Продовжено дослідження математичної задачі оптимального управління, сформульованої на основі закритої динамічної моделі трисекторна економіки. Стан системи описано набором функцій питомої капіталу в кожному секторі; параметр управління величина, що характеризує обсяг питомих інвестицій фондосоздающего сектора, який відіграє ключову роль в економічній системі. Рішення поставленого завдання оптимального управління засноване на використанні принципу максимуму Понтрягіна. Для основних видів функції управління, які відповідають умові максимуму, отримані явні аналітичні уявлення для рішень системи рівнянь диференціальної зв'язку щодо функцій станів, а також для системи пов'язаних рівнянь. З урахуванням аналітичних результатів розроблена процедура визначення оптимального управління, яка може бути реалізована чисельними методами

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Шнурків П. В., Засипка В. В.


ANALYTICAL STUDY OF OPTIMAL INVESTMENTS CONTROL PROBLEM OF IN CLOSED-FORM DYNAMIC MODEL OF THREE-SECTOR ECONOMICS

The research of a math problem of the optimum control, formulated based on closed-form dynamic model of three-sector economy is continued. State of the system is described by set of specific capital functions in each sector; control parameter is a value characterizing the amount of specific investments of fund-generating sector, which is the key factor in economic system. Solution of assigned problem of optimal control is based on usage of Pontryagin's maximum principle. For the main types of control functions, satisfying maximum condition, obvious analytical representations for the solution of simultaneous equations of differential constraint concerning functions of conditions are received. They are also valid for the simultaneous interfaced equations. Taking into account analytical results the definition procedure of optimum control was developed. The procedure can be realized by numerical techniques


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2014


    Журнал: Вісник Московського державного технічного університету ім. Н.е. Баумана. Серія «Природничі науки»


    Наукова стаття на тему 'Аналітичне дослідження завдання оптимального управління інвестиціями в закритій динамічної моделі трисекторна економіки'

    Текст наукової роботи на тему «Аналітичне дослідження завдання оптимального управління інвестиціями в закритій динамічної моделі трисекторна економіки»

    ?МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ

    УДК 517.977.5

    АНАЛІТИЧНА ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАВДАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ ІНВЕСТИЦІЯМИ У ЗАКРИТОЇ ДИНАМІЧНОЇ МОДЕЛІ трисекторна ЕКОНОМІКИ

    П.В. Шнурків, В.В. Засипка

    МІЕМ НДУ ВШЕ, Москва, Російська Федерація e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.; Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Продовжено дослідження математичної задачі оптимального управління, сформульованої на основі закритої динамічної моделі трисекторна економіки. Стан системи описано набором функцій питомої капіталу в кожному секторі; параметр управління - величина, що характеризує обсяг питомих інвестицій фондосоздающего сектора, який відіграє ключову роль в економічній системі. Рішення поставленого завдання оптимального управління засноване на використанні принципу максимуму Понтрягіна. Для основних видів функції управління, які відповідають умові максимуму, отримані явні аналітичні уявлення для рішень системи рівнянь диференціальної зв'язку щодо функцій станів, а також для системи пов'язаних рівнянь. З урахуванням аналітичних результатів розроблена процедура визначення оптимального управління, яка може бути реалізована чисельними методами.

    Ключові слова: модель трисекторна економіки, принцип максимуму Понтрягіна, оптимальне управління.

    ANALYTICAL STUDY OF OPTIMAL INVESTMENTS CONTROL PROBLEM OF IN CLOSED-FORM DYNAMIC MODEL OF THREE-SECTOR ECONOMICS

    P.V. Shnurkov, V.V. Zasypko

    Moscow State Institute of Electronics and Mathematics of "Higher School of Economics" (National Research University), Moscow, Russian Federation e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.; Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    The research of a math problem of the optimum control, formulated based on closed-form dynamic model of three-sector economy is continued. State of the system is described by set of specific capital functions in each sector; control parameter is a value characterizing the amount of specific investments offund-generating sector, which is the key factor in economic system. Solution of assigned problem of optimal control is based on usage ofPontryagin's maximum principle. For the main types of control functions, satisfying maximum condition, obvious analytical representations for the solution of simultaneous equations of differential constraint concerning functions of conditions are received. They are also valid for the simultaneous interfaced equations. Taking into account analytical results the definition procedure of optimum control was developed. The procedure can be realized by numerical techniques.

    Keywords: model of three-sector economics, Pontryagin's maximum principle, optimal control.

    Вступ. В роботі [1] була поставлена ​​математична задача оптимального управління інвестиціями в закритій динамічної моделі трисекторна економіки. Це завдання було сформульовано у вигляді класичної задачі оптимального управління на заданому кінцевому інтервалі часу з закріпленим лівим кінцем траєкторії. Теоретичну основу дослідження склав принцип максимуму Понтрягіна. Загальна теорія оптимального управління, що складає зміст принципу максимуму, викладена в роботах [2-5], а питання, пов'язані із застосуванням принципу максимуму в задачах управління економічними системами, - в роботах [6-9]. Було проаналізовано основну умову, що входить в принцип максимуму, - умова максимуму функції Понтрягіна. Встановлено, що функції «! * (?), Що задають оптимальне управління, мають аналітичне пристрій, яке визначається співвідношенням (9), наведене в роботі [1], і залежать від знака деякої допоміжної функції Я (?) = Я (Р0 (Ь) , р \ (Ь), Р2 (Ь)), званої функцією перемикань, яка в свою чергу аналітично виражається через пов'язані змінні р0 (Ь), р \ (Ь), р2 (Ь).

    Основна особливість подальшого дослідження даної задачі оптимального управління полягає в тому, що пов'язані змінні, а, отже, і функція перемикань Q (t), залежать від функції управління щ (Ь). Таким чином, виникає досить складна система взаємопов'язаних співвідношень, що складається з рівнянь диференціальної зв'язку ((4) см. [1]), пов'язаних рівнянь ((6) см. [1]) і умов трансверсальності ((7) см. [1] ). У даній роботі ця система буде аналітично досліджена при наступних додаткових припущеннях: функція перемикань змінює знак в кінцевому числі ізольованих точок і не існує інтервалів позитивної довжини, на яких ця функція тотожно дорівнює нулю. З позиції характеру управління це означає, що функція, що задає оптимальне управління, кусочно-постійна, приймає тільки два можливих значення (0 або 1), а перемикання управління, тобто Ці параметри, відбуваються кінцеве число раз на заданому інтервалі часу [0, Т]. Відзначимо, що саме такі управління є оптимальними в деяких класичних задачах теорії управління [3, 4, 6, 8ЦЦ10]. В результаті проведеного дослідження буде розроблена чисельно-аналітична процедура визначення функцій станів до0 (Ь), до \ (Ь), к2 (Ь) і управління щ (Ь), яка задовольняє необхідним умовам екстремуму в формі принципу максимуму.

    Зробимо деякий попереднє зауваження про особливості проведеного аналітичного дослідження.

    Позначимо через т1, т2, ..., тг, 0 < т \ < • • • < тг < Т, 1 < г < то, точки перемикання управління на інтервалі [0, Т]. Тоді можна зафіксувати значення функції управління на кожному інтервалі між сусідніми точками перемикання, а значення в точках перемикання доповнити з умови безперервності справа. Таким чином, на кожному інтервалі між сусідніми точками перемикання будуть повністю задані праві частини рівнянь диференціальної зв'язку.

    У моменти перемикання управління змінюється вид рівнянь диференціальної зв'язку. Функції до0 (?), До ^?), К2 (?) Будуть задаватися різними аналітичними виразами на різних інтервалах часу, але збережуть безперервність у всіх точках? € [0, Т], включаючи точки перемикання. Аналогічними особливостями володіють і функції р0 (?), Р1 (?), Р2 (?). Такі особливості функцій, які грають роль основних і пов'язаних змінних, будуть використані далі для знаходження їх аналітичних уявлень. Саме, рівняння диференціальної зв'язку можна вирішувати послідовно на інтервалах часу [0, т1], [т1, т2], ..., [тг, Т]. При вирішенні рівнянь на інтервалі [тк, тк + 1] в якості граничного умови можна використовувати знайдені на попередньому кроці значення функцій станів в точці тк, к = 0,1, ..., г, т0 = 0. Аналогічно можна вирішувати і системи пов'язаних рівнянь на зазначених інтервалах між точками перемикань. Такі дії будуть виконуватися послідовно на інтервалах [тг, Т], [тг-1, тг], ..., [0, т1]. При вирішенні рівнянь на інтервалі [тк, тк + 1] в якості граничного умови слід використовувати певні на попередньому кроці значення пов'язаних змінних в точці тк + 1, к = г, г - 1, ..., 0; тг + 1 = Т.

    Теоретично функція управління може мати довільне кінцеве число стрибків (перемикань управління) на кінцевому інтервалі часу. Однак в цій роботі обмежимося розглядом наступних основних варіантів поведінки функції управління: двох варіантів без перемикання і двох варіантів з одним перемиканням, яке відбувається в деякій фіксованій точці т, 0 < т < Т. Відзначимо, що варіант з довільним кінцевим числом перемикань управління може бути аналітично досліджено аналогічно варіанту з одним перемиканням. Перейдемо безпосередньо до дослідження різних варіантів рішень системи сполучених рівнянь.

    Дослідження пов'язаних рівнянь. Поєднане рівняння щодо функції р1 (?), Що входить в систему (6), наведену в роботі [1], залежить явно від функції управління и1 (?). Крім того, в поєднані рівняння входять функції к1 (?), К2 (?), Що виражають стану системи, які також залежать від функції управління.

    Запишемо повне рішення системи зв'язаних рівнянь для варіантів, коли функція управління не має перемикань.

    I. Нехай Q (р0, р1, р2) > 0 при Ь € [0, Т]. Відповідно до принципу максимуму (9) (див. [1]) и1 = 1, Ь € [0, Т]. У такому варіанті система сполучених рівнянь (6), наведена в роботі [1], набуває вигляду

    ро (Ь) = хоро (Ь);

    р>г (Ь) = [А1 - Л1а1кО: 1-1 (г)] р1 (г); (1)

    'Р2 (Ь) = А2р2 (Ь) - Б2в-5га2ка2-1 (1). Запишемо рішення системи рівнянь (1). Відзначимо, що в даному варіанті управління функції к1 (Ь) і к2 (Ь) зберігають єдину форму. Парні функції задаються єдиними аналітичними виразами на всьому часовому інтервалі [0, Т]:

    ро (Ь) = ^ (Т) е ^ -т ^ р1 (Ь) = ф?} (Т) ел1 а ^

    т (2)

    р2 (Ь) = ех * [е-Х2Тф2 \ т) + Б2! е (-5-Х2) г1 до ^ -1 ^) йг ^ .

    г

    II. Нехай Q (po, р1, р2) < 0 при Ь € [0, Т]. У цьому випадку функція управління не має перемикань і задається рівністю и1 (Ь) = 0, Ь € [0, Т]. Отримаємо систему диференціальних рівнянь для сполучених змінних

    ро (Ь) = Аоро (Ь);

    р1 (Ь) = Ат (Ь) - Л1а1кГ-1 (b) [? 01) рро (Ь) + ^ (1 - р) р2 (Ь)]; (3) Р2 (Ь) = А&2 (Ь) - Б2е-Але, 2ка22-1 (Ь).

    Слід зазначити, що рівняння щодо змінних р0 і р2 з системи (3) збігаються з відповідними рівняннями системи (1). Функція к2 (Ь), що входить в рівняння щодо змінної р2, має єдине аналітичне подання на часовому інтервалі [0, Т], хоча визначається при іншій функції управління щ (Ь). Таким чином, аналітичні форми рішень рівнянь щодо змінних р0 і р2, що входять в систему (3), збігаються з аналітичними формами рішень відповідних рівнянь системи (1). Отримуємо рішення системи зв'язаних рівнянь для другого варіанту управління без перемикань и1 (Ь) = 0, Ь € [0, Т]:

    po (t) =) e ^ (t-T);

    T

    Pi (t) = eAli [^ 01) (T) e-AlT / e-AlZ3k? 1-1 ^) [/ 01W00) (T) eAo (z3-T) +

    T

    +? 02) (1-p) (eA2 (23-TV20) (T) + eA223B2J e (-a-A2) z4k? 2-1 ^) dz

    Z3

    T

    P2 (t) = eA2i [e-A2T ^ (0) (T) + B2 / e (-a-A2) zik ^ 2-1 ^) dzi].

    (4)

    г

    Розглянемо варіанти, коли функція управління має одну точку перемикання т, 0 < т < Т .І тут кожна функція рк (*), к = 0,1, 2, приймає різні аналітичні форми на інтервалах [0, т] і [т, Т] (обумовлено різними формами функції управління на зазначених інтервалах). Введемо додаткові позначення для функцій, які задають кожну пов'язану змінну рк (*), к = 0,1, 2, на наведених інтервалах:

    (Рк0) (*), 0 < * < т;

    Рк (*) = <! к = 0,1, 2.

    1р? 1) (*), т < * < Т,

    Можна запропонувати наступний метод аналітичного визначення функцій рк0) (*), Рк1) (*), к = 0,1, 2.

    1. Розглянемо систему пов'язаних рівнянь (6) (див. [1]) на часовому інтервалі [т, Т] при заданої функції управління и1 (*). Додамо до цієї системи умови трансверсальності (7) (див. [1]), які представляють собою задані граничні умови в точці * = Т. Рішення отриманої задачі Коші утворює набір функцій РК1) (*), к = 0,1, 2; * € [т, Т].

    2. Розглянемо систему пов'язаних рівнянь (6) (див. [1]) на часовому інтервалі [0, т] при іншій формі функції управління и1 (*), що відповідає цьому інтервалу. Щоб задати граничні умови до даної системи, скористаємося властивістю безперервності пов'язаних змінних в точці перемикання управління, відповідно яким повинні виконуватися умови

    рк0) (т) = РК1) (т), до = 0,1, 2.

    Значення функцій РК1) (т), до = 0,1, 2, були визначені на попередньому етапі. Рішення отриманої задачі Коші утворює набір функ-

    ций pk \ t), t Е [0, т], к = 0,1, 2.Так чином, знайдемо уявлення для сполучених змінних p0 (t), pl (t), p2 (t) при будь-яких значеннях t Е [ 0, Т].

    Перейдемо до реалізації викладеного методу. Отримаємо явні уявлення для сполучених змінних для двох варіантів, коли функція управління має одну точку перемикання. III. Нехай функція управління задається формулою

    ?1 0 < t <т; ui (t) = {(5)

    [0 т < t < Т.

    Розглянемо спочатку інтервал часу [т, T]. Якщо функція управління має вигляд (5), то на цьому інтервалі ul (t) = 0, t Е [т, Т]. Тоді система сполучених рівнянь збігається за формою з системою (3) при тих же граничних умовах в точці t = T, які є умовами трансверсальності. Таким чином, пов'язані змінні на зазначеному інтервалі задаються формулами (4). При t Е [т, Т]

    P0l) (t) = ф (0) (т) eX0 (t-T h

    pi (t) = eXlf \ ^ \ T) e-Xl T + AiaJ e-Xiz3 ka, 1-l (z3) \ l (0l) рф0О) (T) eXo (z3-T) +

    dz3

    + L {o] (1-p) (eX2 (z3-T) ^ 20) (T) + eX2Z3 bJ e (-S-X2) z4 до% 2-l (z4) dzA

    J z 3

    p [l) (t) = eX2t [e-X2Tф (0) (Т) + B2jT e ^ -5-X2 ^ Z1 ka2 2 \ zx) dzl]. (6)

    Використовуючи (6), зафіксуємо значення функцій pk (t) в точці t = т Ро (т) = p0l) (т) = ф0О) (Т) eX0 (T-T) = pot; pi (t) = p (i) (r) =

    cT

    = EXlT ф0- \ т) eXlT + Alal e-XlZ3к? 1-1 (z3) (l ^ рф ^ (T) eX0 (z3-T) + + l02) (1 - p) (eX2 (z3-T) ф20) (Т) + + eX2z3B2 I e (-o- X2) z4ka-l (z4) dz4) j dz3

    Про

    T

    (-S-

    ) 2 i e - -k2 (? 4) d ^ 4) i dz3

    z3

    r T

    Sl) tr \ - "X2t [" -X2TJ, (o) I ^ \, -p> I A-s-

    = Pi, T;

    р2 (т) = р {2 \ т) = вх2 т [в-Х2Тф {2) (Т) + Б ^ е {-5-Х2) ^ ка2-1 (г1) = р2<т.

    Т (7)

    Тепер знайдемо рішення пов'язаних диференціальних рівнянь на інтервалі часу [0, т] при функції управління и1 {?) = 1,

    t

    0 < Ь < т. За формою система сполучених рівнянь на інтервалі [0, т] збігається з системою (1). Граничні умови в точці Ь = т визначаються з властивості безперервності пов'язаних функцій

    рк0) (т) = Р к, т, к = 0,1, 2.

    Тоді пов'язані змінні на інтервалі [0, т] знаходяться за формулами, аналогічним формулами (2) при зазначених вище граничних умовах:

    Р00) (Ь) = Ро, т ЄАО (г-т);

    р (0) (Ь) = р1 еА1 "1 Л Й22 + Ах (4-т).

    1, т т (8)

    р20) (Ь) = еА2 '[р2, ті-А2т + е (-5-А2) г1 до? 2-1 ^) ^ .

    г

    Об'єднуючи співвідношення (6) і (8), отримуємо явні аналітичні уявлення для сполучених змінних на всьому інтервалі часу [0, Т] для варіанту, коли функція управління має одну точку перемикання т € [0, Т] і задається формулою (5).

    IV. Нехай функція управління має вигляд

    [0 0 < Ь < т; «1 (b) = { < (9)

    [1 т < Ь < Т.

    Як і для попереднього варіанту управління з одним перемиканням (5), знайдемо рішення пов'язаних рівнянь. Розглянемо спочатку інтервал [т, Т], оскільки на цьому інтервалі функція управління и1 (Ь) = 1, система сполучених рівнянь збігається з системою (1). Граничні умови в точці Ь = Т є умови трансверсальності. Таке завдання Коші вже була вирішена раніше на всьому часовому інтервалі [0, Т], це рішення було представлено формулами (2). Отже, рішення системи зв'язаних рівнянь для функції управління (9) на інтервалі [т, Т] також має вигляд (2) при т < Ь < Т.

    Запишемо значення пов'язаних змінних в точці Ь = т, виходячи з формул (2):

    Р0 (т) = Р01) (т) = 40) (Т) ЄАО (т-т) = Р 0, т;

    Р1 (т) = р11) (т) = ^ 0) (Т) еА1а1? кГ1-1 (^ 2 + А1 (т-Т) = Р1, т.

    Р2 (т) = р21) (т) = еА2т [е-А2Т ^ (0) (Т) + (10)

    Г т

    + В2 / е (-5-А2) г1 к2а2-1 (^ 1) ^ 1] = р2, т.

    Знайдемо рішення пов'язаних рівнянь на інтервалі [0, т], де функція управління м ^) = 0, система сполучених рівнянь за формою збігається з системою (3). Граничні умови в точці? = Т задаються рівностями

    Рк (т) = рк0) (т) =, к = 0,1, 2. (11)

    Рішення системи сполучених рівнянь для функції управління «! (?) = 0 на всьому інтервалі [0, Т] було представлено формулами (11). Отже, рішення цієї системи для функції управління (9) на інтервалі часу [0, т] також має форму (4) з урахуванням зміни граничних умов. Таким чином, можна записати повне уявлення для сполучених змінних для варіанту, коли функція управління має вигляд (9):

    Р00) (?) = РВ, Т ЄАО (* - Т);

    р10) (?) = ЕА ^ [р!, ті-А1Т + Аа ^ Т е-А123 кг-1И (ро, т ^ ре ^ 3 ^

    + / 02) (1 - р) (р2, Теаген (гз-Т) + еА223Б21 е (-5-Аг) г4к ^ 2-1 (? 4) ^ 4)) ^^ з !;

    Jz3

    Т

    р20) (?) = еА2 '[^ 2, Те-А2Т + Б ^ е (-5-А2) г1 до ^ 2-1 ^)],? € [0, т];

    '(12)

    Р01) (?) = ^ 00) (Т) ЄАО (4-Т);

    р (1) (?) = ^ (0) (Т) еА1 ° 1 кГ1-1 (* 0 ^ 2 + А1 (4-Т);

    Г т

    р21) (?) = еА2 '(Т) е-А2Т + В2 / е (-5-А2) г1 ка-1 (^ 1) ^ 1],? € [т, Т].

    '(13)

    Отже, завершено перший етап дослідження пов'язаних рівнянь. Співвідношення (2) і (4) визначають рішення цих рівнянь, коли функція управління не має перемикань, а співвідношення (6), (8) і (12), (13) - коли у функції управління є одна точка перемикання т, 0 < т < Т. У всіх варіантах пов'язані змінні виражаються через функції станів системи к1 (?), К2 (?), Які поки не відомі. У наступному параграфі будуть знайдені рішення системи рівнянь диференціальної зв'язку для різних варіантів функції управління.

    Отримання уявлень для функцій питомої капіталу при різних режимах управління. Досліджуємо систему рівнянь диференціальної зв'язку (4) (див. [1]). Відповідно до прий-

    тими раніше припущеннями розглянемо чотири основні варіанти поведінки функції перемикань ^ (р0, рьр2) на інтервалі [0, Т]:

    3 (Р0, Р1, Р2) > 0 при? € [0, Т]; (14)

    3 (Р0, Р1, Р2) < 0 при? € [0, Т]; (15)

    існує точка т € [0, Т] така, що

    ^ (Ро, Р1, Р2) > 0 при 0 < ?<т;

    3 (Ро, Р1, Р2) < 0 при т<? < Т. ()

    існує точка т € [0, Т] така, що

    ^ (Ро, Р1, Р2) < 0 при 0 < ?<т;

    3 (Ро, Р1, Р2) > 0 при т<? < Т. ()

    Для кожного зазначеного варіанта відомий вислів для оптимального управління, яке визначається співвідношенням (9, наведеними в роботі [1]. З урахуванням цього співвідношення представимо рішення рівнянь диференціальної зв'язку щодо величин до0 (?), К1 (?), К2 (?) На заданому часовому інтервалі [0, Т].

    I. Нехай функція перемикань задовольняє умові (14) при всіх? € [0, Т]. Тоді функція управління м1 (?) = 1 на всьому часовому інтервалі [0, Т], при цьому система диференціальних рівнянь ((4) см. [1]) (диференціальна зв'язок) набирає вигляду

    ко (?) = -Аоко (?),

    до 1 (?) = -А1к1 (?) + А ^ 1 (?), (18)

    к2 (?) = -А2к2 (?).

    Рівняння щодо величин до0 (?) І к2 (?) Системи (18) є лінійними однорідними рівняннями першого порядку, а рівняння щодо функції к1 (?) Являє собою рівняння Бернуллі. Методи вирішення таких рівнянь відомі в класичній теорії диференціальних рівнянь. Використовуючи ці результати [11, 12], отримуємо рішення системи рівнянь (18) в явному вигляді

    ко (?) = ко, е-Ао ';

    1

    к1 (?) = (е-А1 (1 ^ (до} / 1 - + 1-а 1; (19)

    к2 (?) = к2, е-А2 ',? € [0, Т].

    II. Нехай функція перемикань задовольняє умові (15) при всіх? € [0, Т]. Тоді функція управління задається рівністю м1 (?) = 0, а система диференціальних рівнянь ((4) см. [1])

    (Диференціальна зв'язок) набирає вигляду

    k o (t) = -Хоко (t) + l (i) pAlha1 (t);

    k i (t) = -Xk (t);

    k2 (t) = -X2k2 (t) + l (2 \ l - p) Axkl1 (t).

    Рівняння щодо функції к1 (г) з системи (20) ЦЦЦ лінійне однорідне рівняння першого порядку, рішення якого знайдемо з урахуванням граничної умови к1 (0) = к1,0- Підставивши отримане рішення в рівняння щодо функцій до0 (г), к2 (г ), отримаємо лінійні неоднорідні рівняння першого порядку із заданою правою частиною, які також можуть бути вирішені відомим методом [11, 12]. Як і в попередньому варіанті, об'єднаємо рішення окремих рівнянь системи (20) в єдину запис, отже

    -

    ko (t) = e ki (t) = ki, oe

    IQI pAik а, 0 \ i ^ -x1a1t lo i pAi ki, 0;

    Xo - Xiai '

    li1).

    koo -

    Xo - Xiai)

    + e-

    -x1t.

    h (t) = e

    - C-X2t

    i2) (1 - p) Ai kg-Qo X2 - Xiai

    k2, o

    + e

    -w l2i) (1 - p) AikaQo

    X2 - Xiai

    (21)

    III. Нехай функція перемикань Q (po (t), p1 (t), p2 (t)) задовольняє умові (16) (одне перемикання). У цьому випадку функція управління іі1 (Ь), що визначається відповідно до принципу максимуму, задається формулою (5). Відзначимо, що в даному варіанті з одним перемиканням управління в точці г = т функції станів до0 (Ь), к1 (г), к2 (Ь) мають різну аналітичну форму на інтервалах [0, т] і [т, Т]. У зв'язку з цим введемо додаткові позначення для таких аналітичних форм, аналогічні відповідним позначенням для сполучених змінних:

    (До (0) (г) про < г < т,

    т = \ (

    1) (г) т < г < Т, г = 0,1, 2.

    Відзначимо також, що в силу властивості безперервності функцій станів до0 (г), к1 (г), к2 (г) при всіх значеннях г Е [0, Т] мають місце рівності

    к2 ° \ т) = К21) (тг = 0,1, 2.

    Система диференціальної зв'язку ((4) см. [1]) на інтервалі 0 < t < т

    набирає вигляду

    до? 0) (?) = -Лок0О) (^);

    до 10) (?) = Л! к10) (^) + А ^ Г1; (22)

    до 20) (*) = -Л2к (0) (^}.

    Система диференціальних рівнянь (22) збігається з системою (18), заданої на всьому часовому інтервалі 0 < ? < Т. Граничні умови для систем (22) і (18) також збігаються. Для системи диференціальних рівнянь (18) було знайдено аналітичне рішення, яке визначається по (19). Скориставшись цим рішенням, запишемо рішення системи (22), визначеної на інтервалі 0 < ? < т:

    к00) (?) = ^ е- ^;

    i

    1-а

    до (0) (?) = (е-А1 до ^ - + 1; (23)

    К20) (?) = к2,0в-А24.

    Відповідно до співвідношенням (9), наведеними в роботі [1], в момент перемикання т змінюється характер управління. Оскільки в даному варіанті функція управління має вигляд (5), отримуємо при? € [т, Т] м ^) = 0. Тоді система диференціальних рівнянь ((4) см. [1]) (диференціальна зв'язок) на інтервалі т < ? < Т набирає вигляду

    до 01) (?) = -Л0 ^ 0Х) (?) + / 01) РА1 [К51) (?)] а1;

    К51) (?) = -Л1к11) (?); (24)

    до (1) (?) = -Л2к21) (?) + / 21) (1 - р) А1 [до (1) (?)] а1.

    Як вже було зазначено, початкові умови до системи (24) в точці? = Т визначаються з властивості безперервності функцій до0 (?), К1 (?), К2 (?) При всіх значеннях 0 < ? < Т. Введемо додаткові позначення для фіксованих значень функцій до0 (?), К1 (?), К2 (?), Що задаються формулами (23), в точці? = Т:

    к00) (т) = к0,0е-АОТ = К0, т;

    до (0) (т) = ^ е-А1 (1-а 1) т (до!) - 0а1 - А) + А) ^ = к1, т; (25)

    К20) (т) = к2,0е-А2Т = к2, т.

    Величини К0 т, к1т, к2 т, що визначаються за (25), задають початкові умови в точці? = Т до системи (24). З урахуванням цих умов знайдемо рішення системи (24).

    Відзначимо, що за формою система (24) збігається з системою (20), оскільки функція управління ui (t) у них одна і та ж. При цьому система (24) розглядається на іншому часовому інтервалі і з іншими початковими умовами. Метод вирішення системи (24) залишається тим самим: спочатку вирішується лінійне однорідне рівняння першого порядку щодо функції k1 ^ (t), а потім отримане рішення підставляється в рівняння щодо функцій k01) (t), k2 ^ (t). В результаті утворюються два неоднорідних диференціальних рівнянь першого порядку з заданими правими частинами, які вирішуються стандартним способом [11, 12]. Запишемо отримане рішення в формі системи і об'єднаємо з рішенням (23). В результаті явне аналітичне подання для функцій станів досліджуваної системи (функції питомої капіталу) на всьому інтервалі [0, T] для варіанту, коли функція управління задається формулою (5), має вигляд

    kf (t) = ko, oe-Aoi;

    k ( «) (t) = ^ i, 1 ^ 1»! - A) + A) ^;

    k20) (t) = k2,0e-A2i, 0 < t < т;

    kj1) (t) = e- ^ ko, TеАот + ^^ ^^ ^ (Ao-Aiai) i - e (Ao-Ai «i) ^); k (1) (t) = k1, T e-Ai (t-T);

    k (1) (t) = e-A2 ^ k2TeA2T + / ^ e (A2-Aiai) i-e (A2-Aiai) T

    V '^ 0-A1 «1 V

    т < t < T, (26)

    де k0, T, k1T, k2, T - величини, задані співвідношеннями (25).

    IV. Нехай функція перемикань Q (p0 (t), p1 (t), p2 (t)) задовольняє умові (17). З урахуванням структури оптимального управління ((9) см. [1]), функція управління u1 (t) на інтервалі 0 < t < T задається формулою (9).

    Рішення системи рівнянь диференціальної зв'язку для аналізованого варіанта з перемиканням управління аналогічно рішенню цієї системи для попереднього варіанту з перемиканням. Опускаючи технічні подробиці такого рішення, наведемо підсумковий результат. Запишемо явні аналітичні уявлення для функцій питомої капіталу k0 (t), k1 (t), k2 (t) при зазначеній функції управ-

    ня:

    koo) (t) = e

    - c-X0t

    loif>Aik 1, o \, ^ -X1a1t lo) pAik! , O;

    Xo - Xiai

    koo -

    Xo - Xiai)

    + e-

    kf>) (T) = klfie-X1t;

    (O) (+ \ _ c- \ 2t

    k2o) (t) = e

    li2i) (i - p) Aikqyt t

    k2, o -; -; - I +

    X2 - Xiai

    - \ 1a1t l<i) (i - p) Ai w

    + e

    X2 - Xiai

    0 < t < т;

    koi) (t) = ko, T e-X0it-T);

    Ai

    К11) (г) = (в-Х1 {1-а 1) { '- т) к1-та 1 + -1 [1 - еХ1 (1-а 1) (' - т; К21] (г) = к2>ті-Х1 (-т), т < г < т.

    Значення функцій станів до0 (Ь), к1 (Ь), к2 (Ь) в точці перемикання управління г = т визначаються, як і раніше, з умови безперервності цих функцій при всіх значеннях г Е [0, Т]:

    k (o)

    ko

    - ^ -XqT

    (Т) = e

    k ^ Про ^^ Р ^^ ЦЛ + e- \ 1a1T lo) fAiklfi o, o Xo - Xiai Xo - Xiai

    = k

    o, T;

    kio) (T) = kltoe-X1T = ki

    -X1T _

    k<o) (T) = e

    _ "- X2T

    Ь2, o -

    l<] (1 - p) Aiklo

    X2 - Xiai

    -XiaiT l<i) (i - P) Aika: o.

    X2 - Xiai

    + e

    --к2, т.

    (27)

    Отже, для кожного основного варіанту поведінки функцій управління на інтервалі [0, Т] отримані явні уявлення для функцій питомої капіталу К0 (г), к1 (г), к2 (г), що є станами розглянутої динамічної економічної системи (формули (19), (21), (26), (27)).

    Аналітичні подання для сполучених змінних.

    Відзначимо, що отримані рішення системи зв'язаних рівнянь залежать від функцій станів до0 (г), к1 (г), к2 (г), визначені явні уявлення для зазначених функцій станів як рішення системи рівнянь диференціальної зв'язку ((4) см. [1]) при різних варіантах структури функції управління и1 (г). Таким чином, з'являється можливість підставити уявлення для функцій до0 (г), к1 (г), к2 (г) в знайдені вирази для сполучених змінних і отримати для функцій р0 (г), р1 (г), р2 (г) явні аналітичні уявлення для розглянутих варіантів структури функції управління. Виконаємо зазначену підстановку для кожного варіанта по-

    ведення функції перемикань ф (ро (?), Р1 (?), Р2 (?)), 0 < ? < Т, і відповідних їм чотирьох основних варіантів структури функції управління м1 (^).

    I. Функція перемикань ^ (р0 (^), р1 (^), р2 (^)) задовольняє умові (14), рішення рівнянь диференціальної зв'язку (18), що має вигляд (19), відомо. З (12) з урахуванням (19) отримаємо явну уявлення для сполучених змінних

    Р0 (*) = ^ 00) (Т) ЄАО (^ - Т);

    е-Л1 (1-а 1) Гі fci-oai - Ai + AI

    dz2 + Ai (i-T)

    P2 (t) = e

    -? A2i

    e-A2T ^ 0) (T) + ?

    ka2 1 k2,0

    - $ - A2a2

    eT (-a-A2 «2) _ є4 (-5-А2" 2)

    (28)

    II. Функція перемикань ^ (р0 (^), р1 (^), р2 (^)) задовольняє умові (15). При цьому система рівнянь диференціальної зв'язку

    (20) має рішення, яке визначається по співвідношенням (21). підставляючи

    (21) в (4), отримуємо

    р, (*) = ^ 00) (Т) ЄАО (-т);

    Ait

    Pi (t) = e

    + I02) (i - р)

    рт

    ^ 01) (T) e-AlT + Ai «J ka_0-1e-Aiaiz ^ / 01) P ^ 00) (T) eAo (z3-т) +

    т

    eA2 (z3-T) ^ 20) (T) + eA2Z3? J e (-a-A2) z4 x

    x | e-A2Z4, k-2,0

    (Ь 0-121) (1 - p) A kgp \

    V 2'0 A2 - A1 «1 у

    +

    ,(1) r -. a2-1

    + e

    -AiaiZ4 _2

    i2 (1 - р) Ада

    A2 - A1 «1

    dz4

    P2 (t) = eA2i [e-A2T ^ (0) (T) +

    +? f e (-a-A2 W e-A2zi, k-2,0

    - l21) (1 - p) A1fc?, 10 \ V 'A2 - A1 «1)

    + e

    -Aiaizi l (1) (1 - P) ^

    A2 - A1 «1

    a2 -1

    dz1

    (29)

    i

    t

    III. Функція перемикань Q (p0 (t), pi (t), p2 (t)) задовольняє умові (16). Для цього варіанту було отримано рішення (26) системи рівнянь диференціальної зв'язку. Підставляючи (26) в співвідношення (6) і (8), визначаємо явні уявлення для сполучених змінних

    P ^ (t) = Ро, т eX ° (t-T);

    Агаг Ц (e- ^ i (i-ai) z2 [k ^ - A-) + dz2 + A1 (t-т)

    Pi) (t) = Pi, te

    <p2 \ t) = eX2t

    -l

    p e- \ 2T_ B2k2fi I (S + X2a2) t_e- (S + \ 2a2) r

    P2, T e 5 + 0.2X2 e e

    , t e [0, т]; (30)

    p0l) (t) = 40) (T) eX0 (t-T \

    pi1 (t) = eXlt ф0 \ Т) e-XlT + Axax \ ka ^ T-le-Xl (z3 + (ai-1) (z3-T)):

    (I)

    T

    \ L (i) p ^ (O) (T) eX0 (z3-T) + lf \ l - p) (eX2 (z3-T) ^ (fi) (T) + eX2Z'sB2x T 1 ^ (1 - р) Агка \ eXlT

    x J e (-S-X2a2) z4 ^ к2>тeX2T +

    Xo - Xiai

    Z3

    а2-1

    x (e (X2-Xiai) z4 - e

    T

    |X

    p2) (t) = eX2t [ф220 \ т) e-X2T + B2 e-Szi-X2a2 x

    а.2-1

    к2 т е ^ + _ р) А \ ка ех1 ({Х2-Х10Л>1 _ е ^ АДЛ) ,

    Х0 _ Ххах \))

    г е [т, т]. (31)

    де к0т, до \ т, к2, т; р0, т, р \ т, р2, т - величини, задані формулами (25) і (7).

    IV. Функція перемикань Я ( 'р0 (г),' р1 (г), 'р2 (г)) задовольняє умові (17). Аналітичні вирази для функцій стану розглянутої динамічної системи задаються рівностями (27), підставивши які в співвідношення (12) і (13), отримуємо явні уявлення для сполучених змінних

    i

    t

    p0o) (t) = iv їло (t-T

    pi0) (t) = їв ^ pi, Tе-Л1Т + Aak ^ ​​-W e-W1 (po, r ^ pe ^ 3 ^

    Jt

    T

    + / 02) (1 - p) (p2, TеЛг (гз-т) + еЛ223B2 I е (-5-Л2) г4

    x

    Z3

    X

    -Л224 I г

    k2,0-

    l21) (1-p) Aifcg, 0 \ е-Л1а1г4? 21) (1-p) Aifc?, 0

    Л2-Ai «i J Л2 - Ai« i

    (I)

    a2 -i

    dz4)) dz3 (32)

    p20) (i) = e ^ [P2, .е-Л2т + B2Jо (-5-Л2) г1 [е-Л2- ^ - ^ - /) +

    + e

    b (i)

    l2i) (1 - p) Ai AffQ Л2 - Aiai

    a2 - i

    dzi], t e [0, т];

    (33)

    p0i) (t) = ^ 00) (T) їло (-т);

    pii) (t) = $ 0) (T) x

    (0)

    e

    A1 «1 j't

    e-A 1 (1-a1) (t-T) L1-a1 + AI ІeA1 (1-a1) (t-r) l 1, T Л1 L J

    Лг2 + Л1 ^ -Т)

    p2i) (t) = eЛ2t

    = Л1Г (a2-i)

    ^ 20) (Т) е-Л2Т + -A7--

    -о - Л2 - Ai (a2 - 1)

    x

    x

    eT (-5 ^ 2 ^ 1 (a2-i)) _ et (-5-Л2-Л1 (а2-1))

    ,t e [t, t].

    (34)

    Величини к0т, к1>т, к2 т, а також р0, т, Р1>т, Р2, т задані формулами (28) і (10).

    Відзначимо ще раз, що структура оптимального управління визначається в залежності від поведінки функції перемикань ^ (Р0, Р1, Р2), що залежить від пов'язаних змінних р0 (?), Р2 (?). Основні труднощі проблеми аналітичного рішення задачі оптимального управління полягає в тому, що пов'язані змінні залежать від обраної функції управління. Далі буде викладена процедура визначення функції управління м1 * (?) І відповідних їй функцій станів системи (траєкторій) до0 * (?), К1 * (?), К2 * (?), Що задовольняють необхідним умовам екстремуму в формі принципу максимуму.

    1

    Опис процедури визначення оптимального управління і відповідних функцій станів системи. Результати, отримані в попередньому розділі, фактично визначають явні аналітичні уявлення для функції перемикань Q (t) = Я (ро (г), р1 (г), р2 (г)) при зазначених варіантах структури функції управління. Іншими словами, за допомогою аналітичних формул можна обчислити значення функції перемикань Q (Po (t), Pl (t), P2 (t)) при будь-якому фіксованому значенні г е [0, Т] для кожного розглянутого варіанту управління.

    Скориставшись цим, можна запропонувати наступну чисельно-аналітичну процедуру визначення функції управління Пі (Ь), що задовольняє необхідним умовам екстремуму в формі принципу максимуму.

    Для кожного варіанта структури управління слід проаналізувати поведінку функції перемикань Q (t) на всьому часовому інтервалі t е [0, Т]. Такий аналіз доцільно здійснювати чисельними методами за допомогою комп'ютерних програм, що обчислюють значення функції Q (t) в окремих точках на інтервалі t е [0, Т]. При цьому в таких програмах повинні іспользоватьсся стандартні підпрограми, що розраховують значення функцій р0 {Ь), р1 {Ь), р2 (Ь). У свою чергу, програми для визначення значень пов'язаних змінних повинні реалізувати формули (29) - (34).

    Якщо виявлене поведінку функції перемикань Q (t) відповідає обраній структурі функції управління п ^), то розглянутий варіант функції управління і відповідних функцій станів системи к0кк2 (^ можна вважати керованим процесом, що задовольняє необхідним умовам екстремуму в формі принципу максимуму.

    У цьому дослідженні було прийнято припущення про кінцевий числі стрибків (перемикань управління) функції управління на кінцевому тимчасовому інтервалі. Таке припущення цілком виправдано з позиції його економічного змісту. Отже, функція перемикань Q (t), яка визначає структуру функції управління, тільки кінцеве число раз змінює знак на заданому кінцевому інтервалі t е [0, Т]. Таким чином, структура функцій оптимального управління, яка визначається відповідно до принципу максимуму, допускає лише звичайно число варіантів. Розглядаючи ці варіанти послідовно, можна визначити той варіант, в якому вихідне припущення про структуру управління відповідає обумовленому увазі функції Q (t). Зафіксуємо цей варіант структури функції управління п1 (^ і відповідні йому уявлення для функцій станів системи до0 (Ь), к1 (Ь), к2 (Ь), визначається-

    мие з рівнянь диференціальної зв'язку. Тоді керований процес (ui (t); k0 (t), ki (t), k2 (t)), заданий на інтервалі [0, T], відповідає неодмінним умовам екстремуму в формі принципу максимуму. Знаходження уявлення для цього процесу в чисельно-аналітичної формі буде підсумковим результатом дослідження поставленого завдання оптимального керування динамічною економічною системою.

    Висновок. У задачі оптимального управління отримані явні аналітичні уявлення для функцій станів розглянутої динамічної системи і відповідних пов'язаних змінних при різних варіантах функції управління, які визначаються на основі принципу максимуму. Для заданих конкретних значень вихідних параметрів моделі можна визначити оптимальне управління чисельним методом, використовуючи виведені аналітичні уявлення і процедуру визначення оптимального управління і відповідних функцій станів. Надалі авторами буде проведено більш глибоке аналітичне дослідження властивостей траєкторій керованого процесу, що задовольняє умовам принципу максимуму.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Шнурків П.В., Засипка В.В. Оптимальне управління інвестиціями в закритій динамічної моделі трисекторна економіки: постановка задачі та аналіз на основі принципу максимуму // Вісник МГТУ ім. Н.е. Баумана. Сер. Природні науки. 2014. № 2. С. 101-115.

    2. Алексєєв В.М., Тихомиров В.М., Фомін С.В. Оптимальне керування. М .: Фіз-матла, 2007. 408 с.

    3. Арутюнов А.А., Магар-Ілля Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимуму Пон-трягіна. М .: Факторіал Пресс, 2006. 144 с.

    4. Ванько В.І., Єрмошина О.В., Кувиркін Г. ^ Варіаційне числення та оптимальне управління; під ред. B.C. Зарубіна, А.П. Крищенко. М .: Изд-во МГТУ ім. Н.е. Баумана, 2006. 488 с.

    5. Іоффе А.Д., Тихомиров В.М.Теорія екстремальних задач. М .: Наука, 1974. 481 с.

    6. Бєлєнький В.З. Оптимізаційні моделі економічної динаміки. Понятійний апарат. Одномірні моделі. М .: Наука, 2007. 259 с.

    7. Arrow K.J.and Intriligator M.D. Handbook of Mathematical Economics. Vol. 3. Amsterdam-N.Y .: North-Holland Publishing Co., 1986. 486 p.

    8. Leonard D., Long N. Optimal control theory and static optimization in economics. Cambrige Univ. Press, 1992.

    9. Sethi S.P., Thompson G.L. Optimal control theory: applications to management science and economics. Springer, 2000. 504 p.

    10. Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Ex Aedibus Academicis in Civitate Vaticana. 1965. No. 28. P. 225-300.

    11. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Довідник по звичайних диференціальних рівнянь. М .: Физматлит, 2001. 576 с.

    12. Камке Е. Довідник по звичайних диференціальних рівнянь. М .: Наука, 1971. 576 с.

    13. Бєлєнький В.З. Теорема про стаціонарному вирішенні узагальненої моделі Рамсея-Каса-Купманса. Аналіз і моделювання економічних процесів. Вип. 1. М .: ЦЕМІ РАН, 2004.

    14. Колеман В.А. Математична економіка. М .: Юніті-Дана, 2002. 399 с.

    15. Колеман В.А. Оптимальний збалансоване зростання відкритої трисекторна економіки // Прикладна економетрика. 2008. Вип. 3. C. 14-42.

    16. Матвеенко В.Д. Структура оптимальних траєкторій в моделях економічної динаміки. Дис .... д-ра економ. наук. М .: ЦЕМІ РАН, 2004. 261 с.

    REFERENCES

    [1] Shnurkov P.V., Zasypko V.V. Optimal control of investments in a closed-form dynamic model of the three-sector economy: the problem and analysis based on the maximum principle. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2014 року, no. 2, pp. 101-115 (inRuss.).

    [2] Alekseev V.M., Tikhomirov V. M., Fomin S.V. Optimal'noe upravlenie [Optimal control]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2007. 408 p.

    [3] Arutyunov A.A., Magaril-Il'yaev G.G., Tikhomirov V.M. Printsip maksimuma Pontryagina [Pontryagin's maximum principle]. Moscow, Faktorial Press Publ., 2006. 144 p.

    [4] Van'ko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N., Zarubin B.C., Krishchenko A.P., eds. Variatsionnoe ischislenie i optimal'noe upravlenie [Variational calculus і optimumal control]. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2006. 488 p.

    [5] Ioffe A.D., Tikhomirov V.M. Teoriya ekstremal'nykh zadach [Extremal problems theory]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 481 p.

    [6] Belen'kiy V.Z. Optimizatsionnye modeli ekonomicheskoy dinamiki. Ponyatiynyy apparat. Odnomernye modeli [Optimization models of economic dynamics. Conceptual apparatus. One-dimensional models]. Moscow, Nauka Publ., 2007. 259 p.

    [7] Arrow K.J., Intriligator M.D., eds. Handbook of Mathematical Economics. Vol. III -Free eBooks. Amsterdam-N.Y., North-Holland Publishing Co., 1986. 486 p.

    [8] Leonard D., Long N. Optimal control theory and static optimization in economics. Cambrige Univ. Press, 1992. 353 p.

    [9] Sethi S.P., Thompson G.L. Optimal control theory: applications to management science and economics. Second Ed. New York, Springer, 2000. 504 p.

    [10] Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth. Ex Aedibus Academicis in Civitate Vaticana, 1965, no. 28, pp. 225-300.

    [11] Zaytsev V.F., Polyanin A.D. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym ​​uravneniyam. [Handbook on ordinary differential equations]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001. 576 p.

    [12] Kamke E. Differentialgleichungen: Loosungsmethoden und Loosungen. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1967. (Russ. Ed .: Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym ​​uravneniyam. Per. S nem. 4-e izd., Ispr. [Handbook on ordinary differential equations]. Moscow, Nauka Publ. , 1971. 388 p.)

    [13] Belen'kiy V.Z. A theorem on the stationary solution of the generalized Ramsey-Kass-Koopmans model. Analysis and simulation of economic processes. Sb. statey "Analiz i modelirovanie ekonomicheskikh protsessov" [Coll. Pap. "Analysis and simulation of economic processes"]. Moscow, TsEMI RAN Publ., 2004, iss. 1 (in Russ.).

    [14] Kolemaev V.A. Matematicheskaya ekonomika [Mathematical economy]. Moscow, Yuniti-Dana Publ., 2002. 399 p.

    [15] Kolemaev V.A. Optimal balanced growth of open three-sector economy. Prikladnaya ekonometrika [Applied econometrics], 2008, iss. 3, pp. 14-42 (in Russ.).

    [16] Matveenko V.D. Struktura optimal'nykh traektoriy v modelyakh ekonomicheskoy dinamiki. Diss. Dokt. Econ. Nauk [The structure of optimal trajectories in models of economic dynamics. Dr. Econ. Sci. Diss.]. Moscow, TsEMI RAN Publ., 2004. 261 p.

    Стаття надійшла до редакції 10.01.2014

    Петро Вікторович Шнурків - канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри "Вища математика" МІЕМ НДУ ВШЕ. Автор понад 30 наукових робіт в області теорії управління напівмарковських випадковими процесами, прикладної теорії ймовірностей (теорія оптимального управління запасами, управління в системах масового обслуговування, оптимальне обслуговування технічних систем), математичної теорії оптимального управління (детерміновані моделі). МІЕМ НДУ ВШЕ, Російська Федерація, 109028, Москва, Б. Трьохсвятительський пров., Буд. 3.

    P.V. Shnurkov - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. professor of "Higher Mathematics" department of the Moscow State Institute of Electronics and Mathematics of the "Higher School of Economics" National Research University. Author of more than 30 publications in the field of theory of control of semi-Markov random processes, applied theory of probabilities (theory of optimal inventory control, control in queuing systems, optimal service of technical systems), mathematical theory of optimal control (deterministic models).

    Moscow State Institute of Electronics and Mathematics of the "Higher School of Economics" National Research University, Bol'shoi Trekhsvyatitel'skii per., 3, Moscow, 109028 Russian Federation.

    Вероніка Володимирівна Засипка - аспірантка кафедри "Вища математика" МІЕМ НДУ ВШЕ. Автор двох наукових робіт в області оптимального управління інвестиціями в закритій динамічної моделі трисекторна економіки. МІЕМ НДУ ВШЕ, Російська Федерація, 109028, Москва, Б. Трьохсвятительський пров., Буд. 3.

    V.V. Zasypko - post-graduate of "Higher Mathematics" department of the Moscow State Institute of Electronics and Mathematics of the "Higher School of Economics" National Research University. Author of two publications in the field of optimal control of investments in the closed-form dynamic model of three-sector economy. Moscow State Institute of Electronics and Mathematics of the "Higher School of Economics" National Research University, Bol'shoi Trekhsvyatitel'skii per., 3, Moscow, 109028 Russian Federation.


    Ключові слова: МОДЕЛЬ трисекторна ЕКОНОМІКИ /ПРИНЦИП максимуму Понтрягина /PONTRYAGIN'S MAXIMUM PRINCIPLE /ОПТИМАЛЬНИЙ УПРАВЛІННЯ /MODEL OF THREE-SECTOR ECONOMICS /OPTIMAL CONTROL

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити