Наведено короткий огляд неявних методів інтегрування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь. Визначено і представлені графічно області абсолютної стійкості для методів Гіра (формул диференціювання назад) При вирішенні жорстких систем диференціальних рівнянь. Дано рекомендації по вибору порядку методу Гіра.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Семенов Михайло Євгенович, Колупаєва Світлана Миколаївна


The brief review of implicit methods of integrating stiff systems of ordinary differential equations has been introduced. Graphic regions of unconditional stability for Gear method (backward differentiation formulae) When solving stiff systems of differential equations, were determined and introduced. The recommendations for choosing Gear method order were given.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2010


    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ


    Наукова стаття на тему 'Аналіз областей абсолютної стійкості неявних методів рішення систем звичайних диференціальних рівнянь'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз областей абсолютної стійкості неявних методів рішення систем звичайних диференціальних рівнянь»

    ?Так як B - сервантная підгрупа групи A, тип будь-якого елементу ЬеВ в цій групі такий же, як і в групі A. Таким чином, B - однорідна підгрупа групи A, що має такий же тип, що і група A. Тоді з [13. Теорема 86.6. С. 136] слід, що B-цілком розкладені група. Отримуємо, що A і B -однородние цілком розкладені групи, що мають один і той же тип і ранг, отже, A = B.

    теорема доведена.

    Відзначимо, що однорідна цілком розкладені група є також О.-коректної [7. Слідство 18. С. 76].

    Робота підтримана ФЦП «Наукові та науково-педагогічні кадри інноваційної Росії на 2009-2013 роки», Державний контракт П 937от 20 серпня 2009 р.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Jonson B. On direct decomposition of torsion free abelian groups // Math. Scand. - 1959. - № 2. - P. 361-371.

    2. Kaplansky I. Infinite Abelian groups. - Michigan: Ann. Arbor, Univ. Michigan Press, 1954. - 91 p.

    3. Crawly P. Solution of Kaplansky's test problem for primary abelian groups // J. Algebra. - 1965. - № 4. - P. 413-431.

    4. Corner A.L. Every countable reduced torsion free ring is an endomorphism ring // Proc. London Math. Soc. - 1963. - V. 52. -P. 687-710.

    5. Sasiada E. Negative solution of I. Kaplansky first test problem for abelian groups and a problem of K. Borsuk concerning cohomology groups // Bull. Polish Acad. Sci. Math. Astron. Phys. - 1961. -№ 5. - P. 331-334.

    6. Fuchs L. Abelian groups. - Budapest: Publishing House of the Hungarian Academy of Sciences, 1958. - 367 p.

    7. Гріншпон С.Я. f.i.-коррекшость абелевих груп без крутіння // Абелеві групи і модулі. - 1989. - Вип. 8. - С. 65-79.

    8. De Groot J. Equivalent abelian groups // Canad. J. Math. - 1957. -№ 9. - P. 291-297.

    9. Приходько І.А. E-коректні абелеві групи // Абелеві групи і модулі. - 1984. - Вип. 4. - С. 90-99.

    10. Росошек С.К. Строго чисто коректні абелеві групи без кручення // Абелеві групи і модулі. - 1979. - Вип. 1. -С. 143-150.

    11. Гріншпон С.Я. Цілком характеристичні підгрупи абелевих груп без крутіння і f.i.-коректність // Вісник МГУ. Серія матем., Хутро. - 1981. - № 1. - С. 97-99.

    12. Гріншпон С.Я. f.i.-коректні абелеві групи // Успіхи матем. наук. - 1999. - Т. 54. - № 6. - С. 155-156.

    13. Фукс Л. Нескінченні абелеві групи. - Т. 2. - М .: Світ, 1977. - 335 с.

    надійшла 27.04.2010г.

    УДК 517.91

    АНАЛІЗ ОБЛАСТЕЙ АБСОЛЮТНОЮ СТІЙКОСТІ неявних МЕТОДІВ РІШЕННЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

    М.Є. Семенов, С. Колупаєва

    Томський державний архітектурно-будівельний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Наведено короткий огляд неявних методів інтегрування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь. Визначено і представлені графічно області абсолютної стійкості для методів Гіра (формул диференціювання назад) при вирішенні жорстких систем диференціальних рівнянь. Дано рекомендації по вибору порядку методу Гіра.

    Ключові слова:

    Жорсткі системи звичайних диференціальних рівнянь, неявні методи, формули диференціювання назад.

    Key words:

    Stiff systems of ordinary differential equations, implicit method, backward differentiation formulae.

    При моделюванні реальних процесів широко використовується апарат звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ). При цьому практика показує, що початкова задача (завдання Коші) для систем ОДУ може бути віднесена до наступних типів: м'яка, жорстка, погано обумовлена ​​і швидко осцилююча. Кожен тип пред'являє специфічні вимоги до методів інтегрування. До жорстких систем відносяться завдання хімічної кінетики [1, 2], нестаціонарні процеси в складних електричних ланцюгах [3, 4], системи, що виникають при вирішенні рівнянь тепло-

    провідний та дифузії [5], руху небесних тіл, штучних супутників [6], фізики пластичності [7] і багато інших.

    При чисельному рішенні систем ОДУ виникають складнощі, пов'язані з тим, що при описі складного фізичного процесу швидкості локальних процесів можуть бути істотно різними, а змінні системи можуть бути різнопорядковими величинами і / або змінюватися на інтервалі інтегрування на порядки величини [7].

    Крім цього при проведенні фізичних експериментів може спостерігатися прикордонний

    шар, який характеризується режимом швидкої зміни поведінки об'єкта дослідження. Такий шар може виникати не обов'язково на початку експерименту, а лише тоді, коли певний «керуючий» параметр різко змінить своє значення або досягне деякого критичного значення. При чисельному рішенні такого виду завдань чисельний метод необхідно вибирати дуже ретельно [1, 2, 8-12].

    Інтерес до жорстких систем виник на початку XX ст., Спочатку в радіотехніці (завдання Ван-дер-Поля, 1920 [3, 4, 13-16]). Потім нова хвиля інтересу з'явилася в середині 50-х рр. минулого століття при вивченні рівнянь хімічної кінетики, руху небесних тіл [6], в яких були присутні дуже повільно і дуже швидко змінюються компоненти. Тоді з'ясувалося, що вважалися виключно надійними методи типу Рунге-Кутта стали давати збій при чисельному розрахунку подібних завдань.

    Одна з перших спроб дати визначення жорстким системам належить Ч. Кертисс і Дж. Хіршфельдер (C.F. Curtiss, J.O. Hirschfelder). У 1952 р вони запропонували наступне трактування: жорсткі системи - це ті рівняння, рішення яких отримати набагато простіше за допомогою певних неявних методів, ніж за допомогою класичних явних методів типу Ейлера або Адамса [17].

    У літературі наводиться кілька суджень про жорсткість, кожне з яких відображає певні аспекти поведінки чисельного рішення (наприклад, неможливість використання явних методів інтегрування [18], наявність швидко згасаючих збурень [10, 19], великі постійні Ліпшиця або логарифмічні норми матриць [20, 21 ], велика різниця власних значень матриці Якобі [1, 2, 22, 23], заповненість матриці Якобі [24], завжди апріорна знакоопределенность рішення [25], кількість перехідних фаз [26] і так далі). У деяких додатках важливим фактором, що впливає на поведінку чисельного рішення, є розмірність системи ОДУ [27] або наявність прикордонного шару [22, 28], в інших -лише граничну поведінку (плавна зміна) при великих інтервалах інтегрування. Часто навіть не ясно, відноситься жорсткість до приватного рішенням або до проблеми в цілому [29].

    У роботах [1-3, 12, 22, 23, 30] автори не можуть дати суворе визначення жорсткої системи в силу його складності, а вводять робоче опис жорсткої завдання. Це завдання, що моделює фізичний процес, компоненти якого мають несумірними характерними часом, або ж процес, характерний час (зворотні величини власних значень якобіана системи) якого набагато менше відрізка інтегрування.

    У 1970-х рр. Л. Шампайн і Б. Гір (L.F. Shampine, C.W Gear), що накопичили на той час великий досвід обчислювальних експериментів в області систем, що мають різнопорядкові компоненти вектора рішень, запропонували своє визначення

    жорсткої системи: початкова задача для системи ОДУ є жорсткою, якщо хоча б у одного з власних чисел якобіана Jij = 8f'i / 8yj, i, j = 1, ..., N речова частина негативна і велика (по модулю), а рішення на більшій частині відрізка інтегрування змінюється повільно [14, 31].

    У роботах [22, 28] систему ОДУ називають жорсткою, якщо речові частини всіх власних значень якобіана системи негативні, т. Е. Re (A;)<0, i = 1,2, ..., N (система асимптотично стійка по Ляпунову) і відношення

    max (| Re (A) |, i = 1,2, ..., N)

    min (| Re (А,.) |, i = 1,2, ..., N)

    велике. Число s називається числом жорсткості системи.

    Проблема визначення жорсткої системи в тому, що для числа жорсткості s не зазначена межа, коли воно стає велике. Систему рівнянь можна вважати жорсткою, якщо число жорсткості s більше 10, однак у багатьох прикладних задачах цей коефіцієнт сягає значень порядку 106 і більше [32]. В роботі [33] вводиться поняття Наджорстка, при цьому коефіцієнт жорсткості досягає значень порядку 106 ... 1012.

    Зауважимо, що надійних простих способів оцінки жорсткості немає, тому потрібні чисельні методи, що працюють без перевірок на жорсткість.

    Огляд існуючих підходів до знаходження

    чисельного розв'язання жорстких систем

    звичайних диференціальних рівнянь

    Будемо розглядати задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, яку можна представити таким чином:

    Y '= F (x, Y), x е [x0, b]

    Y (xo) = Y0. ()

    При чисельному інтегруванні системи (1) широко застосовують методи, в яких використана лінійна комбінація вектора рішення Y1, Y2, ..., Yn, ... і його похідних в деякій послідовності точок x1, x2, ..., xn, .. . Такі методи прийнято називати лінійними методами [3, 4, 31].

    Існує кілька типів лінійних методів: багатоетапні, багатокрокові, а також методи, в яких використовують похідні вищих порядків (multiderivative methods). Багатоетапні методи - це явні і неявні методи Рунге-Кутта. До багатокроковим методів відносять методи Адамса (Adams-Bashforth, Adams-Moulton) і формули диференціювання назад (BDF, backward differentiation formulae). Методи, в яких використовуються похідні вищих порядків, засновані на використанні розкладання функції в ряд Тейлора (Taylor series).

    З моменту відкриття явища жорсткості в розвитку чисельних методів для інтегрування жорстких систем мають місце такі тенден-

    ції: дослідження явища жорсткості як такого і створення теоретичного апарату аналізу стійкості методів [3, 18], конструювання та вдосконалення методів, в тому числі з урахуванням специфіки вирішуваних завдань [34-40] і перспектив для розпаралелювання [41-43]. Найбільш повний огляд сучасного стану чисельних методів розв'язання жорстких систем ОДУ з обширною бібліографією представлений в роботах [3, 4, 18, 28, 44, 45].

    Одним з простих способів побудови рішення системи (1) в точці xn + 1, якщо воно відоме в точці xn, є спосіб, заснований на розкладанні функції рішення Y (xn + 1) в ряд Тейлора в околиці точки xn:

    Y (xM) = Y (xn) + hF (xn, Yn, h), де F (Xn, Yn, h) = Y- (Xn) + hY ^ "(Xn) / 2! + H2Y ^ '" ( Xn) / 3! + .... Якщо цей ряд обірвати на q-му доданку і замінити Y (xn) наближеним значенням Yn, то отримаємо наближену формулу:

    Yn + 1 = Yn + h (F (Xn, Yn) + hF (Xn, Yn) / 2! + W '(Xn, Yn) / 3! + ... + hqFq) (Xn, Yn) / (q +1)!) (2)

    при q = 1 отримаємо обчислювальну схему явного методу Ейлера [1, 2, 12, 22, 46]

    Yn + 1 = Yn + hF (Xn, Yn).

    Застосування формули (2) обмежена лише тими завданнями, де легко обчислюються похідні вищих порядків функції F (x, Y) правої частини системи (1). Зауважимо, що зазвичай це не так.

    К. Рунге (С. Runge, 1895), К. Хойна (K. Heun, 1900) і М. Кутта (М. Kutta, 1901) запропонували підхід, заснований на побудові формули для Yn + 1 виду [1, 2, 4 ]:

    Y (Xм) = Y (Xn) + hф (xn, Yn, h), де h - крок інтегрування. Функція Ф () близька до F (-), але не містить похідних від функції правої частини рівняння. Було отримано сімейство явних і неявних методів, що вимагають 5-кратного обчислення функції правої частини на кожному кроці інтегрування (s-етапні методи). Формули цих методів ідеально пристосовані для практичних розрахунків: вони дозволяють легко міняти крок інтегрування h, є однокроковими, досить економічні, по крайней мере, до формул четвертого порядку включно. Можливо, найбільш відомою є формула чотирьохетапну методу Рунге-Кутта четвертого порядку.

    Одна з основних проблем, пов'язаних із застосуванням методів Рунге-Кутта (а в дійсності, практично всіх явних методів) полягає у виборі величини кроку інтегрування h, що забезпечує стійкість обчислювальної схеми [1, 2, 12, 22, 23, 46, 47], тим не менше, і в наші дні, розробляються і використовуються явні адаптивні методи для вирішення жорстких ОДУ [36].

    Наявність жорстких задач зробило неявні обчислювальні схеми особливо привабливими і привело до розробки групи неявних стійких методів, у яких зазначена проблема з вибором кроку інтегрування в значній мірі знята [17, 23, 31, 48-52]. найбільш поширений-

    ними серед них є методи Адамса-Мултона і «формули диференціювання назад» (більш загальна назва - методи Гіра). Отримавши наближення до вирішення в точках хьх2, ..., х "можна використовувати їх для знаходження рішення в точці х" +1.

    Обчислювальні схеми неявних методів Адамса-Мултона мають вигляд [1, 2, 12, 22, 23, 46, 47]:

    ^ = Уя + кX р? (Хп ч + 1,1П ч + 1), (3)

    1 = 0

    де у - визначає порядок методу, константи р, 1 = 0, 1, ..., у відповідають обраному порядку методу [4, 23, 31]. Зауважимо, що неявний метод Ейлера (перший порядок) і метод трапецій (другий порядок) є окремими випадками останньої обчислювальної схеми (3) при у = 0 і у = 1 відповідно.

    Побудова багатокрокових методів засновано на використанні полінома ступеня q. Наближене значення рішення Y (x) в точці х "+1 представляється у вигляді лінійної комбінації декількох наближених значень рішення і його похідної в цій та попередніх у точках. Очевидно, використання багатокрокових формул ставить задачу обчислення у значень початкових значень Y ?, Y 2, ..., Yn, точність завдання яких повинна бути не гірше точності відповідної формули. У загальному вигляді поліном можна представити [1, 2, 12, 22, 23, 46, 47]

    ^ = X а? ПЧ + 1 + к? (Хп 1, Yn_j +1). (4)

    / = 1 j = 0

    Деякі константи а і р в (4) можуть приймати нульові значення. При виборі

    р = р2 = ... = рг = 0 можна побудувати формули диференціювання назад.

    Область стійкості неявних методів

    Перші дослідження, присвячені вивченню стійкості багатокрокових методів, відносяться до праць Д. Дальквіста [53, 54]. Як випливає з визначень, наведених вище, жорсткі рівняння пред'являють жорсткі вимоги до стійкості чисельних методів, що застосовуються для їх вирішення. При отриманні асимптотично стійкого рішення жорсткої задачі Коші помилка разностного методу не повинна зростати при будь-якому кроці, т. Е. Метод повинен бути безумовно стійким. Огляд поточного стану по дослідженню областей стійкості багатокрокових методів можна знайти в роботах [3, 4].

    Автори [22, 46, 55] формулюють визначення стійкості методу чіткіше через використання модельного рівняння першого порядку

    у = Яу, у (хо) = Уо. (5)

    Загальне рішення рівняння (5) є у = С.ехр {Ях}, де С - константа, і рішення відповідної йому завдання Коші з початковими умовами у (х0) = у0 є функція у = у0.ехр {Я (х-х0) }, яка прагне до нуля, якщо? е (Я)<0 і нескінченно зростає за абсолютною величиною при Ке (Я)>0, де Я в загальному випадку комплексне число.

    Під областю стійкості багатокрокового методу (4) рішення початкової задачі (5) будемо розуміти безліч точок комплексної площині, яка визначається комплексної змінної а = Нк, для яких цей метод, застосований до модельного ур. (5), стійкий, т. Е. Забезпечує незростання помилки [22, 46, 55].

    Для визначення області стійкості неявних методів (4) будемо використовувати характеристичний (комплексний) поліном

    P (z) = (zq -a1zq-1 -a2Z-2 -...- aq) +

    + A (? 0 zq +? I zq -1 +? 2 zq-2 + ... +? Q-1 z +? Q) = 0,

    який представимо у вигляді [3, 4, 23, 31]:

    про (6) =

    щ6 i ^ i (q-1) 6, _ j (q -2) 6. . je .

    -eq + axe '+ a2eKq ... + aq-1e + aq

    ?oe

    iqe

    (6)

    де ак, / Зк - коефіцієнти методу (к = 0,1,2, ..., д; Д = Р = ... = Д, = 0); д - порядок методу; I - уявна одиниця; 1 = е'в-комплексне число, 0<в<2п. Для визначення області абсолютної стійкості методу для даного значення о = Ст0 знайдемо рішення рівняння (6) щодо в.

    Безліч точок, породжуваних рівнянням (6), являє собою геометричне місце точок одиничних коренів Г "для яких справедливо [г | = 1. Областю абсолютної стійкості неявних методів (4) є зовнішня область Г "т. К.

    при | про [= А | Я | ^ да неявні методи (4) стійкі [3, 4, 23, 31].

    Для визначення геометричного місця точок, описуваних рівнянням (6), використана система комп'ютерної алгебри МаШСАБ. В результаті отримано геометричне місце одиничних коренів Г ^ (рис. 1). Областю абсолютної стійкості є зовнішня область Г ^ (заштрихована).

    Дослідження областей стійкості (Г ^ є простою замкнутої кривої), зображених на рис. 1, показує, що неявні методи (4) з 1 по 6 порядок включно є жорстко стійкими (введено вперше в [31]). Властивість жорсткості для неявного методу (4) з 1 по 6 порядок включно досягається при різних значеннях реального числа 5<0 (на рис. 1, в-е, відзначено пунктирною лінією). Зокрема, для методу першого і другого порядків 5 = 0, третього - 5 = -0,1; четвертого - 5 = -0,7; п'ятого - 5 = -2,4; шостого -5 = -6,1.

    Для методу Гіра сьомого порядку ур. (6) буде виглядати наступним чином:

    980 6e 490

    -e -

    i 56 4900 i 46

    363

    121 e 1089

    0 (6) = --

    1 225 зе ^ 196. 2e 49 ^ je

    363 121 1089

    |e>46 -20

    363 .

    140

    ------До

    369

    ,5 i§§

    6 Ш ???? 1

    а

    1,! «.]

    ч

    г

    d

    щ 4 ю- А 5 - Im (cj) q = 6 \ Re (<xl

    1 6 12 18 24 \

    А '5'! /

    A

    Мал. 1. Області абсолютної стійкості для методів Гіра q-го порядку: а) першого (метод Ейлера); б) другого; в) третього; г) четвертого; д) п'ятого; е) шостого

    Re (a) Re (°)

    Мал. 2. Геометріческое місце точок одиничних коренів Гадло методу Гіра сьомого порядку

    знаходячи рішення <г (в) щодо в, отримуємо, що метод Гіра сьомого порядку не відповідає вимогам жорсткої стійкості (рис. 2) [23, 31]. На початку координат і при Re (o|) й-8 є точки перетину Гг

    Результати, отримані для рівняння (5), можна поширити на системи ОДУ. У разі автономної системи ОДУ виду Г = Л7, де А - постійна матриця, можна провести приведення до жорданової формі і перейти до пошуку рішення системи ОДУ виду Z '= ЗZ, де

    1 = Т-1АТ = Ша§ {А1, А2, ..., А "}, - власні числа

    матриці А, /=1,2,...,Д 7 = Тд Z = T-1Y. Матриця Т складена з власних векторів матриці А. Таким чином, вихідна система ОДУ розпадається на п скалярних рівнянь, для яких можна знайти рішення і застосувати описаний вище підхід для знаходження області стійкості [4, 23, 31]. Якщо коефіцієнти системи Y = A (х) Y не є постійними, перевірка власних значень А при кожному значенні х стає обчислювально трудомісткою [31]. Зауважимо, що при роботі з нелінійними системами виду Y '= AY + G (х, Y) стійкість рішення може бути забезпечена тільки на початку координат, крім цього, стійкість може бути порушена для власних значень, що лежать на уявної осі [18].

    Огляд альтернативних способів знаходження областей стійкості неявних методів найбільш повно наведено в [3, 4, 18].

    Неявні методи (в запису Гіра) придатні для розрахунку великого класу жорстких систем ОДУ. При цьому зменшення кроку (до мінімально можливого) не завжди дозволяє пристосуватися до локаль-

    ному поведінки рішення і скоротити обсяг обчислень при дотриманні необхідної точності. Оптимальна стратегія використання багатокрокових методів має на увазі наявність процедури автоматичного управління порядком (з 1 до 6) і величиною кроку. Це вимагає обчислення оцінки локальної помилки методу і ефективною (в сенсі економії оперативної пам'яті ЕОМ) організації обчислень, збереження і відтворення масиву попередніх значень рішення.

    висновки

    Незважаючи на інтенсивний розвиток чисельних методів для вирішення жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь, до сих пір не існує загальноприйнятого суворого математичного визначення жорсткості [16, 56-59], тому визначення жорсткості [1-3, 10, 12, 17, 18, 22, 23, 30] залишаються актуальними.

    Як правило, в більшості решателей звичайних диференціальних рівнянь застосовують неявний метод Ейлера першого порядку або метод трапецій другого порядку. Неявні методи Гіра (формули диференціювання назад) є жорстко стійкими від 1 до 6 порядку включно, тому для прискорення процесу інтеграції систем звичайних диференціальних рівнянь можна використовувати підвищення порядку.

    Результати розрахунків дозволяють визначити для неявних методів області абсолютної стійкості, де забезпечена можливість зміни величини кроку інтегрування в широких межах при збереженні обчислювальної стійкості методу.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Каханер Д., Моулер К., Неш С. Чисельні методи та програмне забезпечення. - M .: Світ, 1998. - 320 с.

    2. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинні методи математичних обчислень. - M .: Світ, 1980. - 279 с.

    3. Хайрер Е., Ваннер Г. Рішення звичайних диференціальних рівнянь. Жорсткі і диференційно-алгебраїчні завдання. - M .: Світ, 1999. - 685 с.

    4. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. - Chichester: John Wiley & Sons, Ltd, 2008. - 463 p.

    5. Каліткін М.М. Чисельні методи рішення жорстких систем // Математичне моделювання. - 1995. - Т. 7. - № 5. -С. 8-11.

    6. Gear C.W., Skeel R.D. The development of ODE methods: a symbiosis between hardware and numerical analysis // Proc. of the ACM Conf. on History of scientific and numeric computation / Ed. by G.E. Crane. - 1987. - P. 105-115.

    7. Семенов М.Е., Колупаєва С.Н., Ковалевська ТА., Данин-ко О.І. Математичне моделювання деформаційного зміцнення і еволюції деформационной дефектної середовища в дисперсно-зміцнених матеріалах // Еволюція структури і властивості металевих матеріалів / під ред. А.І. Потекаев-ва. - Томськ: Вид-во НТЛ, 2007. - С. 5-41.

    8. Cohen S.D., Hindmarsh A.C. Cvode, a stiff / nonstiff ODE solver in C // Conference Processing SciCADE95: Scientific Computing and Differential Equations. - Stanford: Stanford University, 1995. -March. - P. 2-3.

    9. Enright WH., Pryce J.D. Two Fortran Packages for Assessing Initial value Methods // Association for Computing Machinery Transaction on Mathematical Software. - 1987. - V. 13. - № 1 (3). -P. 1-23.

    10. Деккер К., Вервер Я. Стійкість методів Рунге-Кутта для жорстких нелінійних диференціальних рівнянь: Пер. з англ. - M .: Світ, 1988. - 295 с.

    11. Розенброка Х., Сторі С. Обчислювальні методи для інженерії-рів-хіміків. - M .: Світ, 1968. - 443 с.

    12. Теоретичні основи і конструювання чисельних алгоритмів задач математичної фізики / під ред. К.І. Бабенко. -M .: Наука, 1979. - 295 с.

    13. Hull T.E., Enright W.H., Fellen B.M., Sedgwic A.E. Comparing Numerical Methods for Ordinary Differential Equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1972. - V. 9. - № 4. - Dec. -P. 603-637.

    14. Shampine L.F., Gear C.W. A User's View of Solving Stiff Ordinary Differential Equations // SIAM Review. - 1979. - V. 21. - № 1. -Jan. - P. 1-17.

    15. Mazzia F, Iavernaro F Test Set for Initial Value Problem Solvers // Department of Mathematics, University of Bari. 2003. URL: www.dm.uniba.it/~testset (дата звернення: 02.02.2010).

    16. Brugnano L., Mazzia F., Trigiante D. Fifty years of Stiffness // ar-Xiv.org e-Print archive. 2009. URL: http://arxiv.org/abs/0910.3780 (дата звернення: 02.02.2010).

    17. Curtiss C.F, Hirschfelder J.O. Integration of Stiff Equations // Proc. of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. -V. 38. - March. - P. 235-243.

    18. Хайрер Е., Нерсетт С., Ваннер Г. Рішення звичайних диференціальних рівнянь. Нежорсткі завдання. - M .: Світ, 1990. - 512 с.

    19. Ascher U.M., Petzold L.R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Diferential-Algebraic Equations. - Philadelphia: SIAM, 1998. - 310 p.

    20. Soderlind G. The logarithmic norm. History and modern theory // BIT Numerical Mathematics. - 2006. - V. 46. - № 3. - P. 631-652.

    21. Higham D.J., Trefethen L.N. Stiffness of ODE // BIT Numerical Mathematics. - 1993. - V. 35. - № 33. - P. 286-303.

    22. Вержбицький В.М. Основи чисельних методів. - M .: Вища школа, 2002. - 840 с.

    23. Чуа Л.О., Лін Пен-Мін. Машинний аналіз електронних схем. - M .: Енергія, 1980. - 640 с.

    24. Nejad L.A.M. A comparison of stiff ODE solvers for astrochemical kinetics problems // Astrophys. and Space Sci. - 2005. - V. 299. -№. 1. - P. 1-29.

    25. Bertolazzi E. Positive and conservative schemes for mass action kinetics // Computers Math. Applic. - 1996. - V. 32. - № 6. -P. 29-43.

    26. Novati P An explicit one-step method for stiff problems // Computing. - 2003. - V. 1. - № 71. - P. 133-151.

    27. Weiner R., Schmitt B.A., Podhaisky H. Rowmap a row-code with Krylov techniques for large stiff ODEs // Appl. Numerical Math. -1997. - V. 25. - Iss. 2-3. - P. 303-319.

    28. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., ЧОРНОРУДСЬКА І.Г. Чисельні методи рішення жорстких систем. - M .: Наука, 1979. - 208 с.

    29. Hundsdorfer WH. The numerical solution of stiff initial value problems: an analysis of one step methods // Center for Mathematics and Computer Science. - 1985. - № 12. - 30 р.

    30. Ортега Дж., Пул У. Введення в чисельні методи рішення диференціальних рівнянь. - М .: Наука, 1986. - 288 с.

    31. Gear C.W. Numerical Initial Value Problem in Ordinary Differential Equations. Englewood Clifs. - N.J .: Prentice-Hall, Inc., 1971. -253 p.

    32. Petcu D., Dragan M. Designing an ODE solving environment // Lectures Notes in Computational Science and Engineering 10: Advances in Software Tools for Scientific Computing / Ed. by H. Langtangen, A. Bruaset, E. Quak. - Berlin: Springer-Verlag, 2000. -P. 319-338.

    33. Грідін В.Н., Михайлов В.Б., Купріянов Г.А., Михайлов К.В. Стійкі чисельно-аналітичні методи рішення наджорстких диференційно-алгебраїчних систем рівнянь // Математичне моделювання. - 2003. - Т. 15. -№ 10. - С. 35-50.

    34. вшівка В.А. Про один спосіб конструювання W-методів для жорстких систем ОДУ // Обчислювальні технології. -2007. - Т. 12. - № 4. - С. 42-58.

    35. Rahunanthan A., Stanescu D. High-order W-methods // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010. - V. 233. - Iss. 8. - P. 1798-1811.

    36. Скворцов Л.М. Явні двухшaговие методи Рунге-Кутта // Математичне моделювання. - 2009. - Т. 21. - № 9. -С. 54-65.

    37. Savcenco V. Construction of multirate roads methods for stiff ODEs // Journal of Computational and Applied Mathematics. -2009. - V. 225. - № 2. - P. 323-337.

    38. Hundsdorfer W, Savcenco V. Analysis of multirate theta-methods for stiff ODEs // Applied Numerical Mathematics. - 2009. -V. 59. - № 3-4. - P. 693-706.

    39. Hojjati G., Apdabili M.Y.R., Hosseini S.M. A-EBDF: An adaptive method for numerical solution of stiff systems of ODE // Mathematics and Computers in Simulations. - 2004. - V. 66. - № 1. -P 33-41.

    40. Філіппов С.С. ABC-схеми для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь // Доповіді РАН. - 2004. -Т. 399. - № 2. - С. 170-172.

    41. Podhaisky H., Schmitt B.A., Weiner R. Design, analysis and testing of some parallel two-step W-methods for stiff systems // Appl. Numerical Math. - 2002. - V. 42. - Iss. 1. - P. 381-395.

    42. Bahi J., Charr J., Couturier R., Laiymani D. A parallel algorithm to solve large stiff ODE systems on grid systems // International Journal of High Performance Computational Applications. - 2009. -V. 23. - № 2. - P. 140-159.

    43. Фельдман Л.П. Стійкі однокрокові блокові методи чисельного розв'язання жорстких ОДУ // Штучний інтеллект.- 2009. - № 1. - С. 213-217.

    44. Soderlind G., Wang L. Evaluating numerical ODE / DAE methods, algorithms and software // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2006. - V. 185. - № 2. - P. 244-260.

    45. Сучасні чисельні методи вирішення звичайних диференціальних рівнянь: Пер. з англ. / Під ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. - M .: Світ, 1979. - 312 с.

    46. ​​Вержбицький В.М. Чисельні методи (математичний аналіз і звичайні диференціальні рівняння). - M .: Вища школа, 2001. - 382 с.

    47. Арушанян О.Б., Залеткін С.Ф. Чисельне рішення звичайних диференціальних рівнянь на Фортране. - M .: Изд-во МГУ, 1990. - 336 с.

    48. Gear C.W. The automatic integration of ordinary differential equations // Communications of the ACM. - 1971. - V. 14. - № 3. -P. 176-179.

    49. Gear C.W. The Algorithm 407: DIFSUB for solution of ordinary differential equations [D2] // Communications ofthe ACM. - 1971. -March. - V. 14. - № 3. - P. 185-190.

    50. Nordsieck А. On Numerical Integration of Ordinary Differential Equations // Mathematics of Computation. - 1962. - V. 16. -№ 77. - Jan. - P. 22-49.

    51. Miranker W.L. The Computation Theory of Stiff Diffential Equations. Serie III. № 102. - Roma: IAC. Istitute per Le Applicazioni Del calcolo «Mauro Picone», 1975. - 120 p.

    52. Miranker WL. Numerical method for stiff equations and singular perturbation problem. - Reidel: Reidel Publishing Company, 1981.- V. 5. - № 1. - 205 p.

    53. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integrator of ordinary diferential equations // Math. Scand. - 1956. - V. 4. -P. 33-53.

    54. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT Numerilal Mathematics. - 1963. - V. 3. - № 1. - P. 27-43.

    55. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. - M .: Наука, 1989. - 320 с.

    56. Влах І., Сингхал К. Машинні методи аналізу та проектування електронних схем: Пер. з англ. - M .: Радио и связь, 1988. - 560 с.

    57. Shampine L.F., Thompson S. Stiff systems // Scholarpedia. 2007. URL: www.scholarpedia.org/article/Stiff_systems (дата звернення: 14.04.2010).

    58. Mott D., Oran E., B. L. A Quasi-Steady-State Solver for the Stiff Ordinary Differential Equations of Reaction Kinetics // Journal of Computational Physics. - 2000. - № 164. - Iss. 2. - P. 407-428.

    59. Cash J. Efficient numerical methods for the solution of stiff initial-value problems and differential algebraic equations // Proc. Royal Society Lond. - 2003. - V. 459. - P. 797-815.

    Надійшла 15.04.2010 р.

    УДК 517.9

    Коефіцієнтний ЗВОРОТНІЙ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛІНІЙНОГО Рівняння В ПРИВАТНИХ ПОХІДНИХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКУ

    Т.Д. Асилбек, М.К. Чамаш

    Ошський державний університет, Киргизстан E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Методом інтегральних рівнянь і стискають відображень, доведена коректність коефіцієнтний оберненої задачі для лінійного гіперболічного рівняння четвертого порядку з дійсними трикратними і простими характеристиками.

    Ключові слова:

    Коефіцієнтний зворотне завдання, функція Рімана, система інтегральних рівнянь, система інтегро-диференціальних рівнянь, коректність, векторна функція, метод стискають відображень.

    Key words:

    Coefficient inverse problem, Riemann function, the integral equation system, integro-differential equation system, correctness, vector function, contraction method.

    1. Постановка завдання. Дослідження коефіцієнтних обернених задач є одним з основних напрямків теорії обернених задач для диференціальних рівнянь. Огляд робіт, присвячених таким завданням, наведені, наприклад, в роботах [1-3]. Коефіцієнтний зворотні завдання для рівнянь в приватних похідних третього і четвертого порядків розглянуті в роботах [4-7].

    В області Б = {(х, у): 0<х<1, 0<у<Ц розглянемо лінійне рівняння в приватних похідних четвертого порядку

    іххху + «(У>ХХУ + А (КК + А2 (У)% +

    +71 (х, у) их + у 2 (х) Іу + 8 (х, у) і = / (х, у). (1)

    Крайові задачі, задачі Коші і Дарбу для рівняння (1) вивчені в роботах [8, 9].

    Нехай C + s (D) означає клас функцій, що мають безперервні похідні

    Завдання 1. Потрібно знайти коефіцієнт у2 (х) і рішення і (х, у)&С (Б) ПС + 1 (Б) рівняння (1), яке задовольняє початковим і крайовим умовам:

    і (х, 0) = т (х), 0 < х < I, (2)

    і (0, у) = Х1 (y), їх (0, у) = ХГ (у \ ІХХ (0, у) = Ре (уx 0 < у < До

    і (х, А) = у (х), 0 < х < I, (3)

    де а, А, А, у, 8, /, т, (/ = 1,3), у - відомі

    функції, причому


    Ключові слова: жорсткі системи звичайних диференціальних рівнянь /неявні методи /формули диференціювання назад /stiff systems of ordinary differential equations /implicit method /backward differentiation formulae

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити