В сучасних і перспективних цифрових телекомунікаційних системах знаходять широке застосування сигнали з M-ічной фазової маніпуляцією. У статті розглянуті різні методи розрахунку бітової ймовірності помилки при когерентном прийомі сигналів з M-ічной фазової маніпуляцією в каналі зв'язку з постійними параметрами і адитивним білим гауссовским шумом. поведені розрахунки бітової ймовірності помилки з точних і наближених формулах. Обґрунтовано рекомендації по вибору наближених формул для оцінки бітової ймовірності помилки.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - Зубарєв А.Е., Позов А.В., Приходько А.І.


CALCULATING METHOD ANALYSIS OF BIT PROBABILITY OF ERROR AT COGERENT RECEPTION OF SIGNALS WITH M-ARY PHASE MANIPULATION

In modern and promising digital telecommunication systems, signals with M-ary phase shift keying are widely used. The article discusses various methods for calculating the bit error probability for coherent reception of signals with M-ary phase shift keying in the communication channel with constant parameters and additive white Gaussian noise. The calculations of the bit error probability are carried out using exact and approximate formulas. Recommendations on the choice of approximate formulas for estimating the bit probability of error are justified.


Область наук:

  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології

  • Рік видавництва: 2019


    Журнал: Міжнародний науково-дослідний журнал


    Наукова стаття на тему 'АНАЛІЗ МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ бітів ІМОВІРНОСТІ ПОМИЛКИ ПРИ когерентного ПРИЙОМ СИГНАЛОВ З M-ічной фазової маніпуляції'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІЗ МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ бітів ІМОВІРНОСТІ ПОМИЛКИ ПРИ когерентного ПРИЙОМ СИГНАЛОВ З M-ічной фазової маніпуляції»

    ?DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.79.1.009

    АНАЛІЗ МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ бітів ІМОВІРНОСТІ ПОМИЛКИ ПРИ когерентного ПРИЙОМ

    СИГНАЛОВ З М-ковою фазової маніпуляції

    Наукова стаття

    Зубарєв А.Е.1 '*, Позов А.В.2, Приходько А.І.3

    1 ОЯСГО: 0000-0003-0615-3414;

    2 ОЯСГО: 0000-0001-6377-0756;

    3 ОЯСГО: 0000-0003-0108-8238;

    1 2 '3 Кубанський державний університет, Краснодар, Росія

    * Корреспондирующий автор (shorshett1708919latlyandex.ru)

    анотація

    В сучасних і перспективних цифрових телекомунікаційних системах знаходять широке застосування сигнали з М-ковою фазової маніпуляцією. У статті розглянуті різні методи розрахунку бітової ймовірності помилки при когерентном прийомі сигналів з М-ковою фазової маніпуляцією в каналі зв'язку з постійними параметрами і адитивним білим гауссовским шумом. Поведені розрахунки бітової ймовірності помилки з точних і наближених формулах. Обґрунтовано рекомендації по вибору наближених формул для оцінки бітової ймовірності помилки.

    Ключові слова: М-кова фазова маніпуляція, сигнальне сузір'я, код Грея, адитивний білий гауссовский шум, когерентний прийом, відношення сигнал-шум, символьна ймовірність помилки, побутова ймовірність помилки.

    CALCULATING METHOD ANALYSIS OF BIT PROBABILITY OF ERROR AT COGERENT RECEPTION OF

    SIGNALS WITH M-ARY PHASE MANIPULATION

    Research article

    Zubarev A.E.1, *, Pozov A.V.2, Prikhodko A.I.3

    1 ORCID: 0000-0003-0615-3414;

    2 ORCID: 0000-0001-6377-0756;

    3 ORCID: 0000-0003-0108-8238;

    1 2 '3Kuban State University, Krasnodar, Russia

    * Corresponding author (shorshett1708919 [at] yandex.ru)

    Abstract

    In modern and promising digital telecommunication systems, signals with M-ary phase shift keying are widely used. The article discusses various methods for calculating the bit error probability for coherent reception of signals with M-ary phase shift keying in the communication channel with constant parameters and additive white Gaussian noise. The calculations of the bit error probability are carried out using exact and approximate formulas. Recommendations on the choice of approximate formulas for estimating the bit probability of error are justified.

    Keywords: M-ary phase shift keying, signal constellation, Gray code, additive white Gaussian noise, coherent reception, signal-to-noise ratio, symbolic error probability, bit error probability.

    В даний час в цифрових телекомунікаційних системах широке застосування отримали сигнали з М-ковою (багаторазової) фазової маніпуляцією (МФМ) в силу своєї досить високою енергетичною і спектральної ефективності [1, С. 87], [2, С. 243], [8 , С. 228], [9, С. 206], [10, С. 148]. Сигнал з МФМ визначається виразом [2, С. 243], [10, С.150]

    s (t) = A 2 P (t - kT) cos (w0t + ak + ф0), (1)

    k = -у

    де A - амплітуда сигналу;

    fl при 0 < t < T,

    p (t) = L, rw t (2)

    [0 при t < 0, t > T

    - прямокутний відеоімпульс з одиничною амплітудою і тривалістю T; ak - передані М-ічние символи, кожен з яких при

    M = 2m (m = 1, 2, ...) (3)

    переносить

    m = log M (4)

    біт інформації і може приймати значення

    а; = 2 / - (М + 1) = + 1, + 3, ..., (М-1) (/ = 1,2, ..., М); (5)

    фа - девіація фази, що дорівнює половині різниці фаз Аф

    аф

    ф, = Аф,

    (6)

    величина якої вибирається таким чином, щоб вектори сигнального сузір'я були розташовані симетрично відносно початку координат, і становить

    ЛФ = -; (7)

    М

    ф0 - початкова фаза несучого коливання.

    Символи (5) передаються з однаковими можливостями

    Pia,) = - (l = 1, 2, ..., M) M

    (8)

    і кожному з них однозначно відповідає кодовий блок, що містить т двійкових символів (бітів)

    Р / = (Р / 1Д2, ... Д, ") ./= 1.2 ..... М (9)

    При описі сигналів з МФМ зазвичай розглядають векторні діаграми сигналів (сигнальні сузір'я), які представляють собою сукупність сигнальних векторів в декартовій системі координат з горизонтальною віссю, відповідної синфазної складової сигналу і вертикальною віссю, яка відповідає його квадратурной складової.

    Сигнальні сузір'я восьміфазного сигналу з МФМ при використанні натурального двійкового коду або коду Грея [1, С. 191] [3, С. 219], [10, С. 150] для кодування двійкових інформаційних послідовностей (9) представлені на рис. 1.

    М = 8

    011

    - (> -

    010 "Q01

    / S \

    1 \ / \

    IJO \ / ui °

    i / (ф N. /

    \ /

    \\ у

    4 ^ 1С 1 -

    - 4 Н -

    -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 Синфазна складова сигналу

    а б

    Мал. 1 - Сигнальні сузір'я сигналу з МФМ: а - натуральний двійковий код; б - код Грея

    Бачимо, що на відміну від натурального коду при використанні коду Грея виконавчі послідовності (9), відповідні сусіднім векторах сигнального сузір'я, відрізняються один від одного лише в одному розряді або, що те ж саме, відстань Хеммінга

    Лк (до + 1) = Л (Рк > Рк 1) при к = 1 2 "М і Рм + 1 = 01 (10)

    між двома сусідніми послідовностями і дорівнює одиниці. Оскільки найбільш вірогідною

    помилкою при прийомі сигналу з МФМ (символьної помилкою) є реєстрація сигналу, відповідного одному з сусідніх сигнальних векторів, то найбільш імовірною буде помилка лише в одному розряді відповідної комбінації двійкових символів (бітова помилка). Тому при формуванні сигналів з МФМ завжди використовується код Грея [1, С. 191], [2, С. 244], [10, С. 150].

    При оцінці завадостійкості когерентного прийому сигналів з МФМ (1) - (9) в каналі з постійними параметрами і адитивним білим гауссовским шумом (АБГШ) отримано ряд формул для розрахунку бітової ймовірності помилки.

    Мета роботи: провести порівняльний аналіз різних методів розрахунку бітової ймовірності помилки при когерентном прийомі сигналів з МФМ і визначити умови застосовності наближених формул.

    Точна формула для бітової ймовірності помилки, вперше отримана в [6, С. 490] і уточнена в [5, С. тисячу сімсот п'ятьдесят вісім], має вигляд

    1 м-1 _ р = -Е

    т

    к = 1

    де

    _ 1 м-1

    ^ = 77 Е а (Р., в + к) при Р, м = в,

    м I = 0

    (11)

    (12)

    - так зване середнє спектральний відстань [5, С. 1758], що представляє собою середнє відстань Хеммінга між переданої двійковій послідовністю в і іншими послідовностями, що відстоять від неї на до кроків вздовж окружності сигнального сузір'я;

    Р =

    ^ | Ехр | - - (і) ^ {е (л / 2и [(2К + 1) л / м])

    (13)

    -е (>/ 2и [(2К - 1) л / м])} АІ

    - ймовірність того, що при передачі послідовності в (символу Щ) приймається сигнальний вектор

    потрапить в к-ю область рішення, що представляє собою сектор шириною 2л / м радіан, центрований навколо кожної з сигнальних точок кола сигнального сузір'я;

    та й

    е (х) = 1 | е 2 АІ

    ;

    - б-функція Гаусса [1, С. 52] [2, С. 234], [8, С. 147], [10, С. 950];

    К = Е

    До N

    Е

    (14)

    (15)

    - відношення енергії довічного елемента сигналу Еь на вході демодулятора до односторонньої спектральної

    щільності потужності (інтенсивності) АБГШ N. Величина К є відношенням сигнал-шум,

    припадає на один біт інформації. В силу того, що тривалість М-ічного символу Т в т = м раз

    більше тривалості біта Т, енергія символу або елементу сигналу (1) на вході модулятора становить Е = тЕ'. Це означає, що величина (15) пов'язана зі ставленням сигнал-шум на символ

    до- = Е

    N0

    простим співвідношенням [1, С. 76], [2, С. 278], [8, С. 197]

    до 2

    К =

    к2

    1о ^ м т

    (16)

    (17)

    яке враховано у формулі (13).

    Як зазначено в [6, С.489], [8, С. 232], при такому розбиття на області рішення ймовірність символьної помилки становить

    р = Е Р к,

    к = 1

    а ймовірність правильного прийому символу дорівнює

    м-1

    р. = 1-Е р ^ '

    к = 1

    в силу того що сума ймовірностей (13) при к = 0, 1, 2, ..., М дорівнює одиниці:

    м

    мр = 1.

    к = 0

    (18)

    (19)

    (20)

    Формула (12) не зручна для розрахунків і тому в [5, С. 1759] з використанням того, що код Грея відноситься до класу рефлексних кодів [3, С. 220], отримано замкнутий вираз для обчислення середньої відстані:

    ак = 2

    к. (До --шп1; -

    м I м

    +

    2 Е

    к. (До --шп1; -

    21 I 21

    (21)

    де ШП1; (х) - найближче ціле до величини х.

    При визначенні ймовірностей р за формулою (13) необхідно обчислювати інтеграл з нескінченними межами і

    подинтегрального виразом, що містить б-функцію Гаусса (14). Тому в [8, С. 233] на основі альтернативного подання б-функції

    я

    12 (г2 ^

    Q (x) = - [exp - dQ, г > 0. (22)

    2

    2'1п2 е

    отримана еквівалентна формула, що включає інтеграли від елементарних функцій з кінцевими межами

    /

    інтегрування:

    1 я [1- (у / м 1 Г 2sin2 \ (2k - 1) я / M W

    - I exp \ -mh2-1. 2? I

    2а i I sin Q I

    про I - ^ J (23)

    1-Р-2 ^ г 251п2 [(2? +1), / М] | - 2, {ехр \ -тН2 - ^ -} "е •

    В [8, С. 233] також наведені розгорнуті вираження для бітової ймовірності помилки (11), що виходять з формули (21) при невеликих значеннях М:

    Р = 1 (Р + 2Р2 + р), М = 4; (24)

    Р = 1 (Р + 2Р2 + Р + 2Р4 + 3Р5 + 2р + р), М = 8; (25)

    1 X 8 7 Л

    X Р + Е Р + 5 Р + Р + 5р | , М = 16.

    | V * = 1 * = 2 У

    (26)

    При М = 4 формули (23), (24) з використанням уявлення (22) зводяться до простого висловом

    р, = а ШГ), <2 ')

    P = 2

    яке також визначає ймовірність помилки при когерентном прийомі сигналів з двійковій фазової маніпуляцією [1, С. 53], [2, С. 279], [8, С. 228], [10, С. 139].

    В силу того, що точні формули (11), (21), (23) досить складні, на практиці часто використовують різні наближені методи оцінки бітової ймовірності помилки.

    Найбільш широке застосування серед таких методів отримав метод, що складається в попередньому обчисленні

    символьної ймовірності помилки P і подальшому розрахунку бітової ймовірності помилки P за простою наближеною формулою [1, С. 91], [2, С. 278], [9, С. 210], [10, С. 157]

    P P

    P = P, (28)

    log M m

    де враховано рівність (4). Вираз (28) також випливає з рівності (11) і (18). Дійсно, оскільки в (11) величина ^ > 1, справедливо нерівність

    1 M-1

    P * 1Z P,

    m i = i

    з якого з урахуванням (18) випливає вираз (28).

    При використанні наближеної рівності (28) для розрахунку символьної ймовірності помилки, як правило, використовують найбільш просту наближену формулу [1, С. 90], [2, С. 281]

    P * 20 ^ Fsin- ^, (29)

    яка при підстановці (29) в (28) дає такий вираз:

    P - 2Q. (30)

    m ^ M)

    Замість наближеною формули (29) в (28) також можна використовувати точну формулу для символьного ймовірності помилки [2, С. 289], [8, 230]

    Р =

    (М-1) я / м (mh2 sin2 я / M ^

    (M-1) Я / м

    - I exp

    тг *

    До 0

    sin2 0

    dQ, (31)

    отриману в [4, С. 25.5.2] на основі альтернативного подання (22) ^ -функції Гаусса (14). В цьому випадку підстановка (31) в (28) дає наступне наближене вираження для бітової ймовірності помилки:

    (М-1) я / м з т'1'т2% / М Л

    2 1е. (32)

    (Ml -1) я / Ml

    P2 «- | exP

    ТТЮ1 "

    nm 0

    sin2 0

    y

    Нарешті, в [8, С. 234], [10, С. 158] приведена ще одна наближена формула, запропонована в [7, С. 183] з використанням простого геометричного підходу, заснованого на поняттях сигнального простору:

    P 'maxmo) і G 1 ^ ПЧ-г-) (33)

    При обліку тільки першого доданка формула (33) становить

    Рь «-0 [^ И ^ вт ^

    і збігається з виразом (30).

    В [7, С. 184] з використанням методу статистичного моделювання (методу Монте-Карло) була проведена

    перевірка точності формули (33) при 0 дБ < І ^ < 10 дБ і М = 16, 32. На підставі отриманих результатів було

    вказано, що при М > 4 у формулі (33) слід враховувати тільки перше і друге доданки, коли вона набирає вигляду

    Р

    2_ т

    01 ^ 2тН2ь 1 + 01 у / 2тН2ь

    81П-

    3%

    (34)

    Результати розрахунків залежностей бітової ймовірності помилки р 'від відносини сигнал-шум Іь2 з точних

    формулами (11), (21), (23) і по наближених формулах (30), (32), (33), (34) при М = 8, 16 і М = 32, 64 представлені на рис. 2 і рис. 3 відповідно. З графіків випливає:

    - формули (30), (32) дають нижню межу ймовірності помилки, а формула (33) - верхню;

    - формула (34) при М = 8 дає верхню межу, при М = 16 практично точні результати, а при М > 32 -нижнє кордон ймовірності помилки;

    - формула (30) при малих значеннях М дає кращі результати, ніж більш складна формула (32).

    М = 8

    М = 16

    10 "

    10

    1>про

    V про Хо

    '- \ о ч \ - • 1ч Ч>

    Точні ф-ли - - | Формула (30) | - | - Формула (32) Формула (33) про Формула (34)

    -2

    -20 -15 -10 -5

    0 а

    1 (1 і і 2, дБ I "^

    111 1 ^ 2, дБ

    Мал. 2 - Залежності ймовірності помилки від відносини сигнал-шум при різних значеннях М: а - М = 8; б - М = 16

    Таким чином, проведені розрахунки дозволяють зробити висновок про те, що найбільшу перевагу слід віддати простим наближеним формулами (30) або (34):

    - формула (30) дає точні результати при М = 8 і Іь2 > 0 дБ, при М = 16 і Іь2 > 4 дБ, при М = 32 і І > 8 дБ, при М = 64 і Іь2 > 13 дБ;

    - формула (34) дає точні результати при М = 16 і будь-яких значеннях І, при М = 8, М = 32 і І > 0 дБ, при М = 64 і И2 > 4 дБ.

    М = '2

    М = 64

    10 "

    10 '

    - - "Формула (30) | - • - Формула (32) Формула (33) про Формула (34)

    Pb

    10 "

    -20 -15 -10 -5

    15 ^

    10

    - - | Формула (30) | - | - Формула (32)

    ..... Формула (33)

    ° Формула (34)

    дБ

    -20 -15 -10 -5

    а

    про б

    15 h2, дБ

    Мал. 3 - Залежності ймовірності помилки від відносини сигнал-шум при різних значеннях М: а - М = 32; б - М = 64

    Не вказано.

    Конфлікт інтересів

    Conflict of Interest

    None declared.

    Список літератури / References

    1. Варгаузін В.А. Методи підвищення енергетичної та спектральної ефективності цифрового радіозв'язку / В.А. Варгаузін, І.А.Цікін. - СПб .: БХВ-Петербург, 2013. - 352 с.

    2. Голдсміт А. Бездротові комунікації / А. Голдсміт. - М .: Техносфера, 2011. - 904 с.

    3. Приходько А.І. Детерміновані сигнали / А.І. Приходько. - М .: Гаряча лінія-Телеком, 2013. - 326 с.

    4. Craig J. New, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations / J.Craig // Proc. Military Commun. Conf. 1991. November. P. 25.5.1-25.5.5.

    5. Lassing J. Computation of Exact Bit-Error Rate of Coherent M-ary PSK With Gray Code Bit Mapping / J. Lassing, E.G. Strom, E. Angrell and others // IEEE Trans. Commun. 2003. Vol. 51. № 11. P. 1758-1760.

    6. Lee P.J. Computation of the Bit Error Rate of Coherent M-ary PSK with Gray Code Bit Mapping / P.J. Lee // IEEE Trans. Commun. 1986. Vol. 34. № 5. P. 488-491.

    7. Lu J. M-PSK and M-QAM BER Computation Using Signal-Space Concepts / J. Lu, K.B. Letaief, J. C-I. Chuang and others // IEEE Trans. Commun. 1999. Vol. 47. № 2. P. 181-184.

    8. Simon M.K. Digital Communication over Fading Channels / M.K. Simon, M.-S.Alouini. - Hoboken: Wiley, 2004. -900 p.

    9. Simon M.K. Digital Communication Techniques: Signal Design and Detection / M.K. Simon, S.M.Hinedi, W.C.Lindsey. - Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1994. - 888 p.

    10. Xiong F. Digital Modulation Techniques / F. Xiong. - Boston - London: Artech House, 2006. - 1017 p.

    Список літератури англійською мовою / References in English

    1. Vargauzin V.A. Metody povyshenija jenergeticheskoj i spektral'noj jeffektivnosti cifrovoj radiosvjazi [Methods to improve the energy and spectral efficiency of digital radio] / V.A. Vargauzin, I.A.Cikin. - SPb .: BHV-Peterburg, 2013. - 352 p. [In Russian]

    2. Goldsmit A. Besprovodnye kommunikacii [Wireless Communications] / A. Goldsmit. - M .: Tehnosfera, 2011. - 904 p. [In Russian]

    3. Prihod'ko A.I. Determinirovannye signaly [Deterministic Signals] / A.I. Prihod'ko. - M .: Gorjachaja linija-Telekom, 2013. - 326 p. [In Russian]

    4. Craig J. New, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations / J.Craig // Proc. Military Commun. Conf. 1991. November. P. 25.5.1-25.5.5.

    5. Lassing J. Computation of Exact Bit-Error Rate of Coherent M-ary PSK With Gray Code Bit Mapping / J. Lassing, E.G. Strom, E. Angrell and others // IEEE Trans. Commun. 2003. Vol. 51. № 11. P. 1758-1760.

    6. Lee P.J. Computation of the Bit Error Rate of Coherent M-ary PSK with Gray Code Bit Mapping / P.J. Lee // IEEE Trans. Commun. 1986. Vol. 34. № 5. P. 488-491.

    7. Lu J. M-PSK and M-QAM BER Computation Using Signal-Space Concepts / J. Lu, K.B. Letaief, J. C-I. Chuang and

    others // IEEE Trans. Commun. 1999. Vol. 47. № 2. P. 181-184.

    8. Simon M.K. Digital Communication over Fading Channels / M.K. Simon, M.-S.Alouini. - Hoboken: Wiley, 2004. -900 p.

    9. Simon M.K. Digital Communication Techniques: Signal Design and Detection / M.K. Simon, S.M.Hinedi, W.C.Lindsey. - Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1994. - 888 p.

    10. Xiong F. Digital Modulation Techniques / F. Xiong. - Boston - London: Artech House, 2006. - 1017 p.


    Ключові слова: M-кова фазової маніпуляції /сигнальні СУЗІР'Я /КОД ГРЕЯ /Адитивний білий гаусів шум /когерентного ПРИЙОМ /СТАВЛЕННЯ СИГНАЛ-ШУМ /Символьний ЙМОВІРНІСТЬ ПОМИЛКИ /Бітів ЙМОВІРНІСТЬ ПОМИЛКИ /M-ARY PHASE SHIFT KEYING /SIGNAL CONSTELLATION /GRAY CODE /ADDITIVE WHITE GAUSSIAN NOISE /COHERENT RECEPTION /SIGNAL-TO-NOISE RATIO /SYMBOLIC ERROR PROBABILITY /BIT ERROR PROBABILITY

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити