Проведена аналітична оцінка впливу центрального відбивача на прикладі плоского реактора в одногруппових і дифузійно-віковому наближеннях. З боку зовнішнього відбивача вводиться ефективна межа, що істотно спрощує математичну постановку критичної завдання. Апробація рішення проведена для одного з станів дослідного реактора ІРТ-Т.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Кузьмін А. В.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2007
    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ
    Наукова стаття на тему 'Аналітичне вирішення критичної завдання для плоского гомогенного реактора з внутрішнім відбивачем'

    Текст наукової роботи на тему «Аналітичне вирішення критичної завдання для плоского гомогенного реактора з внутрішнім відбивачем»

    ?УДК 621.039.51 (075.8)

    АНАЛІТИЧНА РІШЕННЯ КРИТИЧНОЇ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЛОСКОГО гомогенності реактора З ВНУТРІШНІМ відбивач

    А.В. Кузьмін

    Томський політехнічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Проведена аналітична оцінка впливу центрального відбивача на прикладі плоского реактора в одногруппових і дифузійно-віковому наближеннях. З боку зовнішнього відбивача вводиться ефективна межа, що істотно спрощує математичну постановку критичної завдання. Апробація рішення проведена для одного з станів дослідного реактора ІРТ-Т.

    Вступ

    Оцінка критичних розмірів або критичної концентрації (маси) пального є основним завданням теорії ядерних реакторів. У загальноприйнятому викладі розгляд критичної завдання обмежувалося реакторами класичної геометрії (сфера, необмежений циліндр і пластина) без відбивача нейтронів і з його застосуванням з дотриманням центральної симетрії. Причому історично склалося зовнішнє розташування відбивача відповідало існуючим на той час конструкціям ядерних реакторів.

    Вплив внутрішнього відбивача розглядалося тільки в одногруппових наближенні для граничних випадків його дифузійних характеристик: для вакууму і чорного тіла. Такий підхід дозволяв помітно спростити математичну постановку задачі (виключалося рівняння дифузії). Результати рішення критичної завдання в одно-груповому наближенні отримали застосування в розрахунках окремих типів реакторів (наприклад, важководяних реакторів) і в теорії центрального поглинає стрижня.

    Більш ніж піввіковий досвід експлуатації ядерних реакторів виявив доцільність застосування центральних або внутрішніх відбивачів. Наприклад, в високотемпературному реакторі з гелієвим теплоносієм ГТ-МГР відбивач є конструкцією, набрану з графітових блоків різної конфігурації [1]. Він включає в себе не тільки звичайні в застосуванні відбивачі: верхній, нижній і бічний, а й центральний відбивач.

    Активна зона реактора ГТ-МГР складається з призматичних графітових блоків і тому володіє меншим термічним опором у порівнянні з активною зоною з кульових ТВЕ-лов. Наявність центрального графітового відбивача підвищує акумулюючі здатність реактора і тим самим знижує швидкість розігріву активної зони при погіршенні тепловідведення. Одночасно така кільцева компоновка забезпечує краще вирівнювання енергорозподілу по активній зоні і, як наслідок, менші питому потужність енерговиділення і температуру палива.

    У дослідницькому реакторі ІРТ-Т застосування не тільки зовнішнього, але і внутрішнього відбивачів обумовлено необхідністю збільшення середньої щільності потоку нейтронів [2, 3]. Цій же меті служить і вибір берилію в якості матеріалу відбивача.

    Розподіл щільності потоку теплових нейтронів в загальному випадку проводиться чисельними методами в многогрупповом наближенні і в багатовимірної постановці. Метою роботи є отримання аналітичної оцінки впливу центрального відбивача на прикладі реактора ІРТ-Т і з урахуванням прийнятих припущень носить скоріше методичний характер.

    > >

    2 1 3

    Внутрішній Активна зона Зовнішній

    відбивач - пастка нейтронів ТВЕЛ ТВЕЛ відбивач

    H / 2 x

    H 2/2

    H 3/2 -3->

    Мал. 1. Схема розташування елементів реактора ІРТ-Т

    Активна зона реактора ІРТ-Т в плані являє собою прямокутник зі сторонами 6x8 осередків квадратного перетину. По периферії в один ряд розташовуються берилієві блоки відбивача, в центрі знаходиться берилієва пастка нейтронів (внутрішній відбивач), що включає 4 осередки, інші осередки займають тепловиділяючі збірки, які омиваються легководяних теплоносієм. В цілому розташування елементів по витягнутій стороні прямокутника щодо осі симетрії має вигляд, представлений на рис. 1, де Н / 2 - кордону відповідних зон.

    Завдання про реакторі з внутрішнім і зовнішнім відбивачами будемо вирішувати в одногруппових і дифузійно-віковому наближеннях, для простоти вважаючи активну зону гомогенної і в формі необмеженої пластини.

    0

    одногруппових наближення

    Розподіл потоку нейтронів Ф1 в активній зоні, внутрішньому і зовнішньому відбивачах в одно-груповому наближенні прийнято описувати наступними хвильовими рівняннями:

    АФ1 + Х12Ф1 = 0,

    ДФ2 -хф = 0, АФ3 -хФз = 0,

    (1) (2) (3)

    де х1, Х2, Х3 - матеріальні параметри середовища активної зони, внутрішнього і зовнішнього відбивачів.

    Використовуємо наступні граничні умови для вирішення рівнянь (1-3):

    х = 0 УФ2 (0) = 0,

    х = я72 Ф2 (И1 / 2) = Ф1 (Н1 / 2),

    х = # 1/2 В2 ^ Ф2 ^ / 2) = ДУФ (Я1 / 2), х = Н2 / 2 Ф ^ Н2 / 2) = Ф'(Н2 / 2),

    х = Н 2/2 Б1УФ1 (Н2 / 2) = Б3УФ3 (Н1 / 2), х = Н3 / 2 Ф3 (Н3 / 2) = 0,

    де Д - коефіцієнти дифузії.

    Застосування зовнішнього відбивача товщиною Т знижує витоку нейтронів і дає економію активної зони рівною ефективної добавці [4]:

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    (8) (9)

    5еф = -агйя

    Х1

    АХ1 АХЗ

    Спростимо задачу (1-9), для чого введемо ефективне гранична умова

    х = Н 2/2 + 5еф = Н еф / 2 Ф1 (НЕ ^ 2) = 0. (10)

    Таким чином, завдання на критичний стан буде визначатися системою ур. (1, 2, 4-6) і (10).

    Рішення хвильових рівнянь (1) і (2) відомі і мають вигляд:

    ф1 (х) = С181п (Х1Х) + С2 совСх х) ф2 (х) = Сз ^ Х х) + СсЬ (Х2х) •

    Задовольняючи ці рішення граничним умовам, отримаємо систему алгебраїчних рівнянь. Після зниження порядку системи до двох і потім, звільнившись від констант, отримаємо критичне рівняння для реактора в формі необмеженої пластини з центральним відбивачем:

    Б2хЖх2 Н, / 2) = -БlХlctg (ХL (НЕФ / 2 - ^ / 2)) (11)

    З цього рівняння при заданій товщині внутрішнього відбивача і відомих матеріальних характеристиках можна знайти критичне значення розміру активної зони.

    Вихідна система алгебраїчних рівнянь дозволяє знайти вираження просторового розподілу щільності потоку нейтронів тільки з точністю до будь-якої константи С. Для

    знаходження законів розподілу нейтронів в активній зоні і відбивачі в явному вигляді задамо додаткову умову:

    х = 0 Ф2 (0) = Ф '= / (Мр) (12)

    і в результаті отримаємо закони розподілу [6]:

    Н3 / 2 - х)) 8т (х (Н / 2 - ^ / 2)) '() Ф2 (х) = Ф * Сі (х2 х) (14)

    Якщо прийняти, що Ф * = 1, тоді рішення (13, 14) будуть мати вигляд, представлений на рис. 2.

    Ф, отн.ед.

    Ф (х) = Ф * Сі (х2 Н ^ 2) -

    26,07

    3,0 -

    2,0 -

    1,0

    0

    ефективна добавка

    X.

    30

    10 20 30 X, см

    Мал. 2. Розподіл потоку нейтронів по активній зоні і центральному відбивачу

    Двухгрупповое наближення

    Більш висока диффузионно-вікове наближення враховує сповільнюються швидкі і диффундирующие теплові нейтрони. Також скористаємося ефективним граничним умовою.

    внутрішній відбивач

    К = 0

    Ф "-

    г, г = 0

    активна зона

    Ф1

    -уповільнення

    ФФ 1 + 1

    розподіл

    Ф ^ УЦ

    Ф, - ^ Ф 2

    Витоку швидких нейтронів

    Витоку теплових нейтронів

    Н1 / 2

    задана товщина

    Мал. 3. Схема двухгруппових процесів

    Н 3/2

    ефективна межа

    У відповідності зі схемою двухгруппових процесів (рис. 3) критична завдання в осесімме-тричного декартовой постановці буде включати наступні рівняння балансу нейтронів для: • активної зони И1 / 2<х<Н3 / 2:

    ДДФ, -Еф + к'аф2 / ф = 0, (15)

    ДДФ2 -Еаф2 + ФЕФ = 0; (16) внутрішнього відбивача 0<х<И1 / 2:

    А, ДФГ -Еяф = 0, (17)

    А, ДФ2г -'аФ + ЕКФ = 0. (18) Граничні умови представимо у вигляді:

    ДФ1г = 0, ДФ2г = 0,

    (19)

    (20)

    Ф, (^ / 2) = Ф1 (Н1 / 2), А ^, (Н1 / 2) = ДУФД Н1 / 2),

    Ф * (Н1 / 2) = Ф2 (^ / 2),

    В2гЧФ2г (^ / 2) = Б ^ Ф ^ / Т), (21)

    Ф1 (Н'12) = 0, Ф2 (Н'11) = 0, (22)

    х = 0 х = Н1 / 2

    х = Н1 / 2

    х = Н3 / 2

    де ЕаТ, Ея - макроскопічні перерізу поглинання теплових і відведення швидких нейтронів, см-1; до ", Ф - коефіцієнти розмноження нескінченної середовища і ймовірності уникнути резонансного захоплення.

    Закони розподілу потоків нейтронів в активній зоні і відбивачі

    Оскільки рівняння (15) і (16) симетричні щодо потоків, то це дає підставу вважати, що потоки оцінюються хвильовими рівняннями з одним і тим же хвильовим числом [4, 5]:

    ДФ1 + а Ф1 = 0,

    ДФ2 + а Ф2 = 0, (23)

    звідки висловимо Лапласіан у вигляді

    ДФ1 = -а Ф1,

    ДФ2 = -а Ф2

    і підставимо їх у (15) і (16). В результаті отримаємо: (а2Д + ОД) Ф1 = кЕаХФ2 / ф, (А2 Б2 + Еа т) Ф2 = фея Ф1.

    Після поділу одного рівняння на інше і введення квадрата довжини дифузії теплових нейтронів Ь2 = Вг / ЕаТ і їх віку т = Д /? Й після нескладних перетворень отримаємо:

    кю = (1 + а212) | (1 + а2т).

    Це квадратне рівняння щодо А2 має два кореня: 2 = ц2і а22 = -у2, де? Л2і у2-чи-слена константи, аналогічні матеріального параметру [4]:

    1 (1 1 ^ 1 (1 1 ^ 2 до -1 Т + 1 (Т + Я + Т-1 =

    1 + 1

    : А1 + Т +

    (24)

    Таким чином, ур. (23) для швидких нейтронів розпадається на рівняння:

    ДФ1 + л2Ф1 = 0, ДФ1 -V2Ф1 = 0

    і його рішення є лінійна комбінація рішень останніх рівнянь:

    Ф1 (х) = А ^ т (лх) + А 2СО $, (лх) +

    + А ^ (ух) + А 4ch (vx). (25)

    Аналогічно отримаємо загальний вид рішення для потоку теплових нейтронів:

    Ф2 (х) = В ^ т (лх) + B2cos (лx) +

    + В 3sh (vx) + В 4Л (ух), (26)

    де Д = 8Д, а 8 - відповідні коефіцієнти зв'язку.

    У рівнянні дифузії для швидких нейтронів у відбивачі (17) відсутній член генерації швидких нейтронів, оскільки середовище не мультиплікуються, тому система рівнянь (17, 18) перестає бути симетричною і розпадається на два послідовно розв'язуваних рівняння. Однорідне рівняння для швидких нейтронів, запишемо у вигляді:

    Дф1г -вФ = 0,

    де в ^ г = ЕЦГ / Бцг. Загальне рішення цього рівняння відомо, і його можна записати у вигляді:

    Ф1г (х) = ^ |? Л (Д, х) + | ОНР ^ х).

    Оскільки має виконуватися умова симетрії (19), це означає /? = 0, і рішення набуде вигляду:

    Ф1, (х) = ^ | ch (вlrx) = ^ | ch (в, х). (27)

    Потік теплових нейтронів у відбивачі визначається ур. (18). Знайдемо спочатку рішення однорідної частини цього рівняння:

    Д, ДФ2аг -ЕаФ = 0 або з введенням параметра р \ г = ЕаТг / Б1г = 1 / Ц

    ДФ ° 2, -РЖ = 0.

    Аналогічно, в силу умови (19), його рішення буде визначатися залежністю:

    ф2 ° г (х) = 02 | сЧв2гх) = О | з ^ рг х),

    а рішення неоднорідного рівняння (18) можна записати у вигляді:

    Ф2г (х) = О | сЦр2Г х) + ^ | ch (в, х). (28)

    Для зручності загальні рішення рівнянь (15-18) перепишемо у вигляді:

    Ф1 (х) = А1Х1 + А2 Х2 + А3Г1 + А4 У2,

    Ф2 (х) = 5 1А 1х1 + S2 А 2 Х2 + Б3 А 371 + Б4 А 4Г2,

    Ф1г (х) = ЕХ,,

    Ф2г (х) = ОХ 2, + Б ^ Х,,

    де А, Д О - константи, які визначаються з граничних умов; функції - Д = 8т (лх), Х2 = ео8 (лх), ^ Щус), 72 = СЩУ), Х ^ еЩДх), Х2 = еЩв2х); 8 ;, 82, 83, 84, 8 - коефіцієнти зв'язку.

    (29)

    2

    Пошук коефіцієнтів зв'язку

    Процедура визначення коефіцієнтів зв'язку докладно викладена в [4, 5], покажемо її на прикладі знаходження значення Підставами неоднорідну частину рішень Ф1г (х) =? Х1г і Ф1г (х) = 8г? Х1г в ур. (18):

    АА ^ АГ "-Еаг + ОД, г? ХХг = 0.

    З урахуванням рівняння АХ1г = Х1г / т отримаємо

    1г / т-Е а ^ + ОД КX 1г = 0,

    звідки

    Я. =-

    Е я т

    (30)

    г Е т - / т Е т (т - Ь 2)

    а, Тг 2г г а, Тг V г г

    Аналогічно визначають інші коефіцієнти зв'язку:

    Ч>Ек = Ч>Ек

    $ 1 = $ 2 =

    Еа, т + «1 ^ 2 Е а т (1 + а'Ь) УЕ я

    = $ 4 =

    Еа, т (1-а, 2 Ь2) '

    (31)

    (32)

    Вирази (30-32) для коефіцієнтів зв'язку залишилися колишніми [4, 5], що пояснюється ідентичністю вихідних рівнянь.

    Умова критичності

    Для визначення констант в загальних рішеннях рівнянь (29) задовольнимо їх граничним умовам (20-22):

    А1У1] + А 2у2] + А 3 ^] + А 4 ^] = F [Х1 г], А 1 [X1] + А, [X 2] + $ 3 А з ^] + $ 3 А? У2] = =? Р [X1Г] + 0 [X 2Г], Б1А 1 [VX1] + Б1А 2 [VX 2] + Б1А 3 [У71] + + в; А 4 ^] = ^], $ 1Б2 А 1 [VX1] + $ 1Б2 А 2 [VX2] + Б2 А 3 [VI! ] +

    + $ 3 Б 2 А 4 [V ^ 2] = Б 2? Гр ^ г] + Б ^ від 2Г],

    А 1 (Xl) + А 2 (X 2) + А 3 (11) + А 4 (12) = 0, $ 1А 1 (X1) + $ 1А 2 (X 2) + $ 3 А 3 (11) + $ 3 А 4 (12) = 0.]

    Нагадаємо, що граничні умови (19) ми вже використали, що дозволило отримати уточнені рішення (27) і (28).

    Квадратні дужки використані тут для позначення функцій і їх похідних на кордоні активної зони і відбивача, круглі - на ефективної кордоні зони.

    Система (33) має нетривіальне рішення тільки в разі, якщо її визначник дорівнює нулю:

    А =

    м ад [71] і пекло] про пекло] АД2] зд] вд] - Зг ^ г] -ад]

    = В ^,] D; [VX2] D1 [V71] В; ^ 72] - D1г [VX1г] 0

    = S1D2 [VX1] S1D2 [VX2] Х3В2 [У7;] Х3В2 [? 72] - В2 гSг [VX1г] - В2 г [VX2 г]

    №) (X 2) ® (72) 0 0

    Sl (Xl) АД2) 83 (7;) 53 (72) 0 0

    (33)

    (34)

    Детермінант системи (34) при заданій товщині внутрішнього відбивача і відомих матеріальних характеристиках (умова критичності) дозволяє знайти ефективне значення критичного розміру активної зони. Економія відбивача визначається за відомою формулою [4] і дозволяє знайти справжнє значення критичного розміру.

    Визначення констант в рівняннях

    розподілу потоків нейтронів

    Щоб обчислити розподіл потоків в активній зоні і відбивачі необхідно знати критичний розмір активної зони і постійні А1, А2, А3, А4, О і Д ур. (29). Оскільки число невідомих перевищує число вихідних рівнянь, то закони розподілу можна знайти лише в неявному вигляді з точністю до певної константи. Для встановлення законів розподілу нейтронів по активній зоні і внутрішньому відбивачу в явному вигляді скористаємося додатковою умовою:

    х = 0 Ф1г (0) = Ф1 "11П,

    звідки слід

    ФГП = Р • сь ^ • 0) = Р.

    Інші константи приймуть вид:

    А _ Ф " '" [X ​​1г] - А2 [X2] - А3 [71] - А4 [72]

    -Ф "

    [X,]

    Ш »] - у а3Г ^ -Л [У72] (- а [72])

    [VX 2] -а [X 2] А _-ФТ81 - А483 А _-Ф ™ п (82Е, 1 -8?)

    83-83? 2)

    де

    81 = в [Xlг] • ([VX 2] -а [X 2]) - (а [X,] - p [VXlг]) • ((X 2) -в [X 2]),

    82 = ((71) -в [7]) • (^ 2] -а [X2]) - ([V !;] -а [7]) • ((X 2) -0 [X 2]),

    83 = ((72) -07]) • ([VX 2] -а [X 2]) - ([У72] -а [72]) • ((X 2) -0 [X 2]),

    = X 1г] • (^ 2] -а [X 2]) - (а [Xlг] - p [VXlг]) • ($ 1 (X 2) - $ 1 в [X 2]), ^ 2 = ($ 3 (71) - у]) • (№] - а [X2]) - ([V7l] -а [7]) • ($ 1 (X 2) - $ 1в [X 2]),

    ^ 3 = ($ 3 (72) - $ 1в [72]) • (№] - а [X2]) -

    -([V72] - а [72]) • ($ 1 (X 2) - $ 10 [X 2]), р = В17В1, а = [VXlV [Xl], в = (XlV [Xl].

    Обговорення результатів

    Перевірка рішення зроблена на прикладі реактора ІРТ-Т, активна зона якого набрана з вось-мітрубних тепловиділяючих збірок. на кінець

    кампанії на потужності 12 МВт реактор має наступні характеристики активної зони: т = 45,831 см2, Д = 1,632 см, Д = 0,292 см, ЄАГ = 0,10352 см-1, ф = 0,973,? "= 1,3463 і відбивача: т = 92,037 см2, Д, = 0,538 см, А = 0,373 см,?, ^ = 0,00873 см-1, Х2 = 42,745 см2. При побудові графіків розподілу нейтронного потоку зручно прийняти ФГ = 1, і тоді для нашого випадку коефіцієнти дорівнюватимуть: 4 = 0,472388, А2 = 2,528782, Л? = 85,387631, А4 = -85,387631, / = 1 , З = -0,57191. Для визначення середнього потоку теплових нейтронів по активній зоні необхідно знайти ефективну добавку відбивача. Результати рішення в середовищі МаШСАО представлені на рис. 4.

    Ефективність відбивачів прийнято оцінювати не тільки по економії активної зони, але і по зміні ставлення середнього потоку теплових нейтронів до його максимального значення. Для реактора без відбивачів воно відомо [4, 5] і так само 0,637. Якщо застосувати зовнішній берилієвий відбивач, то це ставлення складе 0,939.

    У разі застосування центрального відбивача (рис. 2) значення цього відношення в одногруппо-вом наближенні за даними [6] вийшло рівним 0,82. Цей результат не є несподіваним і може бути пояснений в першу чергу тим, що одногруппових модель не враховує внесок в накопичення теплових нейтронів у відбивачі за рахунок уповільнення швидких нейтронів.

    Рішення в двухгрупповом наближенні (рис. 4) наочно показують роль центрального відбивача. Ефективність нейтронної пастки дозволяє підняти відношення середнього потоку теплових нейтронів до його максимального значення до 0,966.

    отн.ед. 6,94 11,37 21,28

    Г ф

    N -

    н-

    t

    ZZ л активна зона еф фе кт ieu ія \

    дойакка 4

    Ф *

    р

    20 X,

    Мал. 4. Розподіл потоку нейтронів

    Слід зазначити, що при переході до ефективної кордоні деформується розподіл нейтронного поля поблизу кордону розділу зона -Зовнішній відбивач. Більш детальний облік розподілу вимагатиме збільшення порядку системи та помітного ускладнення викладок.

    0

    0

    5

    10

    15

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Перспективні ядерні паливні цикли і реактори нового покоління / В.І. Бойко, Д.К. Дем'янюк, Ф.П. Кошелев, В.Н. Мещеряков, І.В. Шаманін, В.В. Шидловський. - Томськ: Вид-во ТПУ, 2005. - 490 с.

    2. Дослідницькі ядерні реактори / Г.А. Бать, А.С. Коче-нів, Л.П. Кабанов. - 2-е изд., Перераб. і доп. - М .: Енергоатом-міздат, 1985. - 280 с., Іл.

    3. Дослідницький ядерний реактор ІРТ-Т: Посібник по виробничій практиці та стажування / В.А. Варлачев, О.Ф. Гусаров та ін. - Томськ: Вид-во ТПУ, 2002. - 56 с.

    4. Основи теорії і методи розрахунку ядерних енергетичних реакторів / Г.Г. Бартоломей, Г.А. Бать, В.Д. Байбаков, М.С. Алху-

    тов. - 2-е изд., Перераб. і доп. - М .: Вища школа, 1989. -512 с., Іл.

    5. Мёррей Р. Фізика ядерних реакторів. - М .: Атомиздат, 1961. -292 с.

    6. курчати К.В., Кузьмін А.В. Вплив центрального відбивача на розподіл потоку нейтронів в тепловому реакторі // Сучасні техніка і технології: Праці XI Міжнар. науково-практ. конф. молодих вчених. - Томськ: Вид-во ТПУ, 2005. - Т. 2. - С. 484-486.

    Надійшла 13.06.2006 р.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити