Пропонується метод розрахунку перехідних режимів в моделях нелінійних ланцюгів з розподіленими параметрами. Метод є розширенням аналітично-чисельного методу розрахунку динамічних систем на системи з розподіленими параметрами.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Прикота А.В.


Analytical-Numerical Solution of a Cauchy Problem for Systems of Quasilinear Differential Partial Equations of a Hyperbolic Type

The method of a Cauchy problem solution for systems of the quasilinear equations of a hyperbolic type with two explanatory variables is offered. The method is expansion analytically-numerical method of a solution of the ordinary nonlinear nonautonomous differential equations systems on a set of equations in partial derivatives.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2003
    Журнал
    Известия вищих навчальних закладів Росії. Радіоелектроніка
    Наукова стаття на тему 'АНАЛІТИЧНО-чисельний РОЗРАХУНОК ДИНАМІКИ МОДЕЛЕЙ нелінійних ланцюгів З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІТИЧНО-чисельний РОЗРАХУНОК ДИНАМІКИ МОДЕЛЕЙ нелінійних ланцюгів З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ»

    ?-

    =========================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3

    теорія сигналів

    УДК 681.511.4

    А. В. Прикота

    Санкт-Петербурзький державний електротехнічний університет

    "ЛЕТІ"

    Аналітично-чисельний розрахунок динаміки моделей нелінійних ланцюгів з розподіленими параметрами

    Пропонується метод розрахунку перехідних режимів в моделях нелінійних ланцюгів з розподіленими параметрами. Метод є розширенням аналітично-чисельного методу розрахунку динамічних систем на системи з розподіленими параметрами.

    Аналітично-чисельний розрахунок, розподілені параметри, ряд Тейлора, крок розрахунку, системи квазілінійних рівнянь

    В даний час існує велика кількість різних моделей ланцюгів з розподіленими параметрами (ЦРП) [1] - [3]. Більшість з них описуються системами диференціальних рівнянь в приватних похідних гіперболічного типу. У разі, коли первинні параметри моделей ЦРП залежать від струму і / або напруги ланцюга, системи рівнянь, що описують ці моделі, стають квазілінійну. Таким чином, при розрахунку процесів в даних моделях необхідно отримувати рішення систем квазілінійних диференціальних рівнянь гіперболічного типу з двома незалежними змінними, які відповідають початковим умовам в ланцюзі, а також певним вимогам на кордонах ЦРП.

    Система квазілінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних з двома незалежними змінними може бути записана в наступному вигляді:

    - + А- = Ь, (1)

    дt дх

    де w = w (7, х) = [(7, х), -2 (7, х), ..., (7, х)] т - вектор невідомих (t - тимчасова змінна); А = А (^ х ^) - матриця з розміром п х п (х - просторова змінна); Ь = Ь) - вектор з розміром 1х п.

    Нехай G: > 0, а < х < Ь} - область, в якій будується рішення системи (1). Відрізок [а; Ь] може бути необмеженим. Передбачається, що відрізок знаходиться на позитивній частині осі х, в іншому випадку він переноситься в цю частину після відпо-

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3 ======================================

    вующей заміни змінної. Для виділення з нескінченної кількості рішень системи (1) єдиного необхідно задати початкові умови:

    wk (0, x) = w ° (x); (K = 1, ..., n), a < x < b (2)

    і, якщо це необхідно, граничні:

    C [t, a, w (t, a) ^ = 0; (I = 1, ..., ni), (3)

    di [i, b, w {t, b) \ = 0, (i = 1, ..., n2). (4)

    Завдання відповідно до (1), (2) називається задачею Коші; відповідно до формулами (1) - (4) - змішаної завданням.

    Можливість розв'язання задачі Коші в класі аналітичних функцій в даний час досить глибоко досліджена. Доведено існування, єдиність і безперервна залежність від вхідних даних її класичного рішення. Відомо також, що область існування класичного рішення в загальному випадку обмежена, так як рішення квазілінійних рівнянь, на відміну від рівнянь лінійних, мають властивість необмеженого зростання похідних. Дана властивість систем квазілінійних рівнянь отримало назву градиентной катастрофи [4].

    Умови можливості розв'язання змішаної задачі в класі аналітичних функцій також добре досліджені і являють собою умови узгодження рішення і його похідних на кордонах. У разі, якщо умови узгодження невиконані, виникають особливості рішення - рухомі розриви, центровані хвилі розрідження і інші [4]. Якщо ж умови узгодження виконані, то в деякому околі кордонів аналітичний розв'язок задачі існує і є єдиним.

    Отримати точне рішення задачі Коші або змішаної завдання для даних систем рівнянь можна тільки в деяких окремих випадках; в загальному випадку це неможливо. Для отримання наближених рішень використовуються різні методи - різницеві, аналітичні, чисельно-аналітичні. Найбільш поширеним методом інтегрування систем гіперболічних рівнянь є метод характеристик [4]. Цей метод є різницевим і виходить з апроксимації системи (1) різницевими рівняннями на характеристичної сітці.

    У даній статті пропонується метод отримання наближених аналітичних рішень змішаної задачі для систем квазілінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних гіперболічного типу в разі двох незалежних змінних, заснований на аналітично-чисельному методі рішення систем звичайних нелінійних диференціальних рівнянь, викладеному в роботах [5], [6].

    Аналітично-чисельний метод складається з двох частин: аналітичної та чисельної. Аналітична частина методу полягає в знаходженні за допомогою спеціальних перетворень вихідної системи коефіцієнтів рядів Тейлора невідомих точних рішень і у визначенні області існування і єдиності отриманого рішення. Чисельна частина містить в собі процедури вибору допустимого кроку розрахунку і побудови кордонів області, в якій ведеться розрахунок.

    ====================================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3

    Аналітична частина рішення. Запишемо систему (1) в наступному вигляді:

    A (Di, D х) w (tt, x) = G (Di, D x) F (t, x, w) + H (t, x, w, F), (5)

    де Dt, Dx - оператори приватного диференціювання по t і x відповідно; A (Dt, Dx) і G (Dt, Dx) - матриці з розмірами n x n і n x m з поліноміальними коефіцієнтами (Dt, Dx) і gi k (Dt, Dx) відповідно; F (t, x, w) - вектор розмірності 1x m, що містить в собі шукані рішення w (t, x) та додані зовнішні впливи. В вектор H (t, x, w, F) потрапляють все решта члени рівнянь, т. Е. Ті, які не були в матриці A (Dt, Dx) і G (D?, Dx) .

    Поліноми aik (Dt, Dx) і g? k (D?, Dx) мають такий вигляд:

    ai, k (Dt, D x) =? ? Ai? '91 (t, x) Df Dq; gi, k (D, D x) =? (T, x) Df D% .

    P = -Pq = -Q Нехай область G0 - область визначеності рішення задачі Коші відрізка [a; b], тоді Gi, G2, G3 - області, що мають своїми кордонами крайні характеристики області G0 та кінці ланцюга x = a, x = b (рис. 1).

    Як апарату апроксимації невідомого точного рішення w (t, x) поставленого завдання в класі аналітичних х функцій використовуємо апарат рядів Тейлора за часовою змінною t в області G0:

    p = -Pq = -Q

    i i

    G3 /

    G2

    f G0 \

    Мал. 1

    Wk (t, x) = i ^^, k = 1,

    n

    i = 0

    i!

    (6)

    і по просторової змінної x в областях G1, G2, G3:

    k = 1,

    {+ \ V1 Rk, i (t) x

    wk (t, x) = L "

    n.

    i = 0

    i!

    (7)

    В області Go у вигляді рядів Тейлора по змінної ^ представляються також всі елементи вектора Н ^, х, w, Г), що залежать від ^. Аналогічні дії по змінної х виробляються для областей Gl, G2, Gз .

    Підставивши всі статечні ряди в матрицю-стовпець Н (Х, х, w, Г) і виконавши необхідні операції алгебри над ними, одержимо уявлення рядки цієї матриці у вигляді наступних функціонально-статечних рядів:

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3 ======================================

    • для області Gq

    . ® Tki (х) t1

    strkH (t, x, w, f) = ^ ', k = 1, ..., n; (8)

    j = 0 j!

    • для областей Gi, G2, G3

    . ® Tkj (t) xj

    strkH (t, x, w, f) = ^ klK), k = 1, ..., n. (9)

    i = 0 l!

    В результаті цих перетворень систему (5) можна записати у вигляді

    A (D,, D х) w (t, x) = G (D,, Dx) f {t, x) + T (t, x), (10)

    де T (t, x) - матриця-стовпець з розміром 1x n, рядки якої представляють вираження

    (8), (9). Рівняння (5) і (10) тотожні один одному.

    Перетворимо систему (10), використовуючи подвійне перетворення Лапласа, і отримаємо

    A (p, q) W (p, q) = G (p, q) F (p, q) + T (p, q) + Q (p, q), (11)

    де A (p, q), G (p, q) - матриці, знайдені з вихідних матриць A (D,, Dx), G (D,, Dx) заміною операторів D ,, Dx на лапласови змінні p, q відповідно; W (p, q), F (p, q) - вектори зображень шуканих рішень і дій; T (p, q) - вектор, елементи якого являють собою перетворені по Лапласа вираження (8), (9); Q (p, q) - вектор, що містить перетворені по Лапласа початкові і граничні умови.

    Запишемо рішення рівнянь (11) за правилом Крамера:

    wk (p, q) = Ak (? q; л (pqфo, k = 1, •• |, n.

    Привівши подібні члени, отримаємо:

    • для області Gq

    да

    X Bk, n + Jk - i (q) pN + Jk -1

    Wk (p, q) = l = 0-N-; k = 1, n; (12)

    X ci (q) pl

    i = 0

    • для областей G1, G2, G3

    да

    X Bk, N + Jk - i (p) qN + Jk -1

    Wk (p, q) = ^ -N-, k = 1, ..., n, (13)

    X Ci (p) qi

    i = 0

    де Bk j (q) і Ci (p) - деякі функції; Jk = 1, 2, ....

    ====================================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3

    Якщо початкові або граничні умови містять сингулярні складові, то в

    формулах (12), (13) Jk > 0 і рішення wk (t, х) необхідно шукати в класі узагальнених

    функцій.

    Якщо ж початкові і граничні умови є аналітичними функціями і виконані умови їх погодження на кордонах, то Jk < 0, і, отже, рішення

    wk (t, х) також є аналітичним; тоді вираження (12), (13) можна переписати в

    вигляді

    X Bk, n-1 (q) p

    Wk (p, q) = ^

    N-1-i

    N

    X C (q) pi

    i = 0

    k = 1,

    n.

    (14)

    X Bk, n-1 (p) q

    N-1-i

    Wk (P, q) =

    i = 0

    k = 1, ..., n .

    (15)

    N

    X С (Р) 4

    1 = 0

    Після поділу чисельника дробів (14), (15) на відповідні знаменники, отримаємо:

    • для області Оо

    Wr

    k (P, q) = X ^, k = 1, ..., i = 0 P

    n.

    (16)

    для областей Gj, G2, G3

    ^ (Р, 4) =? Щ1, к = 1, •• |, «• (17)

    1 = 0 Ч

    Для обчислення коефіцієнтів (ч) зручно використовувати такі формули:

    % (Q) = Bk, n-1 (q) / cn (q); % (Q):

    i-1

    Bk, n-1-i (q) - X Rk, 1 (q Yn-i + 1 (q)

    1 = 0

    Cn (q). (18)

    Для коефіцієнтів 1 (р) формули (18) переписуються з заміною лапласовой змінної 4 на р .

    Застосувавши зворотне перетворення Лапласа до виразів (16), (17), отримаємо шукані рішення у вигляді функціонально-статечних рядів (6), (7):

    «До (4х) = X, (4х) =? ^^, к = 1, ".

    1 = 0 1 • 1 = 0 1 •

    Коефіцієнти 1 (х), Як> 1 (4) визначаються рекуррентно. Якщо всі вони визначаються єдиним способом, то в силу єдиності розкладання функції в ряд Тей-

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3 ======================================

    лора отримане рішення w (t, x) є єдиним рішенням завдання (1) - (4) в класі аналітичних функцій.

    Рішення в області Gq однозначно визначається початковими умовами w0 (x), k = 1, ..., n [4], тому коефіцієнти R ^ i (x) є відомими функціями від x .

    Рішення в областях Gi, G2, G3 має приймати задані значення на кордоні з областю Gq і задовольняти граничним умовам (3), (4) на кінцях ланцюга [4]. Тому коефіцієнти Rki (t) містять невідомі функції Wk (t, 0), k е N, k < n. Для визначення цих невідомих функцій використовуються умови рівності інваріантів на характеристиках:

    rk (t, x) | w ч = г ° (t, x), k, l e N, k < n, l < n, (19)

    kV 'Jlt = f (x) kV' >t = fr (x)

    де функції rk (t, x) = rk [w (t, x), t, x], k е N, k < n, є інваріантами Рімана системи (1); вираження t = f (x), l e N, l < n є рішеннями рівнянь характеристик тієї ж системи:

    - = ^ k (t, x, w), k = 1, ..., n. (20)

    dx

    Система (19) є системою звичайних нелінійних диференціальних рівнянь щодо функцій Wk (t, 0), k е N, k < n. Вирішивши цю систему за допомогою

    аналітично-чисельного методу [5], [6], знайдемо невідомі Wk (t, 0) у вигляді рядів Тейлора:

    да ti

    Wk (t, 0) = X Lkj-, k е N, k < n, (21)

    i = 0 i •

    а також області t <% K, в якій ці ряди сходяться.

    Підставивши отримані функції (21) в коефіцієнти Rk? (T), отримаємо шукане рішення (7).

    Для визначення області збіжності отриманих рядів (6), (7) використовується метод мажоранту, для якого досліджуються коефіцієнти Rki (x), R ^ (t). Якщо ці коефіцієнти мають розриви першого або другого роду в деяких точках розглянутого інтервалу, то отримане рішення, очевидно, не є аналітичним в цих точках і належить класу узагальнених функцій. Якщо ж вони є безперервними функціями свого аргументу на всьому інтервалі дослідження, то знаходяться їх максимуми Rkj max на цьому відрізку і будуються мажорантності ряди:

    R | \ ti R | \ xi

    / Л \ k, i max '/ \ sr ^ \ k, i max Л tl Л \

    WM k (t) = L - ^^, WM k (x) = L-, (k = 1, n). (22)

    i = 0 i • i = 0 i •

    ====================================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3

    Радіуси збіжності рядів (6), (7)% k, Xk будуть завжди більше радіусів збіжності

    тм k, Хм k відповідних мажорантності рядів (22), т. е.

    Tk >Тм k, Xk >Хм k, k = 1 n. Верхні оцінки радіусів збіжності мажоранту рядів (22) т'м k, хм k виробляються за формулами, запропонованими в роботах [5], [6].

    Чисельна частина рішення. Розглянемо чисельну частину рішення в різних областях.

    1. В області G0. Чисельна частина побудови рішення задачі (1) - (4) в цій області починається з вибору величини кроку розрахунку hi по змінної t, що не виходить за межі області збіжності рядів Тейлора (6). В кінці обраного кроку розрахунку отримані числові ряди

    (H. ® Rkl (х) h? K 1 wk (hi, x) = -, k = 1, n

    | N i!

    i = 0

    замінюють відповідними сумами

    I

    П Т) ^ kRk, i (Х) hi , ,

    wk (hi'x, Ik) = ь,, k = 1, n, (23)

    | N i!

    i = 0

    де - порядок полінома. В результаті цієї заміни виникає похибка розрахунку

    Комерсант "до х 1к) =« до х) - «до (Ь, х 1к) = X Кк'1 (Х ^ І, до = 1, п • (24)

    1 =? К +1 1!

    Позначимо верхню оцінку похибки (24) символом | Д «(1к) |, тоді

    | 5 «до (ht, x,? К) | АА «до (Іг, 1к) | •

    Для формування оцінки | Д «(^^ к) використовуються мажорантності ряди (22):

    да Я до ^ ред \

    \ Ь «до (? К) | < ^ 1 1 =? К 1 •

    і формули, запропоновані в [5], [6].

    Функції «до (І ^ х,? К) представляють собою дуже складні, громіздкі вирази.

    Для їх використання в якості початкових умов на наступному кроці розрахунку необхідно надати їм більш простий вигляд. Для цього в кінці поточного кроку розрахунку проводиться апроксимація функцій «до (І, х,? К) простими функціями« до ап (І {, х,? К) (наприклад, тригонометричними, статечними полиномами та ін.). В результаті такої апроксимації виникає ще одна похибка розрахунку - похибка апроксимації:

    5 «до ап? К) =« до (ht, x,? К) - «до ап (ht, x,? К). (25)

    Позначимо верхню оцінку похибки (25) символом А «ап (ht,? К), тоді

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3 ======================================

    \ Awk ап (ht '? K) | = Max {IS wk ап (htX? K) |}, a ^ x ^ b •

    Таким чином можна визначити локальну похибка розрахунку, т. Е. Похибка, яка виникає на кожному кроці розрахунку і не залежить від результатів, отриманих на попередніх кроках розрахунку. Модуль величини цієї похибки визначається наступним чином:

    8 wk повн (hf'X? K) | = | 8wk (htX? K) | + 18wk ап (htX? K) | • Нехай | Д Wk повн (hf'X,? K) | - верхня оцінка локальної похибки,

    | 8 wk підлоги (ht 'X? K) | ^ | Awk підлоги (ht 'X? K) |, тоді

    \ L ^ Wk повн (? K) | = | Awk (ht'X? K) | + | Awk повн (ht'X,? K) • Величина накопиченої за кілька кроків розрахунку похибки визначається величиною похибки на кожному кроці розрахунку, а також чутливістю системи (1) до змін початкових умов.

    Таким чином, в кінці поточного кроку розрахунку оцінюється локальна похибка і в разі, якщо верхня оцінка локальної похибки задовольняє вимогам до точності розрахунку, то функції wk ап (? K), k = 1, ..., n, стають початковими умовами на наступному кроці розрахунку і процедура аналітично-чисельного рішення повторюється. Якщо ж верхня оцінка локальної похибки не задовольняє вимогам до точності розрахунку, то для зниження її величини або зменшується крок розрахунку ht, або збільшується ступінь полінома (23)? K.

    2. В областях Gi, G2, G3. Області Gi, G2 розбиваються на підобласті G10, G11, G12, •••, G20, G21, G22, •••, межі яких є характеристиками

    вихідної системи (рис. 2). Рішення завдання будується в цих областях послідовно, т. Е. На нульовому кроці розрахунку знаходиться рішення в областях Gi 0, G2 0, на першому кроці -

    в областях Gi 1, G2 1 і т. д.

    Аналітичне рішення знаходиться в вигляді рядів Тейлора (7) в околицях розрахункових точок O, O1, O2, ..., O ', O \, O2, ...;

    при цьому на прямих x = 0, X1, X2, ..., L, X1, X2, • ••, де X1, X2, •••, X1, x2, ... - координати по осі x точок O1, O2, • ••, O1, O2, ... відповідно, рішення знайдено з системи (19) у вигляді рядів (21) за допомогою аналітично-чисельно-

    O

    O '

    Мал. 2

    ====================================== Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3

    го методу розв'язання систем звичайних диференціальних рівнянь [4], [5]. Ці ряди замінюються кінцевими сумами:

    I0, k Л

    wk (t, 0) = X Rk, i -, (k e N), (k < n) (26)

    i = 0 i •

    з верхньої оцінкою локальної похибки | Awk (htJk) |. Межі областей Gю, Gn, G12, • ••, G2o, G21, G22, ••• будуються за допомогою розкладання в ряд Тейлора рівнянь характеристик (20) в кінці обраного кроку по t:

    да i

    t = ZKk, 1 ^ 7, k = 1 n, t \ i • i = 0

    при цьому ряди замінюються відповідними сумами:

    ?t'k xi

    t = E Kki-, k = 1, ..., n, (27)

    i = 0, i •

    де Kk i - коефіцієнти розкладання.

    Точки перетину крайніх з цих характеристик з межами області, визначених на попередніх кроках, повністю окреслюють межі поточних областей розрахунку

    G1, i, G2, i.

    Для наступних кроків розрахунку поряд з рівняннями кордонів розрахункових областей на-

    ходятся також і інваріанти на них: r0 (t, x)

    , k, l e N, k < n, l < n.

    t = fl (x)

    Похибка розрахунку в областях Про ^, О2 залежить від порядків полиномов (6), (26), (27):? К, / 0 ?,? 1 до, до е N, до < п, і кроку розрахунку'г.

    Після того як отримано рішення в областях Про ^, 02 тим же способом знаходиться

    рішення в області О3.

    Приклад. Розглянемо задачу підключення знеструмленій двухпроводной нелінійної довгої лінії до джерела синусоїдальної напруги.

    Рівняння обраної моделі довгої лінії мають такий вигляд:

    , X)

    di (t, x) du (t, x), ч ^ ' > = СД + G0u (t, x),

    dx A dt

    du (t, x) di (t, x), ч - = L0 + R0i (t, x),

    dx 0 dt ^ v '

    Сд = С0 + Ciu (t, x) .

    де і (?, х), Щ, х) - напруга і струм в лінії відповідно; Сд, Од, Ь0, Яо - погонні

    динамічна ємність, провідність, індуктивність і опір лінії відповідно.

    Початкові умови і (0, х) = 0, / (0, х) = 0. Умови на кордоні х = 0: і (?, 0) = gl (^). Необхідно знайти струм і напруга в лінії.

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3 ==============================

    1. Аналітична частина рішення. Запишемо вихідні рівняння у вигляді (3):

    A (Dt, D x) w (t, x) = G (Dt, D x) F (t, x, w) + H (t, x, w, F)

    де w (t, x) = [u (t, x), i (t, x)] T; A (Dt, D x) =

    <Dx Lq Dt + Rq ^ V CqD / + Gq D

    Q ^ x

    ; G (Dt, Dx) =

    'Q Q ^ VQ Qy

    H (t, x, w, F) =

    - i

    ^ QuD ^ 4 Q

    Рішення шукаємо у вигляді рядів Тейлора: wk (t, x) = ^

    Rk, i (t) x

    i = 0

    i!

    k = i, 2. Тоді

    D / Ry (t) x

    Dtu = ^^^ ^, H (t, x, w, F) = -CiuDtu = ^^ '' i "" = S-

    Rl, i (t) xi ® DtR ', i (t) xi ® T', i (t) x

    i!

    i!

    i!

    i!

    I = 0 I = 0 I = 0 I = 0

    Перетворимо отримані рівняння по Лапласа з урахуванням виразу для

    H (t, x, w, F): Dt ^ p, Dx ^ q; A (p, q) W (p, q) = T (p, q) + Q (p),

    де A (p, q) =

    q LQ p + ro

    cq p + gq q) Знайдемо U (p, q) і I (p, q):

    ; T (p, q) =

    $ TiiM

    ^ J + 1

    V

    i = q q

    Q

    ; Q (p) = [u (p), I (P)] T.

    U (p, q) =

    да T (p)

    qU (p) - (Lqp + Rq) I (p) - (Lqp + Rq) X

    i = 0 q

    I (p, q) =

    q2 - (Lq p + Rq) (Cq p + Gq)

    qI (p) - (Cq p + Gq) U (p) + q? Ц ^

    i = 0 q

    q2 - (Lq p + Rq) (Cq p + Gq)

    Після поділу числителей дробів на відповідні знаменники маємо:

    і (Р д) = ЧИ_ (? 0Р + Яр) I (Р) _ (? 0Р + Я) Т0 (Р) - (? 0Р + Щ) (С0р + Go) і (р) +

    q

    q

    q

    і) _ I (p) (Соp + Go) I (p) - Tq (p) T (p) - (Lop + RQ} (CQP + Go) I (p) +

    Дp, q) _ ---- 2 - + - 3 + •

    q q q

    Виконавши зворотне перетворення Лапласа, отримаємо шукані рішення: (LqD + RQ) I (t)

    [(T, x) = U (t)--

    -x -

    (LqD / + Rq) Tq (t) - (LqD / + Rq) (CqD / + Gq) U (t) x2

    - + ... =

    ? R'ii (t) xi

    i = 0

    i!

    2

    c

    2

    2

    c

    = Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3

    i (,. x) _ I (t) - (C0Dt + G0) / ( ') - 70 (t) "

    c2

    7 (t) - (LA + R) (CA + G0) I (t) x2 + _ "R2, i (t) x1

    c2 2 + " '_% i!

    u i = 0

    інваріанти системи

    , ч / ч I- 2 ГС + C1u (t, x)] 3/2 - c0 / 2

    r (t, x) = i (t, x) jL0 + 310 11 с -;

    3 З

    r2 (t, x) = i (t, x)>Д0

    2 ГС + C1u (t, x)] 3/2 - С03 / 2

    3 С1

    рівняння характеристик

    = [С0 + С1і ^, х)]. (28)

    Проинтегрировав рівняння (28) за допомогою рядів Тейлора в околиці розрахункової точки, отримаємо:

    ® л, - x

    t = Е ~ ТТ \ 0 [З + Qu (t, x)], - = f (x); (29)

    xi

    i = 0 dx 't = 0, x = 0

    i •

    ^ dl

    t = X ТГ i = 0

    i. \

    dxi

    ^ 0 [C ^ c \ u [t, x I

    i = 0 dx 't = 0, x = 0

    x |

    xi

    ^ = F 2 (x). (3 °)

    В областях, що примикають до кордону ланцюга х = 0, напруга і (V) = gl (V) задано, ток I (V) знаходиться з умови безперервності інваріанта Г2 (V, х) на характеристиці (30): г2 (?, Х ) = Г2 (V, х), V = / 1 (х). В інших областях і (V) і I (V) невідомі і визначаються з умови безперервності інваріанта г (V, х) на характеристиці (29) і інваріанта Г2 (V, х) на характеристиці (30).

    2. Чисельна частина побудови рішення. Виходячи з заданого рівня локальної похибки розрахунку в (до {) = [б (\ в (\ ^^ в вузлах розрахункової сітки О, Оу, О2, ..., вибирається порядок поліномів Тейлора I = [? В,? 2] т , 10 = [? 01,? 02] Т, I / = [? М,? / 2] Т і крок розрахунку'г.

    Вибіркові результати аналітично-чисельного рішення задачі із заданим рівнем локальної похибки розрахунку е () = [10000, 50] Т на лінії х = 0 наведені в таблиці, де: X (^ '? К) | - сума верхніх оцінок локальних похибок з першого

    кроку розрахунку до поточного включно.

    На рис. 3 наведено графік струму на лінії в перерізі х = 0 .

    Завдання вирішувалася при наступних чисельних значеннях параметрів системи:

    Известия вузів Росії. Радіоелектроніка. 2003. Вип. 3 =

    t, ht, Aw2 (ht, Ik) 'Z Aw2 (ht, Ik), t, ht, Aw2 (ht, Ik)' Z Aw2 (ht, Ik) ,

    мс мс А А мс мс А А

    0.25 0.25 3.81 3.81 1.31 0.28 1.05 10.21

    0.55 0.30 2.42 6.23 1.58 0.27 0.86 11.07

    0.77 0.22 1.62 7.85 1.83 0.25 0.72 11.79

    1.03 0.26 1.31 9.16

    I, кА 2.0 1.5 1.0 0.5

    С0 = 8.46998 -10-12 [Ф / м],

    0

    0.5

    1.0 1.5 Рис. 3

    2.0

    t, мс

    C = 0.104 -у-15 [о / (в • м)], L0 = 0.131182-10-5 [Гн / м], R0 = 5.4-10-3 [Ом / м], G0 = 4.1-10-10 [См / м], u (t, 0) = g1 (t) = 240000 [1 + cos (314t)] [В].

    Таким чином, запропонований аналітично-чисельний метод рішення змішаної задачі для систем квазілінійних рівнянь гіперболічного типу дозволяє отримувати приблизні аналітичні рішення задачі із заданим рівнем локальної похибки.

    бібліографічний список

    1. Караєв Р. І. Перехідні процеси в лініях великої протяжності. М .: Енергія, 1978. 191 с.

    2. Каганов З. Г. Електричні кола з розподіленими параметрами і ланцюгові схеми. М .: Енерго-Атомиздат, 1990. 248 с.

    3. Костенко М. В. Техніка високих напруг. М .: Вища. шк., 1973. 528 с.

    4. Різдвяний Б. Л., Яненко Н. Н. Системи квазілінійних рівнянь та їх застосування до газової динаміці. М .: Наука, 1978. 687 с.

    5. Бичков Ю. А. Аналітично-чисельний розрахунок динаміки нелінійних систем / ІСЦ ГЕТУ. СПб., 1997. 368 с.

    6. Бичков Ю. А., Щербаков С. В. Аналітично-чисельний метод розрахунку динамічних систем. СПб .: Вища школа, 2001. 344 с.

    A. V. Prikota

    The Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

    Analytical-Numerical Solution of a Cauchy Problem for Systems of Quasilinear Differential Partial Equations of a Hyperbolic Type

    The method of a Cauchy problem solution for systems of the quasilinear equations of a hyperbolic type with two explanatory variables is offered. The method is expansion analytically-numerical method of a solution of the ordinary nonlinear nonautonomous differential equations systems on a set of equations in partial derivatives..


    Ключові слова: КРОК РОЗРАХУНКУ / АНАЛІТИЧНО-чисельний РОЗРАХУНОК / CALCULATION STEP / РОЗПОДІЛЕНІ ПАРАМЕТРИ / РЯД ТЕЙЛОРА / TAYLOR SERIES / СИСТЕМИ квазілінійну РІВНЯНЬ / SYSTEMS OF THE QUASILINEAR EQUATIONS / ANALYTICAL-NUMERICAL ACCOUNT

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити