Розглядається метод аналітичного опису областей працездатності електротехнічних систем. Метод заснований на записи умов працездатності системи у вигляді логічних R-функцій. При цьому забезпечується принципова можливість перетворення функцій алгебри логіки до аналітичної формі запису та отримання опису області працездатності у вигляді одного алгебраїчного нерівності першого або другого порядку.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Саушев А. В.


The method of the analytical description of areas of working capacity of electrotechnical systems is considered. The method is based on record of conditions of working capacity of system in the form of logic R-functions. Basic possibility of transformation of functions of algebra of logic to the analytical form of record and reception of the description of area of ​​working capacity in the form of one algebraic inequality of the first or second order is thus provided.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2009


    Журнал: Вісник державного університету морського і річкового флоту ім. адмірала С.О. Макарова


    Наукова стаття на тему 'Аналітичний опис областей працездатності електротехнічних систем'

    Текст наукової роботи на тему «Аналітичний опис областей працездатності електротехнічних систем»

    ??випуск 4

    ТЕХНІЧНА ЕКСПЛУАТАЦІЯ ФЛОТУ

    А. В. Саушев,

    канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

    АНАЛІТИЧНА ОПИС ОБЛАСТЕЙ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ THE ANALYTICAL DESCRIPTION OF AREAS OF WORKING CAPACITY OF ELECTROTECHNICAL SYSTEMS

    Розглядається метод аналітичного опису областей працездатності електротехнічних систем. Метод заснований на записи умов працездатності системи у вигляді логічних R-функцій. При цьому забезпечується принципова можливість перетворення функцій алгебри логіки до аналітичної формі запису та отримання опису області працездатності в вигляді одного алгебраїчного нерівності першого або другого порядку.

    The method of the analytical description of areas of working capacity of electrotechnical systems is considered. The method is based on record of conditions of working capacity of system in the form of logic R-functions. Basic possibility of transformation of functions of algebra of logic to the analytical form of record and reception of the description of area of ​​working capacity in the form of one algebraic inequality of the first or second order is thus provided.

    Ключові слова: область працездатності, умови працездатності, логічні R-функції, параметри системи, електротехнічні системи.

    Key words: working capacity area, working capacity conditions, logic R-functions, system parameters, electrotechnical systems.

    ПРОБЛЕМА забезпечення працездатності технічних систем різної фізичної природи давно привертала до себе увагу фахівців. Ця проблема стосовно електротехнічним системам (ЕТС) стала особливо актуальною після впровадження в практику напівпровідникових елементів і мікросхем, що дозволили істотно підвищити їх показники призначення. Разом з тим це призвело до помітного ускладнення ЕТС і, як наслідок, до більш частих відмов, серед яких зросла частка поступових відмов. Параметрична нестабільність ЕТС стала однією з головних причин зниження їх рівня якості при експлуатації. Стала очевидною необхідність обов'язкового обліку параметричної надійності при розробці та виготовленні як елементів ЕТС, так і самих ЕТС.

    Для вирішення завдань структурного і параметричного синтезу ЕТС при їх параметричної нестабільності, а також для вирішення завдань аналізу ЕТС, включаючи завдання тих-

    ного діагностування, необхідною умовою є отримання інформації про кордон області працездатності системи [1]. Перш ніж розглядати цю задачу, дамо визначення ЕТС і виділимо основні, що характеризують її поведінку параметри.

    З функціональної і морфологічної точок зору під ЕТС будемо розуміти впорядковану сукупність взаємопов'язаних і взаємодіючих електротехнічних пристроїв (ЦЮ), що утворюють єдине функціональне ціле, призначене для вирішення певної задачі. При цьому згідно з ГОСТ 18311-80 під ЦЮ розуміється пристрій, призначений для виробництва, перетворення, розподілу, передачі і використання електричної енергії або для обмеження можливості її передачі.

    Будь-яке ЦЮ з системних позицій також складається із сукупності пов'язаних між собою елементів. Окремі елементи - це частини або компоненти ЦЮ, призначені для виконання певних функцій

    і не підлягають подальшому розбиття на частини. До таких елементів можна віднести резистори, конденсатори, індуктивності, транзистори, мікросхеми і т. П. Такими елементами можуть бути підсилювачі, перетворювачі, фільтри, коригувальні пристрої, які в свою чергу є елементами ЕТС.

    Стан ЕТС в будь-який фіксований момент часу характеризується деяким набором або вектором параметрів. До їх числа відносяться:

    - вхідні параметри u = (и1, і 2, ..., ик, ..., і), що характеризують задають впливу ^ 1) і спостерігаються на входах системи;

    - параметри зовнішніх умов v = (у у2, ..., ур, ..., уг), що характеризують впливи v (t);

    - внутрішні параметри X = (Х1, Х2, ..., Х1, ..., Хм), що характеризують стан комплектуючих елементів системи і звані також первинними параметрами (величини опорів, індуктивностей, ємностей, коефіцієнти посилення, постійні часу);

    - внутрішні параметри ^ = (і ^ і ^, ..., ики, ..., іеі), Zu = (ред ^, видання ^, ..., видання ^, ...,'сі) характеризують відповідно сигнали на входах і виходах ЦЮ, що входять як елементи і = 1, Ь. Ь - число елементів, до складу системи;

    - вихідні (зовнішні) параметри Y = (У1, У2, ..., У., ..., Ут), що характеризують різні функціональні залежності фазових змінних Z = (ред видання ..., видання, ...,'с) на виходах системи від часу або частоти. Ці параметри є показниками якості, які характеризують правильність функціонування системи. Досить часто вихідні параметри є характеристиками її вихідних сигналів Z (t) і в цьому випадку Y = Z.

    Можна виділити зовнішні і внутрішні умови працездатності.

    Під зовнішніми умовами працездатності будемо розуміти умови, виконання яких необхідне для того, щоб ЕТС функціонувала з необхідними показниками якості. Ці умови визначаються заданими співвідношеннями між вихідними параметрами об'єкта У і технічними тре-

    бованіям до цих параметрів, що встановлюються при складанні технічного завдання.

    Під внутрішніми умовами працездатності будемо розуміти умови, при яких електротехнічні пристрої, як елементи ЕТС, здатні виконувати покладені на них функції, зберігаючи при цьому працездатний стан. Ці умови встановлюються при проектуванні на стадії технічного завдання і визначаються заданими співвідношеннями між внутрішніми параметрами Zv і їх допустимими значеннями, а також між первинними параметрами системи X і їх граничними значеннями.

    Умови працездатності можуть бути односторонніми і двосторонніми, і для другого (більш загального) випадку записуються наступним чином:

    ^ Тш ^? = РДХ) ^ ^ 'тах> j =

    (1)

    Х1тт - Х1 - Х «™ х> 1 = 1>П>

    де: У. (ред), У.. (Ред.), У. (Ред) - відпо-

    .тах 4 .тах'7] тт 4 .тт'7. 4. '

    повідно максимально допустимий, мінімально допустимий і поточне значення / -го вихідного (внутрішнього) параметра.

    Перше нерівність в системі нерівностей (1) є зовнішнім умовою працездатності і з геометричної точки зо-

    Ш

    ня визначає допускового область В? = Р | ^

    j = l

    простору вихідних параметрів (рис. 1).

    Область Dy має вигляд га-мірного гіперпаралелепіпеда евклідового простору Ят. Кожній допускового області Б. значень вихідних параметрів відповідає допускового область М. значень первинних параметрів. Це відповідність може бути записано у вигляді отобра-

    т

    вання Фух: DY ^ MY безлічі В? = р | ^ в

    Ш j = l

    безліч м? = Пм], При цьому кожне нерівність Й- (Х) - ^? пш) ^ (х))> Про,

    . = 1, т в «-мірному евклідовому просторі Я" первинних параметрів X визначає область М .

    Тут Б ^) - оператор зв'язку первинних і вихідних параметрів ЕТС в рівнянні (1).

    випуск 4

    ?випуск 4

    Друге нерівність в системі нерівностей (1) є внутрішньою умовою працездатності і з геометричної точки зору визначає допускові області

    т __

    У ^ = Р) Ц, V = 1, Ь простору внутрішніх] = 1

    параметрів Zv, які з вигляду відповідають області DY. Аналогічно викладеного вище, кожної області Б'згідно відображенню Ф2Х: Б'- М'в просторі Я "відповідає допускового область М ^. Об'єднання областей М'визначає допускового про-

    в __________

    ласть М2 = Р | М ^, V = 1, Ь.

    V = 1

    Третє нерівність в системі нерівностей (1) також є внутрішньою умовою працездатності і з геометричної точки зору визначає допускового область DX, яка, як і області DY і Б', має форму гіперпаралелепіпеда:

    Бх = {Хе ЬЛХ ^ <Х, <Х1пт, \ = й}.

    Безліч С = Бх П Мг П М ?, що є перетином областей DX, MZ і MY будемо називати областю працездатності. Ця область визначає безліч допустимих значень первинних параметрів, при яких виконуються всі вимоги, що пред'являються до вихідних і внутрішнім Zv параметрам системи. Форма області працездатності може мати досить складну конфігурацію.

    Область S, яка визначає допустимі межі зміни первинних параметрів системи і класи точності її комплектуючих елементів, є частиною області G у вигляді вписаного в неї гіперпаралелепіпеда або гіперкуба максимально можливого обсягу або периметра (на рис. 1 показана пунктиром) або тотожне їй дорівнює.

    Для аналітичного опису областей працездатності скористаємося класом Я відображень [2]. Наведемо ці відображення стосовно до розв'язуваної задачі.

    Нехай х - безліч, що містить до елементів X. Задамо сюр'єкція виду 8к: X - Вк, Вк = {0, 1, ..., до -1}. Таке завдання означає, що кожен елемент Х е Вк має непорожній прообраз 8-1 (Х). Завдання 8к призводить

    до розбиття х на до підмножин х (1) = 8-1 (1), 1 е Вк, які називаються якісними градаціями на х, відповідними сюр'ек-ції 8к. Введемо в розгляд відображення 8 ": х" - О; і У = f (Х): х "- х", де 8п (Х) = = (8к (Х), ..., 8к (Х ")), Х = (Х1, ..., Х") , У = (У1, ..., У "), х" - «-я ступінь безлічі х Відображення А (х) називається правильним відображенням з алфавітом х. Безліч всіх правильних з алфавітом х відображень позначимо Б (х). При т = 1 правильні відображення "

    виду f: х - х називаються «-Місцеві операціями алгебри на х.

    Нехай У =? (Х): х "- х"; Ф = У (У): хт - хР і Ф = у? (Х)]: х "- хР. Тоді відображення ф називають композицією f і у і позначають у? (Х)] = у ° ?

    Відображення? : Х "- х" називається Я-відображенням, якщо існує така функція до-значної логіки Б: В к - В ™, для кото-

    т "

    рій 8к °? = Р ° 8к .

    Оскільки область працездатності задається в просторі Я "первинних параметрів X, то безліч х, що використовується для побудови Я-відображень, являє собою числову вісь або її підмножина. При цьому Я-відображення є дійсними функціями дійсних аргументів. Такі Я-функції визначені всюди в просторі своїх аргументів і, таким чином, належать множині Б (К) правильних функцій (алгебраїчних операцій) з алфавітом х = Я = (- ° о, + °°).

    При аналітичному описі допус-

    т

    кових областей В = Б? = Р | Б |, M = M ^ MY.

    І

    P = DX і області G = DX П MZ П MY будемо використовувати Я-функції, відповідні розбиття всієї множини М за допомогою сюр'єкція, яка визначається предикатами 83 (1)

    і 82 (1):

    2, \ Ле (0; | + «)

    8з (1) = -1, 1 = 0, Б2 (0:

    0, \ Ле (-оа; 0)

    Для предиката 83 (1): х (0) = (- °°; 0), х (1) = 0, х (2) = (0; + °°). Для предиката 82 (1): х (0) = (- «>; 0), х (1) = (0; + ~).

    Предикату 83 (1) можна поставити у відповідність приналежність точки області G, а

    -г.

    '7Че (0; -н ~), 0, \ Ле (- °°; 0).

    Ф YX: D у -> М Y

    Yztnjn

    X,

    D? = F | Dj

    j = i

    ^^ 2min X ^ max

    G = DxflMYf | Mz

    7V

    2max

    zv

    DZ = (1DV

    Мал. 7. Геометрична інтерпретація умов працездатності та допустимих меж зміни первинних параметрів

    також знаходження її поза області G і всередині цієї області. Предикату 82 (1) ставиться у відповідність приналежність або не приналежність даної точки області працездатності.

    Розглянемо простір Ят вихідних параметрів ЕТС. Згідно (1) кожному нерівності ф. ^) = К ^) - У.тт > 0 або Ф / ^ = У.тт - > 0 можна поставити в

    відповідність двійкову змінну

    000 = д (^ (х)) =

    J "l, есліср ^ Х)> О, [О, якщо 9j (X) < 0.

    Функція д = Q (Y), що визначається таким чином, є двійковим предикатом і позначається 82 (1). Предикату д (У.) Можна поставити у відповідність геометричний об'єкт DJ. Об'єкт Б. називається опорним і являє собою сукупність всіх точок

    Ят

    , в яких задовольняється умова д = (ф ^) > 0) = 1.

    Область працездатності D в просторі Ят складається з геометричних об'єктів Б. причому булева функція ф (У1, У2, ..., У., ..., Ут) визначає логіку формування області D. Так як предикати д ^) можуть

    набувати значень 0 або 1, то ними можна замінити аргументи булевої функції ф. В результаті такої заміни отримаємо наступне рівняння:

    Q (Y) = ФЗД), Q (Y2), ..., Q (Yj), ..., Q (Ym)] = A,

    де A приймає значення 0 або 1.

    Для того щоб нерівність фJ (X) > 0 визначало ту ж область, що і предикатное рівняння Q (Y) = 1, необхідно, щоб булева функція ф була замикає. Побудувати цю функцію можна за допомогою безперервних Я-функцій, які, як зазначалося, є функціями безперервних аргументів і мають властивості функцій алгебри логіки.

    Нехай Y = F (X) є функція, певна всюди в просторі Rn. Згідно з визначенням Я-відображення дана функція є Я-функцією, якщо в кожній з областей H (j = 1, 2, ..., 2n) вона зберігає постійний знак, тобто Q [F (X1, X2, ..., Xn)] = ф = const.

    При цьому область H є сово - ^^^^ купность всіх точок простору Rn, для яких хоча б одна координата X; дорівнює нулю.

    В результаті використання Я-функцій область D може бути задана наступним нерівністю:

    Випуск4

    ?випуск 4

    ФОО = ((-. (((Ф1 Ф2) лка2 Фз) л ^ з ...) Фш =

    т

    = Лка1Ф;>0, (2)

    j = l

    де: а ^ '= 1, т - довільні величини,

    належать інтервалу а. е [-1,1].

    Для побудови Я-кон'юнкції зручно скористатися наступною формулою [2]:

    Ч>1 ЛаФг = 0,5 (ф, + <Р2 +&-2а<р! ф2 (ф "ф2), (3)

    де: Я (ф1, ф2) - функція, що забезпечує наявність до похідних Я-кон'юнкції.

    У тому випадку якщо не потрібно, щоб функція ф була диференційована, формула (3) може бути спрощена. Беручи а = 1, отримаємо

    ф1лф2 = 0,5 (ф1 + Ф2 | ф1-ф2 |). (4)

    У формулі (4) можуть бути опущені дужки, і кінцевий результат не буде залежати від послідовності згортки.

    Якщо рівняння фj = 0, j = l, m визначають відповідно кордону областей фJ > 0, то рівняння ф ^) = 0 буде визначати межу зони працездатності D.

    Для аналітичного опису допус-кових областей M, P і області G скористаємося сюр'єкція 83 (1). Оскільки область G визначається перетином областей P і M, то вона може бути задана нерівністю про (Х) л ^ (Х)>0, а рівняння ® (Х) ДЦ ^ (Х) = 0 визначає її кордон.

    Слідуючи (2) і (4), отримаємо аналітичний опис області працездатності в вигляді наступного рекурентного співвідношення [3]:

    G _ G2 (m + n) - 0,5 + Ф2 (т + п) '

    J2 (m + n) -l Ф2 (т + п) |);

    ^ 2 (т + 11) -1 = 0>5 ((j2 (m + n) -2 + ф2 (т + п) -1 _ | З>2 (Ш + П) _2 _ ф2 (т + п) -11) '

    Gj = 0,5 (0Н + Ф] - | СН-Ф] |)

    (5)

    G2 = 0,5 (G! + Ф2 | 0, -ф2 |);

    Gl = ф!-

    Тут ф. = F (X) - Y. . > 0; ф. + = Y. -

    J J Jmm J +1 jmax

    F (X) > 0; j = 1, 2, ..., m; Y, Y - відповід-

    Jv 7 J? jmin jmax

    повідно мінімально і максимально допустимі значення j-го показника якості; Fj (X) - рівняння, яке встановлює зв'язок між j-м показником якості Yj і первинними параметрами ЕТС X X ..., X., ..., Xn.

    Для випадку коли т = "= 2, система рівнянь (5) перетворюється до наступного вигляду:

    З = 0,5 (М + Р | М-Р |),

    де:

    М = 0,25 (У1шах + У2тах - У1шЬ1 |

    (6)

    2min

    - ^ (Xj.Xj) -Y,

    lmax

    Imin I

    | 2Р2 (Х15Х2) Y2max У2т] п | | У1тах + У2тЬ - у1тй1 - У2тах + | 2Р1 (Х1, Х2) - У2тах - \ 2вЛа \ - | 2Р2 (Х1; Х2) -У1тах - ^ Ц); Р = 0,5 (2 | Х1 || Х2 | - || Х2 || Х1 ||);

    Х. = (2х. - х - х) / (х - х) -

    1 4 1 1тах 1ТТ / 4 1тах 1ТТ '

    відносне значення / -го первинного параметра х ЕТС; х, х - відповідно

    1 1тах 1Т1 "

    максимально і мінімально допустимі абсолютні значення первинних параметрів системи.

    В роботі [2] доведено, що до базисних системам Я-функцій відносяться:

    Н1 = {Х1 = Х2; ХГ Х ^ л / г, х>0 ^

    Н.

    ^ |? К ^ х ^ х, х2, | х |, ХШ}

    Використовуючи основну властивість Я-функцій, що полягає в тому, що логічні операції і найпростіші арифметичні операції над Я-функціями утворюють нову функцію, яка також належить до класу Я-функцій, можна зробити висновок, що алгебраїчні функції К ^), отримані, наприклад , в результаті застосування методів планування експерименту [4] також будуть Я-функціями.

    У найзагальнішому випадку область працездатності можна представити у вигляді перетину множин G ,, N і Q:

    О = G 'п N п Q,

    де: G ', N, Q - безліч рішень простору Я "первинних параметрів X ЕТС, що визначається відповідно до кон'юнкція відображень Ф": DY - MY, Ф ": Du - Mu і області P (визначає область G,), сукупністю критеріїв, які не мають обмежень (N), гранично допустимим значенням запасу працездатності системи ^). Область Q вводиться в розгляд в тому випадку, коли цільовою функцією є будь-якої функціонал або окремо взятий показник

    призначення ЕТС, а для запасу працездатності системи встановлюється гранично допустиме значення.

    Труднощі аналітичного опису безлічі N полягає в тому, що критерії К ^), що визначають це безліч, не мають обмежень. Разом з тим відомо, що якщо функції К ^) мають похідні, а безліч N безперервно, то воно може бути задано наступним чином:

    N 8Т (X) Л = 0, Л > 0, (7)

    де: gT (X) - транспонована матриця Якобі для функцій критеріїв ф. ^), Л = а.,. = Т + 1, ..., до

    Вираз (7) являє собою систему лінійних рівнянь щодо коефіцієнтів а .:

    2 про ^ пкЩ (Х) = 0,

    } = Т + 1

    ^ >0, <Х) = а, ае [0, °°).

    Обмежуючи діапазон зміни а. будь-яким числом, наприклад приймаючи а = 1, а

    до

    також враховуючи, що = 1 - ^ о ^, окончатель-

    т + 2

    але отримаємо

    1 = 1, 2, ..., "а. > 0.

    (8)

    Для наочності представимо вираз (8) у вигляді системи рівнянь з до невідомими параметрами:

    ал «ш + 2 + ар« ї. + з + - + Алаш + 1 + - + а ^ ап = с ^

    (9)

    ак2ат + 2 + ак3ат + 3 + --- + анат + 1 + - "+ акпап - Ск>

    де:

    а ^ сст +; = Е (Р1 (Х) Р] (Х)) / ЕХ1; з = ЕБДХ) / ЕХ,

    Вирішуючи цю систему рівнянь щодо невідомих а., Отримаємо систему нерівностей, що описують безліч рішень N:

    а; (Х) е [0; 1],? щ = 1,] = т + 1, т + 2, к. (10)

    j = т + 1

    Для наочності розглянемо випадок, коли т = 0, к = 3, "= 2. Припустимо також,

    що рівняння Б. ^), отримані в результаті використання методів планування експерименту, мають вигляд полінома другого ступеня:

    Ч = Ь0 + +? Ьйх? + ?? ь; ух; ху:

    j = l j = l 1 = 2 у = 1

    а функції У. = Р. ^) мінімізуються.

    Для розглянутого випадку, який для ЕТС має вельми широку сферу застосування, отримаємо:

    р! (Х) = Ь01 + ЬПХ1 + Ь21Х2 + Ь31Х1 + ь41х2 + Ь51Х1Х2, Р2 (Х) = Ь02 + Ь12Х [+ Ь22Х2 + Ь32Х? + Ь42Х2 + Ь52Х1Х2, ^ з (Х) = ь03 + Ь13Х1 + Ь23Х2 + Ьз3Х1 + Ь43 Х2 + Ь53Х1Х2.

    Система рівнянь (9) прийме наступний вигляд:

    (2 Х ~ ^ г) ®2 + (^ 1 - ^ з) ®з = ^ 1>

    (^ 4 ~ ^ 5) ОС2 (^ 4 ~ ^ 6) (Х3 = ^ 4>

    де:

    ^ 1 = Ьц + 2Ь31Х1 + Ь51Х2; % 2 = ^ 12 2Ь32Х1 + Ь52Х2;

    ~ Комерсант ^ + гЬз ^ + ЬззХ ,; г4 = Ь21 + 2Ь41Х1 + '51х1; ^ 5 = ^ 22 "*" 2Ь42 Х2 + '52Х1; гб = Ь23 + 2Ь43 Х2 + Ь53 Хр

    З огляду на, що а1 + а2 + а3 = 1, дозволимо отриману систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів а1, а2, а3. Остаточно отримаємо:

    а ^ Х-Іг-СГЗ, (11)

    а 2 = (Z1Z6 - г3у.с) (/ | 26-г1г5 + г2г4 - z2z6 -z3z4 + z3z5),

    З = (^ 1 ^ 5 - ^ 2 ^ 4) / (^ 1 ^ 5 - ^ 1 ^ 6 '*' ^ 2 ^ 6 - ^ 2 ^ 4 + ZзZ4 -''' ^).

    Оскільки рівняння (11) належать до класу Я-функцій, слідуючи методиці, викладеної вище, отримаємо:

    N = 4 *! п * Р4 п * Р5 п * Р6,

    Ч »! = 04 > 0; ^ = 1 - ОС! > 0; ^ = <х2 > 0; 'Р4 = 1-ОС2>0; Ч'5 = а3>0; Ч'6 = 1-а 1>0;

    Т1>2 = 0,5 (1 - 12 «! -1 |) > 0; Т3>4 = 0,5 (1 - | 2 «2-1 |) > 0; 'Р5; 6 = 0,5 (1 | 2а1-1 |)>0.

    Після перетворень остаточно отримаємо:

    N = 0,125 (4 - | 2 «! -1 | - | 2 (Х2 -1 | - | 4а3-21-- | | 2А2 -1 | - | 2сх! -1 | | - 114сх3 - 2 | - 12 ^ -1 |-

    -| 2А2 -1 | - || 2ос2-11 - 12 «! -1 | 11).

    У найзагальнішому вигляді безліч N аналітично може бути записано таким чином:

    випуск 4

    ?випуск 4

    N - 0,5 (N2k_! + 'P2k | ^ 2 к-1 ^ 2к |)>

    Nk-l = 0,5 (N2k_2 + 'Pjk-l - N2k-2 - ^ 2к-, |),

    Nj = 0,5 (NH +? J- | NH-4'i5,

    (12)

    ?fr

    N2 = 0,5 (N1 + 4'2- | N1-'P2 |),

    N. ^,,

    де: ^ = a. ,? J + 1 = 1 - a .. Коефіцієнти a. визначаються в результаті рішення системи рівнянь (9).

    Безліч рішень Q має місце в тому випадку, коли критеріальним обмеженням є мінімально допустимий запас працездатності ЕТС: X > X. при

    г mm г

    цьому безліч Q описується наступним чином:

    Q: [(X! -X1h) 2+ (X2 -Х2н) 2 + ... + (ХП -Хш) 2] 0,5 -

    -^ ", M ^ 0Amme (0; l)» (13)

    де: X Х2н, ..., ХНН - координати номінальної точки в області G, для якої запас працездатності X = 1. Для визначення координат такої точки можна скористатися методами, розглянутими в [3].

    Остаточно аналітичний опис області працездатності прийме наступний вигляд:

    G = 0,25 (2Q + G '+ N- | G'-N || G' + N-2Q-- | G-N ||), (14)

    де: функції G, N, Q, аналітично описуються рівняннями (5), (12) і (13) відповідно.

    Отримане аналітичне опис області G, як зазначалося, дозволяє успішно вирішувати завдання параметричного управління станом ЕТС за критерієм запасу працездатності. Разом з тим при великому числі функцій ф., Отриманих, наприклад, в результаті апроксимації граничних точок області G лінійно-залежними допусками, і при необхідності виконання операцій диференціювання в процесі пошуку оптимуму помітно зростає обсяг обчислень. Розглянемо цю обставину більш докладно. У загальному випадку область G визначається нерівністю R (X) > 0, де R (X) - згортка

    Rj + i -

    нерівностей ф :-( Х)> 0,] '= 1, М. Функція Я ^) обчислюється не відразу, а на кожному кроці. Значення функції в якійсь точці:

    ^ + 1 = ^ л} = 1>до _1 'К1 =% де: Я. - значення Я-кон'юнкції, отриманої нау-му кроці.

    Таким чином, на у + 1-му кроці

    ^ Я ,. +

    Значення приватних похідних функції R (X) в кожній даній точці обчислюються по рекуррентной формулою:

    ЕЬ ^ + 1 _ ЕЯН Ея] | Ея] +, Еф] +1 ЕХ Ея] ЕХ; Еф] +, ЕХ; і визначаються видом використовуваної Я-кон'-юнкціі. Зміна значення Я-кон'юнкції дя на у-м кроці визначається виразом

    ^ (РРН + cxRj +<р- + 1-2а] ф] +1).

    При Я Ф 0, ф. Ф 0 і а е [-1; 1] значення дя < 0.

    Можна довести, що К (Х) = Яа <шт Ф]}. Таким чином, значення Яа завжди менше меншого зі значень ф. і на кожному кроці обчислення функції Я ^) значення Яа зменшується алгебраїчно з додаванням кожної нової функції ф .. При згортку негативних величин фJ значення Яа негативно і по абсолютній величині більше будь-якої з них.

    Властивість нарощування абсолютного значення Я-функції при обчисленні Я ^) накладає обмеження на кількість функцій ф. при хоча б одному негативному значенні однієї з них. Оскільки обчислення значення Я-кон'юнкції на у-м кроці рекуррентной процедури вимагає зведення в квадрат її значення, отриманого на попередньому кроці, то найбільше абсолютне значення функції Я ^) має задовольняти співвідношенню

    | Яа | <41, (15)

    I а шах х 7

    де: в - максимально можливе число для використання ЕОМ.

    Значення Я можна значно

    | л 1тах

    зменшити, отримавши нову кон'юнкцію Я (Х) = Яр як твір Яав. Як значення функції в можна прийняти висловлю-

    "(1 + а) (1 + дя ')

    ня, р = ь ---- А) ,

    2 - sgnq>* J2 (\ - ос)

    де: дя; = ДЯа / ф - заданий відносне зміна значення функції Яр, ф = тт ^}, 5йіф = {1, при ф>0; -1 Приф<0}.

    Отримана функція Я (Х) = Яр дозволяє виконувати операції диференціювання і аналітично описувати область G практично при будь-якому числі функцій ф. без порушення умови (15).

    Таким чином, в результаті використання запропонованого способу аналітичного опису області працездатності, розмірність простору вихідних параметрів ЕТС скоротилася до одного параметра, який об'єднує всі т нерівностей (1) в одне нерівність. При цьому істотно скорочуються витрати часу на визначення обла-

    сті працездатності в вигляді сукупності граничних точок. Крім того, аналітична форма запису області G дозволяє досить просто ідентифікувати знаходження досліджуваної точки простору первинних параметрів всередині або поза цією областю (при G > 0 - точка знаходиться всередині області, а при G < 0 - поза нею) і ефективно, з низькою методичної похибкою, вирішувати завдання визначення працездатності і прогнозування стану ЕТС.

    В роботі [4] наводяться приклади використання розглянутого методу для вирішення завдань моделювання, параметричного і структурного синтезу різноманітних ЕТС.

    Список літератури

    1. Саушев А. В. Методи управління станом електротехнічних систем. - Спб., 2004.

    2. Рвачев В. Л. Геометричні застосування алгебри логіки. - Київ, 1967.

    3. Саушев А. В. Метод побудови границі області працездатності електротехнічних об'єктів // Електрика. - 1990. - № 4. - С. 14-19.

    4. Саушев А. В. Планування експерименту в електромеханіки. - СПб., 2008.

    5. Саушев А. В., Шошмін В. А. Основи інженерного проектування електротехнічних пристроїв і систем. - СПб., 1993.

    В. В. Сахаров,

    д-р техн. наук, проф., СПГУВК;

    В. І. Корольов,

    канд. техн. наук, проф., ДМА ім. адмірала Ф. Ф. Ушакова;

    П. В. Голубєв,

    аспірант, СПГУВК

    ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛЕЙ водоизмещающих СУДІВ з вимірювання ВЕКТОРА СТАНУ

    DISPLACE SHIP MODEL PARAMETERS ESTIMATION ^ 41

    BY STATE VECTOR MEASUREMENTS

    У статті розглядається алгоритм оцінки параметрів моделі водоизмещающего судна в просторі станів. Оцінка проводиться за вимірюваннями вектора стану в дискретні моменти часу на еволюційному режимі зміни фазових координат. Наводяться оцінки параметрів, підлозі-

    випуск 4


    Ключові слова: ОБЛАСТЬ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ /УМОВИ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ /ЛОГІЧНІ R-ФУНКЦІЇ /ПАРАМЕТРИ СИСТЕМИ /ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНІ СИСТЕМИ /WORKING CAPACITY AREA /WORKING CAPACITY CONDITIONS /LOGIC R-FUNCTIONS /SYSTEM PARAMETERS /ELECTROTECHNICAL SYSTEMS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити