Известия вищих навчальних закладів Росії. Радіоелектроніка
Текст наукової роботи на тему «АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ автоколивань у релейного КОЛА З розривні перехідної характеристики ЛІНІЙНОЇ ЧАСТИНИ»
?Системи телекомунікації, пристрої передачі, прийому і обробки сигналів
УДК 621.3.001
В. А. Ружников
Іркутський державний технічний університет
М. В. Силіна, Е. П. Чернишов
Санкт-Петербурзький державний електротехнічний
університет "ЛЕТІ"
I Аналіз стійкості автоколивань в релейного ланцюга з розривної перехідною характеристикою лінійної частини
Запропонований раніше підхід до дослідження стійкості релейних автоколивальних систем узагальнено на клас систем з розривної перехідною характеристикою лінійної частини ланцюга зворотного зв'язку.
Релейний система, автоколебания, перехідна характеристика, стійкість, передавальна функція, дискретні ланцюга
Завдяки високій швидкодії і простоті обробки інформації релейні автоколивальні системи знаходять широке застосування. У побудові таких систем особливо важливе місце займає дослідження стійкості. В [1] запропонована нова методика аналізу стійкості автоколивань (АК) в релейних ланцюгах (РЦ) з симетричними характеристиками гістерезисного релейного елемента (РЕ) і безперервної імпульсної характеристикою (ІХ) І (г) лінійної частини (ЛЧ) ланцюга. Методика аналізу стійкості АК при нескінченно малій зміні моменту перемикання РЕ базується на елементах теорії дискретних ланцюгів (ДЦ) [2], оскільки в цьому випадку варіація змінних на виході РЕ є періодичну послідовність нескінченно коротких прямокутних імпульсів, які зручно розглядати як сигнали в деякій ДЦ.
В [3], [4] методика розширена для випадку розривної ЇХ І (г) = (г) ЛЧ, коли перехідна характеристика (ПХ) І (г) ще залишається безперервною. У цій статті зроблена спроба розширення методики для випадку розривної ПХ ЛЧ, коли ЇХ містить 8-функ-цію 5 (г), як зазначено в [2].
Проведене дослідження привело до несподіваних результатів, можливо розширюють класичне визначення стійкості по Ляпунову [5], коли нескінченно мала варіація змінної х ^ (г) в початковий момент часу г = 0 дає
х ^ (0) <р0 ^ х ^ (та) <в (р0), (1)
де р0 і в - нескінченно малі. Якщо ж при г варіація х ^ ^ 0, говорять про асимптотичної стійкості.
© Ружников В. А., Силіна М. В., Чернишов Е. П., 2008
45
Аналіз стійкості АК в РЦ з безперервною імпульсною характеристикою
ЛЧ. Розглядалося РЕ з гистерезисной характеристикою
y (t) = a sign [x (t) - b sign x (t -)], (2)
де y (t) і x (t) - вихідна і вхідна змінні РЕ відповідно; a = i- висота петлі гистерезиса, b = 1 - її полушіріна (обидві величини нормовані); x (t -) = lim x (t -у) при у ^ 0 - швидкість зміни змінної x (t) в момент часу t, що передує розглянутого.
РЕ охоплений ланцюгом лінійної зворотного зв'язку з передавальної функцією (ПФ) ЛЧ
H (s) = = ^ + - + bis + Ь0, (3)
Yw ansn + ----- + ais + ao
де X (s) і Y (s) - зображення по Лапласа вхідний і вихідний змінних РЕ відповідно; s - аргумент перетворення Лапласа; k, bj, ap, j = [i, m], p = [i, n] - постійні коефіцієнти; m і n - ступеня поліномів чисельника і знаменника ПФ ЛЧ.
На початку аналізу передбачалося m < n - 2, т. е. не тільки ПХ hi (t) • Hi (s) = H (s) / s, але і ЇХ h (t) o H (s) задавалися безперервними:
h (0 -) = h (0 +) = 0. (4)
Використовувалися наступні два допущення.
1. АК передбачалися симетричними, т. Е.
x {t) = -x {t ± т); y (t) = -y (t ± т), (5)
де T = T / 2 - напівперіод АК, проста методика розрахунку параметрів якого запропонована в [6] і коротко описана в [i].
2. Передбачалося, що в невозмущенной РЦ перемикання РЕ з рівня y (t -) = -i до рівня y (t +) = + i відбувається в нульовий момент часу t = 0, а зворотне перемикання при t = т .
При аналізі стійкості вважалося, що "зникаюче" короткий вхідний обурення [6]
/ Вх (t) =? 0O (t) (6) (при більш суворої записи / вх (t) =? 0O (t + At) в момент t = 0 - At при At ^ 0) призводить до передчасного спрацьовування РЕ ( 5 (t) - S-функція). В результаті з'являється зсув вихідної змінної РЕ y ~ (t) відносно її невозмущенного значення y (t) на нескінченно малий інтервал At. В результаті варіація змінної
yq (t) = y ~ (t) - y (t) (7)
на підставі (5) представляла собою Знакозмінні прямокутні імпульси, амплітуда яких згідно (2) і допущенню 2 склала ymax - ymin = 2 при нескінченно
малої площі, рівній | sn | = | 2Atn |; їх тривалість при n-м перемиканні РЕ наближено визначалася за формулою
Агп = х- (пт у х (0 -) = х- (пт ух0, (8)
де х ^ (пт) - значення варіації, що обчислюється аналогічно (7) як різниця обуреного і невозмущенного рухів: х ^ = х ~ - х; хо = х (0-) - швидкість зміни вхідний координати РЕ (т. е. вихідної змінної ЛЧ) в момент, що передує вихідному переключенню умовно при г = 0 (обчислюється відповідно до методики з [6]).
В результаті система рівнянь для розрахунку варіації змінних в РЦ наближено (з точністю до обліку лінійних членів розкладання процесів в ряд Тейлора, як цього вимагає аналіз стійкості по Ляпунову [5]) записується з використанням (6), (8) у вигляді
у. (Г) = 2х-1 [Р5 (г) + х. (Г) 5 (г - пт)];
(9)
що для дискретних моментів часу г = пт дає (в позначеннях [2])
(10)
Xg (s) = H (s) Yq (s),
Y (z) = 2 V [Pq + Xg (z)];
X. (г) = Н ДЦ (г) У. (г), де 2 - аргумент? -Перетворення в теорії ДЦ [2]; НДЦ (г) - ПФ еквівалентної ДЦ,
забезпечує обробку інформації аналогічно другому рівнянню в (9). Перше рівняння в (9) - це сукупність коротких прямокутних імпульсів у-(г), які
наближено можна описати згідно [2] 8-функціями нескінченно малої площі Уд (пт) Агп8 (г - пт), що діють тільки в моменти пункту (з точністю до нескінченно малих
Агп). Тому їх можна розглядати як дискретну послідовність у-(пт) о- У-(г)
і здійснити перехід до еквівалентної ДЦ (10).
Передавальну функцію ДЦ НДЦ (г) найбільш логічно формувати по ПФ ЛЧ
Н (я) на базі методу повної відповідності (інваріантності) ЇХ в моменти г = пт, т. Е.
НДЦ (пт) = І (пт). (11)
З урахуванням (10) ПФ замкнутої ДЦ
= Х ^ = 2 V Н ДЦ <г> = (12)
Р0 1 - 2 х-1Н ДЦ (г > г - гк
причому Е - коефіцієнти розкладання (12) на найпростіші дроби по полюсах гк, т. е. по корінню знаменника (12). Таким чином,
ХД (пт) = (XЕкг1) в0, (13)
а в разі | гк | < 1 відповідає АК, стійким по Ляпунову (1) при г ^ да (т. Е. При п ^ да).
Аналіз стійкості АК в РЦ з розривної імпульсною характеристикою ЛЧ.
При т = п -1 в ПФ (3) імпульсна характеристика ЛЧ є розривної [2]:
І (0 +) = * І (*) | * = кЬт / ап Ф до (0 -) = 0, (14)
т. е. принципово відрізняється від (4).
Це означає, що варіація згідно (9) у- (0) у вигляді прямокутного імпульсу при
його ідеалізованому описі 8-функцією дасть миттєвий відгук х ^ (0) ф 0, що спотворить картину реальних процесів в РЦ. Дійсно, варіація у- (0) - прямокутний імпульс, а ПХ ЛЧ на відміну від (14) при т = п -1 є безперервною, т. Е. К1 (0 +) = 0 = до (0 -); отже, миттєвого відгуку в х? (0) від цього імпульсу НЕ
буде. Оскільки стійкість згідно (1) оцінюється при г ^ так, то без шкоди для аналізу стійкості при переході до ДЦ в (11) можна опустити початкове значення ЇХ до (0 +) при п = 0 і записати скориговану формулу переходу до ДЦ у вигляді
ИДЦ (пт) = І (пт) 51 (пт-т), (15)
де згідно [2] 5} (пт-т) - зміщена на один крок одинична ступінчаста послідовність.
Друга відмінність в разі розривної ЇХ стосується обчислення значення швидкості в формулах (10), (12):
Х0 = X (0 -) = Х (т-), (16)
що випливає з (5). Для обчислення швидкості (16) використовуються результати загальної методики розрахунку АК, описаної в [6] або коротко в [1].
Слід зазначити, що для контролю правильності розрахунків в (12), (13) необхідно враховувати зазначене в [3], [4] умова обов'язкового отримання в (12), (13) кореня одиничного модуля = -1, що відповідає фізичному змісту АК.
Аналіз стійкості АК в РЦ з розривної перехідною характеристикою ЛЧ. У розглянутих раніше випадках ПХ до (г) про И1 (*) = І (*) / * була неперервна:
до (0 +) = І (*) | * = І (*) | * = 0 = І (0 -). (17)
Якщо ж в (3) ступеня чисельника і знаменника однакові (т = п), то на відміну від (17) ПХ стає розривної:
І (0-) = 0 ф до (0 +) = кЬп / ап, (18)
а в ЇХ згідно (18) і [2] з'являється складова у вигляді 8-функції:
Ш) = І0 (г) + до (0 +) 5 (0 = І (г), (19)
де І) (г) - безперервна частина ЇХ.
Таким чином, сформувати ПФ ДЦ методом інваріантності імпульсних характеристик (11) в разі (19) взагалі неможливо: згідно [2] класична 8-функція має "нескінченну" висоту, в той час як дискретна 8-функція §0 (пт) має одиничну висоту.
Виходячи з розглянутої раніше фізичної сутності АК і робіт [3], [4], необхідно описувати варіацію у ^ (г) на виході РЕ короткими прямокутними імпульсами.
Отже, на підставі лише (7) - (9), наприклад позитивний імпульс при t = пт, можна наближено записати як
у. (Пт) = 2 [5! (Пт + АГП) - 5! (Пт)], (20)
причому тривалість імпульсу на кроці з номером п згідно (8) визначиться як Atn = х- (пт) / х0 .
Отже, на підставі (20) сигнал на вході РЕ буде містити дві зміщені на Atn розривні складові, т. Е. Короткі майже прямокутні імпульси виду
2 / ?! (0 +) [5} (пт + Atn) - 5} (пт)], причому ці імпульси згідно (5) будуть Знакозмінні. Їх амплітуда 2 / (0 +) при аналізі стійкості АК не змінюється і, отже, не відповідає класичному визначенню стійкості по Ляпунову (1).
У той же час, як зазначено при аналізі стійкості АК в РЦ з розривної імпульсною характеристикою ЛЧ і в роботах [3], [4], при аналізі стійкості важливо розгляд моменту г ^ так, а не t = 0. Тому формула (15) для переходу до ДЦ (коли не враховується "нульовий" крок), представляється справедливою і в даному випадку:
/ Дц (пт) = / 0 (пт) 51 (пт-т). (21)
Швидкість зміни координати на вході РЕ в момент перемикання визначиться на підставі (16), для чого необхідно провести попередній розрахунок АК, детально описаний в [7] і дозволяє знайти координату х (t) і період напіввиведення АК т .
Приклад. Розглянемо найбільш складний випадок при Н (я) = X (я) / У (я) = = -0.5 (я + 4) / (я +1), т. Е. В (3) к = -0.5, а ступеня т = п .
Спочатку використовуємо описану в [7] методику розрахунку АК для цього варіанта. Опис умовного першого імпульсу на виході РЕ у (я) = (1 - е У $, а зображення по
Лапласа всіх імпульсів У (я) = У1 (я) (1 - + е ~ 2ет - е ~ 3ет + •••) = У1 (я) / (1 + е ~). Зображення сигналу на вході РЕ
X (^) = H (^) Y (^) =
A = (s +1) X (s) = 1.5 (l - eT) / (l + eT) при s = -1.
-° .5 (s + 4) "" (1 - e ~ sT) "
L (s + 1) J _ s (1 + e ~ sT) _
A1 X1 (s)
-- + -1-
s + 1 + 1 + e
- st
де л = і + иx = 1.5ц - е; / і + е
Таким чином, в інтервалі 0 < t < т опис першого напівперіоду сталих АК має вигляд
X1 (s) =
X (s) - A
+ E ^) = - ° (5 (s + 4) -Л. = H1 (s)
(S + 1) s s + 1 s +1
1.
причому ПХ Н1 (я) = (-2 / с) - [1.5 / (я +1)] о / (^) = -2 + 1.5е- '; / (0 +) = Н (0) = -0.5. Як показано в [7], перша умова наявності АК в разі т = п має вигляд
х1 (0 +) = Ь + 2 / (0 +) >-Ь = -1, (22)
де Ь - полушіріна петлі гистерезиса в (2), т. е. в прикладі дає
х1 (0 +) = 1 + 2 (-0.5) = 0 >-1. (23)
З урахуванням (22), (23) отримаємо х: (г) = -2 + 1.5е- - Ае-; х: (0 +) = 0 = -0.5 - А;
А = -0.5. З вихідного вираження для А отримаємо рівняння для розрахунку полупериода т:
-0.5 = 1.5 (1 - ет) / (1 + ет); ет = 2; т = 1п 2 (причому друга умова наявності АК в [7] Ну (та) =
= -2 <-Ред = -1 тут також виконується).
Оскільки вихідні параметри АК знайдені, перейдемо до аналізу стійкості АК.
Визначимо: Н (я) = -0.5 (я + 4) / (я +1) про І (г) = -1.5е-г5Х (г) - 0.55 (г) = Н0 (г) - 0.55 (г). При переході до ДЦ згідно (21) виключимо нульовий крок в ЇХ: НДЦ (пт) = І0 (пт) 5! (Пт - т) = -1.5е-пт51 (пт - т) =
= -1.5е- (п-1 + 1) т5! (Пт - т) = -0.75 • 0.5 (п-1) 5Х (пт - т), (24)
оскільки ет = 2; е-т = 0.5.
З урахуванням того, що х ^ (г) = -2 + 1.5е- + 0.5е- = х (г), в даному випадку сталих АК знайдемо похідну: х (г) = -2е-г; х (т) = -2е-т = -1; .? 0 = х (т) = 1.
ПФ еквівалентної ДЦ згідно (24) і [2] НДЦ (г) = -0.75 / (г - 0.5), тоді ПФ замкнутої ДЦ (12) має вигляд
Нз (г):
Xg (z) _ -2-1-0.75 / (z - 0.5) _ -1.5
Ро 1 + 2-1-0.75 / (z - 0.5) z + Г Отже, варіація змінної на вході РЕ
(Пт) = -1.5 (-1) п-151 (пт-т), (25)
причому тут відображена фізична сутність АК (наявність кореня Z1 = -1), як зазначено раніше.
З проведеного аналізу можуть бути зроблені наступні висновки.
1. Метод використання теорії ДЦ для аналізу стійкості АК розширено на найскладніший випадок розривної ПХ ЛЧ, коли в ПФ (3) m = п .
2. Отриманий розширений підхід може бути використаний і для більш простих випадків: m = п -1, m < п - 2.
3. АК (25) в прикладі стійкі по Ляпунову (1) при п ^ да (т. Е. При t ^ да), проте асимптотической стійкістю не володіють.
4. Поряд з складової типу (25) при аналізі стійкості варіації для самого складного випадку m = п виявлені незгасаючі Знакозмінні імпульси з амплітудою в варіації 2 / (0 +) = const, які не підпадають під визначення стійкості по Ляпунову (1) і вимагають розширення цього поняття (по крайней мере, для розглянутого випадку).
5. Попутно встановлено, що часто використовується в науковій літературі при переході до ДЦ метод інваріантності ЇХ неприйнятний, якщо ЇХ аналогової ланцюга містить S-функцію, що також може бути предметом окремого дослідження.
====================================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2008. Вип. 5
бібліографічний список
1. Ружников В. А., Силіна М. В., Чернишов Е. П. Особливості проектування стійких моделей автоколивальних радіоелектронних і електротехнічних систем // 5-й Міжнар. симп. щодо електромагнітної сумісності та електромагнітної екології. Зб. науч. доп. СПб .: Изд-во СПбГЕТУ "ЛЕТІ", 2003. С. 250-253.
2. Бичков Ю. А., Золотницький В. М., Чернишов Е. П. Основи теорії електричних ланцюгів. СПб .: Лань, 2002. 464 с.
3. Новий підхід до проектування стійких радіоелектронних і електротехнічних релейних автоколивальних систем з інтегратором в колі зворотного зв'язку / В. А. Прохорова, В. А. Ружников, М. В. Силіна, Е. П. Чернишов // Изв. вузів. Радіоелектроніка. 2006. Вип. 2. С. 10-15.
4. Ружников В. А., Силіна М. В., Чернишов Е. П. Оцінка стійкості моделей релейних автоколивальних систем // 7-й Міжнар. симп. щодо електромагнітної сумісності та електромагнітної екології. Зб. науч. доп. СПб .: Изд-во СПбГЕТУ "ЛЕТІ", 2007. С. 242-244.
5. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Філіппов Е. С. Теорія нелінійних електричних ланцюгів. Л .: Енер-гоатоміздат, 1990. 256 с.
6. Мясоєдов Г. Б., Ружников В. А., Чернишов Е. П., Метод точного розрахунку автоколивань в електричних ланцюгах, що містять нелінійні елементи з релейного гистерезисной характеристикою // 1-я Всесоюз. конф. по теоретичній електротехніці, 15-17 сент. 1987 р Тез. доп. Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1987. С. 98-100.
7. Чернишов Е. П. Точний розрахунок періодичних режимів в ланцюгах, що мають релейний характеристику з гістерезисом // Дослідження і моделювання електротехнологічних пристроїв і перетворювачів енергії / ЛЕТІ. Л., 1988. С. 71-74 (Изв. ЛЕТІ. Вип. 401.)
V. A. Ruzhnikov
Irkutsk state technical university M. V. Silina, E. P. Chernishev
Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Analysis of stability of self-oscillations in a relay circuit with the explosive transitive characteristic of a linear part
The offered earlier approach to research of relay self-oscillatory systems stability is generalized to a class of systems with the explosive transitive characteristic of a linear part of a chain of a feedback.
Relay system, self-oscillations, the transitive characteristic, stability, transfer function, discrete circuits Стаття надійшла до редакції 17 квітня 2008 р.
Ключові слова:
релейної системи /
RELAY SYSTEM /
автоколиваннями /
SELF-OSCILLATIONS /
перехідна характеристика /
СТІЙКІСТЬ /
STABILITY /
передавальної функції /
TRANSFER FUNCTION /
дискретної ланцюга /
DISCRETE CIRCUITS /
THE TRANSITIVE CHARACTERISTIC
