Представлено аналітичний розв'язок задачі визначення просторово-часового розподілу поля електричної напруженості випромінювання імпульсного радара в плазмі. Реалізація рішення проведена з урахуванням двовимірних ефектів взаємодії СВЧ хвилі і плазми.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Калашников Олександр Олександрович


The analytic solution of the problem on determining space-time distribution of electric stress field of pulse radar radiation in plasma has been proposed. The solution was implemented subject to two-dimensional effects of microwave and plasma interaction.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2010
    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ
    Наукова стаття на тему 'Аналітичне рішення задачі визначення поля електричної напруженості СВЧ хвилі імпульсного радара в високотемпературної плазмі'

    Текст наукової роботи на тему «Аналітичне рішення задачі визначення поля електричної напруженості СВЧ хвилі імпульсного радара в високотемпературної плазмі»

    ?УДК 533.9.08; 519.677

    АНАЛІТИЧНА РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛЯ ЕЛЕКТРИЧНОЇ НАПРУЖЕНОСТІ СВЧ ХВИЛІ ІМПУЛЬСНОГО РАДАРА В ВИСОКОТЕМПЕРАТУРНОЇ ПЛАЗМІ

    А.А. Калашников

    Томський політехнічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Представлено аналітичний розв'язок задачі визначення просторово-часового розподілу поля електричної напруженості випромінювання імпульсного радара в плазмі. Реалізація рішення проведена з урахуванням двовимірних ефектів взаємодії НВЧ волниi і плазмиi.

    Ключові слова:

    Імпульсна рефлектометрія, високотемпературна плазма, динамічна модель, поширення мікрохвильового випромінювання в плазмі.

    Key words:

    Microwave pulsed reflectometry, fusion plasma, dynamical model, probing microwave propagation in plasma.

    Вступ

    Для діагностики високотемпературної плазми експериментальних установок керованого термоядерного синтезу типу токамак [1] ​​використовують метод імпульсної рефлектометрии [2]. Метод заснований на зондуванні плазми імпульсним СВЧ-випромінюванням. Діагностується характеристикою є просторово-часовий розподіл електронної щільності плазмового шару.

    Для реалізації діагностики за допомогою імпульсного рефлектометра [2] потрібно вирішити задачу визначення двовимірного розподілу поля електричної напруженості СВЧ хвилі всередині шару плазми в динаміці [3]. Актуальність такої розробки обумовлена ​​урахуванням ефектів, якими нехтують в існуючих моделях [3]. Це дозволить збільшити адекватність розробки.

    Аналітичне рішення задачі

    У загальному випадку взаємодія СВЧ хвилі і плазми можна описати рівняннями Максвелла. Вважаючи, що плазма описується розподілами комплексної діелектричної і магнітної про-ніцаемостямі, запишемо рівняння у вигляді [4, 5]:

    ~ (1)

    Vks0 E = 0,

    Vkm? 0 H = 0,

    VE, 8H

    8t

    VH = -ks,

    8E

    8t '

    (2)

    (3)

    (4)

    VxVx E = V (V, E) -V2 E = -

    kkm 82E

    2 a, 2 'c 8t

    де с - швидкість світла у вакуумі.

    Нехтуючи просторовою дисперсією, отримаємо:

    V2E = kk ~ 8 E

    8t2

    (5)

    Напрямок поширення вузького поляризованого пучка зондуючого мікрохвильового випромінювання на установках типу токамак можна вибрати так, щоб вектор напруженості електричного поля дуже малий відхилявся від результуючого вектора напруженості магнітного поля. Вплив магнітного поля на поширення хвилі можна не враховувати, хвиля поширюється в О-моді [6], кт = 1. З урахуванням цього вираз (5) в полярних координатах (г, р, 0 набуде вигляду хвильового рівняння Гельмгольца:

    8.f г 8E V

    1 82 E k 82 E

    1

    г 8r ^ 8r) г2 8q>2 c2 8t2

    = 0.

    Перетворивши отримане рівняння, отримаємо:

    1

    2 82 E 8E 8 г + г - +

    8г2

    8г 8ф) c 8t

    k 8 E

    = 0. (6)

    де до - комплексне хвильове число; е 0 і / і0 - діелектрична і магнітна проникність вакууму; E і H - вектори напруженості електричного і магнітного полів; кт - відносна магнітна проникність; t - час.

    Взявши rot від ур. (3), похідну за часом від ур. (4) і виключивши Н, отримаємо хвильове рівняння:

    Оскільки рівняння Максвелла є однорідними, то кожна компонента вектора напруженості електричного поля Е також задовольняє рівняння (6). Тоді рівняння (6) зручно вирішити для г, (ри / складових вектора Е, здійснюючи тим самим перехід від векторних величин до скалярним.

    З технічних характеристик радар-рефлектометра визначаються граничні умови задачі для несучої частоти / і розподілу електричної напруженості Е зондуючого хвилі на кордоні плазми:

    Е (r = a, pe:%]) = E0 (t) E0p) = E0 (t) e-

    ,(7)

    (

    E0 (t) = Emax exp

    2

    t - T / 2

    2 Л

    sin (0) t),

    1 7 •

    E (r, p, t) =, - I em'E (r, p, oo) do, • 42k

    (8)

    d2 E (r, p, t) _ 1

    dt2

    42K

    J (-o2) e ° E (r, p, o) do. (9)

    Граничні умови (7) для функцій (8) перетворюються до вигляду:

    Е (г, р, а) I = а = Ео (р, а) =

    7тт J

    , , max exp

    2k '

    -2

    t - T / 2

    2

    sin (ot) e-p / p0 dt.

    E0 (p, m) =

    1 tt - fe

    2k

    "Ema ^ exp

    -2

    t - T / 2

    T

    2

    x sin (ot) e-p / p "dt.

    (10)

    Підставивши (8) і (9) в (6), отримаємо:

    r2 д2E (r, p) +

    dr2

    + R dE (r, p) + d2 E (r, p)

    yfiK _

    dr

    - \ (- ° 2) E (r, P)

    dp2

    d o = 0.

    Оскільки розкладання в ряд Фур'є єдино, то отримане рівність буде вірним, якщо:

    1

    2 d 2E dE д 2E1 k 2 n лп r2 -Y + r - + Т-Г \ - - (-a) E = 0. (11) dr dr dp J c

    Згідно формалізму діелектричної постійної маємо [4]:

    k = 1 ,

    де а - малий радіус кордону плазми; р0 - максимальний кут, що обмежує освітлювану частина поверхні плазми; E0y (ф) = e ~ ', v', »2 - функція розподілу інтенсивності випромінювання на кордоні плазми.

    Функція ЕДО має вигляд:

    (

    (12)

    де функція с / (г, 0 характеризує залежність частоти плазмових коливань від електронної щільності плазмового шару:

    в2пе (г, г)

    op (r, t) = |

    (13)

    де ЕПх - модуль електричної напруженості в кожній точці фронту падаючої хвилі; Т - ширина хвильового пакета за рівнем 0,5Етах, Т = 2 нс; / - несуча частота випромінювання; зі - кутова частота, ол = 2ж /.

    Зондувальна СВЧ хвиля є плоскою і змінюється за законом ехр (С0, тому електричну напруженість Е зручно представити у вигляді інтеграла Фур'є:

    де е 0 - діелектрична постійна середовища; ті, е-маса і заряд електрона, пе (г, 0 - функція, що дозволяє апроксимувати типові профілі щільності електронів в плазмі установок типу то-Камак з прийнятною ступенем точності [7]:

    ne (r, t) = n (0, t)

    1 -

    f \ r (t) r

    a (t)

    P (t)

    (14)

    де у? - функції визначені на множині дійсних чисел, а - малий радіус кордону плазми.

    Під час поширення імпульсу зондуючого хвилі все що протікають в плазмі процеси знаходяться в стаціонарному стані. Тому:

    \ Ср (г, г е [0, тшах1) = юр (г),

    Пе (Г, г е [0, ^ тах]) = П (г \

    де ТП] ах = 10нс - максимальне значення вимірюваного часу прольоту зондуючого хвилі в плазмі.

    Підставивши (12) в (11) з урахуванням (15), маємо:

    (15)

    1

    Згідно з фізичним змістом задачі граничні умови задаються на інтервалі [0,4], який характеризує тривалість хвильового пакета, що становить близько 3 нс. З урахуванням цього перепишемо:

    2 d2 E dE d2 E r -T + r - + - 2

    dr dr dp

    \

    +

    ° 2 -oP (r)

    E = 0.

    Таким чином, завдання звелася до вирішення отриманого рівняння для граничних умов (10). Застосувавши метод поділу змінних Е (г, р) = Я (г) Ф (р) і розділивши це рівняння на Я (г) Ф (р), приходимо до виразу:

    r2R "+ rR '2 o2-op (r)

    R

    -+ r

    Ф "Ф

    Ф '

    Висловлюючи - = -X, отримаємо:

    Ф

    Ф "-ХФ = 0.

    Ненульові 2к періодичні (Ф (p + 2к) = Ф (p)) рішення цього рівняння: Фп (p) = A cos np + Bn sin np, X = -nL, n e N. (16)

    Тоді рівняння для складової R (r) набуде вигляду: r2R "+ rR '+ (r2b (r) -n2) R = 0, (17)

    де b (r) =

    ° 2-op, (r)

    Для визначення коефіцієнтів Ап і Вп в (16) функції (10) розкладемо в ряд Фур'є:

    E0 (p, m) = ^ an cos np + fin sin np,

    (18)

    me? 0

    1

    2

    c

    n = 0

    де

    1 "

    ап = - | E0 (^, ю) cos щ? 1ф,

    2К - До 1 до

    Рп = - | E0 (^, ю) sinпФ dф. (19)

    2к J

    -до

    Так як рівняння (16) і (18) задовольняють всім значенням параметра ф, і розкладання в ряд Фур'є єдино, то прирівнявши коефіцієнти при відповідних доданків для граничної умови (10) Е (г, ф) \, = а = Е0 (ф, а1), запишемо систему:

    AnRn (о) = С1п, BnRn (а) = Рп.

    отже:

    Л, n R (a)

    B = |

    n R (a)

    Рішення рівняння (11) набуде вигляду: E (r, ф, ю) =? (An cos пф + Pn sin пф)

    Rn (r)

    п = про Rn (а)

    Таким чином, завдання зводиться до визначення складової Л (г), т. Е. До вирішення ур. (17). Для цього функцію Ь (г) представимо в такий спосіб:

    ю

    <(R)

    ю

    Ь (г) = ^ - ^ = ^ + хс2р (г). з з з

    Тоді рішення зручно шукати у вигляді розкладання Я (г) по параметру х:

    Rn = R0 (r) + х1<1 (г). (20)

    Підставивши (20) в (17) і прирівнявши коефіцієнти при однакових доданків, для функції ЛДГ) рівняння (17) записується у вигляді:

    r 2 (R ° ")" + r (R0) '+

    i 2 2 r ю 2 -; - n

    (R0) = 0.

    r 2 (Rln) "+ r R) '+

    (22 r ю

    = -R 2xat (r) Jn \ - \.

    --n

    гю

    (Rn1) =

    Рішення цього рівняння має вигляд [8]:

    R1 = L J I - \ + CN

    гю c ,

    де иП - функція Неймана за індексом п, Іоп і Сп-постійні коефіцієнти.

    гю c

    = - J

    2с I c

    Iх-1 Нп ^ ™ со2р (х) си +

    + КГЛ [т)] х ^ п ^ (21)

    Так як граничні умови (10) не залежить від 1, то ЛП '(а) = 0 отже, при Іоп = 1 маємо:

    C =

    (Аю -і \-

    I c

    -J "

    аю c

    N,

    аю c

    (22)

    Таким чином, шукана компонента Я (г) однозначно визначена, і, узагальнюючи рішення, остаточну відповідь можна записати у вигляді:

    E (г, ф, t) =

    1 M S

    l ^ e * ?

    \ 2ж j = i n = o

    Rn (r) =

    an cos пф + + Pn sin Пф

    Rn (r)

    Rn (a)

    = Л \ Гю | -1

    Отриманий вираз є рівнянням Бесселя, його рішення наступне:

    <(Г) = Л [З

    де | ЛП ° (г) |<і та 1п - функція Бесселя першого роду за індексом п.

    Функція ЛДГ) задовольняє неоднорідного рівняння Бесселя:

    J 'т | +

    ",,, Гю | (Гю + C NJ - 1 + і \ -

    де М = 15 - кількість гармонік, які описують огибающую функцію відбитих від плазми хвильових пакетів; 5 - кількість доданків ряду, що описує функцію (для експериментів досить обмежитися значенням 5 = 20). Вхідні в систему параметри і функції визначаються з виразів: (10), (13), (14), (19), (21), (22).

    особливості рішення

    Пряме і зворотне перетворення Фур'є, що лежать в основі рішення, крім гладкості і диф-ференціруемості, не накладають додаткових вимог на функцію (7). Тому допускається коригування граничних умов з метою подальшого підвищення точності.

    Отримане в загальному вигляді рішення дозволяє врахувати не тільки окремий випадок профілю електронної щільності, а й всю її еволюцію. Це досягається введенням в ур. (14) залежностей: іе0 = ие (0,0, у = у (0, Р = Р (0, а = а (0 - для апроксимації динаміки зміни щільності електронів ие (г, 0 в часі. Варіювання значень у, р

    і

    можна проводити на всій множині дійсний чисел з урахуванням фізичного сенсу - функція ne (r, t) повинна бути нелінійної і здатної описувати всі можливі конфігурації профілів в межах кордонів їх зміни.

    Автору відомо лише одне аналітичне рішення [7], що дозволяє провести розрахунок динаміки поширення хвилі в плазмі для стаціонарного розподілу електронної щільності, яке є окремим випадком розробленого рішення. Це імовірно підвищить точність моделювання взаємодії СВЧ хвилі і плазми.

    Питання про адекватність рішення залишається відкритим. Відповідь буде отримано після створення бази даних з часопролітної характеристиками і її порівнянням з результатами експериментів, а також після проведення тестових моделювань з заданим профілем електронної щільності.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Wesson J., Tokamaks. - Oxford: Oxford University Press, 1987. -320 p.

    2. Baystrukov K.I., Sharnin A.V., et al. Control and data acquisition system of tokamak KTM // Plasma and Fusion Science. - 2008. -№ 3. - P. 297-306.

    3. Калашников А.А., Шарнин А.В. Модель поширення випромінювання імпульсного радара в високотемпературної плазмі // Известия Томського політехнічного університету. - 2010. -Т. 317. - № 2. - С. 120-124.

    4. Хілд М. Мікрохвильова діагностика плазми. - М .: Атоміз-дат, 1968. - 392 с.

    висновки

    1. Представлено аналітичний розв'язок задачі визначення просторово-часового розподілу поля електричної напруженості випромінювання імпульсного радара в плазмі.

    2. В основі аналітичної моделі закладено рішення рівняння Гельмгольца для СВЧ хвилі всередині плазми в наближенні, що конфігурація електронної щільності описується класом гладких функцій, а форма хвильового пакета є плоскою.

    3. Рішення завдання дозволяє моделювати поширення СВЧ хвилі в плазмовому шарі зі змінною електронної щільністю.

    Автор статті висловлює подяку д.ф.-м.н. Андрію Юрійовичу Трифонова за конструктивні пропозиції та допомогу в реалізації рішення рівняння Гельмгольца, Олександру Вікторовичу Шарніна за прояснення фізичного змісту задачі і своєчасні перевірки рішення.

    5. Стреттон Дж.А. Теорія електромагнетизму - М.-Л .: Изд-во техн.-теор. літ-ри, 1948. - 539 с.

    6. Shevchenko V., Walsh M.J. First Results from the START Multi-frequency Pulse Radar Re Hectometer // Rew. Sci. Instrum. -1997. - № 4. - P. 2040-2045.

    7. Bruskin L.G., Mase A. Analytical simulation of microwave reflecto-metry of a plasma cylinder // Rev. Sci. Instrum. - 2001. - № 72. -P. 4139-4144.

    8. Бейтмен Р., Ердей А. Вищі трансцендентні функції. -М .: Наука, 1974. - Т. 2. - 295 с.

    Надійшла 26.04.2010 р.


    Ключові слова: імпульсна рефлектометрія / високотемпературна плазма / динамічна модель / поширення мікрохвильового випромінювання в плазмі / microwave pulsed reflectometry / fusion plasma / dynamical model / probing microwave propagation in plasma

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити