В роботі здійснено аналітичний опис мінімальних поверхонь за допомогою ізотропних кривих, лежать на поверхні обертання циклоїди навколо її направляє. Отримано параметричні рівняння поверхні обертання циклоїди, віднесеної до ізометричної мережі координатних ліній. Параметричні рівняння сімейств ізотропних кривих визначені з умови рівності нулю лінійного елемента поверхні обертання циклоїди, віднесеної до ізометричної мережі координатних ліній.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Муквич Н.Н.


ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE MINIMAL SURFACE USING ISOTROPIC CURVED, LYING ON THE ROTATIONAL SURFACE OF THE CYCLOID

The paper carried an analytical description of minimal surfaces with isotropic curves, that lie on the surface of the cycloid rotation around its directrix lines. Found parametric equation of the surface of rotation of the cycloid, referred to the isometric grid of the coordinate lines. Parametric equations families isotropic curves obtained from the condition that the linear element surface rotation cycloid, referred to the isometric grid of the coordinate lines.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'АНАЛІТИЧНА ОПИС МІНІМАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ІЗОТРОПНИХ кривих, що лежать на поверхні ОБЕРТАННЯ циклоїді'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІТИЧНА ОПИС МІНІМАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ІЗОТРОПНИХ кривих, що лежать на поверхні ОБЕРТАННЯ циклоїді»

    ?УДК 514.18

    М.М. Муквич

    Нацюнальній ушверсітет 6iopecypciB i природокористування Укра! Ні

    АНАЛ1ТІЧНІЙ ОПІВ М1Н1МАЛЬНІХ ПОВЕРХОНЬ с помощью 1ЗОТРОПНІХ Кривий, ЯК-1 ЛЕЖАТИ НА ПОВЕРХН1 Обертаном ЦІКЛО1ДІ

    У po6omi здшснено аналтічній описание мттальніх поверхонь с помощью i-зотропніх кривих, як лежати на meepmi Обертаном цікло'1'ді вокруг ii напрямно'1 \ Знайди параметрічт рiвняння meepmi Обертаном цікло'1'ді, вiднесеноi до? Зометрічно'1 'стки координатно ЛТТ. Параметрічнi рiвняння &мей? зотропніх кривих ОТРИМАНО i3 умови рiвностi нулю лiнiйного елемента поверхнi Обертаном цікло'1'ді, вiднесеноi до? зометрічно'1 'стки координатно лiнiй.

    Ключовi слова: мiнiмальна поверхня, цікло'1'да, i-зометрічна стка координатно лiнiй, лтшній елемент поверхнi, i-зотропна крива.

    М.М. Муквич

    Національний університет біоресурсів і природокористування України

    АНАЛІТИЧНА ОПИС МІНІМАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ

    ІЗОТРОПНИХ кривих, що лежать на поверхні ОБЕРТАННЯ циклоїді

    В роботі здійснено аналітичний опис мінімальних поверхонь за допомогою ізотропних кривих, що лежать на поверхні обертання циклоїди навколо її направляє. Отримано параметричні рівняння поверхні обертання циклоїди, віднесеної до ізометричної мережі координатних ліній. Параметричні рівняння сімейств ізотропних кривих визначені з умови рівності нулю лінійного елемента поверхні обертання циклоїди, віднесеної до ізометричної мережі координатних ліній.

    Ключові слова: мінімальна поверхню, циклоїда, ізометрична сітка координатних ліній, лінійний елемент поверхні, ізотропна крива.

    М.М. MUKVICH

    National University Of Life And Environmental Sciences Of Ukraine

    ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE MINIMAL SURFACE USING ISOTROPIC CURVED, LYING ON THE ROTATIONAL SURFACE OF THE CYCLOID

    The paper carried an analytical description of minimal surfaces with isotropic curves, that lie on the surface of the cycloid rotation around its directrix lines. Found parametric equation of the surface of rotation of the cycloid, referred to the isometric grid of the coordinate lines. Parametric equations families isotropic curves obtained from the condition that the linear element surface rotation cycloid, referred to the isometric grid of the coordinate lines.

    Keywords: minimal surface, cycloid, isometric grid of the coordinate lines, line element of the surface, isotropic curve.

    постановка проблеми

    Геометричність моделювання мшмальніх поверхонь розшірюе можлівосп формоутворення поверхонь техшчніх форм та архгтектурніх конструкцш. Например, маючі найменша площу для заданого опорного контуру (просторово! Або плоско! Криво!), Геометрична форма мшмальніх поверхонь забезпечуе рiвномiрній розподш зусіль для напруженного стану архггектурно! конструкцп [1, с. 152].

    Першi дослвдження мшмальніх поверхонь належати Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Який сформулював варiацiйнy завдання [2, с. 683]: «Знайти поверхню найменша! площ ^ натягнуту на завдань контур "(1786 р.). Задаючі аналттічно шукану поверхню у виглядi z = z (x; y), Ж. Лагранж Зробив Висновок - функщя z = z (x; y) винна задовольняті рiвняння (Ейлера-Лагранжа):

    (2 + 2 z. Д2 z (2 + 2 z _

    (L + q2t-2pqdxr (1 + pV = 0 (1)

    dz dz

    де: p = -; q = -.

    dx dy

    Пiзнiше Г. Монжа (G. Monge) в 1776 виявило, что Умова мiнiмальностi площi приводити до умови рiвностi нулю середньо! Кривин поверхнi.

    Гранична Умова = p (x; y) діференщального рiвняння (1), яка застосовуеться для проектування

    архітектурних конструкцiй, визначавши проектно висота поверхш на меж1 G областi [1, 3, 4].

    Найти функцiю z = z (x; y), яка е розв'язком рiвняння (1), у загально випадка Неможливо. Зокрема, при дослщженш геометрії 'архiтектурно конструкцiй для Утворення точкового каркасу мiнiмальніх поверхонь найчаспше Використовують варiацiйнi [4, 5, 6] та кiнцево-рiзніцевi методи [1, 3].

    Стандартні Зазначити, что е шшій направление дослiдження аналiтічного Опису мшмальніх поверхонь - с помощью властівостей функцш комплексно! змшно !, Який дозволяе найти параметрічнi рiвняння мшмальніх поверхонь. У цьом напрямi вiдомi працi видатних математиків К. Вейерштрасса, С.Лi, Б. Рiма-на, Г. Шварца, яш вікорістовувалі для аналттічного Опису мiнiмальніх поверхонь методи i результати теори функцiй комплексно! змшно! [2, 7]. У данi робот такоже Використано властивостi функцiй комплексно! змшно! та реалiзовано метод аналгтічного Опису мiнiмальніх поверхонь с помощью iзотропніх кривих, якi лежати на поверхнях Обертаном, вiднесеніх до iзометрічно! сiткі координатно лiнiй [11, 12].

    Анaлiз останшх досл1джень i публшацш

    Для аналiтічного Опису неперервно каркасу мшмальніх поверхонь Використовують параметрічнi рiвняння iзотропніх кривих Нульовий! Довжина [7]. Побудову мшмальніх поверхонь с помощью iзотропніх кривих Без'е реалiзовано у дісертацшному дослiдженнi [8]. У дісертацшніх дослвдженнях [9, 10] учнiв професора Пилипаки С.Ф. Полтава Способи конструювання просторово iзотропніх кривих с помощью функцш комплексно! змшно! плькі для окрема віпадшв использование аналiтічніх функцш. Тому Розширення способiв Утворення iзотропніх кривих с помощью функцiй комплексно! змшно! е важлівою умів для дослщження проблеми аналiтічного Опису мшмальніх поверхонь.

    Формулювання цiлей CTaTTi

    Найти аналттічній описание поверхнi Обертаном цикло! Ді, ввднесено! до iзометрічно! сiткі координатно лшш та iзотропніх кривих, что лежати на !! поверхнi. На основi Вказаним iзотропніх кривих побудуваті ттмальт поверхнi та пріеднанi до них мшмальт поверхнi.

    Виклад основного мaтерiaлу дослiдження

    Розглянемо поверхню Обертаном, параметрічш рiвняння яко! ма ють вигляд:

    X (т; v) = p (r) - cos v; Y (т; v) = ppr \ sin v; Z (т; v) = ц (т), (2)

    де p = р (т); ц = ц (т) - параметрічнi рiвняння мерідiана поверхнi Обертаном.

    У робот [13] наведено алгоритм вiдшукання параметричного рiвнянь мерідiана поверхнi Обертаном, при якому поверхня буде вiднесена до iзометрічніх координат. Перехiд ВВД ортогонально! до iзометрічно! сiткі координат здшснюеться с помощью Введення ново! змшно! t, яка пов'язана iз змiнною т Наступний чином [13]:

    t =

    ^ PPr? + Ш1 dr

    (3)

    Р

    Розглянемо поверхню Обертаном цикло! Ді вокруг Г! Напрямна !, тодi !! параметрічнi рiвняння ма ють вигляд:

    X (т; v) = a (1 - cosr) - cos v; Y (т; v) = a (1 - cosr) - sin v; Z (т; v) = а (т-sinr), (4)

    де a - параметр цикло! ді; т G [0; 2n); v G [0; 2n).

    Знайдемо умову переходу до iзометрічно! сгткі координат, підперши параметрічнi рiвняння цикло! ді р (т) = а (1 - cosr); ц / (т) = а (т - sin т) у (3). Шсля Перетворення отрімаемо залежнiсть:

    t = 21n

    т

    tg т

    (5)

    Віразімо iз (5) т () = 4arctg e2 i пiдставімо у рiвняння (4). Пiсля Перетворення отрімаемо параметрічш рiвняння поверхнi Обертаном цикло! Ді, вщнесено! до iзометрічно! сiткі координатно лшш:

    т. / год 8 ae X (t; v) = --- cos v;

    Y (t; v) =

    (1 + et J

    8 aef

    M

    • sin v;

    f

    Z (t; v) = a

    4arctg

    f t ^ e 2

    v

    + -

    4e 2 (et -1

    (1 + et) 2

    (6)

    t

    Коефщенті першо! квадратично! форми [7] поверхш Обертаном цикло! ді, задано! параметричного

    рiвняннямі (6), ма ють вигляд: Е = О =

    64 а 2е 2 '

    (, + Г

    ; ^ = 0. Тодi лiнiйній елемент поверхнi Обертаном

    цикло! ді (6), ввднесено! до iзометрічно! аткі координатно лiнiй, можна Записати у віглядг

    ,2 + 2 '

    2 64 а 2е / 2 2 \

    йх2 = -, - т- • йу2 + &2 I

    1 + е ') 4. 1'

    Розклавші на множнікі виразі (7) отрімаемо:

    (7)

    ^^ 2 + 2 '

    йх 2 = 6-- • (йу -7 • й ') (йу +7 • й'),

    (+ Е-Г

    1 + е

    де 7 - уявно одиниця. Прірiвнюючі до нуля праву часть последнего! рiвностi, пiсля iнтегрування отрімаемо:

    у = 7 • '+ С або у = -7 •' + С, (8)

    де С - довшьна стала штегрування. Вирази (8) назівають координатами Дарбу (Баг'оіх) [7].

    Лiнiйній елемент (8) поверхш Обертаном цикло! Ді визначавши довжина будь-яко! криво !, яка лежить на поверхнi. Тому при шдстановщ одного iз віразiв (8) у параметрічш рiвняння (6) отрімаемо параметрічш рiвняння сiм '! уявно iзотропніх кривих Нульовий! Довжина. Зокрема, при шдстановщ вирази у = 7 • '+ С у рiвняння (6) для кожного значення С отрімаемо параметрічш рiвняння уявно! iзотропно! криво !, яка лежить на поверхш Обертаном цикло! ді:

    ) =

    А-) =

    8 ае1

    м

    8 ае '

    м

    • 008

    (7 • '+ С);

    (

    *) = <

    • 81П (7 • '+ С);

    4агс ^

    ( 'Л

    е 2

    V

    +

    - Л

    4е 2 (е '- 1)

    (+ Е-Г

    (9)

    При знаходженш рiвнянь мiнiмально! ' та пріеднано! ' до нє! мiнiмально! ' поверхш для функцш комплексно! змiнно! (9) уведемо замшу [7]: '= і + 7 • у. Тодi отрімаемо параметрічш рiвняння мшмально! поверхнi X (і, у), 7 (і, у), 2 (і, у):

    X (і, у) = Яе {х (і + 7 • у)}; 7 (і, у) = Ке | у (і + 7 • у)}; 2 (і, у) = Яе ^ і + 7 • у)}; (10)

    (11)

    та пріеднано! мшмально! поверхш X (і, у), 7 (і, у), 2 (і, у):

    X (і, у) = 1т {х (і + 7 • у)}; 7 (і, у) = 1т {у (і + 7 • у)}; 2 (і, у) = 1т {х {і + 7 • у)}. Вщокремівші дшсну та уявно часть для шкірно! з функцш (9), маемо рiвняння мшмально! поверхш (С - довшьна стала):

    2а [008 (С - 2у) + 2008 (- у) • оЬ (і) + 008 (С) • оЬ (2и)],

    X (і, у) =

    7 (і, у) =

    (008 у + оЬ і) 2а [з1п (С - 2у) + 281п (С - у) - оЬ (і) + 81П (С) • оЬ (2и)]

    (008 у + оЬ і) 2

    (12)

    2 (і, у) = 2а •

    9

    е2 • 008-

    е 2 • 008

    - + 2а • а! ^-

    1 + е 2 • 81П

    2

    1 - е 2 • 81П

    у у. і / _, ч - 4 а • 008- • 8П - • (2 - 008 у + 0П і) + 2 2 У__

    2

    та пріеднано! мшшально! поверхнi:

    \ 4а • 8Ь (м) • [81П (С - у) + 81П (С) • 0Ь (і)] * (\ X (і, у) = --- * -, у '- ^ А; 7 (і, у) =

    (008 у + 0Ь і) 2

    (008 у + 0Ь і) 2

    4а • 8Ь (м) • [008 (С - у) + 008 (С) • 0Ь (і)] (008 у + 0Ь і) 2

    2 (і, у) = а 1п

    і

    1 + єї + 2е 2 у 81П - 2

    і

    1 + єї - 2е 2 у 81П - 2

    і 2

    у 2

    4 а • 008 - • 8Ь - ^ (2 + 008 у - 0Ь і)

    (008 у + 0Ь і) 2

    і

    і

    і

    і

    +

    На рис.1 зображено вщлкі \ п ншальнсн та пріеднано! поверхонь, побудованіх за р1вняннямі (12) I (13) вцщовцщо при С = 0; ме [1,3; ... 2,8 ^ уе [1,4; ... 5].

    а б

    Мал. 1. Ввдсші м1н1мальніх поверхонь, побудованіх с помощью 1зотропніх кривих, ЯК-1 лежати на поверхн1 Обертаном цікловді:

    а) в1дс1к мшмально! поверхш, побудовали! за р1вняннямі (12);

    б) ввдсш пріеднано! мшмально! поверхн1, побудовали! за р1вняннямі (13).

    Коефiцieнті першо! квадратично! форми мiнiмальноi поверхнi (12) та пріеднано! поверхш (13) дор1внюють:

    Е = в = -

    64а2е2м

    \\ + е1и + 2еі сову

    Г

    Коефпценті друго! квадратично! форми мшмально! поверхш (12), дор1внюють:

    4асов сь ^ - (со8 у + сЬн - 2соя у-сЬн - 2)

    Ь = -и = --

    (С08У + сЬн) 3

    Коефпценті друго! квадратично! форми пріеднано! мшмально! поверхш (13), дор1внюють:

    4а8т - ^ - 811 ^ (со8у + сЬн + 2 сову - сЬм + 2)

    * * Ь = -и =--

    (14)

    (15)

    (16)

    (Сояу + сьг ^) 3

    Коефіценті першо! та друго! квадратичних форм мшмальніх поверхонь (12) та (13), превращаются виразі

    тт Е ^ -2-Р-М + С-1 середньо! Кривин Н = ---

    2 (Е-О-Е2)

    Вирази (7) можна розкласті на множнікі у вігляд1:

    для шкірно! iз зазначенням поверхонь, до нуля.

    64а2е'

    м

    | {Л - г |? Л>) (<# + 1 |

    (17)

    Прщлвнюючі до нуля праву часть р1 переглянеш (17), теля? Нтегрування отрімаемо:

    1 = + С або? = - / |!> + С. (18)

    Щщставівші вирази (18) або вирази V = -; '|? + С, отриманий п р1вностей (8), у параметрічш р1вняння поверхш Обертаном цикло! Ді (6), отрімаемо р1вняння ще трьох с1мей уявно потропніх кривих Нульовий! Довжина. Для шкірного значення С помощью знайденіх потропніх кривих можна побудуваті мiнiмальнi поверхнi та пріеднанi до них. Альо утвореш мiнiмальнi поверхш ма ють рiвнi коефiцiенті першо! та друго! квадратичних форм iз мшмальнімі поверхні (12) i (13) вщповвдно, тобто смороду характеризуються спiльнімі метричних властівостямі та спiльнімі властівостямі Кривин поверхш.

    Висновки

    На поверхш Обертаном ціклощі вокруг ii напрямно1 ', вщнесено1' до I30MeTpH4H0i citkh координатно лiнiй, для шкірного значення C можна побудуваті Чотири cim'i iзотропніх кривих, i кожнш крівiй поставити у вiдповiднiсть мшмальну поверхню та пріеднану до млості Утворенi мiнiмальнi поверхнi та пріеднан мiнiмальнi поверхнi ма ють спiльнi метричних властивостi та спiльнi властивостi Кривин поверхш.

    Список вікорістано'1 лiтератури

    1. Розрахунок оболонок складної форми / [Гуляєв В.І., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В.]. - К .: Будiвельник, 1990. - 192 с.

    2. Математична енциклопедія / [гл.ред. І.М. Виноградов]. - Т.3.- М .: Изд-во «Радянська енциклопедія», 1982.- С.683-690.

    3. Михайленко В.Є. Конструювання форм сучасних архітектурних конструкцій / В.Є. Михайленко, С.Н. Ковальов. - Київ: Будiвельник, 1978. - 112 с.

    4. Абдюшев А.А. Проектування непологіх оболонок мінімальної поверхні / А.А. Абдюшев, І.Х. Міфтахутдінов, П.П. Осипов // Известия КазГАБА. - 2009. - №2 (12). - С. 86-92.

    5. Пульпінскій Я.С. Математичне моделювання оболонок обертання складних форм: автореф. дис. на соіск. уч. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.13.18 "Математичне моделювання, чисельні методи та комплекси програм" / Я.С. Пульпінскій. - Пенза: Пензенський державний університет архітектури та будівництва, 2006. - 20 с.

    6. Гацунаев М.А. Про рівномірної збіжності кусочно-лінійних рішень рівняння мінімальної поверхні / М.А. Гацунаев, Клячин А.А. // Уфимський математичного. журнал. Т. 6. -2014.- №3.- С.3-16.

    7. Фініков С.П. Теорія поверхонь / Фініков С.П. - М.-Л .: ГТТІ, 1934. - 206 с.

    8. Аушева Н.М. Геометричність моделювання об'екпв дшсного простору на основi iзотропніх характеристик: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / Н. М. Аушева. - К .: КНУБА, 2014. - 38 с.

    9. Чернишова Е.О. Використання функцш комплексного змшного для побудова поверхонь техшчніх форм: автореф. дис. на здобуття наук. ступенів канд. техн. наук: спец. 05.01.01 "Прикладна геометрiя, iнженерна графша" / Е.О. Чернишова. - К .: КНУБА, 2007. - 20 с.

    10. Коровша 1.О. Конструювання поверхонь стало1 середньо1 Кривин за заданими лiнiямі шціденцп: автореф. дис. на здобуття наук. ступенів канд. техн. наук: спец. 05.01.01 "Прикладна геометрiя, шженерна графка" / 1.О. Коровша. - К .: КНУБА, 2012. - 20 с.

    11. Муквич М.М. Конструювання мшмальніх поверхонь с помощью iзотропноi кривої яка лежить на кону / М.М. Муквич // Мiжвузiвській Збiрник "Науковi нотатки". - Луцьк, видавництво Луцького нащонального технiчний унiверситету, 2015. - № 48. - С. 155-158.

    12. Пилипака С.Ф. Утворення мшмальніх поверхонь с помощью iзотропніх кривих, яш лежати на поверхнi Обертаном астрощі / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць / МДПУ iм. Б. Хмельницького. - Мелiтополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2016.- №6. - С. 91-95.

    13. Несвідомін В.Н. Спосіб аналітичного відображення плоских зображень на криволінійні поверхні / В.Н. Несвідомін, Т.С. Пилипака, Т.С. Кремец // «MOTROL. Commission of Motorization and Energetics in Agriculture ».- Vol. 16, No 3. - Lublin - Rzeszov, 2014. - С. 58 - 65.


    Ключові слова: МІНІМАЛЬНА Поверхность / MINIMAL SURFACE / циклоїді / CYCLOID / Ізометричні Сітка координатно ЛІНІЙ / ISOMETRIC GRID OF THE COORDINATE LINES / ЛІНІЙНИЙ ЕЛЕМЕНТ ПОВЕРХНІ / LINE ELEMENT OF THE SURFACE / іЗОТРОПНИХ Крива / ISOTROPIC CURVE

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити