Аналізується відображення параметричного багатогранника полінома в сектор ГM кореневої площині, що визначається числом m інтервальних коефіцієнтів. Знаходяться (2m? 2) вершин багатогранника, відображення яких в сектор ГM гарантує локалізацію в ньому всіх коренів інтервального полінома. Формулюються критерії локалізації коренів в заданому секторі Г при різних співвідношеннях його кута з кутом сектора ГM.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Гайворонський С. А., Замятін С. В.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2004


    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ


    Наукова стаття на тему 'Аналіз локалізації коренів інтервального полінома в заданому секторі'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз локалізації коренів інтервального полінома в заданому секторі»

    ?Зауваження 6.3. Всі побудови в даній статті в силу (3.5) проведені в припущенні, що з розгляду виключається випадок

    а = А3 А4 - А А3 = 0 «т'лт4 = 0, (6.6)

    коли точка А належить фокусної конику До \ 2 площині ЦШ2, а також випадок Я7 "= 0, коли площина Д стосується поверхні? 2, описуваної точкою А.

    Зауваження 6.4. В силу (6.6) або в разі, коли площину Ь \ стосується поверхні? 2 в точці А, відображення / 2: Ц ^ -Ь2 стає невизначеним.

    Зауваження 6.5. З визначення (4.4) і результатів даного пункту випливає наступна схема взаємозв'язку різноманіть V ", V!?,%, ^ 2 і ^ 22а (малюнок).

    Зауваження 6.6. Класифікацію різноманіть ^ д, зазначену на малюнку, будемо називати класифікацією Коші-Рімана.

    Зауваження 6.7. Результати, викладені в даній статті для двовимірного сімейства зосереджених площин в чотиривимірному евклідовому просторі, є відповіддю на зауваження в [1, С. 9].

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Івлєв Є.Т, Глазиріна Е.Д. Про двовимірному різноманітті зосереджених 2-площин в багатовимірному евклідовому просторі // Известия Томського політехнічного університету. -2003. -Т. 306. -№ 4. -С. 5-9.

    2. Норден А.П. Простори аффінной зв'язності. - М .: Наука, 1976. -432 с.

    3. Євтушик Л.Є., Лумісте Ю.Г, Остіану Н.М., Широков А.П. Диференційно-геометричні структури на многовидах // Проблеми геометрії. Підсумки науки і техніки. - М .: ВІНІТІ АН СРСР, 1979. - С. 7-246.

    4. Лаптєв Г.Ф. Диференціальна геометрія занурених різноманіть // Праці Московського математичного товариства. -М., 1953. -Т. 2. -С. 275-382.

    5. Фініков С.П. Метод зовнішніх форм Картана в диференціальної геометрії. - М .: ГІТТЛ, 1948. - 432 с.

    6. Александров И.А. Теорія функцій комплексної змінної. -Томск: Томський держ. ун-т, 2002. - 510 с.

    7. Аківіс М.А. Фокальні образи поверхонь рангу // Известия вузів. Сер. Математика. -1957. - № 1. - С. 9-19.

    8. Остіану Н.М. Про канонізації рухомого репера зануреного різноманіття // Rev. math. pures et appl. (RNR). -1962. -№ 2. -P. 231-240.

    УДК 681.5

    АНАЛІЗ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРЕНІВ ІНТЕРВАЛЬНОГО полінома У заданому секторі

    С.А. Гайворонський, С.В. Замятін

    Інститут "Кібернетичний центр" Томського політехнічного університету E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Аналізується відображення параметричного багатогранника полінома в сектор Гт кореневої площині, що визначається числом m інтервальних коефіцієнтів. Знаходяться (2m-2) вершин багатогранника, відображення яких в сектор Гт гарантує локалізацію в ньому всіх коренів інтервального полінома. Формулюються критерії локалізації коренів в заданому секторі Г при різних співвідношеннях його кута з кутом сектора Гт.

    Вступ

    Однією з основних проблем сучасної теорії робастного управління є розробка методів дослідження динамічних властивостей інтервальних систем [1, 2]. Зокрема, необхідний ефективний інструмент для оцінки гарантованих показників якості системи управління при інтервального невизначеності її параметрів.

    В [3] подібна задача сформульована як аналіз робастной відносної стійкості, яка передбачає різні варіанти локалізації коренів інтервального характеристичного полінома (ІХП). Очевидно, що їх приналежність певній галузі комплексної площині коренів обумовлює той чи інший рівень робастного якості управління в інтервального системі.

    Для аналізу робастної відносної стійкості широко застосовуються алгебраїчні і годину-

    Тотнем методи [1]. При цьому значно менше уваги приділяється використанню кореневих методів. Однак, згідно з [4-6], Робастное розширення кореневого підходу, засноване на властивостях кореневих годографов, може бути досить ефективним, а в деяких випадках і найкращим, для вирішення зазначеного завдання.

    1. Постановка завдання

    У даній статті розглядається відкритий сектор Г в лівій півплощині коренів, що задає область допустимої колебательности інтервального системи. Будемо вважати, що якщо коріння ІХП розташовуються в області Г, то интервальная система володіє заданою робастной секторної стійкістю. Для її аналізу можна використовувати результати роботи [7], де показано, що кордони областей локалізації коренів є образами оп-

    ределенном ребер багатогранника інтервальних коефіцієнтів. Однак такий підхід є досить трудомістким, оскільки пов'язаний з итеративной процедурою знаходження граничного реберного маршруту і подальшим аналізом його відображення в сектор Г. Тому становить інтерес розробка більш простих у застосуванні критеріїв локалізації коренів, які передбачають перевірки не ребер, а тільки певних вершин параметричного багатогранника ІХП.

    Розглянемо поліном

    D (s) = ans "+ an_1s" -1 + ••• + a0, (1.1)

    де всі або тільки частину коефіцієнтів, що мають безперервну послідовність індексів, є інтервальними. Нехай число таких коефіцієнтів одно m. Їх послідовність може бути записана у вигляді [ajf "-1, je {0,1,2, ... n-m + 1}. Утворений цими коефіцієнтами багатогранник Pm є прямокутним гіперпаралелепіпед з вершинами V, q = 1,2m. За аналогією з [7] ребра Pm позначимо Rq, де i - індекс інтервального коефіцієнта, q - індекс вершини, з якої по ребру змінюється а. Зауважимо, що при m = 2 багатогранник Pm є прямокутником, все ребра якого відображаються на межі областей локалізації коренів ІХП. Тому поставимо 3<m<n + 1.

    В [7] доведено, що якщо Pm утворений коефіцієнтами к] Г-1, je {0,1,2, ... n-m + 1}, 3<m<n + 1, і область S, re 1, n локалізації комплексного кореня ІХП лежить в секторі Tm з кутом n ± n / (m-1), то межами Sr є непересічні образи ребер Pm. Грунтуючись на цьому твердженні, в статті ставиться завдання: для ІХП порядку n, інтервальні коефіцієнти якого утворюють послідовність [a] 4 "-1, je {0,1,2, ... n-m + 1}, 3<m<n + 1, шляхом аналізу відображення вершин Pm в сектор Tm розробити умови локалізації коренів ІХП в секторі Г з кутом л ± у.

    2. Основне фазовий співвідношення

    Відповідно до [7] відображення Rq утворює реброву гілка RSq кореневого годографа з вузлами Ut на кінцях. При цьому кут виходу RSiq з комплексного вузла Ut при збільшенні at знаходиться за формулою

    ®q = 180 ° -X © г + © 0, (2.1)

    g = 1

    а при зменшенні ai

    © q = -jr © g + i © o, (2.2)

    ^ = 1

    де © g і © 0 - кути між речової віссю і векторами, спрямованими з Ut відповідно до g-ому полюсу і до i-им нулях, які мають однакові координати (0; g0). На підставі (2.1) і (2.2) доведено наступне твердження.

    Твердження 1. Якщо послідовність інтервальних коефіцієнтів [a;] j + m_1, je {0,1,2, ... n-m + 1},

    3<т<і + 1, задана чергуються межами, то кути виходу Яз? з і? утворюють послідовність [0?] + ТЧ, де 0?>0? +1,}<1<} + Ш-2.

    Доведення. Нехай дана послідовність -а + ^^ а + З, ... При зміні коефіцієнтів, що мають мінімальні значення в V ?, кути виходу з відповідних ребрових гілок на основі-

    вання (2.1) визначаються формулою

    У = п + (У + к) 0о -? 0, + 2п, (2.3)

    г = 1

    де (/ +?) - індекс інтервального коефіцієнта,? = 0,2,4, ..., 1 = 0,1,2,3, ... Для коефіцієнтів з індексами (/ +? + 1), що мають максимальні значення в V ?, відповідно до (2.2) маємо

    0] + ^ = (У + до + 1) 0о -? 0, + 2П1, (2.4)

    г = 1

    Припустимо, що виконується нерівність

    0? > 0? +1 > 0? + 2 > 0? + 3 > ... > 0? + 1. (2.5)

    З огляду на, що зміна кута на 2п не змінює розташування утворює цей кут променя, на підставі (2.3), (2.4) представимо (2.5) парами нерівностей

    (У + к) 0 "-? 0, + п > (У + до +1) 0 "-? 0 (2.6)

    ,= 1, = 1

    2п + (У + до +1) 0 "-? 0, > (У + до +2) 0 о-? 0, + п, (2.7)

    г = 1 г = 1

    де? = 0,2,4, ... З (2.6) і (2.7) після перетворень отримуємо умову: 00<п, при виконанні якого справедливо співвідношення кутів (2.5).

    Нехай для протилежних меж обмежень інтервальних коефіцієнтів також має місце співвідношення (2.5). Аналогічно воно може бути представлено парами нерівностей

    (У + к) 0о -? 0, + 2п > (У + до + 1) 0о -? 0, + п;

    г = 1 г = 1

    п + (У + до +1) 00-? 0 г > (У + до + 2) 00-? 0,.

    г = 1 г = 1

    В цьому випадку з кожного нерівності також отримуємо 00<п. Так як розташування комплексних коренів ІХП у верхній півплощині відповідає умові 00<п, то для будь-якого з них буде виконуватися співвідношення кутів (2.5). Вираз (2.5) назвемо основним фазовим співвідношенням.

    3. Аналіз відображення вершин багатогранника

    коефіцієнтів

    Для за формулами (2.1), (2.2) можна визначити т значень кутів 0 ?,; 'е 0, і, і розташувати їх у порядку зростання: 01,02, ..., 0т_1,0т. Тоді, згідно з [7], і буде належати кордоні Зг при виконанні умови:

    0шах -0шт < 180 °, (3.1)

    де 0тах 0т, 0тп 01.

    На підставі умови (3.1) доведено наступне твердження.

    Твердження 2. Якщо послідовність заданих граничних значень інтервальних коефіцієнтів [а;] + "_ 1, уе {0,1,2, ... і-т + 1}, 3<т<і + 1, можна розділити на дві послідовності: [А.-1 і [а, -] ^ "1, уе {1,2, ... Т_1}, в яких парні і непарні коефіцієнти мають протилежні межі, то комплексний корінь ІХП в секторі Гт є граничним кореневих вузлом області локалізації відповідного кореня.

    Доведення. Розділити послідовність ара + 1, а + Т_1 зазначеним чином можливо в двох випадках, якщо:

    1) коефіцієнти ІХП задані строго чергуються межами;

    2) тільки два поруч стоять коефіцієнта ІХП задані однотипними межами.

    Для першого випадку на підставі затвердження 2 і виразів (2.1), (2.2) кути 0шах і 0 ^ при 0о<пі мінімальному значенні а. знаходяться за формулами

    © max = П + j®0 -X®? + 2П g = 1

    (3.2)

    ®min = O '+ m - 1) ®0 - (m - 2) n-X® g + 2nl; (3.3)

    g = 1

    а при максимальному a}

    © max = j®0 - ^ ®g + 2nl;

    (3.4)

    Збіг чи протилежність меж обмежень а + _ і а. визначається парністю т. В (3.8) це може бути враховано складовою (т-2) п. В результаті перетворення (3.8) отримуємо нерівність

    Про '+ т _ 1) 0о -' 0о + п (т _ 2) > 0,

    рішенням якого є

    0о > (П_ -ПП-).

    т _1

    Таким чином, при (п -) < 0о < п має місць _1

    то співвідношення кутів

    ®q >®q , > ... >®q , >®q > .

    j + r j + г +1 j + m -1 j

    | >© + r -1,

    В = 1

    '0о _ (' + т _ 1) 0о + п (т -1) <п (3.5)

    При (3.2) і (3.3) умова межовості (3.1) набуває вигляду

    п + '0о - (' + т _ 1) 0о + п (т _ 2) < п; (3.6)

    а при (3.4) і (3.5)

    '0о _ (' + т _ 1) 0о + п (т -1) <п (3.7)

    Після перетворень (3.6) і (3.7) отримуємо 0о > (П -). Таким чином, (п -) < 0о < п, що

    т-1 т _1

    відповідає для першого випадку ІХП виконання (3.1) в секторі Гт.

    Нехай у другому випадку однотипні межі обмеження мають коефіцієнти а + _ і а + г, ге {1,2, ... т-1}, і між ними проходить межа поділу послідовності арар1, а + "_ 1 на дві послідовності коефіцієнтів. Їм відповідають послідовності кутів: 0], 0] +1, ..., 0 + _1 і 0 +, 0? + Ж, ..., 0? + Т_1. Оскільки коефіцієнти а., А + 1, а 1 + "_ 1 задані чергуються межами, то при 0о<п виконується нерівність 0р-0? +1>...>0? + М. Аналогічно для другої послідовності маємо 0? >0? > >0?

    ^] + Г>^] + Г + \>...>^] + Т-1.

    Нехай 0? + Т_1>0 |. Визначимо діапазон 0о, при якому виконується нерівність

    0? + Т_1 _0? > 0. (3.8)

    г е {1,2 ... т _1}. (3.9)

    Крайні кути (3.9) відповідають двом поруч стоять в ІХП інтервальним коефіцієнтами з однотипними межами. Різниця цих кутів дорівнює 00. Так як 0о< п, отже кореневий вузол і для другого випадку ІХП є граничним в секторі Гт.

    З вершин Рт виділимо істотні, які відповідають наведеним в утвердженні 2 вимогу до послідовності координат. Для цього складемо таблицю, рядками якої будуть коефіцієнти в порядку зростання їх індексів. Правило складання таблиці наступне. У першому рядку записуються строго чергуються межі коефіцієнтів, починаючи з будь-якої межі а. У кожній наступній рядку в порівнянні з попередньою змінюється межа тільки одного коефіцієнта (по черзі, починаючи з першого). Після отримання в т + 1 рядку меж, протилежних першому рядку, зміна меж повторюється в тому ж порядку. Як приклад нижче наведена таблиця істотних вершин для ІХП третього порядку, все коефіцієнти якого є інтервальними.

    Таблиця. істотні вершини

    Номер вершини Координати вершини

    1 Оо а1 ° 2 а3

    2 а0 а1 ° 2 а3

    3 а0 а1 ° 2 а3

    4 ат а1 а2 а3

    5 ат а1 а2 а3

    6 а1 а1 а2 а3

    7 ат а1 а2 а3

    8 ат а1 а2 а3

    Так як в двох сусідніх рядках таблиці виявляються координати вершин одного ребра Рт, то можна зробити висновок, що дана таблиця задає замк-

    нутий реберний маршрут з 2т граничних ребер, що зв'язують 2т вершин Рт.

    В результаті подальшого аналізу відображення істотних вершин доведено наступне твердження.

    Затвердження 3. Якщо послідовність інтервальних коефіцієнтів [а] * "- 1, уе {0,1,2, ... і-т + 1}, 3<т<і + 1, задана чергуються межами, то комплексний корінь ІХП є граничним кореневих вузлом області локалізації тільки в секторі Гт.

    Доведення. Нехай розглядається корінь ІХП є внутрішнім кореневим вузлом. Тоді різниця 01Ш_01тппрі виконанні (3.2) і (3.3) задає нерівність

    п + у0о _ (у + т _ 1) 0о + п (т _ 2) > п,

    а при (3.4) і (3.5)

    У0о _ (У + т _ 1) 0о + п (т _1) >п

    Рішенням обох цих нерівностей є умова 0о < (П -), при якому комплексний кіт _1

    рень ІХП лежить поза сектором Гт. Таким чином, з урахуванням затвердження 2 образ даної вершини Рт є граничним кореневих вузлом тільки в секторі Гт.

    4. Критерії локалізації коренів в заданому секторі

    Очевидно, що аналіз відображення всіх граничних ребер Рт дозволяє оцінити робастний секторну стійкість ІХП. Однак авторами встановлено, що зробити це можна з меншими обчислювальними затратами шляхом розгляду тільки деяких з істотних вершин Рт. Підставою для такого висновку є наступні два твердження.

    Затвердження 4. При відображенні q>: Gjf ^ |S реберні гілки можуть перетинатися з особливим променем, що виходить з початку координат під кутом т = п _ ^ - п-Т, тільки в одній точці.

    \ / - а

    Доведення. Нехай Реброва гілка перетинається з особливим променем в двох точках: з1 = а + ур, Sг = n + jp. Це, згідно [7], означає, що відповідне ребро межі О / перетинають дві паралельні особливі прямі, які відображаються в ^ і з2. Нехай зазначені прямі описуються рівняннями

    П / а = р / р.

    (4.2)

    АА Яе + а / Яе я / + Яе

    АА Яе я2 + а / Яе + Яе

    Е + Е аРя2

    = О;

    = про,

    для яких виконується умова паралельності Яе / Яея2 / = Яе ^ / Яе? 2. (4.1)

    Належність ^ і з2 особливому променю визначається умовою

    На підставі (4.2) можна записати: ^ 1 = в ((а / в) + у), я2 = р ((а / р) + у). Тоді співвідношення (4.1) набуде вигляду

    Яе (ВУ ((а / р) + у) у) = Яер ((а / р) + у))

    (4.3)

    Яе (р ((а / р) + 'У) яе (р ((а / р) + У)')

    Після перетворень (4.3) отримуємо

    (В / р) / = (р / р) А. (4.4)

    Рівність (4.4) при справедливо тільки при в = р. Тоді, згідно з (4.2), а = п, з чого слід ^ 1 = ^ 2.

    Таким чином, Реброва гілка може перетинати особливий промінь тільки в одній точці, і тоді її граничні кореневі вузли будуть лежати по різні боки від променя.

    Затвердження 5. Якщо координатами вершини Уч є чергуються межі інтервальних коефіцієнтів, то відповідний кореневої вузол і не може один лежати поза сектором Гт.

    Доведення. Якщо тільки один кореневий вузол області локалізації комплексного кореня лежить за межами сектора Гт, то згідно [7] він повинен бути граничним. Так як розглянутий вузол і на підставі затвердження 3 є граничним тільки в секторі Гт, то не може один лежати поза сектором Гт.

    Затвердження 4 дозволяють при аналізі локалізації коренів ІХП в секторі Гт перейти від відображення реберного маршруту до аналізу розташування образів істотних вершин. На підставі затвердження 5 з цих вершин досить розглянути (2т-2) вершин, у яких в послідовності інтервальних координат тільки два поруч стоять коефіцієнта задані однотипними межами. Назвемо такі вершини перевірочними і позначимо V? *.

    Попадання коренів з ^ -а + ур,; е 1, і, в заданий сектор Г будемо оцінювати по кутах у; = агс1? (В / а;). В

    п

    Залежно від співвідношення кутів у і ГТ =-----------

    т _ 1

    справедливі наступні критерії локалізації коренів ІХП.

    Необхідний і достатній критерій. Якщо інтервальні коефіцієнти ІХП і-го порядку утворюють послідовність [а] * - 1, у'е {0,1,2, ... і-т + 1}, 3<т<і + 1, то для локалізації коренів ІХП в секторі Г з кутом ПФУ, 0<у<ут, необхідно і достатньо, щоб вершини V? відображалися в ліву полуплоскость і для їх образів з ^ -а + ур,; е1, і, виконувалися нерівності у<у.

    Достатній критерій. Якщо інтервальні коефіцієнти ІХП і-го порядку утворюють послідовність [а;] у '+ т ~ 1, у'е {0,1,2, ... і-т + 1}, 3<т<і + 1, то для локалізації коренів ІХП в секторі Г з кутом шу, ут<у<90 °, досить, щоб вершини V * відображалися в ліву полуплоскость і для їх образів ^ = - а + урь; е 1, і, виконувалися нерівності у<ут.

    висновок

    Для аналізу гарантованої колебательности інтервального системи, ІХП якої має т інтервальних коефіцієнтів, розроблені критерії локалізації коренів ІХП в заданому секторі Г. Показано, що для їх застосування немає необхід-

    мости сканувати кордону областей локалізації всіх коренів з використанням методу реберної маршрутизації. Для цього достатньо перевірити лише коріння (2т-2) вершинних полиномов, у яких в послідовності інтервальних коефіцієнтів тільки два поруч стоять коефіцієнта задані однотипними межами.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Гусєв Ю.М., Єфанов В.М., Кримський В.Г., Рутковський В.Ю. Аналіз і синтез лінійних інтервальних динамічних систем (стан проблеми). Аналіз з використанням інтервальних характеристичних поліномів // Известия АН СРСР Технічна кібернетика. -1991. - № 1. - С. 3-23.

    2. Поляк Б.Т, Щербаков П.С. Робастний стійкість і управління. - М .: Наука, 2002. - 303 с.

    3. Вукосавіч С.Н., Стоїч М.Р Достатні умови робастної відносної стійкості лінійних безперервних систем // Автоматика і телемеханіка. -1996. - № 11. - С. 84-91.

    4. Кореневі методи дослідження інтервальних систем / Под ред. ГВ. Римського. - Мінськ: Інститут технічної кібернетики НАН Білорусі, 1999..

    5. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H. Root location of an entire polytope polynomials: it suffices to check the edges // Proc. Amer. Contr. Conf. - Minneapolis: MN, 1987.

    6. Вадутов О.С., Гайворонський С.А. Визначення меж областей локалізації нулів і полюсів системи з інтервальними параметрами // Известия Томського політехнічного університету. -2003. -Т. 306. -№ 1. -С. 64-68.

    7. Вадутов О.С., Гайворонський С.А. Застосування реберної маршрутизації для аналізу стійкості інтервальних полиномов // Известия РАН. Теорія і системи управління. -2003. - № 6. -С. 7-12.

    УДК 621.37

    ДОСЛІДЖЕННЯ нелінійного перетворення детермінованих надширокосмугові СИГНАЛОВ ШЛЯХОМ лінійного комбінування ВІДГУКІВ ОБ'ЄКТА НА ЛІНІЙНО ЗОВСІМ ТЕСТОВІ СИГНАЛ

    Е.В. Семенов

    Томський державний університет систем управління та радіоелектроніки E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Розглянуто дослідження нелінійності перетворення детермінованих сигналів об'єктом шляхом послідовного впливу на нього двома лінійно залежними сигналами і реєстрації лінійної комбінації відгуків об'єкта на ці сигнали. Показана можливість при такому підході виділити нелінійну складову відгуку об'єкта, що вносить лінійні спотворення сигналу зі складною частотної залежністю (в тому числі змінюються в часі), на детерміновані надширокосмугові (в тому числі імпульсні) сигнали із суцільним спектром.

    Вступ

    Застосування надширокосмугових сигналів для дослідження нелінійних властивостей об'єктів дозволяє досліджувати нелінійні властивості пристроїв в надширокосмугових системах зв'язку і локації по відношенню до сигналів, з якими такі системи реально працюють (нелінійність об'єктів проявляється по-різному при впливі на них різних сигналів). В [1] показано переваги многочастотного сигналу в нелінійній локації, це викликає інтерес і до дослідження особливостей застосування надширокосмугових сигналів в якості зондувальних для нелінійної локації.

    Мета даної статті - розглянути дослідження нелінійності перетворення сигналів об'єктом із застосуванням надширокосмугових тестових сигналів.

    1. Постановка завдання

    Лінійне перетворення описується рівнянням:

    и (а) = К (а) х (а), (1)

    де х (а) - спектр тестового сигналу, и (а) - спектр відгуку об'єкта, а - кругова частота, К (а) - постійний для конкретної частоти комплексний коефіцієнт, а знак рівності розуміється як тожество щодо х (а). Перебір всіх можливих х (а) практично неможливий, тому доказ лінійності перетворення не представляється реальним, але якщо виявляється порушення (1) хоча б для деяких х (а), то це свідчить про нелінійність перетворення. Як зазначено в [2], для будь-якого и (а) ^ С не існує К (а), звертає (1) в рівність, тільки в тому випадку, якщо х (а) = 0. Тому, для того щоб відмінності не-


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити