Пропонується і обгрунтовується підхід до дослідження властивостей динамічних об'єктів, представлених математичними моделями у вигляді систем інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ-го роду. Підхід заснований на знаходженні резольвентних рішень систем інтегральних рівнянь з сепарабельном ядрами. розглянуто перетворення системи інтегральних рівнянь до системи еквівалентних диференціальних рівнянь. Встановлено взаємозв'язок резольвентних рішень інтегральних рівнянь і фундаментальних рішень еквівалентних диференціальних рівнянь. побудована математична модель газотурбінного двигуна у вигляді системи інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ-го роду.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Миргород В.Ф., Гвоздьова І.М., Деренг Е.В.


ANALYTICAL SOLUTIONS OF VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS SYSTEMS WITH SEPARABLE KERNELS

There is offered and grounded the approach to investigation of properties of dynamic objects, presented by mathematical models as systems of Volterra integral equations of the second kind. The approach is based on finding the resolvent solutions of systems of Volterra integral equations of the second kind with separable kernels. The transformation of integral equations system to the system of equivalence differential equations is considered. The interconnection of resolvent solutions of integral equations and fundamental solutions of equivalent differential equations is determined. The mathematical model of gas turbine engine as a system of Volterra integral equations of the second kind is developed.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'АНАЛІТИЧНА РІШЕННЯ СИСТЕМ Рівняння Вольтерра З сепарабельном ЯДРАМИ'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІТИЧНА РІШЕННЯ СИСТЕМ Рівняння Вольтерра З сепарабельном ЯДРАМИ»

    ?УДК 004.942

    В.Ф. МИРГОРОД

    АТ "Елемент"

    І.М. Гвоздьова

    Національний університет "Одеська морська академія"

    ЕВ. ДЕРЕНГ

    Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України

    АНАЛІТИЧНА РІШЕННЯ СИСТЕМ Рівняння Вольтерра З сепарабельном ЯДРАМИ

    Пропонується і обгрунтовується підхід до дослідження властивостей динамічних об'єктів, представлених математичними моделями у вигляді систем інтегральних рівнянь Вольтерри II-го роду. Підхід заснований на знаходженні резольвентних рішень систем інтегральних рівнянь з сепарабельном ядрами. Розглянуто перетворення системи інтегральних рівнянь до системи еквівалентних диференціальних рівнянь. Встановлено взаємозв'язок резольвентних рішень інтегральних рівнянь і фундаментальних рішень еквівалентних диференціальних рівнянь. Побудовано математичну модель газотурбінного двигуна у вигляді системи інтегральних рівнянь Вольтерри II-го роду.

    Ключові слова: математична модель, система інтегральних рівнянь, еквівалентну перетворення, резольвента.

    В.Ф. МИРГОРОД

    ВАТ "Елемент"

    1.М. Гвоздьова

    Нацюнальній ушверсітет "Одеська морська академiя"

    Є.В. ДЕРЕНГ

    1нстітут проблем моделювання в енергетіщ iм. Г. €. Пухова НАН Укра1ні

    АНАЛ1ТІЧНЕ Р1ШЕННЯ СИСТЕМ 1НТЕГРАЛЬНІХ Р1ВНЯНЬ Вольтерра З сепарабельном ЯДРАМИ

    Пропонуеться i обтрунтовуеться тдх1д до дослгдження властівостей дінам1чніх об'ектгв, представлених математичних моделями у виглядi систем ттегральніх рiвнянь Вольтерри II-го роду. Пiдхiд Заснований на встановленнi резольвентних рШень систем ттегральніх рiвнянь i-з сепарабельном ядрами. Розглянуто превращение системи ттегральніх рiвнянь до системи е ^ валентність діференщальніх рiвнянь. Встановлений взаємозв'язок резольвентних рШень ттегральніх рiвнянь i фундаментальних рШень е ^ валентність діференщальніх рiвнянь. Побудовали математична модель газотурбтного двигуна у виглядi системи ттегральніх рiвнянь Вольтерри II-го роду.

    Ключовi слова: математична модель, система ттегральніх рiвнянь, е ^ валентність превращение, резольвента.

    V.F.MYRHOROD

    Limited Company "Element"

    I.M.HVOZDEVA

    National university "Odessa maritime academy"

    E.V. DERENH

    Pukhov's Institute of Simulation Problems in Power NAS Ukraine

    ANALYTICAL SOLUTIONS OF VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS SYSTEMS WITH

    SEPARABLE KERNELS

    There is offered and grounded the approach to investigation of properties of dynamic objects, presented by mathematical models as systems of Volterra integral equations of the second kind. The approach is based on finding the resolvent solutions of systems of Volterra integral equations of the second kind with separable kernels. The transformation of integral equations system to the system of equivalence differential equations is considered. The interconnection of resolvent solutions of integral equations and fundamental solutions of equivalent differential equations is determined. The mathematical model of gas turbine engine as a system of Volterra integral equations of the second kind is developed.

    Keywords: mathematical model, the system of integral equations, equivalent transformation, resolvent.

    Вступ

    Проблемним питанням побудови математичних моделей (ММ) динамічних об'єктів, призначених для реалізації в системах управління і діагностики реального часу, є відшукання компромісу між необхідною точністю і обчислювальною складністю. Важлива науково-прикладна задача полягає в розширенні можливих форм математичного опису процесів зміни керованого стану динамічних об'єктів для знаходженні таких з них, які при збереженні адекватності реальним процесам дозволили б спростити їх чисельну реалізацію.

    Відомі переваги інтегральних моделей, зокрема інтегральних рівнянь Вольтерри 11-го роду і їх систем, визначають необхідність і практичну значимість розгляду методів відшукання різних форм їх аналітичних рішень на основі рішення відповідних рівнянь, що пов'язують ядро ​​та резольвенту.

    Постановка проблеми і мета дослідження

    Теорії інтегральних рівнянь (ВП) присвячені ряд фундаментальних робіт [1-3]. У довідковій літературі [3,4] детально розглянуті методи і алгоритми обчислювальної реалізації, відповідні програмні засоби. Аналітичні рішення рівняння для резольвенти описані тільки для ряду окремих випадків [1-3]. Узагальнення рішення рівняння для резольвенти [5,6] запропоновані для ряду важливих прикладних задач. Необхідність чисельної реалізації ММ безпосередньо в складі систем реального часу вимагає систематичного розгляду питань відшукання аналітичних рішень інтегральних рівнянь, застосовуваних в якості математичних моделей досліджуваних об'єктів. В першу чергу це стосується інтегральних рівнянь Вольтерри 11-го роду, що мають широку сферу застосування в прикладних задачах і для яких розроблені ефективні методи чисельного рішення [3].

    Метою даного дослідження є розробка методів аналітичного рішення систем інтегральних рівнянь Вольтерри 11-го роду з сепарабельном ядрами на основі відшукання рішень відповідних рівнянь, що пов'язують ядро ​​та резольвенту.

    Основні результати

    Розглянемо систему ІУ Вольтерри 11-го роду з сепарабельном ядром

    X X

    У (х) = / (X) + {К (X, 5) у (5) ds = / (X) + С (X) {У (5) у (5) Ж, (1)

    а а

    де

    dim (y (x)) = dim (f (x)) = n, рядки матриці C (x) і стовпці матриці B (x) є системами

    лінійно незалежних функцій [1,3]. Еквівалентна (1) система диференціальних рівнянь встановлюється введенням вектор-функції

    x

    a (x) = J B (5) y (5) ds, (2)

    a

    і відповідного лінійного диференціального рівняння

    da (x)

    dx

    = B (x) y (x), (3)

    з нульовими початковими умовами. З (1) отримаємо

    Згідно (3)

    У (x) = f (x) + C (x) a (x). da (x) = B (x) [C (x) a (x) + f (x)] = B (x) C (x) a (x) + B (x) f (x).

    dx

    З наведених виразів випливає, що система ІУ (1) за умови (2) еквівалентно матричному диференціальних рівнянь у вигляді математичної моделі простору станів (ММПС)

    da (X)

    = A (x) a (x) + B (x) f (x)

    (4)

    dx

    у (X) = С (x) ш (X) + Б (X)} (X), де А (X) = В (X) С (X), і Б (X) = Е.

    З (1) і (4) випливає, що для забезпечення існування і єдиності рішення (4) матриці С (X) і В (X) повинні бути квадратними при додатковому умови, що рядки матриці С (X) і

    стовпці матриці B (x) є системами лінійно незалежних функцій. проведені перетворення

    дають підставу сформулювати наступне твердження.

    Затвердження. Якщо в системі інтегральних рівнянь Вольтерри II-го роду (1) матричне ядро ​​є сепарабельном виду

    K (x, 5) = C (x) B (5),

    і, крім того, рядки матриці C (x) і стовпці матриці B (x) є системами лінійно незалежних функцій, то рішенням рівняння для резольвенти

    x

    R (x, 5) = K (x, s) + J K (x, X) R (X, s) ds, (5)

    s

    є функція

    R (x, s) = C (x) F (x, s) B (s), де F (x, s) є фундаментальну матрицю - рішення наступного диференціального рівняння

    dF (^ x) = -B (x) C (x) F (s, x) = -A (x) F (s, x) (6)

    з початковою умовою, рівним одиничної матриці.

    Необхідність наведених тверджень випливає з підстановки ядра і резольвенти в (5)

    x

    C (x) F (x, s) B (s) = C (x) B (s) + C (x) j B (X) C (X) F (X, s) dXB (s). (7)

    s

    Необхідною умовою для виконання рівності (6) Ці два

    x

    F (x, s) = E + j B (X) C (X) F (X, s) dX = 0. (8)

    s

    Вирази (6) і (8) є еквівалентними формами рівняння для фундаментальної матриці, що і встановлює необхідність представленого Твердження.

    Таким чином, еквівалентної формою системи інтегральних рівнянь Вольтерри II-го роду (1) з сепарабельном ядрами є диференціальні рівняння динамічної системи з векторним входом і векторних виходом в просторі станів (4), рішення яких, і, отже, рішення системи (1) має вид

    x x

    у (x) = f (x) + J R (x, s) f (s) ds = f (x) + C (x) J F (x, s) B (s) у (s) ds,

    a a

    де матриця F (x, s) визначається рішенням (6).

    Достатність в загальному випадку слід з єдиності рішення системи інтегральних рівнянь (1). Якщо рішення (5) не єдина, а є два рішення Ri (x, s) і, R2 (x, s) то вони обидва повинні задовольняти рівнянню (5)

    x

    Rl (x, s) = K (x, s) + j K (x, X) R1 (X, s) ds,

    s x

    R2 (x, s) = K (x, s) + jK (x, X) R2 (X, s) ds,

    s

    Віднімаючи перше рівняння з другого, отримуємо наступне інтегральне рівняння

    x

    R1 (x, s) - R2 (x, s) = K (x, s) + j K (x, X) [R1 (x, s) - R2 (x, s)] ds,

    s

    Отримане рівняння є інтегральним рівнянням Вольтерри I-го роду, яке, як відомо [1], має тільки нульовий розв'язок, отже, Ri (x, s) = R2 (x, s).

    Приклад. Вихідною гіпотезою для побудови ММ сталих режимів газотурбінного двигуна (ГТД) є припущення, згідно з яким енергетичний параметр двигуна у вигляді ступеня підвищення тиску, що визначає тягові характеристики ВМД, пов'язаний з оборотами його турбін залежністю виду

    N

    ч О) = Х% (о, (О,), (9)

    1 = 1

    а градієнти оборотів турбін по витраті палива, в свою чергу, визначаються цим енергетичним параметром

    єп (О,)

    dGt

    = Bv (Gt) nk (Gt), i = 1, N. (10)

    де {ац (О,)}, {Ьц (О,),} - системи лінійно незалежних функцій.

    Зі співвідношень (9) і (10) безпосередньо випливає еквівалентна ММ у вигляді інтегрального рівняння Вольтерри 11-го роду з сепарабельном ядром

    N N Про,

    Ч (О,) = X АІ (О, К (ОЗУ) + X АІ (Ог) I ЬІ (5) пк (5) ^ (11)

    И И Оп,

    Ідентифікація ММ (11) виконана по статичним характеристикам і баз даних випробувань трехвальние двигуна і дала прийнятні результати [7]. Середньоквадратичне відхилення за основними параметрами (змінним) двигуна не перевищує 1.5%.

    Переваги ММ (11) видаються досить значними: основні характеристики двигуна визначаються невеликий сукупністю лінійно незалежних функцій, які мають чітке фізичне утримання і досить нескладно визначаються за експериментальними даними.

    Сформуємо аналогічну ММ по температурному режиму ВМД.

    N N Ог

    Ге (О,) = Х А2 / (О,) п (Оп,) + Х А2 / (О,) | Ь2г- (5% (5) ^ (12)

    и и Оп,

    Рівняння (11) і (12) є незалежними, що не відображає фізичну сутність явищ в досліджуваному об'єкті. Уточнення наведених ММ пропонується у вигляді системи ІУ Вольтерри 11-го роду

    N N Оi

    П (О,) = X АІ (О, К (Оп,) + X а1г (О,) I Ь11 (5) пк (5) ^ + а1 (О) I в (5) Гg (5)

    ,(13)

    i = 1 i = 1 Gnt Gnt

    N N Gt Gt

    Tg (Gt) = X a2i (Gt) ni (Gnt) + X a2i (Gt) J b2i (s) Tg (s) ds + a2 (Gt) J e2 (s) Пк (s)

    i = 1 i = 1 Gnt Gnt

    яка відображає взаємозалежність ступеня підвищення тиску і температурного режиму двигуна.

    Висновок. Пропонований підхід до встановлення рішень деяких типів систем інтегральних рівнянь Вольтерра II-го роду на основі відшукання рішень відповідних рівнянь, що пов'язують ядро ​​та резольвенту, дає можливість досліджувати нові класи рішень таких рівнянь з різною правою частиною.

    Висновки і перспективи подальших досліджень

    Перспективи подальших досліджень пов'язані з розширенням класу можливих типів систем інтегральних рівнянь Вольтерри II-го роду, для яких можуть бути отримані аналітичні рішення рівнянь, що пов'язують ядро ​​та резольвенту.

    Список використаної літератури

    1. Смирнов В.І. Курс вищої математики / В.І. Смирнов. - М .: Наука, 1974. - Т. 4. - Ч. 1. - 336 с.

    2. Забрейко П.П. Інтегральні рівняння / П.П. Забрейко, А.І. Кошелев, М.А. Красносельський. - М .: Наука, 1968. - 448 с.

    3. Верлань А.Ф. Довідник з інтегральних рівнянь / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - К .: Техніка, 1986. - 700 с.

    4. Методи обчислень на ЕОМ / В.В. Іванов. - К .: Наук. Думка, 1986. - 584 с.

    5. Миргород В.Ф. Узагальнення методів аналітичного розв'язання деяких типів інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду / В.Ф. Миргород // Штучний інтелект. - 2009. - № 3. - С. 68-80.

    6. Миргород В.Ф. Еквівалентні перетворення інтегральних та диференціальних математичних моделей / В.Ф. Миргород, І.М. Гвоздьова // Матер. міжнар. наук. конф. "Інтелектуальні системи прийняття рішень і проблеми обчислювального інтелекту". - 18-22 травня 2009 року - 2009. - Євпаторія - Т. 1. - С. 88-91.

    7. Миргород В. Ф. Модальна і інтегральна форми математичних моделей газотурбінних двигунів / В.Ф. Миргород, В.М. Грудинкин // Вісник двигунобудування. - 2008. - № 3. - С. 185 189.


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ / MATHEMATICAL MODEL / СИСТЕМА ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ / SYSTEM OF INTEGRAL EQUATIONS / ЕКВІВАЛЕНТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ / EQUIVALENT TRANSFORMATION / резольвенту / RESOLVENT

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити