Робота присвячена питанням побудови сполучення двох еліпсів, а саме відшукання точок, для яких можливо сполучення еліпсів за допомогою сопрягающей окружності. Для цього аналітично вирішується завдання про відшукання точок дотику загальної дотичній до двох еліпсам. Розглянуто всі випадки взаємного розташування еліпсів, осі яких розташовані на паралельних прямих.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Калінін А.А., Калініна Т.А., Ковальова Г.В.


ANALYTICAL BUILDING OF THE COMMON TANGENT TO the TWO ELlIPSes

He work is devoted to the composition of the conjugation of two ellipses, namely the search for points for which conjugation of ellipses by conjugation circle is possible. For this purpose, the problem of finding the points of contact of the joint tangent to two ellipses is solved analytically. All cases of the mutual arrangement of ellipses are considered, the axes of which are located on parallel straight lines.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2017
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'АНАЛІТИЧНА ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ дотичних ДО ДВОХ еліпса'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІТИЧНА ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ дотичних ДО ДВОХ Еліпс»

    ?В1СНІК ХНТУ№ 4 (63), 2017р.

    ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я та комп'ютерна ТЕХНОЛОГІЇ

    ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРН1 _ТЕХНОЛОГІ_

    УДК 515.2.2

    О.О. КАЛГНШ, Т.О. КАШНША, Г.В. КОВАЛЬОВА

    Одеська державна академiя будiвництва та арх ^ ектурі

    АНАЛ1ТІЧНА побудова СП1ЛЬНО1 ДОТІЧНО1 ДО двох ЕЛ1ПС1В

    Робота Присвячую харчування побудова спряження двох елгпав, а самє вгдшуканню точок, для якіх можливе спряження ел1пав с помощью спрягаючого кола. Для цього аналгтічно розв 'язується задача про в1дшукання точок Дотик стльноІ дотичність! до двох ЕЛТА. Розглянутг нд випадки взаемного Розташування елгпсгв, ОС1 якіх розташоват на паралельних прямих.

    Ключовi слова: коло, елтс, дотичність, спряження.

    А.А. Калінін, Т.А. КАЛІНІНА, Г.В. КОВАЛЬОВА

    Одеська державна академія будівництва і архітектури

    АНАЛІТИЧНА ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ дотичних ДО ДВОХ еліпса

    Робота присвячена питанням побудови сполучення двох еліпсів, а саме відшукання точок, для яких можливо сполучення еліпсів за допомогою сопрягающей окружності. Для цього аналітично вирішується завдання про відшукання точок дотику загальної дотичній до двох еліпсам. Розглянуто всі випадки взаємного розташування еліпсів, осі яких розташовані на паралельних прямих.

    Ключові слова: коло, еліпс, дотична, пару.

    О.О. ^ LIMN, Т.О. ^ LININ ^ G.V. КОVАLОVА

    Odessa State Academy of Construction and Architecture

    ANALYTICAL BUILDING OF THE COMMON TANGENT TO THE TWO ELLIPSES

    The work is devoted to the composition of the conjugation of two ellipses, namely the search for points for which conjugation of ellipses by conjugation circle is possible. For this purpose, the problem of finding the points of contact of the joint tangent to two ellipses is solved analytically. All cases of the mutual arrangement of ellipses are considered, the axes of which are located on parallel straight lines.

    Keywords: circle, ellipse, tangent, conjugation.

    постановка проблеми

    При проектуванш вщповщальніх будов (например, в кораблебудуванш), де потр1бен обпчній контур, Складення з гладких кривих, необхцща точна граф1чна побудова точок дотик або спрягаючо! криво! за заданими точками дотик. Таким чином, розглядувана задача стає тшькі теоретичний, но й практичний штерес.

    Аналiз останшх дослвджень i публжацш

    В робот! [1], прісвяченш відмінюванні кривих іншого порядку, БУВ Розглянуто графоаналгтічній метод побудова спряження кола та елшса за завданням на елша точкою дотик. Проти залишилось вщкрітім питання про геометричність м1сце точок на елша, для якіх така побудова взагал можлива. Тім бшьш на це питання немае вщповщ у випадка двох елшав.

    Формулювання мети дослвдження

    Метою дослщження е аналгтічне визначення координат точок Дотик спшьно! дотичність! до двох елшав, оа якіх розташоваш на паралельних прямих. Осшлькі спшьну дотичність можна розглядаті як спрягаюче коло неск1нченного рад1усу, таким чином ми Знайдемо дуги на елшсах, для точок якіх можливо побудуваті спряження.

    Викладення основного матерiалами дослiдження

    Розглянемо задачу про знаходження загально! дотичність! до двох елшав з паралельних осями. Нехай елшсі задано в декартовш систем! координат р! вняннямі

    2 + 2

    VtT | | (1)

    a b

    В1СНІК ХНТУ № 4 (63), 2017р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА _КОМП'ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГІЇ

    та

    2 + 2

    (X - xo)! (У - y0) _1 (2)

    A2 B2

    вiдповiдно. Тодi елiпс (1) можна завдаті с помощью параметричного pIBHHHb

    fx = a cos t;

    I a o t; (3)

    [Y = b sin t;

    де x, у - декартовi координати точки елiпса, а та b - его пiвосi, t - параметр, пов'язаний з кутом повороту проти годінніково! стрiлкі вщ напряму осi Ох до напряму на розглядувану точку елiпса [3]. ВРАХОВУЮЧИ цi рiвняння, отрімаемо, что рiвняння дотичність! до елiпса (1) в довшьнш точцi М (х; у) травні вигляд

    b b

    y = - ctg t | x +--.

    a sin t

    Пiдставімо це значення в рiвняння іншого елiпса (2) i спростімо:

    2, 2 \ (А2, /; -Л г, \ 2

    2 -12 - 2 A2b, (b л - - 'u л

    n2 b A 2 B 2 + - ^ ctg21

    a 2

    x2 - 2

    B xo + -ctgt \ - Уо

    a ^ sin t

    x + B2x2 + A21 - y0 I - A2B2 = 0. (4)

    sin t

    Це квадратне pibHHHHH вiдносно x. Если дотичність первого елiпса e дотичність i іншого, то pibHHHHH (4) травні тшькі один корiнь, i его діскрімiнант травні дорiвнюваті нулю. Звщсі отрімуемо

    piBHHHHH

    22222222 2 + 2 22 a (B - >"O) sin t + b (A - x0) cos t - 2abx0y0sin t cos t + 2a by ^ sin t + 2ab x0cos t - a b = 0. (5)

    Перейдемо в цьом рiвняннi до тангенса половинного кута i зробимо замiну

    ^ = Tg ^ t

    Пiсля спрощений отрімаемо:

    b2 (A2 - (a + x0) 2) z4 + 4ab (a + x0) y0z3 + 2 (2a2 (B2 -y2) -b2 (A2 - x ^) - a2b2) z2 +

    (6)

    2 2 2 + 4ab (a - x0) y0 z + b (A - (a - x0)) = 0.

    Розв'язала це рiвняння, ми Знайдемо параметр t точок дотик на Першому елша за рiвнянням

    t = 2 arctg z,

    а попм за рiвняннямі (3) - координати ціх точок.

    Щоб найти вщповщт точки Дотик на іншому елша, можна скористати колшеаршстю дотичність векторiв в точках Дотик до обох елшав, звiдкі

    aB

    tgr = - tgt. (7)

    Ab

    З цього рiвняння знаходімо параметр т вадповадно! точки Дотик на іншому елша та обчіслюемо li координати на іншому елiпсi за Наступний параметричного рiвняннямі [3, с. 112]:

    fx = A cos г + x0;

    (8)

    y = B sinr + yo.

    Залежних вщ взаемного Розташування елiпсiв рiвняння (6) может мати Чотири рiзних дшсніх кореня (рис. 1), три рiзних дiйсніх кореня (рис. 2), два рiзних дiйсніх кореня (рис. 3), один дшсній корiнь (рис. 4), б або не мати дшсніх корешв (рис. 5), что вщповщае кшькосп спiльніх дотичність.

    В1СНІК ХНТУ№ 4 (63), 2Q17р.

    ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГІЇ

    Мал. 2. Bapiaii'i ii BiacM ^ ro розтaшувaння елшсш, что мaють три спшьш дотічнi

    Мал. 3.

    Елiпcі мaють двi cпiльнi дотічнi.

    Мал. 4.

    Елшсі мaють одну cпiльну дотичність

    Мал. 5.

    Елшсі НЕ мaють спшьніх дотичність

    Рoзглянемo деяк1 частіннi випадки.

    I. Hеxай елiпсі ма ють oднакoвій ексцентрісітет, тoбтo вoні пoдiбнi. Toдi

    aB = Ab, (9)

    i рiвняння (3) спрoщyeться:

    a2yg sin21 + b2X2 cos21 + 2abxoyo sint cos t - 2a2byo sint - 2ab2Xo cos t + a2b2 - A2B2 = О. Лiвy частинок цьoгo рiвняння мoжіа пoдаті, як рiзніцю квадрат1в, i звесті дo двox рiвнянь:

    ayQ sin t + bx0 cos t - b (a + A) = О (10)

    абo

    ayQ sin t + bxQ cos t - b (a - A) = О. (11)

    Шсля замші z = tg ^ -J з рiвнянь (I0) та (II) oтрімаeмo два квадратнi рiвіянія, діскрімшанті якіx вiдпoвiднo ма ють вигляд

    Di = 4 (a2Уо2 + b2 (xg - (a + A2)) ,

    D2 = 4 (a2 yg + b 2 (xg2 - (a - A2)). Завдяк yмoвi (9) y випадки пoдiбніx елiпсiв травні мiсце рiвнiсть

    ctg т = ctg t,

    тобто Параметри вiдпoвiдніx тoчoк дoтікy абo спiвпадають, абo вiдрiзняються на п.

    Якщo елiпсі НЕ ма ють стльн ^ тoчoк (перший варiант рoзташyванія на рис. I), рoзв'язкі рiвіянія (I0) вiдпoвiдають внyтрiшнiм дoтічнім, а рiвіянія (II) - зoвнiшнiм. Якщo oдин з діскрімiнантiв дoдатній, а другий дoрiвнюe нулю, то елшсі ма ють три спшьш дoтічнi (рис. 2), якщo oдин з діскрімшанпв дoдатній, а другий вщ'емній, - елiпсі ма ють двi спшьш дoтічнi (рис. 3), якщo oдин з діскрімiнантiв вiд'eмній, а другий дoрiвнюe нулю, - елiпсі ма ють oднy спiльнy дoтічнy (рис. 4), i якщo oбідва діскрімiнанті вщ'емш - елiпсі НЕ ма ють стльн ^ дoтічніx (рис. 5).

    2. Hеxай a = A, b = B, тобто елшсі рiвнi. Toдi рiвіянія (I0) та (II) ще спрoщyються, i рoзв'язкі рiвіянія (I0) знаxoдяться з за фoрмyламі

    ayo ± -Ja2yo2 + b2 (xg - 4a2)

    ti, 2 = 2arctg-

    b (xg + 2a)

    Т1,2 = n + t12 .

    В1СНІК ХНТУ № 4 (63), 2017р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА _КОМП'ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГІЇ

    Розв'язки рiвняння (11) ма ють віг ляд

    bx0 bx0 t1 = г = - arctg-, t2 = г2 = n- arctg-.

    ay0 аУ0

    3. Центри елiпсiв лежати на однiй вертікальнш або горізонтальнiй прямiй, тобто x0 = 0 або У0 = 0. Тодi рiвняння (5) можна звесті до рiвняння, квадратного вщносно sint або cost вщповщно:

    (A2 (B2 - yg) - A2b2) sin21 + 2a2by0 sint + b2 (a2 - a2) = 0, (x0 = 0), (12)

    (B2 (A2 - x0) - a2B2) cos2 t + 2ab2x0 cos t + a2 (b2 - b2) = 0, (y0 = 0). (13)

    Діскрімшанті ціх рiвнянь ма ють вигляд вiдповiдно

    D1 = 4b2 (a2A2y02 + (a2B2 - A2b2) (a2 - A2)), (14)

    D2 = 4a2 (b2B2x02 + (a2B2 - A2b2) (B2 -b2)), (15)

    а) бачим, что для подiбніх елiпсiв (aB = Ab) діскрімшанті (14) та (15) спрощуються, i можна віпісаті розв'язки в явному вигляд

    Для випадка x0 = 0:

    . (A + A) b ti 2 = ± arcsrn-, ri 2 = n + ti 2,

    , ОУ0 , ,

    . (A - A) b

    t3,4 = ± arcsin-, г3,4 = t3,4, -

    ay0

    розв'язки рiвняння (12), (если смороду iснують). Если розв'язки ti 2 iснують, то смороду вщповщають внутрiшнiм дотичність (перший варiант Розташування на рис. 1). Для випадка y0 = 0:

    a (b + B)

    ti 2 = ± arccos ---, Г1 2 = л + ti 2,

    bx0 a (b - B)

    t3 4 = + arCCos -, г3,4 = t3,4 -

    bx0

    розв'язки рiвняння (13), (если смороду юнують). Если розв'язки ti 2 юнують, то смороду вiдповiдають внутрiшнiм дотичність (перший варiант Розташування на рис. 1).

    б) Если елшсі НЕ подiбнi, но a = A при x0 = 0 або b = B при y0 = 0, то вирази (14) i (15) так само спрощуються, i отрімуемо наступнi результати.

    Для випадка a = A, x0 = 0:

    2by0

    ti 2 = ± arcsrn --- 0--, ri 2 = n + ti 2 -

    , Уо + b2 - B2 , ,

    для внутрiшнiх дотичність (если смороду юнують). Зовнiшнi дотічш в цьом випадка будут вертикально

    _ Г0

    t3,4 = г3,4 = 'Для випадка b = B, У0 = 0:

    2ax0

    ti 2 = ± arccos --- 0--, ri 2 = л + ti 2 -

    x2 + a2 - A2

    для внутршшх дотичність (если смороду юнують). Зовнiшнi дотічнi горизонтально

    t3, 4 = Г3, 4 .

    Приклад. Розглянемо спшьш дотічнi до кола радiуса 2 та елiпса з Твос 2 та 1, координати центру кола (4, 3) (рис. 6). У цьом випадка рiвняння (6) травні вигляд

    - 32z4 + i44z3 - 64z2 - 48z = 0.

    Це рiвняння розкладаеться на наступнi множнікі:

    i вщповщно травні наступнi коренi:

    - i6z (z - i) (2z2 - 7z - 3) = 0

    ". 7 ^ л / 73 7-л / 73

    zi = 0, z2 = i, z3 = -, z 4 =-.

    В1СНІК ШТУM 4 (63), 2Q17р.

    ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРН1 ТЕXНОЛОГII

    Першi два юереш вщшвщають внутршшм дoтічнім:

    Z1 = 0 ^ t1 = О ^ Т1 = n, тoчка дoтікy на елiпсi - (2; 0), на кoлi - (2, 3);

    n зп

    z2 = 1 ^ t2 = - ^ т2 = - ,

    тoчка дoтікy на елiпсi - (0; 2), на кoлi - (4; 2). Ц дoтічнi на малюнку не зoбраженi, щoб йoгo НЕ загрoмаджyваті.

    Мал. 6. Зовшшш cпiльнi дотічнi до елiпca з пiвоcямі 2! A 1 тa колa рaдiуca 2

    ^ Ршь zз дае тoчки дoтікy зoвнiшньoi дoтічнoi До \ М \ (t з = arctg (2zз) «151o, за фoрмyлoю (9) тз = arctg (2tgtз) + 180o« 132o, звiдсі набліженi кooрдінаті тoчки До за фoрмyламі (3) х = -1,75; у = 0,37, а набліжеш кooрдінаті тoчки М \ за фoрмyламі (8) х = 2,66; у = 4,48). Aналoгiчнo, кoрiнь z4 визначавши точки дoтікy дoтічнoi К2М2 (t4 = arctg (2z4) «- 42o, T4 = arctg (2tg t4)« - 61o, набліжеш кooрдінаті тoчки К2 х = 1,48; у = -0,67, а набліжеш кooрдінаті точки М2 х = 4,97; у = I, 25). Таким Чишма, для тoчoк зoвнiшньoi дуги К \ К2 елiпса мoжлівo пoбyдyваті спряження з завдань кoлoм, прічoмy вiдпoвiдна точка спряження на кoлi буде знаxoдітісь на дyзi М2М1.

    Висновки

    Oтріманi рiвіянія дoзвoляють найти точки дoтікy спiльнoi дoтічнoi дo двox елiпсiв з тoчнiстю, дoстатньoю для пoбyдoві, а такoж відiліті на кoжнoмy з елiпсiв дуги, для тoчoк якіx мoжіа пoбyдyваті спрягаюче кoлo.

    Список вікоріcтaноi лiтерaтурі

    1. O.A. Hiкiтенкo, O.O. Kалiнiн, ^ O. Kалiнiна // Деяк1 задачi для спряжент крівіx дрyгoгo пoрядкy // Hаyкoвi нoтаткі: Мiжвyзiвській Збiрник / Луцьк, 2008. - Вип. № 22.

    2. O.O. ^ ЛЖН, ^ O. ^ Лжна, O.A. Hiкiтенкo, B.O. Макарoв // Знаxoдження спряженіx елiпсiв // Мiстoбyдyванія та терітoрiальне планування: Hаyк.-теxн. Збiрник / Вщшв. ред. М.М. Oсeтрiн. - K., KHySA, 20I0. - Вип. 36. - С. I75-178.

    3. В.П. Дyбoвік, I.I. Юрик. Вища математика: Швч. пoсiбнік. - K .: Відавніщ ^ A.C.K., 2004. -648 с.


    Ключові слова: КРУГ / CIRCLE / ЕЛЛІПС / ELLIPSE / дотичних / TANGENT / Сполучення / CONJUGATION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити