Запропоновано обчислювальний алгоритм аналізу коливальних режимів в нелінійних неавтономних динамічних ланцюгах на основі узагальнених портретів диференціальних та амплітудно-фазових спектрів їх реакцій. Обчислювальну основу алгоритму становить розрахункова схема аналітично-чисельного методу. наведено приклад.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Бичков Ю.А., Щербаков С.В.


Analysis of oscillatory modes in nonlinear on-line electric circuits on the basis of the generalized portraits of differential and peak-phase spectra of their reactions

The computing analysis algorithm of oscillatory modes in nonlinear nonautonomous e dynamic circuits on the basis of the generalized portraits of differential and peak-phase spectra of their reactions is offered. The computing basis of algorithm is made with an analytically-numerical method. The example is applied.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2008
    Журнал
    Известия вищих навчальних закладів Росії. Радіоелектроніка
    Наукова стаття на тему 'АНАЛІЗ коливальний режим У нелінійних неавтономних ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ І ВИДІЛЕННЯ ОЗНАК ЇХ РЕГУЛЯРНОСТІ НА ОСНОВІ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОРТРЕТІВ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ І АМПЛИТУДНО-фазових СПЕКТРІВ РЕАКЦИЙ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІЗ коливальний режим У нелінійних неавтономних ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ І ВИДІЛЕННЯ ОЗНАК ЇХ РЕГУЛЯРНОСТІ НА ОСНОВІ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОРТРЕТІВ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ І АМПЛИТУДНО-фазових СПЕКТРІВ РЕАКЦИЙ»

    ?УДК 621.3.011.72

    Ю. А. Бичков

    Санкт-Петербурзький державний електротехнічний

    університет "ЛЕТІ" С. В. Щербаков Псковський вільний інститут

    Аналіз коливальних режимів в нелінійних неавтономних електричних ланцюгах і виділення ознак їх регулярності на основі узагальнених портретів диференціальних і амплітудно-фазових спектрів реакцій

    Запропоновано обчислювальний алгоритм аналізу коливальних режимів в нелінійних неавтономних динамічних ланцюгах на основі узагальнених портретів диференціальних і амплітудно-фазових спектрів їх реакцій. Обчислювальну основу алгоритму становить розрахункова схема аналітично-чисельного методу. наведено приклад.

    Нелінійні неавтономні електричні ланцюги, аналітично-чисельний метод, крок розрахунку, ряд Тейлора, диференційний спектр, ряд Фур'є, амплітудно-фазовий спектр, узагальнений портрет

    Задачі аналізу коливальних режимів відводиться одне з ключових місць у сучасної якісної теорії нелінійних ланцюгів і систем [1] - [3]. Досліджуючи коливальний режим, важливо виявити умови його виникнення і стійкості, класифікувати характер як регулярний або як нерегулярний, включаючи виділення періодичних складових, а також встановити взаємозв'язок між характеристиками і параметрами ланцюга або системи, з одного боку, і формою і показниками виникають коливань, з іншого . Нелінійність властивостей і неавтономного параметрів є визначальними і домінуючими характеристиками сучасних електричних кіл із зосередженими параметрами, що обумовлює складність і неоднозначність завдання аналізу коливальних режимів в таких ланцюгах [4], [5].

    Загальних точних методів аналізу коливальних режимів в нелінійних неавтономних динамічних електричних ланцюгах (ННДЕЦ) в даний час не існує. Внаслідок цього основним інструментом аналізу служать наближені, або чисельні методи, яких відомо досить багато і кількість яких продовжує збільшуватися [1], [3], [5] - [7].

    Характеризуючи завдання аналізу коливальних режимів в ННДЕЦ, можна виділити ряд основних моментів, що визначають специфіку її постановки і подальшого вирішення. Перш за все, необхідно відзначити, що інформаційні показники аналізу не мають сенсу у відриві від Предковічних умов, так як згідно з якісної теорії нелінійних ланцюгів розглядаються ланцюги в загальному випадку не володіють властивістю конвергентної-сті [2], [3]. Інакше кажучи, при різних Предковічних умовах в ННДЕЦ можуть встановлюватися різноманітні за характером і специфікою процеси, в тому числі коливального характеру. У зв'язку з викладеним найбільш адаптованим інструментом аналізу динаміки ланцюгів розглянутого класу в даний час служить покроковий розрахунок, реа-10 © Бичков Ю. А., Щербаков С. В., 2008

    лізуемий при заданих Предковічних умовах на основі розрахункової схеми того чи іншого чисельного методу [1], [2], [5], [6]. Зауважимо, що широко використовуються чисельні методи аналізу ННДЕЦ вимагають приведення їх опису до нормальної форми Коші, що, як відомо, не завжди можливо [6], [7]. Крім того, слабкою ланкою більшості чисельних методів і раніше залишаються процедури вибору кроку розрахунку і оцінки накопичуваної похибки наближених рішень рівнянь динаміки ланцюгів [4], [5].

    Наступний принципово важливий момент пов'язаний з тим, що при покроковому розрахунку динаміки ланцюга внаслідок неминучого накопичення обчислювальної похибки ступінь достовірності інформації, одержуваної у вигляді наближених рішень рівняння динаміки ланцюга, знижується. Починаючи з певного моменту часу, досліднику стає важко, а іноді і неможливо, на підставі цієї інформації однозначно судити про характер існуючого, але невідомого точного рішення, а також про ступінь віддалення від цього рішення одержуваного в результаті розрахунку наближеного рішення. Наприклад, в разі однакової зміни з плином часу інтервалів повторюваності чисельних значень наближених рішень, логічно зробити висновок про те, що динамічний режим носить нерегулярний характер, або про те, що за своїм характером він регулярний і періодичний, а зазначене зміна пов'язана з нестійкістю процесу накопичення похибки.

    Навіть для періодичних досліджуваних режимів все чисельні методи дозволяють формувати локальне опис шуканого рішення рівняння динаміки ланцюга тільки на окремому кроці розрахунку, а не на періоді в цілому. При цьому формується опис не завжди є аналітичним за формою, в той час як для аналітичного опису періодичних рішень найдоцільніше і логічно використання рядів Фур'є, збіжність яких взаємопов'язана з періодичним характером шуканих рішень.

    Існування регулярного періодичного режиму динаміки ланцюга анітрохи не применшує можливості існування і значимості виділення нерегулярного коливального режиму. З урахуванням такої варіативності прояви динамічних властивостей ланцюга в рамках процедури аналізу коливальних режимів необхідно мати можливість спрямованої класифікації характеру динаміки ланцюга і відповідно до цього - видозміни розрахункової схеми.

    Все викладене обумовлює актуальність завдання формування обчислювального алгоритму аналізу коливальних режимів в ННДЕЦ на основі розрахункової схеми, що відповідає всім необхідним вимогам чисельного методу, що дозволяє в результаті отримати опис шуканого рішення рівняння динаміки в аналітичній формі, включаючи спрямоване формування характеристик досліджуваного режиму як регулярного періодичного або як нерегулярного.

    Як обчислювальної основи формування необхідного алгоритму аналізу в цій статті обраний аналітично-чисельний метод внаслідок відповідності його розрахункової схеми об'єктивними властивостями і особливостям динаміки ННДЕЦ з зосередженими параметрами [8]. Зазначене відповідність обумовлюється наступними особливостями методу:

    • наявністю строгих верхніх оцінок локальної та повної похибок розрахунку;

    • пошуком рішення рівняння динаміки ланцюга в класі узагальнених функцій;

    • можливістю формування аналітичного опису рішення на окремому етапі розрахунку у вигляді ряду Тейлора;

    • добре формалізованої процедурою вибору кроку розрахунку і порядку методу;

    • універсальністю методу, що обумовлює його використання для аналізу динаміки широкого класу ланцюгів із зосередженими параметрами і розрахунку різних режимів.

    Короткий опис аналітично-чисельного методу. У загальному випадку динаміку ННДЕЦ при заданих Предковічних умовах описує наступне диференціальне рівняння:

    де А (Б) і G (Б) - квадратна матриця порядку Ь і прямокутна матриця з розмірами Ь х М з поліноміальними від Б елементами відповідно; Б - оператор узагальненого диференціювання по I; х {}) - матриця-стовпець реакцій ланцюга порядку Ь; / 0) матриця-стовпець прикладених до ланцюга зовнішніх впливів порядку М; Н (х, /, ^) -

    матриця-стовпець, кожна з Ь рядків якої є суми членів, утворених творами часу, змінних в часі коефіцієнтів, реакцій і зовнішніх впливів ланцюга, їх узагальнених похідних будь-якого порядку в довільних дрібно-раціональних ступенях, а також інтеграли до ^ будь кратності від зазначених типів творів.

    При вирішенні рівняння динаміки ланцюга (1) аналітично-чисельним методом на кожному кроці розрахунку спочатку реалізується аналітична частина методу. Для цього за допомогою функціонально-статечних рядів уніфікують форму опису нелінійних і неавтономних властивостей ланцюга і отримане в результаті рівняння перетворять по Лапласа. Далі в області зображень реакцій ланцюга і її зовнішніх впливів сформований рівняння вирішують за допомогою правила Крамера, визначаючи зображення шуканих рішень. Для перекладу зображень рішень рівняння (1) у тимчасову область їх попередньо розкладають в ряди Лорана в околиці нескінченно віддаленої точки. Переклад правильних частин рядів Лорана в тимчасову область обумовлює отримання шуканих рішень статечних рядів для регулярних складових.

    Регулярну складову рішення XI0), I е [1; Ь] рівняння (1) на поточному кроці

    розрахунку описує статечної ряд

    де Яц - коефіцієнти степеневого ряду, що визначаються за відомими формулами [8].

    Реалізація чисельної частини методу починається з дослідження збіжності числових мажоранту статечних рядів для регулярних складових шуканих рішень ХГ (^), г = 1, 2, ..., Ь. З урахуванням отриманих при цьому результатів вибирають крок розрахунку І.

    A (D) x (t) = G (D) f (t) + H (x, f, t),

    (1)

    (2)

    Сходиться статечної ряд (2), який є поруч Тейлора для вирішення, заміщають полиномом Тейлора на обраному кроці розрахунку, т. Е. При t = h

    xt (t; It) = ^ R Sli !, (3)

    i = 0

    де Ii - порядок полінома Тейлора, який визначається з умови неперевищення виникає при переході від опису (2) до опису (3) локальної похибкою розрахунку деякого заданого граничного рівня si (h) [8].

    Рівністю (3) визначається розрахунок наближеного значення шуканого рішення xi (t) на поточному кроці розрахунку. Процедура вирішення рівняння (1) аналітично-чисельним методом носить багатокроковий характер і супроводжується реалізацією принципу "аналітичного продовження". Внаслідок цього по ходу розрахунку обчислювальна похибка накопичується. Формули для верхньої оцінки | Axi (t; Ii) | абсолютної повної

    похибки розрахунку наближеного значення xf (tk; Ii) регулярної складової рішення xi (t), i e [1; L] після виконання поточного кроку розрахунку наведені в [8]. Знання верхньої оцінки | Axi (t; Ii) | дозволяє в кожний дискретний момент часу t = tk, k = 1, 2, ..., з заданого інтервалу дослідження [to; T] побудувати область, яка містить невідоме точне значення xi (tk) регулярної складової шуканого рішення xi (t). Вказану область описує подвійне нерівність

    xi (tk; Ii) - | Axi (tk; Ii) | < xi (tk) < xi (tk; Ii) + 1Axi (tk; Ii) | . (4)

    Використовуючи принцип побудови цієї нерівності можливо, наприклад, залучаючи виявляється при коливальному характері шуканого рішення рівняння (1) ознака повторюваності, виділити необхідний для подальших кроків часовий інтервал, що містить передбачуване значення періоду повторюваності рішення T. Зазначений часовий інтервал описується подвійним нерівністю

    Ti inf - Ti - Ti sup, (5)

    де Ti inf, Ti sup -нижня і верхня оцінки невідомого точного значення періоду Ti відповідно.

    На основі подвійного нерівності (5) можна визначити верхню ^ sup і нижню ®i inf оцінки невідомого значення ®i частоти зміни шуканого рішення xi (t), i е [1; L]. Зазначені оцінки такі, що

    ®i inf sup, (6)

    де ®i inf = 2V Ti sup; ®i sup = 2п / Ti inf .

    Обчислювальний алгоритм аналізу коливальних режимів. Коливальний режим в ННДЕЦ може мати періодичний, неперіодичний і навіть нерегулярний характер. З урахуванням теоретичної і практичної значущості періодичного режиму, приступаючи до формування необхідного алгоритму, спочатку доцільно розглянути процедури, пов'язані з аналізом цього режиму.

    Якщо існуюче рішення x? (T) носить стійкий періодичний характер, то

    його можна описати сходящимся тригонометричним рядом, що є поруч Фур'є для цього рішення [9]. Тоді для регулярної складової періодичного рішення xi (t) = xi (t + Ti), l e [1; L] рівняння (1) справедливо наступне подання:

    да

    xl (t) = Al 0 + Z Al m sin (m ^ lt + alm), (7)

    m = 1

    де Al o - постійна складова тригонометричного ряду; A? m, a? m - амплітуда і початкова фаза m-й гармоніки; ®l - частота зміни рішення.

    Згідно розрахунковій схемі аналітично-чисельного методу побудова області (4) після кожного чергового кроку розрахунку можливо до тих пір, поки шукане рішення рівняння (1) існує і може бути розкладено в сходиться ряд Тейлора [8]. Тоді взаємозв'язок між аналітичними описами (2) і (7) рішення x? (T) очевидна і зводиться до наступного:

    ж

    Rl 0 = Al 0 + Z Al m sin (m ^ lt + al m)

    m = 1

    t = ts

    Rl i = Z Al m (m®l У sin (m ^ lt + al m + iV2)

    m = 1

    i e N, (8)

    t = ts

    де ts - деякий дискретний момент часу в межах періоду Т, рішення XI0); N - безліч натуральних чисел.

    Маючи в своєму розпорядженні знанням на кожному кроці розрахунку коефіцієнтів ряду Тейлора (2) Яг I, г = 0, 1, 2, ..., на періоді Т, повторення динамічних властивостей ланцюга, автори статті пропонують ввести в розгляд наступні функціональні залежності:

    x

    (До + 2)

    Я до I,) = = -ЯГ + 1 к = 0 1 2. .... (9)

    де х, до + 2); ? 1) і х (до ^ (ts;? 1) - значення похідних (до + 2) -го і до-го порядків наближеного рішення в дискретні моменти часу ts е [0; Т].

    Як показали дослідження, тимчасові залежності (9) утворюють систему проблемно-орієнтованих характеристик об'єктивно існуючої взаємозв'язку між відомими на кожному кроці розрахунку коефіцієнтами Я, г, / = 0, 1, 2, ... ряду Тейлора для

    (Ts; h) R

    наближеного рішення x? (T;? I) рівняння (1) і визначаються амплітудно-фазовим спектром Ai m, ai m, m = 0, 1, 2, ..., Mi цього рішення в рамках опису (7). Залежно від складності та специфіки власних властивостей періодичного рішення x? (T) рівняння (1) можливе формування функціональних залежностей (9) двох типів. Розглянемо їх більш детально.

    1. Припустимо, що існуюче періодичний розв'язок x? (T) = x? (T + Ti) рівняння (1) описується тригонометричним многочленом

    Mi

    xi (t) = xi (t; Mi) = A + Z Am sin (mmit + aim). (10)

    m = 1

    В цьому випадку сформовані на основі диференціальних спектрів наближеного рішення функціональні залежності yik (t;? I) мають такі властивості і

    особливостями. Функціональні залежності (9) з малими порядковими номерами k мають, як правило, нерегулярний характер зміни в рамках тимчасового інтервалу t е [0; T] повторення динамічних властивостей ланцюга. Однак зі зростанням k починають проявлятися цілком певні закономірності. Так, при Mi = 1 всі функції (9) при k е N вироджуються в прямі лінії, паралельні осі абсцис. При M? = 2 функції yi k (t) при k > 6 мають чотири інтервалу постійності значень, розділених розривами другого роду. При порядку тригонометричного многочлена M? = 3 число інтервалів сталості значень

    функції yi k (t;? i), k > 11 одно шести і вони також розділені розривами другого роду. У загальному випадку число зазначених інтервалів на періоді Ti рішення x? (T) дорівнює 2Mi, а якщо початкові фази гармонік тригонометричного многочлена (10) дорівнюють нулю - то M ?. Таким чином, для періодичного рішення, описуваного тригонометричним многочленом (9), функціональні залежності y i k (t;? I) мають розділені розривами другого роду інтервали сталості значень. Тривалість таких інтервалів зі збільшенням значення M? зменшується, а їх кількість в межах періоду шуканого рішення зростає.

    Отже, починаючи з деякого k = K, для функціональних залежностей (9) мають місця інтервали часу, коли виконуються наступні співвідношення:

    yik (t;? i) = yik + 2 (t;? i) = te [tn; tn + 1]; k>K; nGZ, (11)

    де tn, tn + 1 - абсциси точок розриву другого роду для функцій y i k (t;? i); Z - безліч цілих чисел.

    З ростом порядкового номера k функціональних залежностей (9) тривалості

    інтервалів часу, в рамках яких виконуються рівності (11), збільшуються. чис-

    ?

    ленное значення w ?, визначається відповідно до рівності (11), для періодичного рішення xi (t) = xi (t + Ti), описуваного тригонометричним многочленом (10), таке, що

    W = lim [yt k (t; h)] = lim [-x (k + 2) (t; I {) / x ^ (t;)

    k ^ -та

    k ^ -та

    lim

    k ^ да

    M,

    E A, m (mo »,) k + 2 sin [m®, t + a, m + (k + 2) п / 2]

    m = 1

    M,

    lim

    k ^ да

    (M / щ)

    k + 2

    (M / Щ /)

    = (M, Щ,) 2. (12)

    Е А / т (т (й /) ^ (тс? + А / .т + кп / 2) т = 1

    Оскільки, виконавши розрахунок динаміки ланцюга аналітично-чисельним методом, дослідник достовірно не знає характеристик коливального за формою рішення х / (*), то факт існування і кінцівку межі (12) є важливими характеристичними показниками динаміки ланцюга. Так, наприклад існування межі (12), означає, що рішення х / (*), / е [1; Ь] рівняння (1) дійсно носить періодичний характер. Кінцівка ж межі (12) вказує на можливість опису цього періодичного рішення тригонометричним многочленом (10).

    *

    На основі отриманого чисельного значення м? / І подвійного нерівності (6) можна попередньо оцінити порядок М1 тригонометричного многочлена (10). З рівності (12) випливає:

    М / = \ Й * / '^ 1.0, (13) де ю / о - одне із наближених значень частоти ю /, що належать оціночним діапазону [зі / щ ^ зі / 5ір J нерівності (6).

    Якщо отримується згідно (13) кількість гармонік М1 виявиться дробовим, то необхідно округлити результат в більшу сторону. Знаючи наближене значення частоти ю / о періодичного рішення х / (*) і порядок М1 тригонометричного многочлена (10), на основі співвідношення (8) формують систему з 2М / +1 рівнянь, необхідних для знаходження амплітуд А / т, т = 0, 1, 2, ..., М1, і початкових фаз а / т, т = 1, 2, 3, ..., М /, гармонік тригонометричного многочлена (10). Зазначена тригонометрическая система рівнянь має вигляд

    R / 0 = А / 0 + Z A / m sin (m® / 0t + a / m)

    m = 1

    t = ts

    R / i = Z A / m (m® / 0) sin (m® / 0t + a / m + inl2)

    m = 1

    i = 1, 2,

    2M,

    (14)

    t = ts

    де * = - дискретний момент часу, відповідний часового інтервалу [* п; * П + ^], п е N, в межах якого виконуються співвідношення (11).

    Вирішивши сформовану систему рівнянь (14), обчислюють значення амплітуд Ai m, m = 0, 1, 2, ..., Mi, і початкових фаз aim, m = 1, 2, 3, ..., Mi, гармонік, що входять в опис (10). Важливо відзначити, що отримані в результаті значення Ai m опису (10) не залежать від того, який з виділених інтервалів сталості значень функціональних залежностей (9) використаний в розрахунках або який момент часу t = ts в рамках використовуваного інтервалу [tn; tn + i], n е [0; 2Mi -1] визначає відповідний показник часу в системі рівнянь (14).

    Перевірочним етапом для отриманих результатів Ai m, aim, m = 1, 2, 3, ..., Mi, є порівняльний аналіз функціональних залежностей (9), сформованих на основі наявних для кожного кроку розрахунку описів (2) і на основі диференціального спектра отриманого нового аналітичного опису (10). Збіг зазначених функціональних залежностей при всіх k вказує на правильність розрахунку амплітуд і фаз гармонік тригонометричного многочлена (10).

    Якщо ж має місце розбіжність, то воно проявляється як розбіжність по абсциссе або як розбіжність по ординате. Розбіжність по абсциссе фіксується, якщо в порівнюваних відповідних один одному за порядковим номером k функціональних залежностях (9) не збігаються інтервали часу, в межах яких виконуються рівності (11). В цьому випадку необхідно вибрати інше наближене значення частоти ®i 0 з діапазону можливих значень, що визначається подвійним нерівністю (6), і повторити заново наведену раніше процедуру розрахунку, починаючи з обчислення порядку тригонометричного многочлена (10) відповідно до рівності (13).

    Розбіжність по ординате порівнюваних функціональних залежностей (9) знаходить своє відображення в тому, що на виділеному періоді повторення рішення не збігаються ординати і кількість інтервалів сталості значень цих функцій. Для усунення такої відмінності необхідно збільшити на одиницю порядок M? тригонометричного

    многочлена (10) і повторити наведену процедуру розрахунку, починаючи з формування системи тригонометричних рівнянь (14). Критерієм зупинки процедури послідовного збільшення порядку M? в описі (10) служить рівність нулю амплітуди

    черговий доданої гармоніки формованого тригонометричного многочлена.

    Запропоновані процедури спрямованої коригування частоти періодичного рішення і порядку Mi тригонометричного многочлена (10), що описує це рішення, в загальному випадку носять ітераційний характер, приводячи до бажаного результату після двох-трьох ітерацій.

    2. Припустимо, що існуюче періодичний розв'язок x? (T) = x? (T + Ti) рівняння (1) об'єктивно таке, що описується поруч Фур'є (7). У цьому випадку спостерігаються такі закономірності прояву властивостей функціональних залежностей (9). Тривалості інтервалів часу, в рамках яких виконуються співвідношення (11), скорочуються до нуля, т. Е. Ці інтервали вироджуються в точки. Внаслідок цього ключі-

    вимі характеристиками функціональних залежностей (9) стають їх локальні максимуми і мінімуми. Локальні максимуми і мінімуми, які відповідають різним порядковими номерами до функціональних залежностей (9), маючи різні ординати, можуть бути синхронізовані в часі або мати деякий розкид, визначаючи в підсумку рівномірну або нерівномірну сітку їх тимчасового розподілу.

    Абсциси локальних максимумів і мінімумів функціональних залежностей (9) приймають в якості дискретних моментів часу t = ts, для яких формують системи тригонометричних рівнянь (14). При цьому показники М1 = М [у] цих систем

    рівнянь вибирають довільно, причому необов'язково однаковими для всіх локальних екстремумів. Вирішуючи сформовані системи рівнянь для кожного дискретного моменту часу t = ts, знаходять амплітуди і початкові фази гармонік деяких тригонометричних многочленів х М [у]), V е [1; V]. Отримане в результаті опис шуканого періодичного рішення являє собою композицію сформованих тригонометричних многочленів:

    х1 (г, Мг V) = [г; м7м) =

    V = 1

    ГМ

    V

    V = 1

    M?

    4 [ "(! + 14 * 2 sin (ТЩ, + 0И)

    Si (t - t-v) 8! (- + v + 1), (15)

    m = 1

    де V - кількість ділянок опису шуканого рішення на періоді, що дорівнює кількості наявних на періоді локальних максимумів і мінімумів функціональних залежностей (9); v е [1; V] - номер часового інтервалу, в якому справедливо опис рішення тригонометричним многочленом xi (t;) порядку з амплітудно-фазовими

    показниками a \ v], a [vl.

    l m 'l m

    Згідно з теоремою Кантора [9] розкладання існуючого періодичного рішення в ряд Фур'є (7) єдино, можливо, за винятком кінцевого числа точок. Внаслідок цього, якщо рішення xi (t) має періодичний характер, то об'єктивно існують і кінцеві межі

    = Al m; lim а ^ = ai m, (16)

    M \ vi ^ <x> Miv ^ да

    де m = 0, 1, 2, ..., .

    Існування меж (16), відповідно до теореми Дю Буа-Реймона [9] означає, що сформований тригонометричний ряд (7) сходиться і є поруч Фур'є для періодичного рішення xi (t) = xi (t + T).

    Перевірочним етапом процедури розрахунку показників Ai m, ai m отриманого опису (7) є порівняльний аналіз функцій (9), сформованих на основі маю-18

    щихся для кожного кроку розрахунку описів (2) і на основі диференціального спектра отриманого тригонометричного ряду (7). Збіг зазначених функціональних залежностей при всіх до вказує на правильність розрахунку показників А / т, а / т опису (7). При розбіжності абсцис локальних максимумів або мінімумів необхідне коригування використовуваного в розрахунках наближеного значення ю / 0 частоти, що належить інтервалу, описуваного подвійним нерівністю (6). Зазначене коригування носить, як правило, ітераційний характер.

    Отже, існування меж (12), (16) дозволяє однозначно класифікувати існуючий коливальний режим в ННДЕЦ як регулярний і періодичний. Результати додаткових проблемно-орієнтованих досліджень показали, що можливі ситуації, коли граничні співвідношення (16), по-перше, існують і кінцеві ні до кожному V, т. Е. Не для кожного з тригонометричних многочленів, що входять в опис (15), і , по-друге, якщо й існують, то не завжди збігаються, визначаючи єдині значення амплітуд і початкових фаз а / т, а / т гармонік ряду Фур'є (7). Змістовний сенс такої інформації як і раніше надзвичайно високий і дозволяє направлено класифікувати коливальний режим, що має, можливо, навіть нерегулярний характер. У зв'язку з цим слід зазначити наступне. Відсутність при тому чи іншому фіксованому значенні V меж (16) за умови існування і збіги аналогічних меж для інших тригонометричних многочленів, що входять в опис (15), не впливає на змістовну трактовку результату (7) і його характеристики. Інакше кажучи, в цьому випадку при позитивності результатів реалізації перевірочного етапу описаного алгоритму коливальний режим як і раніше характеризується як регулярний і періодичний. Якщо ж при різних значеннях V має місце існування різних числових меж (16), то закономірний висновок про явну регулярної залежності показників амплітудного і фазового спектрів коливального режиму ланцюга, включаючи частоту зміни реакцій, від часу. У тих випадках, коли меж не існує або деякі з них мають нескінченні показники, закономірний висновок про нерегулярному характері досліджуваного коливального режиму або про його нестійкості.

    Приклад. Проаналізуємо коливальний режим в ННДЕЦ, динаміку якої описує звичайне нелінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами

    Рівняння (14), що представляє собою добре відоме рівняння Дуффінга з постійною правою частиною, в роботі [4] розглядається як тестове для розрахункових схем аналізу.

    Виконавши перетворення рівняння (13) відповідно до аналітичної частиною аналітично-чисельного методу і перевівши результат в тимчасову область, отримаємо наступний статечної ряд для регулярної складової шуканого рішення х (*):

    x (t) + x (t) = - x3 (t) при Предковічних умовах x (0-) = 0; x '(0-) = 1.

    (17)

    (18)

    Вибіркові результати рішення рівняння (18) аналітично-чисельним методом в інтервалі дослідження [0; 5.5] наведені в таблиці, де? Н - абсциси почав винесених в таблицю кроків розрахунку до; х (I) - наближені значення рішень, отримані в результаті заміни на кожному кроці розрахунку ряду Тейлора (18) при? н = до полиномом, порядок I якого забезпечує неперевищення абсолютної локальної похибкою розрахунку заданого граничного рівня

    е (к) = 1-10-10; | Дх (?; I) | - верхні оцінки

    абсолютної повної похибки розрахунку відповідного наближеного рішення.

    tH h I х (t; I) | Дх (t; I) | -1010

    0 0 0

    1.1 0.8356 1.5451

    2.2 0.5 19 0.3235 3.1368

    3.3 - 0.68435 5.9306

    4.4 - 0.60814 7.45669

    5.5 0.42499 12.0372

    Отримане в результаті розрахунку динаміки ланцюга аналітично-чисельним методом наближене рішення х (?; I) рівняння (17) наведено на рис. 1. Характер цього рішення вказує на існування в ланцюзі коливального режиму, причому, можливо, періодичного. Для аналізу цього коливального режиму реалізуємо викладений алгоритм. З урахуванням отриманих результатів розрахунку динаміки ланцюга верхня ю5ір і нижня

    ю ^ оцінки невідомого значення частоти ю зміни шуканого рішення х і) такі, що подвійне нерівність (6) набуде вигляду

    1.24133-2.4-10-9 <ю< 1.24133 + 2.4-10-9 (19)

    Для формування опису рішення рівняння (17) у вигляді тригонометричного многочлена або ряду Фур'є згідно з процедурою пропонованого алгоритму побудований узагальнений портрет диференціальних і амплітудно-фазових спектрів наближеного рішення. Отриманий на передбачуваному періоді повторення динамічних властивостей ланцюга портрет зображений на рис. 2.

    Як видно з наведеного портрета, функціональні залежності ук (?; I), к = 0, 1, 2, 3 мають чотири локальних екстремуму на передбачуваному періоді повторення динамічних властивостей ланцюга. Абсциси цих екстремумів відповідають моментам часу ^ = 0, ^ = 1 2654, tз = 2.5308,? 4 = 3.7962, а ординати залежать від порядкових

    номерів до функціональних залежностей ук (?; I), к = 0, 1, 2, 3. Виділені особливості портрета вказують на те, що якщо рішення рівняння (17) має періодичний характер, то він описується тригонометричним рядом Фур'є.

    Ук (I)

    5.5

    - 0.5 -

    - 1

    - 5.5

    Мал. 1

    Мал. 2

    t

    0

    В рамках подальшої реалізації запропонованого алгоритму були сформовані чотири універсальних системи рівнянь (14) для зазначених моментів часу. Як наближене значення частоти приймалося значення Рік = 1.24133, що належить

    діапазону можливих значень, що визначається подвійним нерівністю (19). Результатом рішення сформованих тригонометричних систем рівнянь служить композиція з чотирьох тригонометричних многочленів, описувана рівністю (15) при V = 4. Подальші дослідження показали, що в даному випадку межі (16) існують, кінцеві і їх граничні значення по всім гармоникам формованого ряду Фур'є збігаються. Згідно з отриманими результатами рішення рівняння (17) дійсно носить регулярний і періодичний характер, описуючи сходящимся поруч Фур'є, що містить тільки непарні гармоніки. Отримані на основі граничних співвідношень (16) значення амплітуд і початкових фаз перших чотирьох гармонік цього ряду наведені нижче.

    A3 A5 A7 а1 аз а5 А.7

    0.842723 0.012685 0.000188 2.79115-10-6 0 п 0 -п Проведена перевірка показала, що функціональні залежності (9), побудовані на основі вихідного опису (18) і диференціального спектра сформованого ряду Фур'є, повністю збігаються. Таким чином, підтверджуються однозначність і адекватність взаємозв'язку описів шуканого рішення рівняння (17) сходящимся поруч Тейлора на кожному кроці розрахунку і сходящимся поруч Фур'є на періоді.

    бібліографічний список

    1. Мун Ф. Хаотичні коливання. М .: Світ, 1990. 230 с.

    2. Хаясі Т. Нелінійні коливання в фізичних системах. М .: Світ, 1968. 432 с.

    3. Сидоров Н. М., Тимофєєв В. В. Багаточастотні коливання в нелінійних системах. М .: Наука, 1984. 276 с.

    4. Афанасьєв В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математична теорія конструювання систем управління. М .: Вища. шк., 1989. 447 с.

    5. Хайрер Е., Нерсетт С., Ваннер Г. Рішення звичайних диференціальних рівнянь. Нежорсткі завдання / Пер. з англ. І. А. Кульчицької; Під ред. С. С. Філіппова М .: Мир, 1990. 512 с.

    6. Матханов П. М. Основи аналізу електричних ланцюгів. Нелінійні ланцюги. М .: Вища. шк., 1977. 272 ​​с.

    7. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Філіппов Е. С. Теорія нелінійних електричних ланцюгів. Л .: Вища школа, 1990. 251 с.

    8. Бичков Ю. А., Щербаков С. В. Аналітично-чисельний метод розрахунку динамічних систем. СПб .: Вища школа, 2002. 67 с.

    9. Барі Н. К. Тригонометричні ряди. М .: Гос. вид-во фіз.-мат. лит., 1961. 936 с.

    Ju. A. Bychkov

    Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" S. V. Scherbakov Pskov free institute

    Analysis of oscillatory modes in nonlinear on-line electric circuits on the basis of the generalized portraits of differential and peak-phase spectra of their reactions

    The computing analysis algorithm of oscillatory modes in nonlinear nonautonomous e dynamic circuits on the basis of the generalized portraits of differential and peak-phase spectra of their reactions is offered. The computing basis of algorithm is made with an analytically-numerical method. The example is applied.

    Nonlinear nonautonomous electric circuits, analytically-numerical method, step of calculation, Taylor's line, differential spectrum, Furye's line, peak-phase spectrum, generalized portrait

    Стаття надійшла до редакції 20 грудня 2007 р.


    Ключові слова: НЕЛІНІЙНІ неавтономні ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА / NONLINEAR NONAUTONOMOUS ELECTRIC CIRCUITS / АНАЛІТИЧНО-чисельний МЕТОД / ANALYTICALLY-NUMERICAL METHOD / КРОК РОЗРАХУНКУ / STEP OF CALCULATION / РЯД ТЕЙЛОРА / ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИЙ СПЕКТР / АМПЛИТУДНО-ФАЗОВИЙ СПЕКТР / DIFFERENTIAL SPECTRUM / РЯД ФУР'Е / PEAK-PHASE SPECTRUM / Узагальнений ПОРТРЕТ / GENERALIZED PORTRAIT / TAYLOR ''S LINE / FURYE'S LINE

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити