Отримано узагальнене тривимірне рівняння балансу енергії циліндра, що обертається з постійною кутовою швидкістю з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла. Знайдено тривимірне температурне поле полого циліндра, що обертається з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Бердник М.Г.


A generalized three-dimensional equation of energy balance of rotating cylinder with constant angular velocity, taking into account the finite speed of heat was received in the paper. Three-dimensional temperature field of empty rotating cylinder taking into account finite speed of heat distribution was found.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2015


    Журнал: Інститут проблем математичних машин і системи


    Наукова стаття на тему 'аналітичний розв'язок узагальненої Крайової задачі теплообміну циліндра, Який обертається'

    Текст наукової роботи на тему «аналітичний розв'язок узагальненої Крайової задачі теплообміну циліндра, Який обертається»

    ?УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК *

    АНАЛ1ТІЧНІЙ розв'язок УЗАГАЛЬНЕНО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 ТЕПЛООБМ1НУ ЦІЛ1НДРА, Який ОБЕРТАСТЬСЯ

    Державний вищий навчальний заклад «Нацюнальній гiрнічій ушверсітет», Дншропетровськ, Украна

    Анотація. У cmammi ОТРИМАНО узагальнене трівім1рне р1вняння балансу енергп цілтдра, Який обертаеться з постiйною Кутовий швідюстю D з урахуванням скiнченностi Величини швідкостi Поширення тепла. Полтава трівімiрне температурне поле порожнє цілтдра, Який обертаеться, з урахуванням скiнченностi Величини швідкостi Поширення тепла.

    Ключов1 слова: узагальнене рiвняння переносу енергп, ттегральт превращение Ханкеля, Лапласа, Фур'є.

    Анотація. Отримано узагальнене тривимірне рівняння балансу енергії циліндра, що обертається з постійною кутовою швидкістю з з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла. Знайдено тривимірне температурне поле полого циліндра, що обертається з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла.

    Ключові слова: узагальнене рівняння переносу енергії, інтегральні перетворення Ханкеля, Лапласа, Фур'є.

    Abstract. A generalized three-dimensional equation of energy balance of rotating cylinder with constant angular velocity CD, taking into account the finite speed of heat was received in the paper. Three-dimensional temperature field of empty rotating cylinder taking into account finite speed of heat distribution was found.

    Keywords: generalized equation of energy transfer, integral transforms of Hankel, Laplace, Fourier.

    1. Вступ. Постановка проблеми, аналп останшх дослщжень i публжацш

    У феноменолопчнш теори теплопровщносп передбачаеться, что швідюсть Поширення тепла е нескшченно великою [1, 2]. Однако при високих штенсівніх нестацюнарніх проце-сах, что спостер ^ аються, например, при Вибух, надзвуковіх потоках, великих швідкос-тях Обертаном Вплив скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла на теплообмш зграї поманив [2-4]. У [2] показано, что р1вняння переносу енергп у випадка узагальненого закону теплопровщносп Фур'є справедливе для одновім1рного, однорщного i стацюнарно-го простору.

    Питання про можлівосп узагальнення рiвняння переносу на трівімiрній випадок Розглянуто у [4].

    Метою роботи е розробка Нових узагальненіх трівімiрніх математичних моделей температурних розподшв у Рухом середовіщi у виглядi Крайова завдань математічно'1 фiзікі для рiвняння теплопровщносп та розв'язання отриманий Крайова завдань для рiвняння теплопровщносп, розв'язки якіх Використовують тд годину керування температур-ними полями.

    2. Постановка задачi

    У [5] ОТРИМАНО узагальнене рiвняння переносу енергп для рушшного елемента суцшьного середовища з урахуванням скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла. Згщно з [5], узагальнене рiвняння балансу енергп твердого тша, Пожалуйста обертаеться, з постшною Кутовий швідюстю d вокруг ос OZ, теплофiзічнi властівосп которого НЕ залежався вщ темпе-ратури, а внутршш джерела тепла вщсутш, в цілшдрічнш системи координат z)

    прийомів вигляд

    © Бердник М.Г., 2015

    ISSN 1028-9763. Математічш машини i системи, 2015-го, № 4

    вус-

    дт дт

    дх

    ю-

    дф

    д2Т

    д2Т

    дх2

    -ш-

    дфдх

    = А

    д2Т 1 дт 1 д2Т д2Т

    ДГ г ДГ г дф ДГ

    (1)

    де у - щшьшсть середовища, з - Питома теплоемшсть, Т - температура середовища, X-годину, рр - годину релаксацп.

    Розглянемо розрахунок нестацiонарного неосесіметрічного температурного поля порожнього цілшдра скшченно! ' Довжина L, Який обертаеться з постшною Кутовий швид-кiстю < вокруг осi OZ з урахуванням кшцево! ' швідкостi Поширення тепла. Теплофiзічнi властивостi его НЕ залежався вщ температури, а внутрiшнi джерела тепла вщсутш. У поча-тково момент часу температура цілшдра постшна -, а на зовшшнш i внутрiшнiй по-

    Верхня цілшдра температура вщома i НЕ Залежить вщ часу 0 (г, р) 1. 01 (г, р) вiдповiдно.

    Математично задача визначення температурного поля цілшдра складаеться в Штег-руванш діференщального рiвняння теплопровiдностi (1) в обласп

    Б = {(р, р, г, X) \ ре (ро, 1), ре (0,2я) 2 е (0,1), 1 е (0, так)},

    что з урахуванням прийнятя допущених запишеться у відi

    д 2в

    дв дв

    --V <--V г

    д X д р 'д X

    з початкових умів

    2 + рр<

    д 2в

    а

    д рдX Яг

    д2в 1 дв + -

    Др2 РДР р2 д р2

    1 д2в

    | + Х

    д 2в ДГ 2

    в (р, р, г, 0) = 0, дв (Р, р, Г, 0) = 0

    д X

    (3)

    (4)

    i граничних умів

    в (р, р, 0, X) = 0, в (р, р, 1, X) = 0

    в (р0, р, г, X) = Ж (г, р), в (1, р, г, X) = V (г, р),

    (5)

    (6)

    де

    в = Т (л ^ X) -00 - вщносна температура цілiндра, Ттах = тах {0 (г, р), 01 (г, р)},

    Ттах 00

    Т '/ I.

    р = -, Я - зовшшнш радiус цілшдра, х = (Я, а = - - коефщент температуропро-Я су

    вщносп, 0 (г, р), 01 (г, р) е С (0,2 ^).

    Тодi завзяття Крайова 'задачi (3) - (6) в (р, р, г, X) е двiчi неперервно діференцшова-

    ним по р, г i р, один раз по X в обласп D i неперервно на Б [6, 7], тобто

    в (р, р, г, X) е С2,1 (б) П з (б), а функцп в (р, р, г, X) i V (р, г), Ж (р, г) могут буті розкла-денi в комплексний ряд Фур'є [7]:

    в (р, р, г, X) вп (р, г, X)

    V (р, г) + Х> > = Е • Vn (г)

    . Ж (р, г) _ п = -так. Жп (г) ,

    • ехр (тр),

    (7)

    дe

    On {p, z, t) V {z) W "{z)

    1 2n

    2n про

    ° {p, c, z, t) V {c, z) W {c, z)

    - exp (-inc) dc,

    дe

    в, (p, z, t) = el (p, z, t) + i ^ p, z, t), V (z) = V «(z) + i Vj2) (z), W (z) = W "U (z) + i Wf (z), i - yявнa oдініця.

    З oглядy на тe, щo O {p, c, z, t) - функщя дшсна, oбмeжімocя нaдaлi poзглядoм On {p, z, t) для n = 0,1,2, ..., тому щo On {p, z, t) i O- n {p, z, t) 6удуть кoмплeкcнo cпpяжeні-ми [8]. Пiдcтaвляючі знaчeння функцш з (7) у (3) - (6), oдepжімo cіcтeмy діфepeнцiaльніх piвнянь:

    дО {J? л t \ д2O (iJ

    +)? \ M) + т д On + т $

    + ^ П ° п + 1 r "2 + r ^ n

    {I)

    дО

    {Mi)

    д t

    д t2

    д t

    R2

    2й {i)

    д 2О

    | +

    1 дО

    {I)

    n

    2

    2д {i) '

    д 2О

    - o {i) + v

    2 n 2 p ін p2 1z2

    (8)

    a

    з пoчaткoвімі yмoвaмі

    eW (p, z, 0) = 0, дв ^) (p 'z'0) = 0 (9)

    , ! > dt

    i гpaнічнімі yмoвaмі

    ei ° (p, про, 0 = 0, en ip, l, 0 = 0, (10)

    ОІ W t) = W {\ z), ОІ ') {l, t) = V «\ z), (11)

    дe = -an, Ф2 = an, m = 2, m = 1 '' = 1,2.

    Зacтocoвyeмo дo cіcтeмі діфepeнцiaльніх piвнянь (8) iнтeгpaльнe пepeтвopeння Хaнкeля [9, 10]:

    l

    f (и) = J p f (p) фі, до (И p) dp '(12)

    p0

    Дe ^ n, k U », kPJ = Yn {Mn, kP0 Jn {? N, kp) - Jn {Іп, КРО До {? N, kp} 'Jn {x), Yn {x) - фунКЩ1 Бecceля

    Iго. его го |

    1 i 2 poдy n пopядкy вiдпoвiднo,? Nk - кopнi тpaнcцeндeнтнoгo piвняння

    Yn IMn, kP0 Jn IMn, k) - Jn {Mn, kP0 До IMn, k J = 0 'якi м ° жна найти за фopмyЛoю [5]

    Mn, k = a + pa ~ l + {q - P2) - + {r - 4pq + 2p3) - + ..., дe S = k ^ (f0 -1), p = (ml) (8p0) - 1, q = 4 (ml) (m-25) (p03 -l) [- l) (SpJ3

    r = 32 (m - l) (m2 -114m + 1073) (p05 - l) 5 (8p0) 3 (p0 -1) 1 \ m = 4n2. Фopмyлa oбepнeнoгo пepeтвopeння травні вигляд

    ri \? y «, k U«, kp) -ri \

    f {P) = T-r-f {? n, k J '(13)

    k = про y 2

    n, k

    де iKkl | 2 = 1 fan, k (ІІ, k f -p0 fc, k (^ n, kpoo) P};% k (Mnkp0)

    d ^ n k (Mn, kp)

    d (? n, k p)

    p = po

    У резyльтатi одержyeмо cіcтемy діференщальніх рiвнянь:

    дв ((

    д t

    er Ч т

    дв (

    д t

    2n (i)

    + тг

    д? в

    дх2

    a

    R1

    22)

    і про (ii - і 2 e (i) + у

    д 2

    дz2

    з початкових yмовамі

    - i Л / ч дв (i) (z, 0)

    в ( ') (z, 0) = 0, n = 0

    (15)

    дt

    i граничних yмовамі

    вni o, t) = o, ВЦ l, 1) = o,

    де O ^ = po ^ n, k Wkpo W) (z) -% k Wk У%), i = 1,2.

    Заcтоcовyeмо до ^ стеми діференцiальніх рiвнянь (14) iнтегральне превращение

    Фyр'e:

    l

    f (Ат) = J f (x) sin (n | m | x) dx,

    o

    де -n = ж | m, m = 1,2, ..., а формyла оберненого превращение травні вигляд

    ?

    f (X) = Sin ^ m ^ x) ^ f (Xm).

    m = l

    У резyльтатi одержyeмо cіcтемy Звичайно діференцiальніх рiвнянь:

    (16)

    ddt d t

    i)

    в.

    diв,

    + Т |

    nr

    з початкових yмовамі

    d t

    с! 1в () a

    dt2

    R2

    і про (Х- (і \ + А2) в {i)

    г n, k n, k yr n, k m j n

    (17)

    e () (z, o) = o,

    ^ (Z, 0) Q дt .

    Заcтоcовyeмо до ^ стеми діференцiальніх рiвнянь (17) штегральне превращение Лаплаcа:

    ?

    f (s) = J f (т) dт.

    У резyльтатi одержyeмо cіcтемy алгебршчніх рiвнянь вiдноcно Вn):

    se (:) + видання «

    f (m} + тяв,

    '(M)

    + Т-s 2в () = qt

    n, k

    i (0 f * n, k ^ n, k Q (i)

    Hnk Qn

    Vn, k m

    (18)

    n

    o

    а / 2 + 2 \ де Чп, к = - | У ^ пл + Л т), I = 1,2. До

    Розв'язано систему рiвнянь (18), одержуемо

    М ((, * 2 + * + Я "*) + (- 1) '+ 1®п Й ^ (1 + ()

    'П ^ пк

    ((, * 2 + * +) 2 + ш2 п 2 (1 + ятг)

    де а = - і I = 1,2.

    п, до ^ пк

    Застосовуючі до зображення функцш (19) формули оберненого превращение Лапласа, одержуемо орігшалі функцш:

    ^ '(') -? з (* | > {Йк х

    = 1

    2т я +1) + т шт

    г]) г

    + Я (21 х

    п, до

    т шп- (2т я. + 1) /

    Г \ Г]

    * л

    хв} +

    (20)

    +? сп, до (я]) х Ш (1) х

    ] = 3

    2т я +1) -т шт

    Г] -

    + &Т1 х

    п, до

    т, шп + (2т. я +1) /

    хв} ,

    2

    ? ] (<) -? з п, до (я]) х Ш * х [(2т, я] +1) + т,

    ] = 1

    4

    ? З п, до (я]) х {^ х [(2т, 3] +1) -т, ш

    ] = 3

    шт

    -№ х

    п, до

    т шт

    Г

    | (2 т, я] +1) /

    +

    (21)

    -&Ч х

    п, до

    (2т, + 1) ']}' е '\

    тг шп + (2т, я, +

    (\ 0

    де? пк ($]) = 7-у? -7- \ 2, а значення Я] для] = 1,2,3,4 визначаються за фо-

    , \ 2 (г8] +1) + {(га>п)

    рмуламі

    * 2 =

    * 3, * 4 =

    (Т, шт -1) + т, шп /)) - 4т, дп, до

    2т, _

    (Т, ют +1) -т, шт) 2 - 4т, д "до

    Таким чином, з урахуванням формул оберненіх Перетворення (13) i (16) одержуемо температурне поле порожнє цілшдра, Який обертаеться з постшною Кутовий Швидко-тю про вокруг осi OZ нескшченно'1 довжина з урахуванням кшцевоi швідкосп Поширення тепла:

    в (р, ф, г) = Е

    <х / <х

    Е 2 Е

    к = 1 \ т = 1

    в «(/) + < • ВП2) (?) 1т (ж т z)). ^ До *

    п, до

    • ехр (? Пф), (22)

    де значення в (1 () \ в ^ (/) визначаються за формулами (20), (21).

    п = х>

    3. Висновки

    Отримав узагальнене piB ^ Hra переносу енергл для рушшного елемента суцшьного сере-довіща (1). Полтава температурне поле порожнє цілшдра (22), Який обертаеться з постiйною Кутовий швідюстю про вокруг осi OZ скшченно! Довжина L з урахуванням xi-нцево! швідкостi Поширення тепла у виглядi збiжніх ортогональних рядiв за функщямі Бесселя i Фур'є. Знайденій аналггічній розв'язок узагальнено! Крайова! задачi теплообміну ну цілiндра, Який обертаеться, з урахуванням скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла может найти! застосування при модулюванш температурних полiв, якi вінікають у багатьох техшчніх системах (в супутник, прокатних валках, турбшах та iн.).

    СПИСОК Л1ТЕРАТУРІ

    1. Берд Р. Явища переносу / Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. - М., 1974. - 686 с.

    2. Ликов А.В. Теорія теплопровідності / Ликов А.В. - М .: Вища школа, 1967. - 599 с.

    3. Лакуста Л.В. Деякі оцінки меж застосовності гіперболічного рівняння теплопровідності / Л.В. Лакуста, Ю.А.Тімофеев // ІФЖ. - 1979. - Т. 37, № 2. - С. 366 - 370.

    4. Підстригач Я.С. Узагальнена термомеханіки / Я.С. Підстригач, Ю.М. Коля. - Київ: Наукова думка, 1976. - 310 с.

    5. Бердник М.Г. Аналпічній розв'язок узагальнено! Крайова! задач1 Неймана теплообм1ну суцшьного ціл1ндра, Який обертаеться, з урахуванням кшцево! швідкосп Поширення тепла / М.Г. Бердник // Вюнік Дншропетровського ушверсітету. - (Сер. «Мехашка»). - 2005. - № 10. - С. 197 - 202.

    6. Михлин С.Г. Лінійні рівняння в приватних похідних / Михлин С.Г. - М .: Вища школа, 1977. - 427 с.

    7. Толстов Г.П. Ряди Фур'є / Толстов Г.П. - М .: Наука, 1980. - 384 с.

    8. Грей Е. Функції Бесселя та їх застосування до фізики і механіки / Е. Грей, Г.Б. Метьюз. - М .: ІЛ., 1949. - 386 с.

    9. Галіциної А.С. Інтегральні перетворення і спеціальні функції в задачах теплопровідності / А.С. Галіциної, А.І. Жуковський. - Київ: Наукова думка, 1979. - 561 с.

    10. Грінберг Г.А. Вибрані питання математичної теорії електричних і магнітних явищ / Грінберг Г.А. - М.-Л .: Изд-во АН СРСР, 1958. - 732 с.

    Стаття над1йшла до редакцп 15.06.2015


    Ключові слова: GENERALIZED EQUATION OF ENERGY TRANSFER /INTEGRAL TRANSFORMS OF HANKEL /LAPLACE /FOURIER /Узагальнення рівняння ПЕРЕНЕСЕННЯ ЕНЕРГІЇ /ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ Ханкеля /Лапласа /ФУР'Е

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити