривної:

    І (0-) = 0 ф до (0 +) = кЬп / ап, (18)

    а в ЇХ згідно (18) і [2] з'являється складова у вигляді 8-функції:

    Ш) = І0 (г) + до (0 +) 5 (0 = І (г), (19)

    де І) (г) - безперервна частина ЇХ.

    Таким чином, сформувати ПФ ДЦ методом інваріантності імпульсних характеристик (11) в разі (19) взагалі неможливо: згідно [2] класична 8-функція має "нескінченну" висоту, в той час як дискретна 8-функція §0 (пт) має одиничну висоту.

    Виходячи з розглянутої раніше фізичної сутності АК і робіт [3], [4], необхідно описувати варіацію у ^ (г) на виході РЕ короткими прямокутними імпульсами.

    Отже, на підставі лише (7) - (9), наприклад позитивний імпульс при t = пт, можна наближено записати як

    у. (Пт) = 2 [5! (Пт + АГП) - 5! (Пт)], (20)

    причому тривалість імпульсу на кроці з номером п згідно (8) визначиться як Atn = х- (пт) / х0 .

    Отже, на підставі (20) сигнал на вході РЕ буде містити дві зміщені на Atn розривні складові, т. Е. Короткі майже прямокутні імпульси виду

    2 / ?! (0 +) [5} (пт + Atn) - 5} (пт)], причому ці імпульси згідно (5) будуть Знакозмінні. Їх амплітуда 2 / (0 +) при аналізі стійкості АК не змінюється і, отже, не відповідає класичному визначенню стійкості по Ляпунову (1).

    У той же час, як зазначено при аналізі стійкості АК в РЦ з розривної імпульсною характеристикою ЛЧ і в роботах [3], [4], при аналізі стійкості важливо розгляд моменту г ^ так, а не t = 0. Тому формула (15) для переходу до ДЦ (коли не враховується "нульовий" крок), представляється справедливою і в даному випадку:

    / Дц (пт) = / 0 (пт) 51 (пт-т). (21)

    Швидкість зміни координати на вході РЕ в момент перемикання визначиться на підставі (16), для чого необхідно провести попередній розрахунок АК, детально описаний в [7] і дозволяє знайти координату х (t) і період напіввиведення АК т .

    Приклад. Розглянемо найбільш складний випадок при Н (я) = X (я) / У (я) = = -0.5 (я + 4) / (я +1), т. Е. В (3) к = -0.5, а ступеня т = п .

    Спочатку використовуємо описану в [7] методику розрахунку АК для цього варіанта. Опис умовного першого імпульсу на виході РЕ у (я) = (1 - е У $, а зображення по

    Лапласа всіх імпульсів У (я) = У1 (я) (1 - + е ~ 2ет - е ~ 3ет + •••) = У1 (я) / (1 + е ~). Зображення сигналу на вході РЕ

    X (^) = H (^) Y (^) =

    A = (s +1) X (s) = 1.5 (l - eT) / (l + eT) при s = -1.

    -° .5 (s + 4) "" (1 - e ~ sT) "

    L (s + 1) J _ s (1 + e ~ sT) _

    A1 X1 (s)

    -- + -1-

    s + 1 + 1 + e

    - st

    де л = і + иx = 1.5ц - е; / і + е

    Таким чином, в інтервалі 0 < t < т опис першого напівперіоду сталих АК має вигляд

    X1 (s) =

    X (s) - A

    + E ^) = - ° (5 (s + 4) -Л. = H1 (s)

    (S + 1) s s + 1 s +1

    1.

    причому ПХ Н1 (я) = (-2 / с) - [1.5 / (я +1)] о / (^) = -2 + 1.5е- '; / (0 +) = Н (0) = -0.5. Як показано в [7], перша умова наявності АК в разі т = п має вигляд

    х1 (0 +) = Ь + 2 / (0 +) >-Ь = -1, (22)

    де Ь - полушіріна петлі гистерезиса в (2), т. е. в прикладі дає

    х1 (0 +) = 1 + 2 (-0.5) = 0 >-1. (23)

    З урахуванням (22), (23) отримаємо х: (г) = -2 + 1.5е- - Ае-; х: (0 +) = 0 = -0.5 - А;

    А = -0.5. З вихідного вираження для А отримаємо рівняння для розрахунку полупериода т:

    -0.5 = 1.5 (1 - ет) / (1 + ет); ет = 2; т = 1п 2 (причому друга умова наявності АК в [7] Ну (та) =

    = -2 <-Ред = -1 тут також виконується).

    Оскільки вихідні параметри АК знайдені, перейдемо до аналізу стійкості АК.

    Визначимо: Н (я) = -0.5 (я + 4) / (я +1) про І (г) = -1.5е-г5Х (г) - 0.55 (г) = Н0 (г) - 0.55 (г). При переході до ДЦ згідно (21) виключимо нульовий крок в ЇХ: НДЦ (пт) = І0 (пт) 5! (Пт - т) = -1.5е-пт51 (пт - т) =

    = -1.5е- (п-1 + 1) т5! (Пт - т) = -0.75 • 0.5 (п-1) 5Х (пт - т), (24)

    оскільки ет = 2; е-т = 0.5.

    З урахуванням того, що х ^ (г) = -2 + 1.5е- + 0.5е- = х (г), в даному випадку сталих АК знайдемо похідну: х (г) = -2е-г; х (т) = -2е-т = -1; .? 0 = х (т) = 1.

    ПФ еквівалентної ДЦ згідно (24) і [2] НДЦ (г) = -0.75 / (г - 0.5), тоді ПФ замкнутої ДЦ (12) має вигляд

    Нз (г):

    Xg (z) _ -2-1-0.75 / (z - 0.5) _ -1.5

    Ро 1 + 2-1-0.75 / (z - 0.5) z + Г Отже, варіація змінної на вході РЕ

    (Пт) = -1.5 (-1) п-151 (пт-т), (25)

    причому тут відображена фізична сутність АК (наявність кореня Z1 = -1), як зазначено раніше.

    З проведеного аналізу можуть бути зроблені наступні висновки.

    1. Метод використання теорії ДЦ для аналізу стійкості АК розширено на найскладніший випадок розривної ПХ ЛЧ, коли в ПФ (3) m = п .

    2. Отриманий розширений підхід може бути використаний і для більш простих випадків: m = п -1, m < п - 2.

    3. АК (25) в прикладі стійкі по Ляпунову (1) при п ^ да (т. Е. При t ^ да), проте асимптотической стійкістю не володіють.

    4. Поряд з складової типу (25) при аналізі стійкості варіації для самого складного випадку m = п виявлені незгасаючі Знакозмінні імпульси з амплітудою в варіації 2 / (0 +) = const, які не підпадають під визначення стійкості по Ляпунову (1) і вимагають розширення цього поняття (по крайней мере, для розглянутого випадку).

    5. Попутно встановлено, що часто використовується в науковій літературі при переході до ДЦ метод інваріантності ЇХ неприйнятний, якщо ЇХ аналогової ланцюга містить S-функцію, що також може бути предметом окремого дослідження.

    ====================================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2008. Вип. 5

    бібліографічний список

    1. Ружников В. А., Силіна М. В., Чернишов Е. П. Особливості проектування стійких моделей автоколивальних радіоелектронних і електротехнічних систем // 5-й Міжнар. симп. щодо електромагнітної сумісності та електромагнітної екології. Зб. науч. доп. СПб .: Изд-во СПбГЕТУ "ЛЕТІ", 2003. С. 250-253.

    2. Бичков Ю. А., Золотницький В. М., Чернишов Е. П. Основи теорії електричних ланцюгів. СПб .: Лань, 2002. 464 с.

    3. Новий підхід до проектування стійких радіоелектронних і електротехнічних релейних автоколивальних систем з інтегратором в колі зворотного зв'язку / В. А. Прохорова, В. А. Ружников, М. В. Силіна, Е. П. Чернишов // Изв. вузів. Радіоелектроніка. 2006. Вип. 2. С. 10-15.

    4. Ружников В. А., Силіна М. В., Чернишов Е. П. Оцінка стійкості моделей релейних автоколивальних систем // 7-й Міжнар. симп. щодо електромагнітної сумісності та електромагнітної екології. Зб. науч. доп. СПб .: Изд-во СПбГЕТУ "ЛЕТІ", 2007. С. 242-244.

    5. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Філіппов Е. С. Теорія нелінійних електричних ланцюгів. Л .: Енер-гоатоміздат, 1990. 256 с.

    6. Мясоєдов Г. Б., Ружников В. А., Чернишов Е. П., Метод точного розрахунку автоколивань в електричних ланцюгах, що містять нелінійні елементи з релейного гистерезисной характеристикою // 1-я Всесоюз. конф. по теоретичній електротехніці, 15-17 сент. 1987 р Тез. доп. Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1987. С. 98-100.

    7. Чернишов Е. П. Точний розрахунок періодичних режимів в ланцюгах, що мають релейний характеристику з гістерезисом // Дослідження і моделювання електротехнологічних пристроїв і перетворювачів енергії / ЛЕТІ. Л., 1988. С. 71-74 (Изв. ЛЕТІ. Вип. 401.)

    V. A. Ruzhnikov

    Irkutsk state technical university M. V. Silina, E. P. Chernishev

    Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

    Analysis of stability of self-oscillations in a relay circuit with the explosive transitive characteristic of a linear part

    The offered earlier approach to research of relay self-oscillatory systems stability is generalized to a class of systems with the explosive transitive characteristic of a linear part of a chain of a feedback.

    Relay system, self-oscillations, the transitive characteristic, stability, transfer function, discrete circuits Стаття надійшла до редакції 17 квітня 2008 р.


    Ключові слова: релейної системи / RELAY SYSTEM / автоколиваннями / SELF-OSCILLATIONS / перехідна характеристика / СТІЙКІСТЬ / STABILITY / передавальної функції / TRANSFER FUNCTION / дискретної ланцюга / DISCRETE CIRCUITS / THE TRANSITIVE CHARACTERISTIC

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити