На основі енергетичної моделі абляції сублімує теплозахисного покриття виводиться рівняння зміни форми аблірует тел, узагальнююче відомі раніше аналогічні результати. Розглядається рішення цього рівняння при граничному законі розподілу величини повного теплового потоку уздовж по поверхні тіла.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Коняєв В. Г.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: +1974


    Журнал: Вчені записки ЦАГІ


    Наукова стаття на тему 'Аналітичне дослідження зміни форми абліруюшіх тел при їх русі в атмосфері зі сверхкруговимі швидкостями'

    Текст наукової роботи на тему «Аналітичне дослідження зміни форми абліруюшіх тел при їх русі в атмосфері зі сверхкруговимі швидкостями»

    ?ВЧЕНІ ЗАПИСКИ ЦА Г І Те м V тисяча дев'ятсот сімдесят чотири

    № 6

    УДК 629.78.015.076 8.525.7

    АНАЛІТИЧНА ДОСЛІДЖЕННЯ ЗМІНИ ФОРМИ аблірует ТЕЛ ПРИ ЇХ РУХ В АТМОСФЕРІ СО СВЕРХКРУГОВИМІ швидкості

    В. Г. Коняєв

    На основі енергетичної моделі абляції сублімує теплозахисного покриття виводиться рівняння зміни форми аблірует тел, узагальнююче відомі раніше аналогічні результати. Розглядається рішення цього рівняння при граничному законі розподілу величини повного теплового потоку уздовж по поверхні тіла.

    1. При виведенні рівняння зміни форми аблірует тіла використовуємо узагальнену модель аеродинамічного обгара теплозахисного покриття (ТЗП), викладену в [1]. Будемо вважати, що теплозащитное покриття тіла складається з сублімує матеріалу, теплофізичні властивості якого характеризуються двома основними параметрами - ефективної ентальпії ЛЕФ і щільністю теплозахисного покриття ртзп- У загальному випадку ЛЕФ і рТзп залежать як від параметрів набігаючого потоку і часу, так і від форми тіла і координат точки на його поверхні. Будемо також вважати, що внаслідок руйнування і виносу ТЗП переміщення довільного елемента поверхні тіла за досить малий проміжок часу відбувається в напрямку внутрішньої нормалі п до цього елементу поверхні. Таке припущення допустимо, якщо сублімує теплозахисний матеріал має низький коефіцієнт теплопровідності і переміщеннями довільного елемента поверхні через теплового розширення матеріалу можна знехтувати. Далі, вважаючи, що в момент руйнування і виносу ТЗП теплообмін із зовнішнім середовищем в кожній точці поверхні квазістаціонарен, для довільної точки поверхні можна записати три скалярних рівняння [1]:

    йх Лу йг

    = АПХ ', = Апу'> = Апг- (!)

    Тут х, у, г - координати точки в декартовій системі координат Охуг, пов'язаної з тілом, початок якої знаходиться в критичній точці, а вісь Ох направлена ​​по вектору швидкості набігаючого потоку; пх, пу, пг - проекції нормальний п на відповідні осі;

    А = ------- Ц ± ------ (2)

    Ртзп «еф

    де <72 - величина питомої (на одиницю площі і в одиницю часу) теплового потоку, що йде на руйнування ТЗП в даній точці.

    Сукупність поверхонь, в які послідовно перетворюється вихідна форма тіла в процесі аеродинамічного обгара, є сімейство поверхонь, залежне від одного параметра - часу t. Будемо вважати, що рівняння цього сімейства вирішується щодо змінної г і для нього допустима запис г = г (х, у, *). Фіксуємо деяку точку поверхні тіла г-1 = г (ле1р двох, <) І нехай вона за короткий час М відображається в точку г2 поверхні г - г (х, у, I + М), т. Е. Г2 = г (х2, У2,? + ДО- Тоді відповідно до пров-

    вимі двома рівняннями (1) з точністю до величин другого порядку малості, можна записати:

    ДГ ДГ ДГ

    * 2 = г (хі уі 0 + АПХ И + Апу М + М.

    Але в силу останнього рівняння з (1)

    г2 = г (хі уі () + АПГ М.

    Прирівнюючи праві частини цих рівнянь, після поділу на Д< і переходу до межі при М -> 0, отримаємо

    »/ &г ДГ \ ДГП

    Л [дх ПХ + ду пу _ Пг) + М = ° - (3)

    Оскільки в обраній системі координат проекції внутрішньої нормалі є ДГ / дх ДГ / ду

    [1 + (дг1дх) * + (дг1ду) 2} 112 'у ~ [\ + (ДГ / дх) ь + (Д2 / ду) 2] '12'

    - I

    (4)

    г [1 + (ДГ / дх) 2 + (ДГ / ду) 2] 1! 2 'рівняння (3) перетвориться до виду:

    А [1 + (<?г / д. *) 2 + (ДГ / ду) 3] 112 + ДГ / д (= 0. (5 ^

    Отримане рівняння описує зміна форми аблірует тел за умови виконання всіх прийнятих вище припущень енергетичної моделі абляції. Тип його може бути різним у залежності від того, яким чином величина А з (2) залежить від х, у, г, Ь, ДГ / дх, ДГ / ду, ДГ / дt, д2г / дх2, д2г / ду2, д2г / дхду і т. д. зокрема, якщо А є функція тільки змінних х, у, г, ДГ / дх, ДГ / ду, ДГ / дь, то (5) буде рівнянням першого порядку і його рішення може бути виписано в радикалах з допомогою методу характеристик Коші [2].

    Слід підкреслити, що (5) є узагальненням отриманих раніше аналогічних результатів. Так, наприклад, для осесимметричного випадку при приватному вигляді залежності А (5) може бути зведене до рівняння абляції з роботи [3].

    2. Як приклад розглянемо граничне розподіл [4]:

    Яг = Яг, п3х, (6)

    де - величина теплового потоку в критичній точці. Розподіл (6) було отримано для випадку дуже великих швидкостей потоку, що набігає, коли основним тепловим потоком, що йде на руйнування ТЗП, є радіаційний тепловий потік. Вважаючи тепер, що Ртзп> ^ Еф і <7 ^ залежать тільки від часу Ь і позначивши величину А з (1) в критичній точці через А ((), з урахуванням (1) і (4) перетворимо рівняння (5) до виду

    . А (0 (ДГ / дх) ь [1+ (ДГ / дх) 2 + (ДГ / ду) 2] ДГШ = 0. (7)

    Нехай в початковий момент ^ = 0, л: = $ ,, у = В2, г = г0 (з1, * 2). Оскільки (7> не залежить явно від х, у, г, його рішенням буде [2]:

    * <»" »" Про - А<3 + А + у »> Г ж

    (1 + Р? 0 + -Р20) 2 </

    ч • 6 // 10 / '20 (* - у (®1. * 2> 0 - ~ т \: 2 | 2 \ 2 1 А (0 "Ь 11 -Т Р10 + Р20) 8

    2Рю Г-

    г яа, о = --2, -2 ^ 2 А № + г ° ^ 1 *

    (* -ГР 10 + РТО) й

    де через рю, р2о позначені дг01дя 1 і відповідно. У осесімметріч-

    ном випадку, коли при / = О, х = в, у = у0 (я) і йу ^ йе = рд, з (8) маємо:

    • * ( «. О =

    У ( «, Про ||

    Ро (3 + Ро)

    (1 + Ро) 2

    ^ А (?) Сі + в;

    2Р1

    (1 + Ро) 2

    (9)

    Можна показати, що характеристиками рівняння (7) є прямі лінії. Зокрема, якщо в осесимметричном випадку ввести кути <р і ф - кути нахилу до осі Ох вихідної утворює і довільної характеристики, то між f л ф має місце зв'язок:

    , / 2вт у сої <р \

    Ф = «гс'8 (1 + 2С08Ч) | (10>

    зображена на фіг. 1. Характерно, що (10) є немонотонної функцією у, що досягає свого максимуму ^ шах = 30 °, коли ^ = 60 ° і звертається в нуль при 9 = 0 (точка образущей, де місцева нормаль ортогональна вектору швидкості набігаючого потоку) і при ср = 90 ° (критична точка). це

    значить, що ділянка вихідної утворює затупленого тіла обертання, де 60 ° ер ^ 90 °, в процесі абляції буде відображатися на деякий однозначне сімейство кривих у - у (х, /), укладених між віссю Ох і характеристикою, що виходить із точки утворює, де <р = 60 ° (точка 5 = 5 * на фіг. 2). У той же час для довільної точки на ділянці утворює, де ? <60 ° (див. Фіг. 2), кут нахилу ^ характеристики, що виходить із цієї точки, буде менше, ніж 4> (В *), причому він буде зменшуватися зі зменшенням значення <р. Тому характеристики цього другого ділянки утворює у = Уо (з) мають тенденцію

    0 х-

    Фіг. 2

    до згущення і можуть при певних умовах перетнутися. Отже, при наявності розподілу (6) для затуплених тіл обертання, що мають ділянку утворює з кутом нахилу до осі Ох менше 60 °, в процесі абляції може наступити момент, починаючи з якого на тілі утворюється гостра кромка, симетрична щодо осі обертання тіла.

    Зокрема, якщо вихідне тіло - півсфера з початковим радіусом Я0, її рівняння можна записати як

    * Ь (5) = Яо (1-5). Л (5) = * 0/1 = 6 *. 6 = 1 - «// го-

    У цьому випадку (9) перетвориться до виду

    * (6, t) = R0 [l-g + e6t (3-2p)], y {4, t) = Rо / Т = 6Ч1 + 2с63), (І)

    де величина ® (*) = 0,5 11 визначає собою відносну зміну ра-

    Діус затупления /? в критичній точці тіла. Можна показати, що в даному випадку злам утворює матиме місце, як тільки з побільшає значення 0,5, а положення точки зламу визначається рішенням системи нелінійних рівнянь (11) для двох значень параметра 6:

    х (Si, t) = x (62, t), у (Si, t) = у (62, t) • з урахуванням того, що і 62 задовольняють нерівності

    0<6i< cos

    л 1

    т + т

    arccos

    1

    cos

    2a

    (12)

    (13)

    |Семейство (11) в площині (х / я0, у! И0) представлено на фіг. 3. При а>0,5 значення 61 і 62 визначалися шляхом чисельного рішення системи (12) з урахуванням (13), після чого ділянки утворює з 0<?<б1 і 62<6<1 будувалися незалежно один від одного.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Коняєв В. Г. Диференціальні рівняння зміни форми космічного літального апарату внаслідок його обгара при русі в атмосфері на сверхкругових швидкостях. Праці ЦАГІ, вип. 1476, 1973.

    2. Ел ЬС Гольц Л. Е. Диференціальні рівняння. М., Госиздат Техніко-теоретичної літератури, 1957.

    3. МурзіновІ. Н. Про форму тіл, які руйнуються під дією інтенсивного нагрівання при русі в атмосфері. "Известия АН СРСР", Механіка № 4, 1965.

    4. Коняєв В. Г. Енергетична оцінка втрат маси теплозахисту літального апарату при гальмуванні в атмосфері зі над-кругової швидкістю. Вчення записки ЦАГІ-, т. IV, № 6, 1973.

    Рукопис надходила 25j VI 1973 р.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити