Розроблений авторами метод збурень дозволив звести рішення складних задач теорії пружності анізотропних середовищ до послідовного розв'язування крайових задач теорії потенціалу. Досліджено ряд складних нових завдань, зокрема, про передачу навантаження від жорсткого штампа до кругового сектору з циліндричної анізотропією.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Кагадій Т.С., Бєлова О.В., Щербина І.В.


THE ANALYTICAL APPROACH TO A SOLUTION OF SOME CONTACT TASKS

The elaborated by authors perturbation method is allowed to reduced the solution of complicated problems of linear elasticity to subsequently solved boundary problems of potential theory. New linear problems are investigated, in particular, problem on load transference from stamp to circular plate with curve.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД ДО ВИРІШЕННЯ ДЕЯКИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД ДО ВИРІШЕННЯ ДЕЯКИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ»

    ?УДК 539.3

    Т.С. Кагадій

    Національний гірничий університет

    О.В. БЄЛОВА, ІВ. ЩЕРБИНА

    Національна металургійна академія України

    АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД ДО ВИРІШЕННЯ ДЕЯКИХ КОНТАКТНИХ

    ЗАВДАНЬ

    Розроблений авторами метод збурень дозволив звести рішення складних задач теорії пружності анізотропних середовищ до послідовного розв'язування крайових задач теорії потенціалу. Досліджено ряд складних нових завдань, зокрема, про передачу навантаження від жорсткого штампа до кругового сектору з циліндричної анізотропією.

    Ключові слова: штамп, взаємодія, анізотропія, асимптотический.

    Т.С. КАГАД1Й

    Нацюнальній гірський ушверсітет

    О.В. Б1ЛОВА, 1.В. ЩЕРБИНА

    Нацюнальна металургшна академiя Укра1ні

    АНАЛ1ТІЧНІЙ П1ДХ1Д ДО розв'язання Деяк контактних задач

    Розроблення авторами метод збурення дозволив звесті розв'язання складних задач теорії пружньою-СТГ атзотропніх середовища до послгдовного розв'язання Крайова задача теорії потенцгалу. Досл1джено ряд складних Нових завдань, зокрема, про передачу НАВАНТАЖЕННЯ вгд жорсткий штампу до кріволтшного сектору з ціл1ндр1чною атзотротею.

    Ключовi слова: штамп, взаемод1я, ангзотропгя, асимптотічность.

    T.S. KAGADIY

    National Mining University

    O.V. BELOVA, I.V. SHERBINA

    National Metallurgical University of Ukraine

    THE ANALYTICAL APPROACH TO A SOLUTION OF SOME CONTACT TASKS

    The elaborated by authors perturbation method is allowed to reduced the solution of complicated problems of linear elasticity to subsequently solved boundary problems of potential theory. New linear problems are investigated, in particular, problem on load transference from stamp to circular plate with curve.

    Keywords: stamp, interaction, anisotropy, asymptotic.

    Постановка проблеми

    Високі вимоги, що пред'являються до надійності конструкції, в даний час можуть бути задоволені лише за наявності оперативної та достовірної інформації про її напружено-деформований стан (НДС). Розрахункові схеми досліджуваних конструкцій при цьому повинні бути максимально наближені до реальних об'єктів, необхідно враховувати складність їх конструктивних форм, структури, характеру навантаження і взаємодії з навколишнім середовищем, поведінку матеріалів конструкції в екстремальних умовах і т. Д. У більшості реальних конструкцій закон розподілу істинних контактних тисків робить істотний вплив на ПДВ взаємодіє пари, а іноді, визначає працездатність конструкції в цілому. У таких випадках побудова математичної моделі виявляється досить складним завданням. Аналітичні підходи до вирішення такого роду завдань і сьогодні є актуальними [1-6].

    У даній роботі розглядається задача про вдавлення жорсткого штампа в вільну грань пружного ортотропного нескінченного кругового сектора з циліндричної анізотропією, кромки якого закріплені. Між штампом і пластиною враховується тертя. Для вирішення завдання використовується асимптотичний метод [3].

    Мета дослідження

    Продемонструвати ефективність застосування аналітичних підходів до вирішення складних контактних задач, коли отримання точного рішення проблематично. Зокрема, на вирішенні задачі про контактну взаємодію штампа і ортотропной пластини з циліндричної анізотропією асимптотическим методом показати, що наближений розв'язок поблизу «особливих точок» в точності збігається з точним рішенням Галина [2], розкладеним в ряд по малому параметру.

    Постановка завдання і метод вирішення.

    Нехай пружна пластина (Я0 < г <да; -у<в<у) закріплена за крайок в = ± у. на кордон

    г = Я0 діє жорсткий штамп на ділянці - Л < в < Л з підставою, що збігається з кордоном г = Лд • Штамп навантажений нормальним зусиллям Рд і дотичним О. При цьому між штампом і пластиною враховується тертя, що підкоряється закону Кулона (розглядається стан граничної рівноваги штампа). На нескінченності (г ^ да) переміщення і деформації дорівнюють нулю. Пластина товщини 5 працює в умовах узагальненого плоского напруженого стану. Матеріал пластини є ортотропними, головні напрямки анізотропії збігаються з полярними координатами г, в. Потрібно знайти розподіл напружень під штампом і в пластині.

    Для вирішення завдання про контакт жорсткого штампа з пружним кільцевим сектором, які мають циліндричної анізотропією, був застосований асимптотический метод [3], що дозволяє розщепити напружено-деформований стан сектора на дві складові, що володіють різними властивостями. Крайова задача теорії пружності зводиться до послідовного розв'язування задач теорії потенціалу, і рішення вихідної задачі визначається як суперпозиція зазначених складових.

    Якщо замість полярних координат г, в ввести безрозмірні координати 4, п співвідношеннями

    г =; в = т], то поставлена ​​задача може бути зведена до інтегрування рівнянь рівноваги пластини в переміщеннях

    + Оицц ​​- В2 (уц + і) + Оту ^ п - ОУ ^ = 0,

    У ^ УПП + В2іп + Оті ^ п + О (ІСЦ-У) = 0, ()

    при наступних граничних умовах:

    = Вх) 1 (і 4 + $ 2 У + і)) = 0,

    т = О (Л) /) - 1 (ип + у) = 0 (4 = 0, Л<\ П<Г), (2)

    і = V = 0 (п = ± у), і = С0, т = р о *! (4 = 0, Щ < Л),

    на нескінченності переміщення і напруження дорівнюють нулю. Крім того, повинні бути виконані умови рівноваги штампа

    | О1 (0, п) п + Р0 = 0, \ т (0, п) ЛП + О = 0. (3)

    Л Л

    > + Р0 = 0, \ т (0, ПРП + О = (

    -Л Л

    Так як розглядається стан граничної рівноваги (т = ро?), То друга умова зводиться до пров-

    Е1 5 Е25

    вому. Тут і = иг; у = верб - компоненти вектора переміщень пластини; В1 = -; В2 =---

    1 - $ 1 $ 2 1 - $ 1 $ 2

    - жорсткості пластини на розтягнення-стиснення; Е1, Е2 - модулі пружності уздовж головних напрямків; О = О * 5 - жорсткість пластини на зрушення; Про * - модуль зсуву; о?, т - нормальне (в напрямку координати 4) і дотичне зусилля в пластині; т = 1 + $ вц / О = 1 + $ В2 / О; $, $ 2 - коефіцієнти Пуассона матеріалу пластини ($ В2 = $ 2В1); р - коефіцієнт тертя (р < 1); індекси 4, п позначають диференціювання по відповідним координатам.

    В результаті рішення задачі [3, 4], в нульовому наближенні отримані формула для розрахунку тиску під штампом

    о0 = - Р0П 1 (4) 1_ 4 ^ (/ 1

    і вираз для визначення опади штампа

    і1'0 = ^ A-

    lnl sin

    in (nni / 2y) | + -у / (sin (nni / 2Y)) 2 - / 1

    П

    cos1

    (Nriil2y)

    (5)

    . / 0Ron, • ПМ / ч де A = -, ---, / i = sin -, KI / i I - повний еліптичні інтеграли першого роду.

    K (k) 1 2Y

    Дотичне напруження т під штампом має вигляд т0 = РС0 (при р = 0 виходить рішення для гладкого штампа).

    Оскільки в околиці кутовий точки штампа характер напруженого стану такою ж, як і для півплощини, то в цьому випадку є можливість порівняти відоме рішення для півплощини з рішенням Л.А. Галина [2].

    Згідно [3, 4, 6] для знаходження функції напружень слід вирішувати диференціальне рівняння четвертого порядку. Відповідне йому характеристичне рівняння є біквадратним і має вигляд:

    ,4 +

    (

    1 -

    2vG Bi

    Bi, 2 + Bi = 0.

    G

    B2

    Нехай ai = 2vi. Тоді отримаємо рівняння

    ,4 + (

    G

    (I - ais)? ~ Ls 2 +? _I- = 0

    Bo

    коріння якого запишуться:

    = -1 (i-ai?)? "I ± I (i-ai?) 2?" 2

    -i G

    = - ^ (i-ai?)? 4 (i-ai?) ~? ~ -? в

    4G

    : -I (i - ai?]? ~ L ± i (i - ai?)? ~ L i - / год, 2 2] B2 (i - ai?) 2?

    -i -2 (i - ai?)? x

    i + i -

    4sG

    22

    Розкладаючи коріння? I,, 2 в ряд по в, отримаємо:

    B2 (i - a?) 2

    si

    = -I (i - ai?)? i

    i -

    ?2

    = -I (i - ai?)? i

    2

    i +

    G G

    - ? +-

    B2 B2

    G G

    ? +-

    в B2

    або

    ?i2 = -i (i - ai?)? "i G (2? - (i - 4ai)? 2 + ...)

    + ... =

    -i G

    2S i 'B2 = -1 (i - ai?) G (2- (i - 4ai? + ...) = - G (i - a ^ i - ^

    = -G | i- i-4ai -2ai ?, >| = -G

    B2 l 2 "J B2

    6ai -i i + -i-? + ...

    2

    ? + ... 1 =

    ?2

    = -I (i - ai?)? i

    i - G? + G (i - 4ai)? 2 + ... B2 B2

    = - ?

    -i

    i -

    ai +

    G_

    в

    ? + .

    Для ортотропного тіла з осями пружної анізотропії, паралельними осям координат, коріння біквадратних рівняння є чисто уявними. Звідси (в позначеннях Галина)

    Ц1 = Sl = i

    1 + 1 (6 «1 -!) Е + ..

    --iVl|; Ц2 = S2 = is 12

    1 - а \ + О / В2? +.

    = iV2|

    Vl + V2 =.

    V1V2 = .

    По-1 \\ - +1 -V Про

    al +

    Про В2

    1/2 6а1 -1

    ?1/2 + -1-Е + .

    12 + 4А1 - 2О1В2 - 1 е1 / 2 (ба1 - 1) (а1 + О / В2) є3 / 2

    Е '+ .

    Тиск, що діє під штампом, має вигляд

    р (х) =-

    Р1

    п 2 - х2

    | / (В),

    де / (в) ='т пв |

    I + х

    12-в

    * 3

    1

    = - агс1щ-п

    -В22

    I - х ^ Vl + V2

    V1V2

    (

    Р

    В22 1 + Р12 V1V2

    Л

    в = - агсЩ А + РА = (в3 = а = 0) = - агсЩ -п В3 + РВ4 п РВ4

    = (В12 = 0) = 1 ашщ .

    п

    р

    Розкладемо 9 в ряд по е

    12

    в (0) = 2 | 1

    (1 л

    п

    в '(0) = -р. п

    1 + (V1 + V2) 2 / р 1 1

    р

    - 1КЕ-1 - 1В2 (а1 + Про В2) + 6а1 - 1 е1 / 2 + О (Е) ~

    V Про V О2 2 ^

    12

    Тоді розкладання в в ряд по е 'буде представлено у вигляді:

    (6)

    в = 2 + 1ре112 + Ое),

    2 п

    I функція ^ в) ='шпв \

    1 + X

    1-х

    12-в

    прийме наступний вигляд:

    Вь ^^ 11Х * Н12 * прЕ'2>= Н>Е121 1-х

    М-1.

    ^ У-РСО ^ + ре ^ IX

    ре12

    2

    р! 1 - х

    рЕ112 (V / \ РЕ112 1

    | (П Ц2 \ {1-х \ п р, 1-X

    +'Щ - + РЕ 1 II - I -1п-,

    I 2 л 1+ х) п 1+ х

    / '(0) = п Н, +

    п ^ I + х ^

    Тоді розкладання в ряд по Е12 запишеться у вигляді:

    '(О) -' + М 'ш Е'2

    + Про (е) ,

    2

    2

    4

    4

    8

    1

    п

    а тиск під штампом прийме наступний вигляд:

    р 1 (Р i 1 .Л

    p (x) = - P * = | 1 + Р lnf \ V2 + 0 (в)

    РК) ^ [? - Х2V п 11 + x J W

    (7)

    // 2 ^^

    Коефіцієнт тертя р має порядок е '(р = ре). Тоді контактний тиск (у вихідних

    позначеннях) запишеться:

    г0_ Ро

    CTl =

    п 112 .tf

    v / v2

    1 + ^ 0in

    л

    l П l + П

    e + O-2

    )

    (8)

    Тиск під штампом визначається формулою (7), а дотичне напруження т під ним має

    0 0 вид т = РСТ / .

    Отримані результати і висновки

    Таким чином, придатне поблизу кутових точок штампа асимптотическое рішення збігається з розкладеним в ряд точним рішенням Л.А. Галина. Облік перших двох наближень дає хорошу апроксимацію точного рішення і вказує на характер особливо поблизу кутовий точки штампа (г | / = I /). Як і в [2], ця особливість має вигляд:

    /

    = - B

    i

    1-П

    v li;

    -+ в

    2

    Для гладкого штампа особливість збігається з точною. Отримане у вихідній задачі рішення (1), (2) може бути «виправлене» поблизу особливих точок за допомогою «зрощування» із зазначеним особливим рішенням. Раніше встановлено [4], що зі зменшенням значення кута у точка «зрощування» наближається до кордону області контакту.

    Список використаної літератури

    1. Взаємодія жорсткого штампа з ортотропних прямокутником / А. В. Павленко, І. В. Щербина, А. В. Сясев // Вісник Херсонського національного технічного університету .. - 2011. -№3 (42) - С. 338-342.

    2. Галин Л. А. Контактні задачі теорії пружності і в'язкопружності / Л. А. Галин - М .: Наука, 1980. -303 с.

    3. Маневич Л. І. Асимптотический метод в мікромеханіки композиційних матеріалів / Л. І. Маневич, А. В. Павленко - К .: Вища шк., 1991. - 131 с.

    4. Павленко А. В. Вдавлювання жорсткого штампа в ортотропних пластину з криволінійної анізотропією / А. В. Павленко, Т. С. Кагадій, О. В. Бєлова // Методи розв'язування прикладних задач ме-ХАШК деформ1вного твердого тша, Дшпропетровській нацюнальній ушверсітет. - 2012. - Вип. 13. - С. 320-327

    5. Сясев А. В. Наближений аналітичний метод розрахунку зростаючих тіл з урахуванням фазового переходу / А. В. Сясев // В1снік Дншропетр. ун-ту. Мехашка. - 2001. - С. 125-137.

    6. Kagadiy T. The analysis of the solution of the task about the monoaxial stretching of the anisotropic plate with the curvilinear anisotropy loosened by the circular orifice / T. Kagadiy, O. Belova // Theoretical Foundations of Civil Engineering Polish-Ukrainian Transactions. - 2015. - Vol. 23 -P. 9-14.

    1


    Ключові слова: ШТАМП / STAMP / ВЗАЄМОДІЯ / INTERACTION / анізотропії / ANISOTROPY / асимптотичні / ASYMPTOTIC

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити