Наводиться метод аналізу просторових полів напруг і швидкостей в процесах пластичної течії, заснований на відображенні зон плинності в девіаторном просторі напруг. Як поверхні навантаження приймається узагальнена функція текучості Мізеса, відповідна численним експериментальним даними. Показано, що узагальнена модель Мізеса є зручною для аналізу процесів просторової деформації за допомогою спеціального зображує параметричного простору. Чисельна реалізація методу ілюструється на прикладі пластичного стиснення матеріалу в умовах тривимірної деформації. Показано, що розподіл напруг і швидкостей течії В залежності від того співвідношення розмірів шару при осадженні.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Тутишкін Микола Дмитрович, Травін Вадим Юрійович


Analysis of spatial stress and velocity fields in plastic flow processes

The method of analysis of spatial fields of stresses and velocities in pro-cesses of plastic flow is given, based on mapping of flow zones in deviator space of stresses. A generalized Mises flow function corresponding to numer-ous experimental data is taken as the loading surface. It is shown that the generalized Mises model is convenient for analysis of spatial deformation processes with the power of a special depicting parametric space. The numer-ical implementation of the method is illustrated by the example of plastic compression of a material under threedimensional deformation conditions. It is shown that the distribution of stresses and flow rates depends on the current ratio of layer sizes during settling.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2019
    Журнал: чебишовських збірник
    Наукова стаття на тему 'АНАЛІЗ ПРОСТОРОВИХ ПОЛІВ напруг і ШВИДКОСТЕЙ У ПРОЦЕСАХ ПЛАСТИЧНОГО ПЕРЕБІГУ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІЗ ПРОСТОРОВИХ ПОЛІВ напруг і ШВИДКОСТЕЙ У ПРОЦЕСАХ ПЛАСТИЧНОГО ПЕРЕБІГУ»

    ?чебишовських СБОРНИК

    Том 20. Випуск 2.

    УДК 539.374

    DOI 10.22405 / 2226-8383-2019-20-2-325-335

    Аналіз просторових полів напруг і швидкостей в процесах пластичної течії

    Н. Д. Тутишкін, В. Ю. Травін

    Тутишкін Микола Дмитрович - доктор технічних наук, професор, кафедра будівництва, будівельних матеріалів і конструкцій, Тульський державний університет (м Тула).

    e-mail: nikolai. tutyshkin @ mail. ru

    Травін Вадим Юрійович - кандидат технічних наук, старший науковий співробітник, АТ НВО "Сплав" імені А. Н. Ганичева (м Тула). e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Наводиться метод аналізу просторових полів напруг і швидкостей в процесах пластичної течії, заснований на відображенні зон плинності в девіаторном просторі напружень. Як поверхні навантаження приймається узагальнена функція текучості Мізеса, відповідна численним експериментальним даними. Показано, що узагальнена модель Мізеса є зручною для аналізу процесів просторової деформації за допомогою спеціального зображує параметричного простору. Чисельна реалізація методу ілюструється на прикладі пластичного стиснення матеріалу в умовах тривимірної деформації. Показано, що розподіл напружень і швидкостей течії залежить від поточного співвідношення розмірів шару при осадженні.

    Ключові слова: пластичність, пластичне протягом, напруга, швидкість течії, деформація, основні рівняння, що визначають співвідношення, моделювання, пластичне стиснення.

    Бібліографія: 10 назв. Для цитування:

    Н. Д. Тутишкін, В. Ю. Травін. Аналіз просторових полів напруг і швидкостей в процесах пластичної течії // чебишовських збірник, 2019, т. 20, вип. 2, с. 325-335.

    анотація

    CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.

    UDC 539.374

    DOI 10.22405 / 2226-8383-2019-20-2-325-335

    Analysis of spatial stress and velocity fields in plastic flow processes

    N. D. Tutvshkin, V. Yu. Travin

    Tutyshkin Nikolai Dmitrievich - Doctor of technical sciences, Professor, Department of Construction, Building Materials and Structures, Tula State University (Tula). e-mail: nikolai. tutyshkin @ mail. ru

    Travin Vadim Yurievich - Candidate of technical sciences, Senior Researcher, Joint Stock Company "Scientific and Production Association" SPLAV "named after A. N. Ganichev" (Tula). e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Abstract

    The method of analysis of spatial fields of stresses and velocities in pro-cesses of plastic flow is given, based on mapping of flow zones in deviator space of stresses. A generalized Mises flow function corresponding to numer-ous experimental data is taken as the loading surface. It is shown that the generalized Mises model is convenient for analysis of spatial deformation processes with the power of a special depicting parametric space. The numer-ical implementation of the method is illustrated by the example of plastic compression of a material under three-dimensional deformation conditions. It is shown that the distribution of stresses and flow rates depends on the current ratio of layer sizes during settling.

    Keywords: plasticity, plastic flow, stress, flow rate, deformation, basic equations defining ratios, modeling, plastic compression.

    Bibliography: 10 titles. For citation:

    N. D. Tutyshkin, V. Yu. Travin, 2019, "Analysis of spatial stress and velocity fields in plastic flow processes", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 325-335.

    1. Введення

    Багато складні питання аналізу, проектування і розробки технологічних процесів пластичного формоутворення виробів пов'язані з їх математичним моделюванням і залишаються недостатньо вивченими. Особливо важкими для аналізу і математичного моделювання є процеси пластичного формозміни, в яких обробляється матеріал знаходиться в умовах тривимірної деформації і відчуває складне навантаження з сильною зміною напруженого стану (фази напруг) [1, 2]. Аналіз технологічних можливостей і прогнозування властивостей готових виробів в нестаціонарних процесах пластичного формозміни в умовах просторової деформації із застосуванням обчислювальної техніки вимагає використання надійних, з точки зору швидкої збіжності і високої точності, методів розрахунку просторових полів напружень і деформацій. Багато питань проектування технології: обгрунтованого вибору типу і числа формозмінних і супутніх операцій, режиму обробки, забезпечення надійної міцності робочого інструмента, - пов'язані з розподілом напружень, швидкостей течії і деформацій в оброблюваних виробах.

    2. Основні рівняння і визначають співвідношення

    Пластичне формозміна матеріалів в інтенсивних і швидкісних технологічних процесах описується в ортогональній системі координат ХГ (r = 1, 2, 3) наступними рівняннями

    А, ^ = р (аг - F *), (1)

    АУ = 0, (2)

    / (^, Eij, Xs) = 0, (3)

    ^ =, (4)

    'Дз ч'

    де АГЗ - контраваріантниє компоненти тензора напружень; Vг, аг, Рг - компоненти векторів швидкості, прискорення і щільності зовнішніх сил; е ^ - коваріантні компоненти тензора деформації; р - щільність матеріалу; - параметри, пов'язані з деформаціями неголо-автономних співвідношеннями; - символ, що означає Коваріантноє диференціювання; Л - скалярна величина, пропорційна потужності пластичної деформації; В4 - девіатор-ні компоненти напружень; ? ^ - компоненти тензора швидкості деформації. В системі рівнянь (1) - (4)

    ді ^ з

    А3аг> = Дд_ + аи Т \ 3 + АГК Т1з, (5)

    д] уг

    Аг ^ = ^ + VkТ \ к, (6)

    дх

    Ред И + - 2vkГkЛ, (8)

    А7 =% + ^ + (7)

    1 / дщ + ^

    "Г3 = 2 \ ДХЕ + дхг 2 Щ ^ де Ь - час; Г ^ - - символи Крістофеля.

    Умови градієнтними швидкостей деформації (4) зводяться до рівнянь співвісності

    "" "" "" (Г, з = 1,2,3,1 = е) (9)

    е г] &рр і умові подоби

    Ше = Ша (10)

    девіатором швидкості деформації Ії і напруги (ше, ша - фазові кути девіатором).

    Як поверхні навантаження / = 0 приймається узагальнена функція текучості Мізеса [3]

    / {В7, егз, Хв) = 1 (^ - - Хs), (11)

    де Т3 - межа плинності матеріалу при зсуві; - змішані компоненти девіатора напруг.

    Як показали численні експерименти [4, 5], узагальнена функція плинності (3) цілком задовільно описує поведінку металевих конструкційних матеріалів при високих кінцевих деформаціях, характерних для технологічних процесів обробки тиском.

    Як параметри хв, пов'язаних з деформаціями егпрінімается ступінь деформації зсуву (параметр Одквіста)

    Л = ^ - йз [}<1 * /;), (12)

    де йвг, 3 - компоненти девіатора збільшення деформації та інтенсивність швидкостей деформації зсуву Н = Значення параметра визначаються інтегруванням співвідношення

    Складність аналізу процесів пластичного формозмінення матеріалів з просторовими полями напружень і деформацій пов'язана з великим числом шуканих параметрів а гщг, незалежних змінних х \ Ь і локальної статичної невизначеності системи рівнянь (1) - (4). Поширеними прийомами подолання цих труднощів є

    зменшення числа шуканих компонент напружень і швидкостей і незалежних змінних (умова плоскої деформації, припущення про те, що деякі компоненти напружень або швидкостей є відомими). Методи аналізу, засновані на сильному спрощення основних рівнянь, можуть призводити до втрати якісних властивостей рішень.

    Компоненти напружень АГЗ можна виразити за допомогою умов градієнтними швидкостей деформації (4) через похідні від компонент швидкості Vг за координатами ХГ. Цей прийом дозволяє представити рівняння (1), (2) як систему чотирьох нелінійних диференціальних рівнянь щодо чотирьох шуканих функцій a, Vг. Рішення подібних систем рівнянь [6] пов'язане з величезними математичними труднощами, так як при всьому різноманітті оригінальних методів вирішення окремих систем нелінійних рівнянь [7, 8] немає універсального методу і загальних теорем існування та єдиності їх вирішення. Для аналізу і математичного моделювання просторових процесів пластичного формозміни з сильною зміною фази напруг пропонується метод, заснований на побудові опорного рішення в напружених і швидкостях і спрямованого до точного розв'язання ітераційного процесу. Для побудови опорного рішення доцільно тимчасово надати системі рівнянь (1) - (4) властивість локальної визначно в напружених, наприклад, використанням додаткових умов в напружених. Використання для побудови опорного рішення "жорстких" додаткових умов, які фіксують фазу напруг і швидкостей деформації, може призводити при аналізі процесів пластичного формозмінення до великих ускладнень при забезпеченні умови подібності (10) девіатором швидкості деформації та напруги. Тому більш ефективним є використання "гнучких" додаткових умов, що не накладають обмежень на фазу напруг і швидкостей деформацій в опорному вирішенні. Додаткові умови повинні бути універсальними, інваріантними щодо середньої напруги і дозволяти використовувати відомі рішення і експериментальну інформацію для аналізу технологічних задач. Подібні додаткові умови можна скласти для параметрів, що визначають диференціальну геометрію траєкторій максимальних дотичних напружень в характерних перетинах пластичної області.

    У кожній точці перетину пластичної області деякої площиною з нормаллю пк існують два взаємно ортогональних напрямки а ^,? K: уздовж яких дотичне напруження в цій площині досягає екстремальної величини так? K, а нормальні напруги &ак = &?k (рис. 1). Напрямки а ^? K утворюють в заданій площині два сімейства взаємно ортогональних ліній. Якщо вектори пк збігаються з векторами базису декартової системи координат то траєкторії а ^,? K описуються в перетинах Хк = const диференціальнимирівняннями

    = Tg ok (лінії aifc), = - ctg ok (лінії? K) (i, j, k = 1, 2, 3, г = j = к), (13)

    де ok - кут, відлічуваний від напрямку осі Xi до напряму лінії а ^.

    Параметри ok пов'язані з компонентами напружень правилом їх перетворення при плоскому повороті навколо осі Хк па кут ok

    < -

    tg2ok = -! . (I = j, ноги j НЕ підсумовувати). (14)

    Два додаткових умови до (14)

    ^ - ^ _ « 'до - г

    = - tg 2Si, "= - tg 2oj (15)

    пластичної області з нормаллю ^

    у 3

    'М,

    Я

    мг

    Мал. 2. Відображення рішення для компонент а г

    в фізичних площинах пластичної області з нормалями х% т& х ^ визначають для кожної точки пластичної області ребро на поверхні плинності / = 0 в просторі напружень

    av.

    Рівняння (1), (3) і додаткові умови (15) утворюють локально визначену систему рівнянь щодо шести шуканих компонент АГЗ. Якщо розглядається інерційний пластичне протягом, то що входять в праві частини рівнянь руху (1) компоненти швидкості иг можуть бути визначені в опорному вирішенні з умови подібності полів швидкостей квазістатичного і інерційного рішень. Умова (2) і два співвідношення (з трьох) (9) утворюють замкнену систему щодо трьох шуканих компонент Vг. Вирішення цих підсистем рівнянь дозволяє відобразити для кожної вузлової точки пластичної області два ребра (M \ N \ і M2N2) на поверхні плинності в просторі головних напружень (рис.2), одне з яких відповідає допустимим напруженням, а інше - допустимим швидкостям. Відповідне точного розв'язання ребро MN знаходиться між ребрами M \ N \ т М2 ^ 2 Тому спрямований до точного розв'язання ітераційний процес можна інтерпретувати як зустрічне обертання утворюють M \ N \ і М2N2 навколо гидростатической осі р = -а до тих пір, поки третій співвідношення співвісності (9) в площинах Хк = const і умова подібності (10) девіатором De-n Da не задовольнятимуть із заданою точністю.

    Узагальнена модель Мізеса (11) пластичного матеріалу є зручною для аналізу процесів просторової деформації з по-міццю спеціального зображує простору параметрів (r = 1, 2, 3), пов'язаних з компонентами напружень співвідношеннями [9]

    до 1/2 а-к = о А (Т °) + \) (тг - тз ВТ2 (рз),

    3 УЗ (16)

    = \ / 12 (0А) ткС082 (^ до (г, 3, к = 1, 2, 3, г =] = к),

    де 1 \ (Та) - лінійний інваріант тензора напружень.

    Параметри ^ пов'язані з кутами 81 залежністю tg25i = ^ / 3 ~ ^ tg2 ^ i і визначають орієнтацію октаедричної майданчика. Параметри mi визначають напрямок вектора дотичного октаедричного напруги.

    3. Пластичне стиснення матеріалу в умовах тривимірної деформації (приклад)

    Розглянемо процес пластичного стиснення матеріалу в умовах тривимірної деформації (ріс.З) при наступних даних: вихідні ширина, висота і довжина шару матеріалу у формі паралелепіпеда Азаг = 2а0 = 80 мм, КШГ = 2к0 = 35, 8 мм, 1ШГ = 210 = 95 мм; висота після деформації 2кк = 28, 6 мм, матеріал - сталь 40Х, температура рекомендованого температурного інтервалу штампування для сталі 40Х Т = 1450К (11800С), швидкість і час деформації Еч = 10 ... 20 | 102 з-1, т = 0 , 2 | 10-2 контактна дотичне напруження тк = т3.

    Розподіл напруг і швидкостей течії залежить від поточного співвідношення розмірів поковки при осадженні. Тому при аналізі розглядаємо чотири етапи:

    АІ1 = ДЛ, 2 = ДЛ-з = ДЛ-4 = 1,8 мм.

    Поля напружень та швидкостей знаходимо по відношенню до середини етапів. Для зручності обираємо систему декартових координат хух, центр Про якої збігається з центром ваги поковки (ріс.З). В силу симетрії досить знайти рішення для 1/8 частини заготовки, обмеженою координатними площинами з позитивними напрямками осей координат.

    У зв'язку з чисельним рішенням основних рівнянь пластичної течії ділимо обсяг заготівлі площинами Дх = СОГ ^ і Ду ^ ^^^^^ ^ між ними Дх = а / 8 = і Ду = 1/8.

    Перетин \ У ^ 0,75А.

    Перетин У -0,675

    А " & Р », Про

    Мал. 3. Пластичне осаджування коротких елементів: а - пластична область; б - поле напружень в перетинах х0 = 0, 75ао і у0 = 0, 875/0

    Для підвищення точності опорного рішення і швидкої збіжності ітераційного процесу необхідно вибирати перетину, в яких діють найбільші по модулю дотичні напруження. Для розглянутого процесу осаджування ах, ау > az і ItzxI, |% z | > 1 ^ хуПоетому в перетинах х = const, у = const діють значно більші за модулем дотичні напруження, ніж в перетинах z = const.

    Опорна поле напружень знаходиться з квазістатичного рішення системи рівнянь (1), (3) з урахуванням параметричної форми (16) і додаткових умов (17) у формі

    - + 2ryz tg25x = 0 (перетину кх = const),

    - + 2tzx tg 2Sy = 0 (перетину до у = const).

    Значення кутів 5 ^ \ y, z), 5t (y0 (y, z) в нульовому наближенні, що входять в додаткові умови (17), вибираються з відомих рішень задач пластичного стиснення в припущенні плоскої деформації в перетині х = const і у = const [10], тобто траєкторії найбільших по модулю дотичних напружень (ах, @ х і ау, @ у) в нульовому наближенні приймаються співпадаючими з траєкторіями максимальних дотичних напружень при плоскій деформації в цих перетинах пластичної області (рис.36, тонкі лінії ).

    Поля траєкторій ах, [Зхш ау, / Зу визначають направляючий девіатор напружень у всіх вузлових точках. До контактної поверхні CEHQ, в силу симетрії тензора напружень, повинна примикати жорстка зона матеріалу (ріс.З). Щоб обчислити тензор напружень, необхідно спочатку встановити середню напругу хоча б в одній точці пластичної області. Розглянемо умова рівноваги області ADKH, вільної від дії зовнішніх сил (ріс.З). Так як утворюють поверхні АКН є прямі лінії ау, розташовані під кутом 5У = 4 до осі х, то рівняння рівноваги області ADKH можна представити у вигляді

    ?|АН г кн

    / / + R? Yау) dsayds = 0, (18)

    Jak Ja

    де s - дуга ліній на поверхні АКН, ортогональних до ау. Середня напруга в довільній точці на поверхні АКН можна виразити через середню напругу в іншій точці, що належить цій поверхні, наприклад, точці К. Чисельним інтеграцією рівняння (18) встановлено, що середня напруга в точці К ак = -0, 886rs.

    а)

    б)

    Мал. 4. Поле швидкостей в характерних перетинах при осадженні коротких елементів, перший етап: а - перетин х / а = 0, 75; б - протягом х / 1 = 0,875

    Рішення двох рівнянь (9) для XI = х, у і умови несжимаемости (2) дозволяє знайти вектор швидкості Р пластичної течії. Це завдання еквівалентна визначенню компонент иа > верб > і у * а,, иу, в системах координат а *, Д *, х і про *, Д *, у. Поле швидкостей (рис.4)

    задовольняє крайовим умовам

    ^ Х \ х = 0 = Vy \ y = Q = Vz \ z = Q = 0, Vx \ x = a =

    al2U

    (А2 + l2) h '

    иу \ у = 1 =

    a2lU

    (А2 + l2) h

    , vz \ z = h = -U,

    де і - швидкість зближення плит.

    Ступінь відповідності між полями напружень і швидкостей опорного рішення в вузлових точках пластичної області оцінювалася за допомогою параметрів

    Д ^ = 5ёг - Sz ^ [Д ^], Д ^ = Шё - Wo ^]

    (19)

    для напрямних девіатором і Спрямований до точного розв'язання ітераційний процес зводився до забезпечення нерівностей (19) шляхом корекції параметрів тх, шу, тх.

    Питома сила опади (рис.5) знаходиться з умови рівноваги жорсткої зони, що примикає до верхньої плиті

    1 cAH г КН

    Р = "7 (&бу + Т / зуау) dsayds = 119 МШ,

    м J OB JoA

    де s - дуга ліній, утворених від перетину площин х = const з поверхнею ОАНВ. Питома сила в припущенні плоскої деформації в перетинах у = const при a / h = 2, 28, р = 129 МПа, тобто більше на 8,7%.

    3,5 3.0 2.5

    Ifs. Ю

    -

    l "1 и |s

    Про

    1 2 a / S -

    Мал. 5. Залежність питомої сили штампування тонкошарових елементів від співвідношення їх розмірів в плані

    4. Висновок

    Розглянемо результати рішення. Вид напруженого стану змінюється від одновісного стиску на осі симетрії до стиснення, що межує із зсувом, в межах пластичної області.

    Використання умови плоскої деформації призводить до похибки у визначенні питомих і технологічних зусиль близько 10%. При визначенні локальних характеристик напружень і деформацій ця похибка помітно збільшується до 20 ... 25%, так як "жорстко" фіксується стан чистого зсуву у всій пластичної області, що не відповідає тривимірному рішенням.

    Таким чином можна зробити висновок, що більш ефективним є використання "гнучких" додаткових умов, що не накладають обмежень на фазу напруг і швидкостей деформацій в опорному вирішенні. Додаткові умови повинні бути універсальними, інваріантними щодо середньої напруги і дозволяти використовувати відомі рішення і експериментальну інформацію для аналізу технологічних задач. Подібні додаткові умови можна скласти для параметрів, що визначають диференціальну геометрію траєкторій максимальних дотичних напружень в характерних перетинах пластичної області.

    СПИСОК цитованої літератури

    1. Ільюшин А. А. Пластичність: Основи загальної математичної теорії. М .: АН СРСР, 1963. 271 с.

    2. Івлєв Д. Д. Механіка пластичних середовищ: в 2 т. Т.1 .: Теорія ідеальної пластичності. М .: Физматлит, 2001. 232 с.

    3. Тутишкін І. Д., Трегубов В. І. Зв'язані задачі теорії пластичності і пошкоджуваності деформуються матеріалів. Тула: ТулГУ, 2016. 248 с.

    4. Tutvshkin N.D., Lofink P., Miiller W. H., Wille R., Stahn O. Constitutive equations of a tensorial model for strain-induced damage of metals based on three invariants // International Journal Continuum mechanics and thermo-dvnamics. 2017. Vol. 29. P. 251-269.

    5. Tutvshkin N. D., Miiller W. H., Wille R., Zapara M. A. Strain-induced damage of metals under large plastic deformation: Theoretical framework and experiments // International Journal of Plasticity. 2014. Vol. 59. P. 133-151.

    6. Різдвяний Б. Л., Яненко Н. Н. Системи квазілінійних рівнянь та їх застосування до газової динаміці. М .: Наука, 1978. 687 с.

    7. бригадний І. А. Математична коректність і чисельні методи розв'язання початково-крайових задач пластичності // Изв. РАН. Механіка твердого тіла. 1996. № 4. С. 62-74.

    8. Яненко І. Н., Бояринцев Ю. І. Теорія і методи інтегрування систем нелінійних рівнянь в приватних похідних // Праці IV Всесоюзного матем. з'їзду. \! .. 1964. Т. 2. С. 613-621.

    9. Tutvshkin N. D. Metal plastic straining processes with predictable mechanical and constitutive properties modeling // IASME Transactions. 2005. Vol. 2. № 9. P. 1819-1825.

    10. Соколовський В.В. Теорія пластичності. М .: Вища школа, 1969. 608 с. REFERENCES

    1. Ilvushin А. А., 1963, "Plasticity: Fundamentals of General Mathematical Theory", M .: AN SSSR, 271 p. (In Russian)

    2. Ivlev D.D., 2001., "Mechanics of Plastic Environments: in 2 vol. Vol.1 .: Theory of Perfect Plasticity", M .: Fizmatlit, 232 p. (In Russian)

    3. Tutvshkin N. D., Tregubov V. I., 2016, "Related problems of the theory of plasticity and damage to deformable materials", Tula: TulGU, 248 p. (In Russian)

    4. Tutvshkin ND, Lofink P., Miiller WH, Wille R., Stahn O. 2017, "Constitutive equations of a tensorial model for strain-induced damage of metals based on three invariants", International Journal Continuum mechanics and thermo-dynamics , vol. 29, pp. 251-269.

    5. Tutvshkin N. D., Miiller W. H., WTille R., Zapara M. A., 2014 року, "Strain-induced damage of metals under large plastic deformation: Theoretical framework and experiments", International Journal of Plasticity, vol. 59, pp. 133-151.

    6. Rozhdestvenskiv B.L., Yanenko N. N., 1978, "Systems of quasilinear equations and their applications to gas dynamics", M .: Science, 687 p. (In Russian)

    7. Brigadnov I. A., 1996, "Mathematical correctness and numerical methods for solving initial-boundary problems of plasticity", Izvestiya RAN. Solid mechanics, № 4, pp. 62-74. (In Russian)

    8. Yanenko N.N., Bovarintsev Yu.I., 1964, "Theory and methods of integration of systems of nonlinear partial differential equations", Trudy IV Vsesovuznogo math. s "ezda, M., vol. 2, pp. 613-621. (In Russian)

    9. Tutvshkin N.D., 2005, "Metal plastic straining processes with predictable mechanical and constitutive properties modeling", IASME Transactions, vol. 2, № 9, pp. 1819-1825.

    10. Sokolovskiv V. V., 1969, "Plasticity theory", M .: Higher School, 608 p. (In Russian)

    Отримано 15.02.2019 р Прийнято до друку 12.07.2019 р.


    Ключові слова: ПЛАСТИЧНІСТЬ /Пластичне ПРОТЯГОМ /НАПРУГУ /ШВИДКІСТЬ ПЕРЕБІГУ /ДЕФОРМАЦІЯ /ОСНОВНІ РІВНЯННЯ /ЩО ВИЗНАЧАЮТЬ СПІВВІДНОШЕННЯ /МОДЕЛЮВАННЯ /Пластичне СТИСК /PLASTICITY /PLASTIC FLOW /STRESS /FLOW RATE /DEFORMATION /BASIC EQUATIONS DEFINING RATIOS /MODELING /PLASTIC COMPRESSION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити