Розглянуто коливання незаповненою сферичної порожнини, розташованої в пружною середовищі, при яких зберігається її обсяг, а центр періодично зміщується. Проведено аналіз частотної залежності амплітуди коливань, викликаних результуючої осциллирующей силою, що впливає на стінки порожнини і пов'язаної з хвильовими рухами вміщає середовища. Шляхом обліку практично можливих значень пружних параметрів, що охоплюють випадки жорсткої і водоподобной середовища, а також два типи граничних умов прослизає сфера і вмороженная сфера, досліджені можливості появи резонансного максимуму в частотній залежності коливального відгуку. Дається порівняння з коливальними характеристиками пульсуючого сферичної порожнини.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Заславський Юрій Михайлович


Analysis of oscillations of a spherical cavity located in elastic media

Oscillations of an empty spherical cavity located in an elastic medium are considered in this paper. The cavity volume remains constant while its center is periodically displaced by the oscillations. The frequency dependence of the amplitude of oscillations caused by the resulting force acting on the cavity walls and occurring due to the wave motion in the medium is analyzed. The possibility of the reso-nance maximum appearance in the frequency dependence of the oscillation response is investigated. All possible elastic parameters corresponding to the materials with the properties including both solid and water-like media and to two types of the boundary conditions such as a slipping sphere and a frozen sphere are employed in the analysis. A comparison with the oscillation characteristics of a pulsating spherical cavity is also presented.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2003
    Журнал
    Технічна акустика
    Наукова стаття на тему 'Аналіз коливань сферичної порожнини, розташованої в пружною середовищі'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз коливань сферичної порожнини, розташованої в пружною середовищі»

    ?Електронний журнал «Технічна акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/

    2003 8

    Ю.М. Заславський

    Інститут прикладної фізики Російської академії наук

    Росія, 603950, Н. Новгород, вул. Ульянова, 46, е-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Розглянуто коливання незаповненою сферичної порожнини, розташованої в пружною середовищі, при яких зберігається її обсяг, а центр періодично зміщується. Проведено аналіз частотної залежності амплітуди коливань, викликаних результуючої осциллирующей силою, що впливає на стінки порожнини і пов'язаної з хвильовими рухами вміщає середовища. Шляхом обліку практично можливих значень пружних параметрів, що охоплюють випадки жорсткої і водоподобной середовища, а також два типи граничних умов - прослизає сфера і вмороженная сфера, досліджені можливості появи резонансного максимуму в частотній залежності коливального відгуку. Дається порівняння з коливальними характеристиками пульсуючого сферичної порожнини.

    У зв'язку з підвищеним інтересом до розробки нових підходів при вирішенні актуальних сучасних проблем неруйнівного дистанційного контролю матеріалів, медичної діагностики, геоакустических проблем, пов'язаних з сейсмоакустичних зондуванням підземних інженерних споруд і ряду інших, виникає необхідність встановлення та перегляду деяких модельних задач, вирішення яких дасть ключ до розробці нових високоефективних способів активного зондування неоднорідностей в пружних середовищах [1]. До їх числа відносяться завдання щодо визначення коливальних характеристик локальних неоднорідностей найпростішої форми, розташованих неглибоко під поверхнею грунту. Практичний інтерес представляє пошук частот основних типів власних коливань, що здійснюються локальними неоднорідностями, що знаходяться в навколишньому пружною середовищі. Важливу роль відіграють коливання тіла, при яких його центр циклічно переміщається, обсяг залишається незмінним, а повертає силою є пружна реакція навколишнього середовища, що виникає за рахунок деформації її частинок в області, що примикає до кордону контакту. При активному зондуванні неоднорідностей в ґрунті використовується змінне в часі силовий вплив, яке може бути обумовлено, зокрема, пружною поздовжньої хвилею, що падає на неоднорідність і породжує вимушені коливання, спрямовані вздовж хвильового вектора, які при збігу по частоті з власної викличуть резонанс. Проведений в даній роботі аналіз присвячений реше-

    Аналіз коливань сферичної порожнини, розташованої в пружною середовищі

    Отримано 05.02.2003, опублікована 04.03.2003

    ВСТУП

    нию завдання відшукання частоти власних коливань зазначеного типу, яку здійснюють сферичної порожниною в пружному просторі, які в даному разі аналогічні резонансним коливанням масивного тіла, що лежить на поверхні пружного півпростору - так званим коливань Вінклера.

    ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ І РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКУ

    Вихідними для розрахунку є отримані в [2] просторові залежності для коливальних переміщень і напружень в пружною середовищі, що містить тіло сферичної форми радіуса a, центр якого при коливаннях періодично зміщується з рівноваги уздовж прямолінійного відрізка. Розглядаються малі коливання u << a, при яких сферичний обсяг і форма зберігаються. На їх основі отримано зв'язок зміщення u з амплітудою осциллирующей сили F, з якою сфера діє на середу, а її наслідком є ​​вираз для узагальненої пружності системи: «порожнину-середовище» у вигляді

    _ F _ 4лі ^ р2 {(1 - / а) (б-6 / {- 3 ^ 2 + ip3) + 2 (1-в) (б-Иа-2А2)

    к_ u ~ ба-а) ()

    для моделі «прослизають» сфера,

    _ F _ 4т ^ р2 {(1 - / 'а) (е - 3 {- В2) + 2 (1-в) (з - 3iа-А2)}

    К_ u ~ 3 {(2 - {а -а2) з - 3 / 'в - В2) - 2 (1 - iв) - 3iа-А2) ()

    для моделі «вмороженная» сфера, де а_ш | cl, в_oa | ct, ^ _ р ^, О - частота впливу, р - щільність середовища, cl, ct - швидкості поширення поздовжньої і сдвиговой хвиль.

    Маючи на увазі випадок неоднорідності у вигляді пустотілої сферичної порожнини, якій, очевидно, відповідає перша з двох представлених моделей, обчислимо пружний відгук на гармонійну силу з використанням обох формул (1), (2), що дасть можливість їх порівняння. Аналіз частотної залежності реальної та уявної частин висловлювання 3к / 4тл ^ В2 для обох моделей показує, що обидві ці величини мають полюс при нульовому значенні частоти О, але реальна його частина може мати також і нуль при деякому реальному значенні частоти. Наявність резонансу пов'язується саме з нулем реальної частини узагальненої пружності системи, однак цей нуль, як показує аналіз, виникає не при будь-яких значеннях відносини cl | ct (наприклад, він ще

    відсутня при cl | ct - середовище Пуассона), а лише коли зазначена дріб переви-

    шает величину cl / ct ~ 3. У цьому випадку значення кореня складає в ~ 4 і воно залишається практично незмінним при зростаючому значенні cl | ct. Коливальний відгук на гармонійне силовий вплив обчислений за формулами (1), (2). Відповідні графіки на рис. 1а, б - cl | ct ~ - \ / 3, рис. 2а, б - cl | ct ~ 3, рис. 3а, б - cl | ct ~ 5, рис.4а, б - cl | ct ~ 10 дають частотну залежність амплітуди коливального зміщення-

    ня, причому індексом «а» позначені графіки з результатами обчислення по першій з моделей, а результати обчислення по другій з моделей представлені графіками на малюнках з індексом «б». З малюнків видно, що в разі сферичної неоднорідності, у якій виконується умова прослизання на кордоні, у міру «розм'якшення» середовища на частотної залежності відгуку системи позначається резонансний пік, пов'язаний з даним типом коливань, який все більше загострюється і виділяється за рівнем. Аналогічний перехід до випадку все більш водоподобной середовища практично не викликає резонансного відгуку, коли мають місце умови вморожени-ності неоднорідності в середу. Таким чином, застосування однієї з моделей неоднорідності, оточеної досить м'якою середовищем, демонструє поява власних коливань дипольного типу, причому чисельний розрахунок, як видно, дозволяє вказати і значення відповідної власної частоти, збіг якої з частотою вимушеного впливу забезпечить умова резонансу у відгуку системи. Ширина резонансного відгуку характеризує добротність системи, пов'язану з випромінювальні-ми втратами. Реально, при наявності додаткових, дисипативних втрат ширина піку буде дещо більшою, ніж вона представлена ​​на отриманих графіках. Ряд експериментів з дослідження параметрів поширення пружних хвиль в матеріалах або в штучних м'яких середовищах, що містять множинні пустотні моно-розмірні неоднорідності [3], виявляють можливість ефективного гасіння пружних коливань в певному частотному інтервалі, пов'язаного, очевидно, з резонансним розсіюванням на неоднорідностях розглянутого типу. Це підтверджує також перевагу вибору на користь моделі прослизання, коли неоднорідністю, наприклад, є порожнина з повітряним заповненням.

    Оцінимо значення резонансної частоти і добротності коливань системи «порожнину-середовище» стосовно до деяких цілком реальним умовам, типовим, наприклад, при проведенні розвідувальних робіт, що передують підготовку майданчика під будівництво, коли в приповерхневої зоні грунту можуть зустрітися порожнини, пов'язані з присутністю залишків колишніх фундаментів або комунікаційних мереж, т. е. порожнині техногенної природи. Переймаючись параметрами a = 0.05 ... 0.1 м, ct = 180 м / с, з

    рівності в - 4 отримуємо f '= 2cJ na - 1.15 ... 2.3 кГц, т. е. в пустотних порожнинах в грунті, що мають радіус a ~ 5 ... 10 см, можуть збуджуватися власні коливання дипольного типу з частотами в інтервалі перших кілогерц. Добротність коливань в такій системі може бути оцінена як по ширині смуги, так і по відношенню пікового значення до значення на резонансній частоті, що належить згладжує кривої, що з'єднує початок координат в частотній характеристиці вібросейсміческого відгуку з лінією, що продовжує хід кривої відразу за межами резонансного піку. Так, для графіка на рис. 4а згадане відношення - це 4.8 / 1.3 «3.7, що і дає оцінку добротності Q (1) ~ 3 ... 4, характерною для випадку м'якої середовища, де cjct ~ 10. Грунтуючись на отриманих даних, також можливо прогнозувати резонансні частоти в сейсмічному відгуку при сейсмічному зондуванні геологічних структур верх-

    ній частині розрізу з метою виявлення пустотних аномалій природною, наприклад, карстової природи в ґрунтовій товщі.

    Цікаво порівняти знайдене значення власної частоти з аналогічним значенням, відповідним пульсаційним, симетричним коливанням сферичної порожнини, т. Е. Коливань монопольного типу. Відомо [2], що резонансна частота сферически симетричних коливань такої порожнини дається співвідношенням О * ~ 2ct / a,

    f * ~ з {/ па т. е. виявляється приблизно вдвічі нижче, ніж у коливань дипольного типу. При тих же параметрах середовища і розмірах неоднорідності це дасть чисельне значення порядку 0.5 ... 0.6 кГц. Добротність симетричних коливань при аналогічному обліку

    тільки випромінювальних втрат дається як Q (0) _ з1 / 2с (, що в нашому випадку складе

    Q (0) _ 5, т. Е. Кілька більш високе значення, ніж для коливань дипольної форми.

    Нарешті, на закінчення доречно зауважити, що при наявності повітряного заповнення в порожнині можуть виникнути повітряно-акустичні коливання з різними формами симетрії. Звернемо увагу лише на одну з таких форм, саме, (1, 1) - т. Е. З однією варіацією по куту і при відсутності в порожнині проміжних сфер з нульовою колебательной швидкістю, яка має нижче значення власної частоти і найбільш близька за формою до дослідженим вище коливань у навколишньому пружною середовищі. Відповідне цій формі коливань значення власної частоти визначається з умови [4] 2ц [па1с _ 2.08, де з ~ 340 м / с - швидкість звуку в повітрі. Звідси легко встановити, що при а _ 0.05 ... 0.1м значення власної частоти буде перебувати в інтервалі _ 2.25 ... 4.5 кГц. Видно, що позначений частотний інтервал дуже близький до аналогічного інтервалу, куди можуть потрапити відповідні значення частот власних коливань дипольної форми пружною сферичної порожнини. Отже, викладене вище може розглядатися як передумова того, що при більш точному розрахунку можливих значень відповідних частот власних коливань в такий сукупної системі, як повітряно заповнена порожнина в пружною середовищі, останні будуть лежати саме в позначених межах. Разом з тим, при проведенні більш коректної процедури вирішення завдання про резонансні пружних коливаннях навіть найперших номерів цієї повної системи, яка передбачає зшивання нормального напруги в стінці і повітряного акустичного тиску, а також нормальних компонент швидкості коливань по різні боки сферичної кордону, зустрічаються деякі обчислювальні складності . Незначна кількість літературних даних про резонансні частотах акустичних коливань в розглянутій системі, очевидно, і пояснюється цими складнощами.

    ВИСНОВКИ

    Актуальність проблеми неруйнівного дистанційного контролю матеріалів, як і геоакустических проблем, пов'язаних з сейсмоакустичних зондуванням підземних інженерних споруд і неоднорідностей, викликає необхідність удосконалення активних систем звуко- і сейсмоакустического «бачення», що застосовуються при інженерної сейсмічної зйомки, що дає уявлення про геологічну структуру, про літології, про характер і склад аномалій, можливо присутніх в приповерхневої ґрунтової товщі на майданчику, обраної під будуєте ьство промислових, енергетичних і транспортних споруд. У зв'язку з цим результати теоретичного аналізу, отримані в даній роботі, можуть становити практичний інтерес, демонструючи можливість прогнозу, а в подальшому і раціонального вибору робочого частотного діапазону сейсмоакустических пристроїв пошуку. Як обгрунтування або оптимізації частотного інтервалу при виявленні природних і штучних неоднорідностей в ґрунті зроблений аналіз резонансних частот сейсмоакустического відгуку, на прикладі резонансу дипольних коливань в найпростішої маломасштабної ідеалізованої коливальній системі «порожнину-грунт». Проведений аналіз, безумовно, не вичерпує можливості свого подальшого розвитку, наприклад, стосовно ситуації, коли необхідний облік впливу на характер і частоту коливань порожнини близько розташованої вільної поверхні грунту. Практичний інтерес для розвідувальної, зокрема, рудної сейсміки, ймовірно, можуть представляти аналогічні завдання аналізу коливальних характеристик, коли неоднорідністю є чужорідне тіло або група тіл, що відрізняються від навколишнього середовища параметрами щільності або пружності.

    Робота виконана за підтримки РФФД (проект № 02-02-17089).

    ЛІТЕРАТУРА

    1. В. С. Авербах, В. В. Артільний, Б. Н. Боголюбов, Ю. М. Заславський, В. Д. Кукушкін, А. В. Маришев, Ю. К. Постоенко, В. І. Таланов сейсмоакустичними зондування штучних неоднорідностей в ґрунті // Акустичний журнал, 2001., 47, №4, с. 437-441.

    2. М.А.Ісаковіч Загальна акустика. М .: Наука, 1973, 450 с.

    3. А.В.Іонов Засоби зниження вібрації і шуму на судах. С.-Петербург .: Изд-во ЦНДІ ім. акад. А. Н. Крилова, 2000., 348 с.

    4. С.Н. Ржевкін Курс лекцій з теорії звуку. М .: изд. МГУ, 1960.

    Апа ^ В2 і

    Мал. 1 а, б (з1 / сі = - \ / 3)

    4тацв2 і 3

    4лацв2 і 3

    Мал. 2 а, б (з1 / сі = 3)

    3

    4лацв2 і 3

    Мал. 4 а, б (сг / с {= 10)

    Мал. 1, 2, 3, 4. Частотні залежності рівня коливального відгуку порожнини на гармонійне вплив у випадках різної жорсткості середовища (з1 / з1). Індекс «а» -модель «прослизає» сфери, індекс «б» - модель «вморожених» сфери


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити