Здійснено аналітичний опис мінімальніх поверхонь с помощью ізотропніх ліній, Які лежати на поверхні уявно катеноїда, Утворення при обертанні ланцюгової Лінії на кут Із комплексною величиною. Полтава параметрічні Рівняння уявно катеноїда, віднесеного до ізометрічної сітки координатних ліній. Параметрічні Рівняння сімей ізотропніх ліній ОТРИМАНО Із умови рівності нулю лінійного елемента уявно катеноїда. Аналітичний опис мінімальніх поверхонь Здійснено у комплексному пространстве з ізотропнімі лініямі сітки переносу.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - С. Ф. Пилипака, М. М. Муквич


ANALYTICAL DESCRIPTION OF ISOTROPIC LINES ON THE SURFACE OF THE IMAGINARY CATENOID AND CONSTRUCTION OF MINIMAL SURFACES

With the development of CAD systems in the design of surfaces of technical forms and architectural designs, use the surface compartments that are given analytically and have the required geometric properties. Geometric models, described by minimal surfaces, have the benefits of practical content. The tension at each point of the minimal surface is a constant value, so the geometric shape of the minimal surface provides uniform distribution of forces in the shell and additional rigidity. The condition for equality of the value of the mean curvature of the minimum surface at all its points is a necessary condition for the minimum area of ​​the compartment of a surface limited by a plane or a spatial curve (contour) on this surface. Finding an analytic description of the minimal surface passing through a closed line reduces to solving the nonlinear differential Euler-Lagrange equation in partial derivatives, which in the general case is not integrated. The works of K. Weierstrass, Lie, Riemann, Schwarz, and others resulted, in the wide use of methods and results of complex function theory in the theory of minimal surfaces. Aim of research. Find the parametric equations of the imaginary catenoid, assigned to the isometric (or isothermal) grid of imaginary coordinate lines. Determine the analytical description of isotropic lines on the surface of the imaginary catenoid. To find the analytical description of minimal surfaces using these isotropic lines. Materials and methods of research. Analytical description of minimal surfaces were made in complex space with isotropic lines of grid transfer. Results of the research and discussion. The analytical description of the minimal surfaces with the help of isotropic lines, which lie on the surface of the imaginary catenoid formed during the rotation of the chain line at an angle with a complex value, is carried out. The parametric equations of the imaginary catenoid, which are assigned to the isometric grid of coordinate lines, are found. Parametric equations of families of isotropic lines are obtained from the condition of zero equality of the linear element of the imaginary catenoid. Conclusions and prospects. On the surface of the imaginary catenoid, assigned to the isometric grid of coordinate lines, for each value it is possible to construct four families of isotropic lines. Each isotropic line can be fitted with a minimum surface and a adjoint minimal surface. The resulting minimal surfaces and the adjoint minimal surfaces have common metric properties and common properties of the surface curvature. Prospects for future research is to study the differential characteristics of minimal surfaces and optimization of engineering methods of technical surfaces forms design.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2018
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету
    Наукова стаття на тему 'аналітичний ОПІВ ІЗОТРОПНІХ ліній НА ПОВЕРХНІ уявно КАТЕНОЇДА ТА конструювання МІНІМАЛЬНІХ ПОВЕРХОНЬ'

    Текст наукової роботи на тему «аналітичний ОПІВ ІЗОТРОПНІХ ліній НА ПОВЕРХНІ уявно КАТЕНОЇДА ТА конструювання МІНІМАЛЬНІХ ПОВЕРХОНЬ»

    ?ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГІЇ

    УДК 514.18

    С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич

    Нацюнальній ушверсітет 6iopecypciB i природокористування Укра1ні

    АНАЛ1ТІЧНІЙ ОПІВ 1ЗОТРОПНІХ Л1Н1Й НА ПОВЕРХН1 уявно КАТЕНО1ДА ТА конструювання М1Н1МАЛЬНІХ ПОВЕРХОНЬ

    Здшснено аналтічній описание мттальніх поверхонь с помощью iзотропніх лнй, як лежати на noeepxHi уявно катено'1'да, Утворення при обертанш ланцюгово'1 'ЛТП на кут i3 комплексною величиною. Полтава параметрічш рiвняння уявно катено'1'да, вiднесеного до? Зометрічно'1 'стки координатно лтш. Параметрічш рiвняння амей iзотроnніx лтш ОТРИМАНО i3 умови рiвностi нулю лттного елемента уявно катено'1'да. Аналiтічній описание мiнiмальніx поверхонь здтснено у комплексному просторi з iзотропнімі лiнiямі стки переносу.

    Ключовi слова: мiнiмальна поверхня, iзотропна лШя, катено'1'д, iзометрічна стка координатно ЛТТ, середня Кривіна поверxнi.

    С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич

    Національний університет біоресурсів і природокористування України

    АНАЛІТИЧНА ОПИС ІЗОТРОПНИХ ЛІНІЙ НА ПОВЕРХНІ уявних катеноїд І КОНСТРУЮВАННЯ МІНІМАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ

    Здійснено аналітичне опис мінімальних поверхонь за допомогою ізотропних ліній, що лежать на поверхні уявного катеноїд, утвореного при обертанні ланцюгової лінії на кут комплексної величини. Наведено параметричні рівняння мнимого катеноїд з ізометричної мережею координатних ліній. Параметричні рівняння сімейств ізотропних ліній визначені з умови рівності нулю лінійного елемента мнимого катеноїд. Аналітичний опис мінімальних поверхонь здійснюється в комплексному просторі з ізотропним лініями мережі перенесення.

    Ключові слова: мінімальна поверхню, ізотропна лінія, катеноїд, ізометрична мережу координатних ліній, середня кривизна поверхні.

    S.F. PYLYPAKA, M.M. MUKVICH

    National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine

    ANALYTICAL DESCRIPTION OF ISOTROPIC LINES ON THE SURFACE OF THE IMAGINARY CATENOID AND CONSTRUCTION OF MINIMAL SURFACES

    With the development of CAD systems in the design of surfaces of technical forms and architectural designs, use the surface compartments that are given analytically and have the required geometric properties. Geometric models, described by minimal surfaces, have the benefits of practical content. The tension at each point of the minimal surface is a constant value, so the geometric shape of the minimal surface provides uniform distribution of forces in the shell and additional rigidity. The condition for equality of the value of the mean curvature of the minimum surface at all its points is a necessary condition for the minimum area of ​​the compartment of a surface limited by a plane or a spatial curve (contour) on this surface. Finding an analytic description of the minimal surface passing through a closed line reduces to solving the nonlinear differential Euler-Lagrange equation in partial derivatives, which in the general case is not integrated. The works of K. Weierstrass, Lie, Riemann, Schwarz, and others resulted, in the wide use of methods and results of complex function theory in the theory of minimal surfaces.

    Aim of research. Find the parametric equations of the imaginary catenoid, assigned to the isometric (or isothermal) grid of imaginary coordinate lines. Determine the analytical description of isotropic lines on the surface of the imaginary catenoid. To find the analytical description of minimal surfaces using these isotropic lines.

    Materials and methods of research. Analytical description of minimal surfaces were made in complex space with isotropic lines of grid transfer.

    Results of the research and discussion. The analytical description of the minimal surfaces with the help of isotropic lines, which lie on the surface of the imaginary catenoid formed during the rotation of the chain line at an angle with a complex value, is carried out. The parametric equations of the imaginary catenoid, which are assigned to the isometric grid of coordinate lines, are found. Parametric equations offamilies of isotropic lines are obtained from the condition of zero equality of the linear element of the imaginary catenoid.

    Conclusions and prospects. On the surface of the imaginary catenoid, assigned to the isometric grid of coordinate lines, for each value it is possible to construct four families of isotropic lines. Each isotropic line can be

    ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГІЇ

    fitted with a minimum surface and a adjoint minimal surface. The resulting minimal surfaces and the adjoint minimal surfaces have common metric properties and common properties of the surface curvature. Prospects for future research is to study the differential characteristics of minimal surfaces and optimization of engineering methods of technical surfaces forms design.

    Keywords: minimal surface, isotropic line, cycloid, isometric grid of the coordinate lines, mean curvature of a surface.

    постановка проблеми

    Мшмальш поверхш, середня Кривіна H у вах точках якіх дорiвнюe нулю, Використовують при проектуванш поверхонь технчніх форм та архггектурніх конструкцш. Оболонки мiнiмальніх поверхонь могут перекріваті складш архiтектурнi плани без Утворення розрівiв геометри [1, С. 153]. Рiвнiсть нулевi Величини H середньо! Кривин мшмально! поверхнi е необхщною умів мiнiмальностi площi вiдсiку поверхш, обмеження плоскою або просторова кривою (контуром). Три-перюдічш мiнiмальнi поверхнi Використовують при створенш фiльтрувальніх матерiалiв [2]. Вівчаеться можлівють использование три-перюдічніх мiнiмальніх поверхнево структур для синтезу будiвельних матерiалiв, ЯК-1 характеризуються оптімiзованімі фiзичних властівостямі [3]. При створенш СУЧАСНИХ структурованіх пакувальні матерiалiв Використовують мшмальш поверхнi у ролi рiвноважніх поверхонь, ЯК-1 ввдповвдають максимально можлівш ефектівностi тепло-масо-переносу упаковки [4].

    Знаходження аналiтічного Опису мшмально! поверхнi, яка проходитиме через просторово Кривий (контур), что обмежуе найменша площу ввдсшу поверхнi, приводити до розв'язування нелшшного діференцiального рiвняння Ейлера-Лагранжа у Частинами похщніх, Пожалуйста у загально випадка НЕ ​​iнтегруеться [5, С. 685]. При створенш геометричність моделей на основi мiнiмальніх поверхонь важлівім е Спрощення! Х аналiтічного опису. Проблема знаходження параметричного рiвнянь мiнiмальніх поверхонь, починаючі з робiт К. Вейерштрасса, С. лi, Б. Рiмана, Г. Шварца розв'язується с помощью методiв функцш комплексно! змшно! [5, С. 686].

    Анатз останшх дослiдження i публiкацiя

    Для знаходження аналiтічного Опису мшмальніх поверхонь с помощью функцш комплексно! змшно! необхiдно найти параметрічш рiвняння iзотропніх лiнiй Нульовий! Довжина [6, С. 144]. Моделювання iзотропно! криво! на основi рiвняння фундаментального сплайна здшснено у роботi [7]. Ряд робгт [8, 9] авторiв дано! статтi присвячено реалiзацi! методу аналп'ічного Опису iзотропніх лiнiй, яш лежати на поверхнях Обертаном, вщнесеніх до iзометрічно! (Або iзотермiчно!) Аткі координатно лiнiй. Зокрема, у статп [8] знайдено параметрічнi рiвняння iзотропніх лiнiй, ЯК-1 лежати на поверхш катено! Так, та побудовали мiнiмальнi поверхш на! Х основi. Тому потребуе дослiдження можливiсть знаходження параметричного рiвнянь iзотропніх лiнiй на поверхнi уявно катено! Так, Утворення при обертаннi ланцюгова! лiнi! на кут iз комплексною величиною.

    Мета дослвдження

    Найти параметрічш рiвняння уявно катено! Так, вiднесеного до iзометрічно! (Або iзотермiчно!) Сiткі уявно координатно лшш. Візначіті анал1тічній описание iзотропніх лiнiй на поверхнi уявно катено нехай. На основi Вказаним iзотропніх лiнiй побудуваті мiнiмальнi та пріеднаш мiнiмальнi поверхнi.

    Викладення основного MaTepi ^ y дослiдження

    Розглянемо уявно поверхню катено! Так, Утворення при обертаннi ланцюгова! ЛШП, задано!

    параметричного рiвняннямі: р (т) = М'ch - I; yT) = т (де М - параметр ланцюгова! ЛШП), на Деяк

    KMJ

    кут, комплексна величина которого дорiвнюе: (a + fli) 'w, де а, ве R; w е [0; 2п); i - уявно одиниця. Параметрічнi рiвняння уявно! поверхш катено такого Тобі хай е функц1ямі комплексно! змшно! i ма ють вигляд:

    X (т; w) = Mch - 'cos [(a + ei)' w] Y (т; w) = Mch - 'sin [(a + ei)' w] Z (т; w) = T. ( 1)

    vMy

    vMy

    У роботi [9] авторiв статгi наведено алгоритм ввдшукання параметричного рiвнянь мерідiана поверхнi Обертаном, при якому поверхня буде ввднесена до уявно! iзометрічноi сiткі координатно лшш. Перехщ ВВД ортогонально! до iзометрічноi сiткі координат здiйснюeться с помощью введення ново! змшно! t, яка пов'язана iз змшною т Наступний чином [9]:

    t = - ± - + ( 'К) 2 | (2) a + вi <-)

    Знайдемо умову переходу до iзометрічноi сiткі координатно лшш, поставивши вирази <(Т) = Ц | ch -; ц / (т) = т у (2), ^ пiсля Перетворення, отрімаемо залежшсть:

    ПЛІКЛАДНА ГЕОМЕТЛ1Я ТА ЛОМП'ЮТЕЛШ ТЕХНОЛОГІЇ

    t = 1 - \ - + Ci,

    (А +? I) | і

    дe Ci - довшьна cтaлa iітeгрyвaіія.

    Hexaй Ci = u, тодi умову пeрexодy до iзомeтрічіоi откі коордііaтііx лiіiй зaпішeмо y віглядг

    т = / | (а +? i) | t.

    Поставивши оcтaііiй виразі y (1), отрімаемо пaрaмeтрічіi рiвняння повeрxіi уявно кaтeіоiдa, вiдіeceіоi до iзомeтрічіоi ciткі yявііx коордііaтііx лшш:

    X (t; w) = і | ch [(a +? I) t] | cos [(a +? I) w] Y (t; w) = / |ch [(а +? I) t] | sin [(a +? i) | w] Z (t; w) = / | (а +? i) | t, дe і - пaрaмeтр лaіцюговоi лiіii; t, /, b e R; w e [u; 2n).

    Лiіiйіій eлeмeіт уявно кaтeноiдa (3), вiдіeceіого до iзомeтрічіоi откі коордііaтііx лiіiй, травні

    вигляд:

    ds2 = і 2 | (а +? i) 2 | [dt2 + dw2 (4)

    Розклавші на множнікі виразі (4), отрімаемо:

    ds2 = і 2 | (а +? i) 2 | (dt - i | dw \ dt + i | dw), дe ​​i - уявно одиниця. Прірiвнюючі до нуля праву часть оcтaііьоi рiвноcтi, пicля iітeгрyвaіія отрімаемо:

    t = i |w + C або t = -i |w + C, (5)

    дe C - довшьна стала шгегрування.

    Лшшній eлeмeнт (4) уявно кaтeноiдa визначавши довжина Бyдь-якоi лiіii, яка Йому іaлeжіть. Тому при шдстановщ вірaзiв (5) у пaрaмeтрічіi рiвняння уявно кaтeіоiдa (3) отрімаемо пaрaмeтрічіi рiвіяіія двоx ciмeй yявііx iзотропніx лiіiй іyльовоi довжина. Зокрeмa, при пвдстановщ вирази t = i |w + C y рiвняння (3) для кожного знaчeння C отрімаемо пaрaмeтрічнi рiвіяіія iзотропіоi лiіii, яка лeжіть на повeрxіi уявно кaтeноiдa:

    x (w) = і |ch [(а +? i) (iw + C)] | cos [(а +? i) | w]

    y (w) = і |ch [(а +? i) (jw + C)] | sin [(a + bi) | w] z (w) = і (а +? i) | ((iw + C ). для знaxоджeння рiвіяіь мiіiмaльіоi та пріеднaноi до іei мiіiмaльіоi повeрxіi y рiвнянняx (б) yвeдeмо зaмiіy: w = u + i | v. Biдокрeмівші джну та уявно чacтііy для кожіоi з функцш (6), отрімаемо рiвіяіія мiіiмaльіоi повeрxнi (C - довiльіa стала ):

    X (u, v) = і | [cos (cxu +? (C - v)) | cos (cxu -? V) | ch ( «(C - v) -? U) | ch (? U + ov) + + sin (o: u +? (C - v)) | sin (ou -? v) | sh (o (C - v) -? u) | sh (? u + ov)];

    Y (u, v) = і | [cos (ou +? (C - v)) | sin (ou -? V) | ch (o (C - v) -? U) | ch (? U + ov) - (7)

    -sin ^ u +? (C - v)) | cos (ou -? v) | sh (o (C - v) -? u) | sh (? u + ov)]; Z (u, v) = / | (o (C - v) -? U); та пріеднaноi мiіiмaльіоi повeрxіi:

    X (u, v) = і | [sin ^ u +? (C - v)) | cos (ou -? V) | sh (o (C - v) -? U) | ch (? U + ov) - -cos (ou +? (C - v)) | sin ^ u -? v) | ch (o (C - v) -? u) | sh (? u + ov)];

    Y (u, v) = u \ sin (ou +? (C - v)) | sin (ou -? V) | sh ^ C - v) -? U) | ch (? U + ov) + (S )

    + Cos (ou +? (C - v)) | cos (ou -? V) | ch (o (C - v) -? U) | sh (? U + av)];

    Z (u, v) = і | (au +? (C - v));

    На ріа1 зобрaжeно вщакі мiіiмaльіоi та пріедіaіоi ​​повeрxоіь, побyдовaііx за рiвняннямі (7) i (S) вщповвдно, при і = 2; а = i; ? = 43; C = u; u e [- U, i5n; ... U, i5n]; v e [- 0,15п; ... 0,15п].

    Kоeфiцiеіті пeршоi квaдрaтічіоi форми мiіiмaльіоi повeрxіi (7) та пріедіaіоi ​​повeрxіi (S) дорiвіюють:

    E = G = (o2 +? 2) |і2 |ch2 [Ca - 2 (? U + ov)]; F = U. (9)

    Kоeфiцiенті L, M, N ^ yroi квaдрaтічіоi форми мiіiмaльіоi повeрxіi (7) дорiвіюють:

    В1СНІК ХНТУ №3 (66), ТОМ 2, 2018 р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА

    КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГІЇ

    Ь = -и = гДа2 - /? 2) М = -Ьц-ар. (10)

    ф * *

    Коефпценті Ь, М друго! квадратично! ' форми пріеднано! мнпмалию! поверхш (8) дор1внюють:

    * * Л * / о «о \

    ь = -и = 4ц-ар = -М \ М = 2 ^ -Р1) = Ь. (11)

    а б

    Мал. 1. Ввдсжі м1н1мальніх поверхонь, побудованіх с помощью 1зотропно! ЛШП (6): а) ввдсш мшшально! поверхн1, побудовали! за р1вняннямі (7); б) в1дс1к пріеднано! ' мшшально! поверхш, побудованоК за р1вняннямі (8).

    На рис. 2 зображено вiдсiкі мiнiмальноi та пріеднано! поверхонь, побудованіх за рiвняннямі (7) i

    (8) вщюввдю, при // = 2, а = / 3 = 1; С = 0; і е [- 0,15л- ;. ..0,15 л-}, уе [-0,15л- ;. ..0,15л-].

    а б

    Мал. 2. Ввдсші мшшальніх поверхонь, побудованіх с помощью 1зотропно! ЛШП (6) при а = в = 1:

    а) ввдсш мшшально! поверхн1, побудовали! за ршняннямі (7), ввднесено! до координатно! с1ткі асимптотичних лшш;

    б) ввдсш пріеднано! м1н1мально! поверхн1, побудовали! за р1вняннямі (8), в1днесено! до координатно! Спкі лшш Кривин.

    ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГІЇ

    Коефщенті першо1 та друго1 квадратичних форм побудованіх мшмальніх поверхонь (7) та (8),

    тт EN - 2-FM + GL

    превращаются вирази середньо1 Кривин H = -|z- для кожно1 i3 вказівки поверхонь, до

    2 (E-G - F 2)

    нуля.

    При а = ±? коефiцieнті друго1 квадратічно1 форми мшмально1 поверхнi (7) дорiвнюють

    *

    L = N = 0 i середнш коефiцieнт M друго1 квадратічно1 форми пріеднано1 мiнiмальноi поверхнi (8) теж дорiвнюe нулю. Тобто мшмальну поверхню (7) ввднесено до коордінатно1 сiткі асимптотичних лiнiй, а пріеднану мiнiмальну поверхню (8) - до коордінатноi сiткі лiнiй Кривин.

    Вирази (4) можна розкласті на множнікі у виглядi:

    ds2 = ^ - (а +? i) 2 - (dw - i - dt) dw + i - dt), де i - уявно одиниця. Прірiвнюючі до нуля праву часть останньоi рiвностi, шсля iнтегрування отрімаемо:

    w = i-t + C або w = -i-t + C, (12)

    де C - довшьна стала штегрування. Тодi з аналопчніх мiркувань можна найти аналiтічній описание двох амей iзотропніх лiнiй та вадповадніх мiнiмальніх поверхонь, ЯК-1 ма ють спiльнi метрічнi властивостi та властівосп Кривин iз мiнiмальнімі поверхні (7), (8). Аналопчній результат отрімаемо при утворенш мiнiмальніх поверхонь, вікорістовуючі рiвнiсть t = -i -w + C для аналогічного Опису сiм'i 'iзотропніх лiнiй.

    Слад Зазначити, что мшмальна поверхня (7) та пріеднана мшмальна поверхня (8), маючі рiвнi вшповвдш коефiцiенті першо '' квадратично '' форми, допускаються неперервно згінання одна на одну.

    Висновки

    На поверхнi уявно катено'да, вiднесеного до iзометрічноi сiткі координатно лшш, для шкірного значення C можна побудуваті Чотири сiм'i iзотропніх лiнiй, i кожнiй лiнii поставити у ввдповшшсть мiнiмальну поверхню та пріеднану до неi мiнiмальну поверхню. Утвореш мiнiмальнi поверхнi та пріеднаш мiнiмальнi поверхнi ма ють спiльнi метрічш властивостi та спiльнi властивостi Кривин поверхш. Запропонованій метод аналiтічного Опису мшмальніх поверхонь дозволяе утворюваті iзометрічнi мiнiмальнi поверхнi, вiднесенi до коордінатноi сiткі асимптотичних лiнiй або до коордінатноi сiткі лiнiй Кривин.

    Список вікорістано'1 лiтератури

    1. Розрахунок оболонок складної форми / В.І. Гуляєв, В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк, В.В. Гайдайчук.- К .: Будiвельник, 1990. - 192 с.

    2. Sreedhar Nurshaun. Mass transfer analysis of ultrafiltration using spacers based on triply periodic minimal surfaces: Effects of spacer design, directionality and voidage / Nurshaun Sreedhar, Thomas Navya, Al-Ketan Oraib, Rowshan Reza, Hernandez Hector H., Arafat Hassan A. // Journal of Membrane Science. - 2018. -Vol. 561. - Р. 89-98. - https://doi.org/10.1016/j.memsci.2018.05.028

    3. Lu Han. An overview of materials with triply periodic minimal surfaces and related geometry: from biological structures to self-assembled systems / Lu Han, Shunai Che // Advanced Materials. - 2018. - Vol. 30. - I. 17 -P. 1705708. https://doi.org/10.1002/adma.201705708

    4. Navasardyan Ekaterina. Minimal surfaces as a constant-energy surfaces for maximum heat and mass transfer efficiency in structured packing of the distillation column / Ekaterina Navasardyan, Ivan Arkharov, Artem Dontzov, Aleksey Arkharov // Journal of Enhanced Heat Transfer. - 2018. - Vol. 25. - DOI: 10.1615 / JEnhHeatTransf.2018026639

    5. Математична енциклопедія / [гол. ред. І.М. Виноградов]. - Т. 3. - М .: Изд-во "Радянська енциклопедія", 1982. - С. 683-690.

    6. Фініков С. П. Теорія поверхонь / С. П. Фініков. - М.-Л .: ГТТІ, 1934. - 206 с.

    7. Аушева Н.М. 1зотропш фундаментальш сплайни / Н.М. Аушева // Сучасш проблеми моделювання. -2016. - № 6. - С. 3-7.

    8. Пилипака С.Ф. Конструювання мшмальніх поверхонь с помощью iзотропноi кріво1, яка лежить на поверхш катеноша / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Науковий вюнік Нацюнального ушверсітету бюресурав i природокористування Украши. Серiя: техшка та енергетика АПК. - 2016. - № 241. -С. 197-203.

    9. Пилипака С.Ф. Аналгшчш залежносп Утворення iзотропніх лшш на уявно поверхнях Обертаном / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Сучасш проблеми моделювання. - 2018.- № 12. - С. 126-131.


    Ключові слова: Мінімальна поверхня / ізотропна лінія / катеноїд / ізометрічна сітка координатно ліній / середня Кривіна поверхні. / minimal surface / isotropic line / cycloid / isometric grid of the coordinate lines / mean curvature of a surface.

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити