Розглянуто поява хаотичних атракторів в системі трьох звичайних диференціальних рівнянь, що виникають в теорії моделей «реакція дифузія». Досліджено динаміка відповідних одновимірних і двовимірних відображень і ляпуновском показники виникають аттракторов. Показано, що перехід до хаосу відбувається по нетрадиційному сценарієм, пов'язаному з багаторазовим народженням і зникненням хаотичних режимів, який вивчений для одновимірних відображень з гострою вершиною і квадратичним мінімумом. За допомогою чисельного аналізу досліджено характерні особливості системи: наявність областей бістабільності і гіперболічністю, криза хаотичних атракторів.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Малинецкий Г.Г., Фаллер Д.С.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2014


    Журнал: Математичне моделювання та чисельні методи


    Наукова стаття на тему 'Аналіз біфуркацій в двухмодовой апроксимації системи Курамото - Цудзукі'

    Текст наукової роботи на тему «Аналіз біфуркацій в двухмодовой апроксимації системи Курамото - Цудзукі»

    ?УДК 517.9; 519.6

    Аналіз біфуркацій в двухмодовой апроксимації системи Курамото - Цудзукі

    © Г.Г. Малинецкий, Д.С. Фаллер

    Інститут прикладної математики ім. М.В. Келдиша РАН, Москва, 125047, Росія

    Розглянуто поява хаотичних атракторів в системі трьох звичайних диференціальних рівнянь, що виникають в теорії моделей «реакція - дифузія». Досліджено динаміка відповідних одновимірних і двовимірних відображень і ляпуновском показники виникають аттракторов. Показано, що перехід до хаосу відбувається по нетрадиційному сценарієм, пов'язаному з багаторазовим народженням і зникненням хаотичних режимів, який вивчений для одновимірних відображень з гострою вершиною і квадратичним мінімумом. За допомогою чисельного аналізу досліджено характерні особливості системи: наявність областей бістабільності і гіперболічністю, криза хаотичних атракторів.

    Ключові слова: нелінійна динаміка, двухмодовая система, моделі «реакція-дифузія», біфуркації, самоподоба, «каскад каскадів», криза аттрактора, ергодичність, бистабильность.

    Вступ. В даний час одними з найбільш популярних класів нелінійних математичних моделей є системи «реакція-дифузія» (див., Наприклад, [1-3]):

    Г = + / 1 (X, У, А); (1)

    \ У {= В2АУ + / 2 (X, У, А), ()

    де X (г, г) і У (г, г) - концентрації реагуючих речовин; / 1 (X, У, А) і / 2 (X, У, А) - нелінійні функції, що визначають кінетику їх взаємодії; Б1 і Б2 - відповідні коефіцієнти дифузії; А - оператор Лапласа; г і г - просторова й тимчасова координати. Вперше модель подібного виду була редложена в роботі А. Тьюринга [4]; на сьогоднішній день цим системам і їх численним програмам присвячена велика кількість робіт.

    Відповідно до дослідницької програмою А. Пуанкаре одним з найбільш цікавих напрямків вивчення нелінійних систем є аналіз біфуркацій і універсальних описів досліджуваних об'єктів в околицях точок біфуркації. Цей підхід був застосований до систем виду (1), для яких типовими є біфуркація Андронова - Хопфа (біфуркація народження граничного циклу) і біфуркація Тьюринга (дифузійна нестійкість).

    Універсальне опис пов'язано з наявністю малого параметра 8 «- Х і можливістю переходу до повільним змінним

    К = 8г і Т = 8? 1. У найпростішому одновимірному (і найбільш типовому) випадку це призводить до наступної крайової задачі:

    Wt = (± 1 + ic0) W + (1 + ic1) Wrr - (1 + ic2) | W | 2 W, r e [0, /], t > 0; Wr (0, t) = Wr (/, t) = 0, W (r, 0) = W0 (r),

    (2)

    де W = u (r, t) + iv (r, t).

    Висновок цього рівняння на фізичному рівні строгості і аналіз області його застосування було дано І. Курамото і Т. Цудзукі [5]. Більш суворе обгрунтування було запропоновано С. А. Кащенко в збудованій ним теорії квазінормальних форм, в рамках якої можна розглядати рівняння з малою дифузією, пропорційної s [6]. Нетривіальні атрактори рівняння має, коли обраний знак плюс. Від коефіцієнта С0 можна позбутися заміною змінних. Крайова задача (2)

    детально досліджена в разі невеликих областей l < ж (див., напри-ме ^ [7]).

    Вважаючи, що в рішенні при невеликих l < ж істотні тільки дві перші гармоніки

    W = u + iv = (x0 + iy0) + (x1 + iy1) cos (kr), k = ж / 1,

    і, нехтуючи іншими, отримуємо так звану двухмодо-ву систему. Її можна істотно спростити, якщо покласти

    Х0 = Р0 cosФ0; У0 = Р0 sinФ0; Х1 = Р1 cos Ф1; У1 = Р1 sin Ф1;

    4 = Ро »л = р2; 0 = 2 (ф0-Ф1).

    Це призводить до системи рівнянь

    4 = 24 - 24 (4 + л) - 4 л (cos 0 + c2 sin 0);

    ii = 2л - 2л + 31 - 24 л (cos 0 - c2 sin 0) - 2k 2л; (3)

    0 = c2 ^ 24 -1 л ^ + sin 0 (24 + л) + c2 cos 0 (24-л) + 2c12.

    Система (3) і буде об'єктом нашого дослідження. Оскільки 0 має сенс різниці фаз, будемо для зручності вважати, що 0

    наведено по модулю 2л. Зауважимо, що можливість перейти від системи чотирьох диференціальних рівнянь до трьох пов'язана з симетрією вихідної задачі W ^ Weia, а = const, яку зберігають галеркінскіе системи.

    В роботі [7] детально вивчений один хаотичний аттрактор, що визначає асимптотику цієї системи при t зі значеннями параметрів c1 = 7, c2 = -6, к = 1 (рис. 1). Виявилося, що це рішення має багатьма цікавими геометричними і ергодичними властивостями.

    -1,0

    Мал. 1. Хаотичний аттрактор системи (3). Траєкторія отримана для початкових даних (0,5; 0,5; л) при значеннях параметрів з1 = 7; с2 = -6; к = 1

    У даній роботі на основі результатів чисельного аналізу досліджується, як виникає і зникає цей хаотичний аттрактор при зміні параметрів в просторі (с1, с2, к). Будемо проводити однопараметричними аналіз, фіксуючи два параметра і варіюючи третій. Для чисельного рішення (3) використаний стандартний метод Рунге - Кутта 4-го порядку; крок інтегрування обраний таким чином, щоб виключити появу «обчислювальних артефактів».

    Інструменти аналізу і загальна картина. Чудовим властивістю динамічного хаосу є чутливість по відношенню до початкових даних. Це властивість відображає експоненціальне розбігання нескінченно близьких траєкторій. З цього випливає, що прогноз стану системи при типових початкових даних в середньому може бути дан на час, що не перевищує деякого значення Т, званого горизонтом прогнозу. Одним з найбільш зручних

    методів кількісного дослідження динаміки близьких траєкторій є апарат показників Ляпунова [7]. Для їх обчислення в даній роботі використаний метод Бенеттіна [8].

    Сума показників Ляпунова відповідно до мультиплікативної ергодічеськой теоремою оселедцем [7] дорівнює середньому по часу показником стиснення або розтягування елемента фазового об'єму. Зокрема, зміна нескінченно малого р-мірного фазового обсягу в динамічній системі, заданої в р-вимірному фазовому просторі, визначається рівнянням

    ІУР

    ^ = 0 (* ( ') У;

    I = 1 г

    Тут х (?) - траєкторія, уздовж якої розглядається зміна фазового обсягу.

    Проведені розрахунки показують, що за характерний час повернення точки, що визначає стан системи, на площину Пуанкаре фазовий об'єм V3 для хаотичних атракторів системи (3) убуває більш ніж в 800 разів. За цей час прямокутник на площині Пуанкаре, в межах якого знаходяться точки, що належать аттрактору, з високою точністю стягується в відрізок.

    Дивний атрактор системи (3) породжує в перетині Пуанкаре площиною 0 = 2% до, до = 0, ± 1, ± 2, ..., відображення

    ^ І + 1 = Р (^ І, Лі);

    [Лі + 1 = С (, Лі).

    У цього відображення є напрям, що забезпечує сильне стиснення, і напрямок, уздовж якого відбувається розтягнення, розташоване під досить великим кутом до стискає напрямку в усій області, якій належить цей дивний аттрактор (див. Схематичне зображення на рис. 2). Це дозволило перевірити узагальнені умови гіперболічністю, що гарантують ряд характеристик хаосу, пов'язаних з породжуваних ним двовимірним відображенням [7].

    У деяких випадках хаотичний аттрактор одновимірного відображення займає весь відрізок, який відображення переводить в себе, - щільність інваріантної заходи [7], таким чином, відмінна від нуля на цьому відрізку. Аттрактори такого типу називають шумливими циклами (позначимо їх х1). Іноді інваріантна міра окази-

    ється зосереджена на р-островах, які траєкторія дискретної динамічної системи послідовно обходить - позначимо їх хр. Як буде показано нижче, для одновимірних відображень, відповідних системі (3), характерна наявність таких шумливих циклів.

    Л

    0,4 0,3 0,2 0,1

    0,45 0,50 0,55 0,60 ?

    Мал. 2. стискується і розтягується напрямки двовимірного відображення вихідної області [0,4; 0,6] х [0,1; 0,4], який переводить її в себе при значеннях параметрів з1 = 7; с2 = -6; к = 1

    Одномірні відображення і сценарії виникнення хаосу.

    Для подальшого аналізу вельми важлива картина біфуркацій для одновимірного відображення з гострою статечної вершиною

    1 -I * -ка ,,

    хі + 1 = - ^, а<1. (4)

    1 + | х - Ц

    Для логістичного відображення після кожної біфуркації подвоєння періоду найближчий до вершини (х = 0,5) елемент циклу

    ?2п перескакує з однієї гілки (х < 0,5) на іншу (х > 0,5) строго по черзі: вліво - вправо - вліво - ... Кожен раз, коли елемент циклу потрапляє на вершину X = 0,5, виникає надстійкий цикл. Ці переходи через вершину не призводять до ускладнення стійких циклів і появи стійких режимів. У відображенні (4) дх / (х) = так при х = Ц, тому «гладкий» перехід елемента

    стійкого циклу через вершину неможливий. У зв'язку зі зміною топології циклів (числа елементів відповідно на лівій і правій частинах відображення) з'являється складна структура, що представляє собою нескінченну кількість каскадів біфуркацій подвоєння періоду. Така структура, детально вивченої в роботі [9], отримала назву «каскад каскадів». Біфуркаційних діаграма відображення представлена ​​на рис. 3.

    Мал. 3. Біфуркаційних діаграма для відображення з гострою статечної вершиною при а = 0,25

    Якісні особливості біфуркаційних діаграм. Наведені розрахунки для трьох біфуркаційних діаграм, що виникають відповідно при зміні параметрів с, С2, до та фіксованого парі інших параметрів системи, показує їх дивовижну схожість.

    Хаотичні режими виникають і зникають при зміні бифуркационного параметра неодноразово, при цьому виникнення зон хаотичного поведінки є результатом послідовності біфуркацій подвоєння періоду. Кожен раз з'являються області, в яких немає «віконної структури». Зникнення аттракторов схожі одне на інше. З цих причин далі докладно зупинимося на дослідженні переходу до хаосу при зміні параметра с (рис. 4), вважаючи, що сценарії переходу при варіації параметрів С2 і до ідентичні.

    Мал. 4. Біфуркаційних діаграма для системи (3) при варіації параметра з1 і значеннях параметрів с2 = -6, к = 1

    Самоподібність фрагментів бифуркационной діаграми і наявність «вкладених структур». Для бифуркационной діаграми, відповідної логістичного відображення, характерно «двох-

    уровневое самоподоба ». З одного боку, існує нескінченна кількість каскадів біфуркацій подвоєння періоду? Р'2 ^? Р'2, п = 1, 2, .... З іншого - в межах кожного каскаду фрагменти між-

    2 «2п + 1

    ду послідовними біфуркації 8Р '^ 8Р' виявляються подібними один одному з тим більшою точністю, чим більше «, а значення, при яких відбуваються біфуркації, швидко прагнуть до геометричній прогресії. Це явище стало основою для теорії універсальності, побудованої М. Фейгенбаум [10].

    Дослідження відображень з гострою вершиною і квадратичним мінімумом показало, що для них характерний ще один рівень самоподібності. У них, як зазначено раніше, виявляється нескінченно багато каскадів біфуркацій подвоєння періоду. На додаток до цього самих таких каскадів, подібних до тих, які спостерігаються в логістичному відображенні, мабуть, також нескінченно багато. Розрахунки показують, що така вкладена «матрешечная» структура має місце не тільки для модельного одновимірного відображення, але і для вихідної двухмодовой системи.

    Справді, при погляді на біфуркаційну діаграму, що характеризує зміну аттракторов при збільшенні параметра сь стає ясно, що хаос в цій системі виникає і зникає приблизно однаковим чином багаторазово на різних по з масштабах (рис. 5-7). Збільшення відповідних фрагментів показує, що біфуркаційних діаграма досліджуваного об'єкта дійсно носить фрактальний, самоподібний характер з коефіцієнтом подібності близько 10.

    % П 0,7

    0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

    2 6 7 8 9 з,

    Мал. 5. «матрешечная» структура в системі (3): 4,5 < з 1 < 9,3; с2 = -6; к = 1. Виділена область: 5 < з 1 < 5,3

    Як і у всіх реальних, а не модельних або спеціально сконструйованих фрактальних структурах, можна простежити порівняно невелика кількість рівнів, на яких спостерігається самоподоба. В даному випадку це обмежена точністю чисельного

    0,26 5,00

    Мал. 6. «матрешечная» структура в системі (3): 5 < з 1 < 5,3; с2 = Виділена область: 5,08 < з 1 < 5,11

    -6; к = 1.

    5,080 5,085 5,090 5,095 5,100 5,105 сх

    Мал. 7. «матрешечная» структура в системі (3): 5,08 < з 1 < 5,11; с2 = -6;

    к = 1

    рішення досліджуваної системи диференціальних рівнянь. Однак простежені рівні масштабів, на яких фрагменти бифуркационной діаграми виявляються подібними собі, показують відмінну якісне відповідність з модельним одновимірним відображенням, і це дає всі підстави вважати, що в розглянутій двухмодовой системі має місце «каскад каскадів».

    Сімейство хаотичних атракторів, що породжують розтягують одномірні відображення. Після виявлення хаотичного аттрактора в двухмодовой системі постала низка питань: наскільки типовим він є для досліджуваного об'єкта; в якій мірі володіє чутливістю до параметрів завдання; чи є структура безлічі параметрів, при якій має місце хаос, складної, подібної до тієї,

    яка спостерігається для логістичного відображення, або простий, характерною для усюди растягивающего відображення.

    Наведені розрахунки переконливо показують, що має місце другий варіант. Залежність ляпуновском показників від параметра така, що старший ляпуновском показник X в великому інтервалі параметрів перевищує 0,1 (рис. 8). Зауважимо, що це значення дуже велике в порівнянні з системою Лоренца і рядом інших досліджених раніше дивних атракторів систем трьох звичайних диференціальних рівнянь. З теорії ляпуновском показників випливає, що для дивних атракторів, що існують в обмеженій області фазового простору в динамічних системах з безперервним часом, один з ляпуновском показників дорівнює нулю [11]. Точність г, з якої це виконується при чисельно знайдених показниках, дозволяє судити про точність використовуваного обчислювального алгоритму.

    В даному випадку нульовий показник наближає X2 з г «10_3.

    1---

    -6_I_I_I_I_I_I_I_I_

    5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5

    Мал. 8. Залежність ляпуновском показників від параметра з1

    З розрахунків випливає, що в цій області параметрів дивні атрактори породжують сімейство розтягують відображень (див. Далі «Виникнення хаосу і еволюція одновимірних відображень») з

    г = > 1, к = 1,2.

    Л 4п

    Іншими словами, якісні властивості досліджуваного об'єкта близькі до характеристик найпростішого всюди растягивающего одновимірного відображення. Тому можна очікувати, що і в цьому випадку кількісні характеристики хаосу (моменти розподілу 4п і ЦП, автокореляційні функції, спектр потужності, інваріантні заходи [7]) у безперервний спосіб залежать від параметрів задачі в тих межах, в яких можна знехтувати фрактальної структурою дивного аттрактора уздовж стискає напрямку.

    Виникнення хаосу і еволюція одновимірних відображень.

    Наочно уявити сценарій виникнення хаосу дозволяє згадане вище сімейство одновимірних відображень? П + 1 = / (ред>п, с),

    породжене рішеннями вихідної двухмодовой системи при різних значеннях с. Видно, що спочатку має місце традиційна послідовністю біфуркацій подвоєння періоду. Відповідні точки, породжувані циклами? 2,? 4 і № 8, прекрасно лягають на квадратичну параболу. Потім виникають хаотичний аттрактор і шумливі цикли.

    При збільшенні з відображення / «відрощує гостру вершину». У цьому поданні отримується відображення, на відміну від модельного, має гладку вершину і гострий мінімум. Однак заміна виду? П '^ з -? П, де с - підходяща константа, показує, що вони переходять один в одного.

    З'являється друга гілка, яка визначає і цикли, і різні типи хаосу. Наявність гладкою вершини, як обговорювалося раніше, призводить до виникнення складної «віконної структури», а наявність гострого мінімуму породжує «каскад каскадів».

    Нарешті при подальшому збільшенні параметра виникає розтягуюче відображення, при цьому

    ^? П + 1 >1 ^? П

    на всьому перехідному в себе інтервалі (рис. 9). Таким відображенням відповідають біфуркаційних діаграма, позбавлена ​​«віконної» або «фрактальної» структури, «стабільні» ляпуновском показники і «грубий» хаотичний аттрактор. Більш докладно еволюція одновимірних відображень описана в [12].

    0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42 0,41

    0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 Рис. 9. Одномірне відображення, відповідне «грубому» хаосу,

    С1 = 6,5

    1

    Зникнення хаотичних атракторів і бистабильность.

    Аналіз двовимірного відображення, званого підковою Смейла, системи Лоренца, логістичного відображення, а також багатьох інших об'єктів нелінійної динаміки показав, що хаотичні атрактори можуть і з'являтися, і зникати стрибком. Як зазначалося раніше, в ряді робіт це явище називається кризою аттрактора [7].

    Розрахунки показують, що з кризою аттракторов ми маємо справу при збільшенні параметрів с1, с2 або до при зникненні хаотичного аттрактора системи (3). Відповідні одномірні відображення +1 = /) перестають переводити відрізок в себе.

    Оскільки всі траєкторії двухмодовой системи обмежені [7], то після кризи хаотичного аттрактора вони прагнуть до іншого граничного безлічі. Таким при збільшенні з1 > 9,25 є

    стійка особлива точка г | *, 0 * |, що лежить на інваріантної прямий ? > 0, | > 0.

    Результати обчислювального експерименту говорять про те, що ця стійка точка співіснує з хаотичним аттрактором в інтервалі параметрів 9,11 < з 1 < 9,25 (рис. 10). Для розрахунків був викорис-

    Мал. 10. бістабільності в системі (3) при с1 = 9,11

    зован спрощений варіант методу продовження по параметру: зі значень з = 9,26, при яких стійка тільки одна точка, розраховується траєкторія при с1 - АС1 з початковими даними, що лежать в околиці точки з - АС1, що дає точку або інший нехаотіческій аттрактор, потім описана процедура повторюється при сх = с - 2 Ас і т. д. при с = 9,109 особлива точка зазнає біфуркацію Хопфа (біфуркацію народження граничного циклу). В інтервалі 9,107 < з 1 < 9,109 разом з хаотичним аттрактором сосуще-

    ствует граничний цикл. Таким чином, на відміну від логістичного відображення, інших? '- унімодальних відображень і системи Лоренца для двухмодовой системи (3) характерна бистабильность - існування двох атракторів - дивного і нехаотіческого - зі своїми областями тяжіння.

    Це явище характерне для даного об'єкту і при інших значеннях оь Були виявлені зони бістабільності при 5,224 < 01 < 5,226, в якій хаотичний аттрактор співіснує з стійким циклом? 2 (рис. 11), а також в діапазоні значень параметра 5,870 < ох < 5,872, при цьому стійкий цикл? 4.

    Мал. 11. бістабільності в системі (4) при 01 = 5,225

    Висновок. Наведений чисельний аналіз дозволив встановити кілька чудових особливостей аттракторов двухмодовой системи, яка відображає властивості великого класу систем «реакція-дифузія». Була виявлена ​​велика область параметрів, де аттрактор має розтягують і стискає напрямками, розташованими під великим кутом, і з високою точністю може бути наближений розтягують одновимірним відображенням. Це робить його ідеальним об'єктом для ергодичної і гіперболічної теорій.

    Показано якісне відповідність між біфуркаційних діаграмами, що описують народження і знищення дивних атракторів при варіації параметрів оь 02 і до в різних діапазонах. Зокрема, зникнення хаосу в безлічі випадків пов'язано з кризою дивного аттрактора і бістабільності (коли поряд з дивним аттрактором існує особлива точка або граничний цикл).

    Цікаві властивості досліджуваної моделі пов'язані з самоподібності на декількох рівнях (структура бифуркационной діаграми типу «каскад каскадів»). Відповідні одномірні відображення

    мають гладку вершину і гострий мінімум, що призводить до ряду незвичайних неустойчивостей.

    Робота виконана за підтримки Російського фонду фундаментальних досліджень, проекти № 11-01-00887 та № 13-01-00617.

    ЛІТЕРАТУРА

    [1] Николис Г., Пригожин І. Самоорганізація в нерівноважних системах. Москва, Мир, 1979, 512 с.

    [2] Хакен Г. Синергетика. Москва, Мир, 1980, 406 с.

    [3] Курдюмов С.П. Режими з загостренням: еволюція ідеї. Малинецкий Г.Г., ред. Москва, Наука, 1999..

    [4] Turing A. The chemical basis of morphogenesis. Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1952, vol. 237, рр. 37-72.

    [5] Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reacton-diffusion systems. Prog. Theor. Phys., 1975, vol. 54, no. 3, рр. 687-699.

    [6] Кащенко С.А. Про квазінормальних формах для параболічних рівнянь з малою дифузією. ДАН СРСР, 1988, т. 229, № 5, с. 1049-1052.

    [7] Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г, Самарський А.А. Структури і хаос в нелінійних середовищах. Москва, Фізматліт, 2007, 488 с.

    [8] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Stretcin J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1, 2. Mechanica, 1980, vol. 15, no. 1, РP. 9-20; 21-30.

    [9] Боколішвілі І.Б., Малинецкий Г.Г. Про сценарії переходу до хаосу в одновимірних відображеннях з гострою вершиною. Москва, ІПМ, 1987, 28 с.

    [10] Feigenbaum M.J. Universal behavior in nonlinear systems. Los Alamos Sci., 1980, vol.1, no. 1, РP. 4-27.

    [11] Хакен Г. Синергетика. Ієрархії нестійкостей в самоорганізованих системах та пристроях. Москва, Мир, 1985, 419 с.

    [12] Малинецкий Г.Г., Фаллер Д.С. Сценарії переходу до хаосу в двухмодовой системі для систем «реакція-дифузія». ІПМ ім. М.В. Келдиша, Препринти, Москва, 2013, № 67, 36 c. URL: http://library.keldysh.ru/ preprint.asp? Id = 2013 -67

    Стаття надійшла до редакції 02.09.2014

    Посилання на цю статтю просимо оформляти наступним чином:

    Малинецкий Г.Г., Фаллер Д.С. Аналіз біфуркацій в двухмодовой апроксимації системи Курамото - Цудзукі. Математичне моделювання та чисельні методи, 2014 року, № 3, с. 111-125.

    Малинецкий Георгій Геннадійович - д-р фіз.-мат. наук, завідувач відділом Інституту прикладної математики ім. М.В. Келдиша РАН, професор кафедри «Прикладна математика» МГТУ ім. Н.е. Баумана. Автор і співавтор понад 550 наукових публікацій, в тому числі 6 монографій. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Фаллер Дмитро Сергійович народився в 1988 р, закінчив МГТУ «Станкин». Мл. науковий співробітник Інституту прикладної математики ім. М.В. Келдиша РАН. Автор 5 статей.

    r.r. Мaмінецкіu, ff.C. @amep

    Analysis of bifurcations in double-mode approximation for Kuramoto - Tsuzuki system

    © G.G. Malinetsky, D.S. Faller

    Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 125047, Russia

    The article discusses emergence of chaotic attractors in the system of three ordinary differential equations arising in the theory of reaction-diffusion models. We studied the dynamics of the corresponding one- and two-dimensional maps and Lyapunov exponents of such attractors. We have shown that chaos is emerging in an unconventional pattern with chaotic regimes emerging and disappearing repeatedly. We had already studied this unconventional pattern for one-dimensional maps with a sharp apex and a quadratic minimum. We applied numerical analysis to study characteristic properties of the system, such as bistability and hyperbolicity zones, crisis of chaotic attractors.

    Keywords: nonlinear dynamics, double-mode system, reaction-diffusion models, bifurcations, self-similarity, "cascade of cascades", crisis of attractor, ergodicity, bistability.

    REFERENCES

    [1] Nikolis G., Prigozhin I. Samoorganizatsiya v neravnovesnykh sistemakh [Self-organization in nonequilibrium systems]. Moscow, Mir Publ., 1979, 512 p.

    [2] Haken H. Synergetics. Berlin, Heidelberg, N.Y., Springer-Velard, 1978. [Russian edition: Haken H. Sinergetika. Moscow, Mir Publ., 1980, 406 p.].

    [3] Kurdyumov S.P. Rezhimy s obostreniem: evolutsiya idei [Sharpening Regimes: Evolution of Ideas]. Malinetskiy G.G., ed. Moscow, Nauka Publ., 1999..

    [4] Turing A. The chemical basis of morphogenesis. Phyl. Trans. Roy. Soc. London, 1952, vol. 237, pp. 37-72.

    [5] Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems. Prog. Theor. Phys., 1975, vol. 54, no. 3, pp. 687-699.

    [6] Kashchenko S.A. O kvazinormal'nykh formakh dlya parabolicheskikh uravneniy [On the quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion]. Doklady Akademii nauk SSSR - Reports of the USSR Academy of Sciences, 1998, no. 5, vol. 229, pp.1049-1052.

    [7] Akhromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetsky G.G., Samarskiy A.A. Struktury i khaos v nelineinykh sredah [Structures and chaos in nonlinear media]. Moscow, Fizmatlit, 2007, 488 p.

    [8] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Stretcin J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1, 2. Mechanica, 1980, vol. 15, no. 1, pp. 9-20; 21-30.

    [9] Bokolishvili I.B., Malinetsky G.G. O stsenariyakh perekhoda k khaosu v od-nomernykh otobrazheniyakh s ostroy vershinoy [About scenarios of transition to chaos in one-dimensional maps with a sharp top]. Moscow, IPM, 1987.

    [10] Feigenbaum M.J. Universal behavior in nonlinear systems. Los Alamos Sci., 1980, vol. 1, no. 1, pp. 4-27.

    [11] Haken H. Sinergetika. Ierarkhii neustoychivosti v samoorganizuyushchikhsya sistemakh i ustroystvakh [Synergetics. The hierarchy of instabilities in self-organizing systems and devices] Moscow, Mir Publ., 1985, 419 p. [In Russian].

    [12] Malinetsky G.G., Faller D.S. Stsenarii perekhoda k khaosu v dvukhmernoy sisteme dlya sistem reaktsiya-diffuziya [Scenarios of Transition to Chaos in Two-mode System of Systems Reaction-Diffusion]. Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences, Preprints, 2013, no. 67, 36 p. Available at: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013-67

    Malinetsky G.G., Dr. Sci. (Phys.&Math.), Head of the Department of Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences, professor of the Applied Mathematics Department at Bauman Moscow State Technical University. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Faller D.S. (B. 1988) graduated from Moscow State University of Technology "Stankin". Junior research fellow at Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences. Author of 5 papers.


    Ключові слова: Нелінійна ДИНАМІКА /ДВУХМОДОВАЯ СИСТЕМА /МОДЕЛІ "РЕАКЦІЯДІФФУЗІЯ" /біфуркації /самоподібності /"КАСКАД КАСКАДІВ" /КРИЗА аттрактор /ергодичності /бістабільності

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити