Постановка завдання: Мультимедійний трафік в сучасних телекомунікаційних мережах має властивість самоподібності, яке істотно ускладнює забезпечення якості обслуговування в мережевих пристроях комутації. Для опису реального самоподібного трафіку часто використовується розподіл Парето (Розподіл інтервалів часу між надходженням пакетів вхідного трафіку). Вибір і настройка відповідних механізмів забезпечення якості обслуговування передбачає оперативний прогноз очікуваних показників якості, який для самоподібного трафіку з розподілом Парето можна виконати тільки за допомогою імітаційного моделювання процесу обслуговування, оскільки точних аналітичних моделей не існує. Метою роботи є розробка аналітичної моделі обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето, що дозволяє розраховувати показники своєчасності обслуговування трафіку в мережевому пристрої комутації за допомогою аналітичних виразів, отриманих на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання. Використовувані методи: Для моделювання обслуговування самоподібного трафіку в мережевому пристрої комутації використовувалася модель системи масового обслуговування P / M / 1. Як показник своєчасності обслуговування трафіку розглядалося відносне середнє час очікування (щодо середнього часу обслуговування). При виведенні аналітичних виразів для залежності даного показника від навантаження і показника Херста використовувалася двоетапна апроксимація на основі показових і дрібно-раціональних функцій результатів імітаційного моделювання в програмному середовищі AnyLogic. Новизною роботи є аналітичний вираз на основі показових і дрібно-раціональних функцій для розрахунку відносного середнього часу очікування в усьому діапазоні можливих значень навантаження і показника Херста вхідного трафіку з розподілом Парето. Результат. За допомогою імітаційної моделі обслуговування трафіку типу P / M / 1 були отримані статистичні залежності відносного середнього часу очікування від навантаження і показника Херста практично у всьому діапазоні можливих значень. Порівняльний аналіз даних статистичних залежностей і відомих аналітичних залежностей на основі показових функцій для FBM / M / 1 дозволив зробити припущення про можливе використання подібних функцій для апроксимації статистичних залежностей для P / M / 1. Представлений спосіб апроксимації на першому етапі статистичних залежностей при різних фіксованих значеннях показника Херста на основі показових функцій з трьома параметрами (залежними від показника Херста) в трьох обраних точках інтерполяції. Описана обчислювальна процедура визначення параметрів апроксимації на першому етапі для заданих статистичних залежностей, які відповідають конкретним значенням показника Херста, перебирають з фіксованим кроком у всьому діапазоні можливих значень. Отримані табличні залежності трьох зазначених параметрів від показника Херста були апроксимовані на другому етапі дрібно-раціональними виразами, подібними аналогічним виразами у відомій формулі для FBM / M / 1. На відміну від інших відомих результатів апроксимації статистичної залежності відносного середнього часу очікування від навантаження і показника Херста, які або є занадто наближеними, або справедливими в обмеженому діапазоні значень навантаження і показника Херста, отримані результати апроксимації охоплюють весь діапазон можливих значень зазначених параметрів трафіку і з високою точністю. Практична значимість: отримана аналітичний вираз може бути використано при виборі та налагодженню механізмів забезпечення якості обслуговування мультимедійного трафіку в мережевих пристроях комутації для оперативного прогнозу очікуваних показників якості обслуговування.

Анотація наукової статті з комп'ютерних та інформаційних наук, автор наукової роботи - Одоєвський Сергій Михайлович, Бусигін Олександр Васильович


Approximation of statistical characteristics of the multimedia traffic service process based on the Pareto distribution

Problem statement: Multimedia traffic in modern telecommunication networks has the property of self-similarity, which significantly complicates the quality of service in network switching devices. The Pareto distribution (Values ​​of time intervals between incoming packets of incoming traffic) is often used to describe real self-similar traffic. The selection and adjustment of suitable mechanisms for ensuring the quality of service implies an operational forecast of the expected quality indicators, which for self-similar traffic with Pareto distribution can be performed only by means of simulation of the service process, since there are no exact analytical models. The aim of the work is to develop an analytical model of multimedia traffic service with Pareto distribution, which allows calculating the timeliness of traffic service in a network switching device using analytical expressions obtained on the basis of approximating simulation results. Methods used: To model the service of self-similar traffic in the network switching device, the model of the queuing system P / M / 1 was used. The relative average waiting time (relative to average service time) was considered as an indicator of the timeliness of traffic service. When deriving analytical expressions for the dependence of this indicator on the load and the Hurst indicator, we used a two-stage approximation based on the exponential and fractional rational functions of the results of simulation in the AnyLogic software environment. The novelty of the work is an analytical expression based on exponential and fractional rational functions for calculating the relative average waiting time over the entire range of possible load values ​​and the Hurst exponent of the input traffic with the Pareto distribution. Result. Using the P / M / 1 traffic simulation model, statistical dependencies of the relative average waiting time on load and the Hurst exponent were obtained in almost the entire range of possible values. A comparative analysis of statistical dependency data and known analytical dependencies based on exponential functions for FBM / M / 1 allowed us to make an assumption about the possible use of similar functions for approximating statistical dependencies for P / M / 1. The method of approximating the statistical dependencies at the first stage for different fixed Hurst exponents based on exponential functions with three parameters (depending on the Hurst exponent) at three selected interpolation points is presented. The computational procedure for determining the approximation parameters at the first stage for given statistical dependencies corresponding to specific values ​​of the Hurst exponent sorted with a fixed step in the entire range of possible values ​​is described. The obtained tabular dependences of the three indicated parameters on the Hurst exponent were approximated at the second stage by fractional rational expressions similar to similar expressions in the well-known formula for FBM / M / 1. Unlike other known results of approximating the statistical dependence of the relative average waiting time on the load and the Hurst indicator, which are either too close or valid in a limited range of load values ​​and the Hurst indicator, the approximation results cover the entire range of possible values ​​of the specified traffic parameters and with high accuracy. Practical relevance: the obtained analytical expression can be used to select and configure mechanisms for ensuring the quality of service of multimedia traffic in network switching devices for the operational forecast of expected quality of service indicators.


Область наук:
  • Комп'ютер та інформатика
  • Рік видавництва: 2020
    Журнал: Системи управління, зв'язку та безпеки
    Наукова стаття на тему 'Аналітична модель обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання'

    Текст наукової роботи на тему «Аналітична модель обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання»

    ?Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    УДК 623.615

    Аналітична модель обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання

    Одоєвський С. М., Бусигін А. В.

    Постановка завдання: Мультимедійний трафік в сучасних телекомунікаційних мережах має властивість самоподібності, яке істотно ускладнює забезпечення якості обслуговування в мережевих пристроях комутації. Для опису реального самоподібного трафіку часто використовується розподіл Парето (розподіл інтервалів часу між надходженням пакетів вхідного трафіку). Вибір і настройка відповідних механізмів забезпечення якості обслуговування передбачає оперативний прогноз очікуваних показників якості, який для самоподібного трафіку з розподілом Парето можна виконати тільки за допомогою імітаційного моделювання процесу обслуговування, оскільки точних аналітичних моделей не існує. Метою роботи є розробка аналітичної моделі обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето, що дозволяє розраховувати показники своєчасності обслуговування трафіку в мережевому пристрої комутації за допомогою аналітичних виразів, отриманих на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання. Використовувані методи: Для моделювання обслуговування самоподібного трафіка в мережевому пристрої комутації використовувалася модель системи масового обслуговування P / M / 1. Як показник своєчасності обслуговування трафіку розглядалося відносне середнє час очікування (щодо середнього часу обслуговування). При виведенні аналітичних виразів для залежності даного показника від навантаження і показника Херста використовувалася двоетапна апроксимація на основі показових і дрібно-раціональних функцій результатів імітаційного моделювання в програмному середовищі AnyLogic. Новизною роботи є аналітичний вираз на основі показових і дрібно-раціональних функцій для розрахунку відносного середнього часу очікування в усьому діапазоні можливих значень навантаження і показника Херста вхідного трафіку з розподілом Парето. Результат. За допомогою імітаційної моделі обслуговування трафіку типу P / M / 1 були отримані статистичні залежності відносного середнього часу очікування від навантаження і показника Херста практично у всьому діапазоні можливих значень. Порівняльний аналіз даних статистичних залежностей і відомих аналітичних залежностей на основі показових функцій для FBM / M / 1 дозволив зробити припущення про можливе використання подібних функцій для апроксимації статистичних залежностей для P / M / 1. Представлений спосіб апроксимації на першому етапі статистичних залежностей при різних фіксованих значеннях показника Херста на основі показових функцій з трьома параметрами (залежними від показника Херста) в трьох обраних точках інтерполяції. Описана обчислювальна процедура визначення параметрів апроксимації на першому етапі для заданих статистичних залежностей, які відповідають конкретним значенням показника Херста, перебирають з фіксованим кроком у всьому діапазоні можливих значень. Отримані табличні залежності трьох зазначених параметрів від показника Херста були апроксимовані на другому етапі дрібно-раціональними виразами, подібними аналогічним виразами у відомій формулі для FBM / M / 1. На відміну від інших відомих результатів апроксимації статистичної залежності відносного середнього часу очікування від навантаження і показника Херста, які або є занадто наближеними, або справедливими в обмеженому діапазоні значень навантаження і показника Херста, отримані результати апроксимації охоплюють весь діапазон можливих значень зазначених параметрів трафіку і з високою точністю. Практична значимість: отримана аналітичний вираз може бути використано при виборі та налагодженню механізмів забезпечення якості обслуговування мультимедійного трафіку в мережевих пристроях комутації для оперативного прогнозу очікуваних показників якості обслуговування.

    Ключові слова: самоподібний трафік, розподіл Парето, аналітична модель, якість обслуговування.

    Бібліографічна посилання на цю статтю:

    Одоєвський С. М., Бусигін А. В. Аналітична модель обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання // Системи управління, зв'язку та безпеки. 2020. № 1. С. 74-108. DOI: 10.24411 / 2410-9916-202010104.

    Reference for citation:

    Odoevsky S. M., Busygin A. V. Approximation of statistical characteristics of the multimedia traffic service process based on the Pareto distribution. Systems of Control, Communication and Security, 2020 року, no. 1, pp. 74-108. DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104 (in Russian).

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    актуальність

    Мультимедійний трафік в сучасних телекомунікаційних мережах має складну структуру, одним з ознак якої є властивість самоподібності [1, 2], через що в мережі на різних випадкових інтервалах часу виникають пульсації навантаження, які можуть призводити до великих затримок і втрат пакетів, якщо в мережі заздалегідь не буде вжито певних заходів забезпечення якості обслуговування [3, 4].

    У мережевих пристроях комутації в якості таких заходів можуть використовуватися різні механізми забезпечення якості обслуговування як окремих складових, так і всього трафіку [5, 6]. При виборі і налаштування зазначених механізмів забезпечення якості обслуговування мультимедійного трафіку важливе значення має прогноз очікуваних показників якості обслуговування [7] при тих чи інших спостережуваних параметрах трафіку [8].

    Як показано в [7], в якості основного показника якості обслуговування найбільш зручно в обчислювальному сенсі використовувати середню затримку пакетів Тзад, яка виступає в ролі одного з показників своєчасності обслуговування трафіку. При оцінці якості обслуговування трафіку в окремому пристрої комутації дана затримка є сумою середнього часу очікування тож і середнього часу обслуговування тоб (передачі) пакетів. При цьому обидва доданків затримки залежать від пропускної здатності використовуваного каналу зв'язку ц. Середній час обслуговування тоб є зворотною величиною пропускної здатності ХОБ = 1 / ц, а час очікування тож пов'язано з ц складнішим чином в залежності від статистичних характеристик вхідного потоку, розподілу часу обслуговування і механізмів обслуговування трафіку в пристрої комутації.

    У загальному випадку час передачі (обслуговування) може мати довільний розподіл, в тому числі, «з довгим хвостом», характерним для самоподібних випадкових процесів. Однак на практиці в зв'язку з підвідомчій (внутрісистемної) роллю даного параметра в конкретній телекомунікаційної мережі, яка може їм управляти або, принаймні, досить точно його прогнозувати, в більшості математичних моделей навіть з самоподібним вхідним трафіком допускається час обслуговування вважати детермінованим (D - Deterministic) або розподіленим по експонентному (характерному для пуассоновского або марковского випадкового процесу) закону (M - Markovian).

    Інша складова частина часу затримки - час очікування початку обслуговування тож, з одного боку, залежить від зазначеного вище часу обслуговування Тоб (назад пропорційного пропускної здатності ц), а з іншого боку, безпосередньо пов'язана з характеристиками вхідного потоку пакетів (зокрема, з його інтенсивністю а), а, отже, в першу чергу «відчуває на собі» вплив усіх проявів його властивості самоподібності. У даній роботі для більшої спільності в якості основного показника своєчасності розглядається нормоване до середнього часу обслуговування відносне середнє час очікування Tq = тож / тоб.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Основним заходом ступеня самоподібності складного мультимедійного трафіку є показник Херста H [1], який може приймати значення в інтервалі від 0,5 (мінімальна ступінь самоподібності або фактично його відсутність) до 1 (максимальна ступінь самоподібності, яка на практиці не зустрічається).

    Реальний трафік, що володіє властивостями самоподібності з певним значенням показника Херста H, може бути представлений різними математичними моделями. Однією з найпопулярніших моделей самоподібного трафіку є модель типу FBM (від англ. Fractal Brownian Motion - фрактальное броунівський рух) [9]. Для даної моделі відомі аналітичні функціональні залежності Tq (p, H) відносного середнього часу очікування Tq від навантаження р = А / ц і показника Херста H при детермінованому (D) і експоненційному (M) розподілі часу обслуговування в одноканаль-них системах масового обслуговування ( СМО) виду FBM / D / 1 і FBM / M / 1 [1, 10-12].

    Для моделювання самоподібного трафіку крім моделі FBM можуть використовуватися багато інших розподілу з «довгими хвостами». Найбільш популярними є розподілу Парето (P - Pareto) і Вейбулла (W-Weibull) [10-13]. Однак точні аналітичні функціональні залежності Tq (p, H) для СМО типу P / M / 1 або P / D / 1, а також W / M / 1 або W / D / 1, тобто при надходженні на вхід пристрою комутації потоків даних, що описуються розподілами Парето (P) і Вейбулла (W), невідомі. Тому для розрахунку показників обслуговування в таких СМО широко використовується імітаційне моделювання [7, 11, 14-16]. Однак досить великі витрати часу на отримання результатів імітаційного моделювання (з необхідною точністю) ускладнюють їх використання для оперативного прогнозування якості обслуговування самоподібного трафіку при виборі і налаштування відповідних механізмів управління трафіком.

    В даний час відомі деякі наближені аналітичні моделі обслуговування самоподібного трафіку з розподілом Парето, засновані на апроксимації результатів імітаційного моделювання експонентними функціями [17] або на використанні загальних (для різних СМО) аналітичних залежностей з відповідними параметрами [18].

    Однак зазначені аналітичні моделі є або занадто наближеними [18] (такими, що суперечать результатам імітаційного моделювання), або справедливими (досить точними) лише в обмеженому діапазоні значень навантаження і показника Херста [17]. Тому, як вже зазначалося в роботах [19, 20] в даний час залишається актуальною проблема пошуку і / або розробки інших (нових) досить точних і зручних в обчислювальному сенсі аналітичних моделей, які можна застосувати у всьому діапазоні можливих значень параметрів самоподібного трафіку з розподілом Парето.

    Постановка задачі

    З наведеного вище обґрунтування актуальності розробки аналітичної моделі обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Паре-

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    то, необхідної для оперативного прогнозу очікуваних показників якості при виборі і налаштування відповідних механізмів забезпечення якості, випливає наступна постановка задачі.

    В якості моделі самоподібного трафіку розглядається потік, в якому час між приходом заявок має розподіл Парето:

    (До Т

    F (т) = 1--, до > 0, а> 0, т> до, (1)

    шаную

    де т - інтервал часу між надходженням чергових заявок в потоці з розподілом Парето; k - коефіцієнт масштабу розподілу Парето; а-параметр форми розподілу Парето.

    Як показано в роботах [1, 7, 8, 14-17], параметр форми розподілу Парето а залежить від показника Херста наступним чином:

    а = 3 - 2 • І. (2)

    При зміні показника Херста в діапазоні Яе [0,5; 1) величина параметра форми змінюється в діапазоні ае (1; 2].

    Коефіцієнт масштабу розподілу Парето k при заданому (фіксованому) значенні а (2) залежить від цього значення і від інтенсивності трафіку А, що є зворотною величиною математичного очікування m розподілу Парето [7, 19]:

    а- до 1 а-1

    т = - = - ^ к = -. (3)

    а-1 А а-А

    В якості моделі трафіку на виході мережевого пристрою комутації розглядається потік, в якому тривалість обслуговування заявок має експоненціальне розподіл з інтенсивністю ц, обернено пропорційній середньому часу обслуговування тоб = 1 / ц.

    Оскільки показники якості обслуговування трафіку, зокрема, показники своєчасності, зазвичай залежать від ставлення А / ц, що представляє собою навантаження р, то можна обмежитися завданням одиничного значення ц = 1. При цьому діапазон зміни навантаження ре [0; 1) буде дорівнює діапазону зміни інтенсивності вхідного потоку Ае [0; 1).

    В якості основного показника якості обслуговування трафіку розглядається відносне середнє час очікування ^ = ^ / ^ ,? 5.

    Описані вище параметри вхідного і вихідного трафіку складають всі необхідні вихідні дані для імітаційного моделювання СМО типу P / M / 1 та подальшого вирішення завдання апроксимації його результатів в рамках цієї роботи.

    Мета роботи - розробка аналітичної моделі обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето, що дозволяє розраховувати показники своєчасності обслуговування трафіку в мережевому пристрої комутації за допомогою аналітичних виразів, отриманих на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання у всьому діапазоні можливих значень навантаження і показника Херста.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Досягнення зазначеної мети забезпечується послідовним рішенням приватних завдань:

    1) проведенням імітаційного моделювання обслуговування самоподібного трафіку з розподілом Парето при різних значеннях навантаження р і показника Херста Н;

    2) аналізом відомих способів апроксимації результатів імітаційного моделювання в залежності від навантаження р при різних значеннях показника Херста Н;

    3) пошуком загальних закономірностей і аппроксимацией результатів імітаційного моделювання в залежності від навантаження р для кожного конкретного значення показника Херста Н (на першому етапі апроксимації);

    4) пошуком загальних закономірностей і аппроксимацией результатів імітаційного моделювання в залежності від навантаження р і показника Херста Н (на другому етапі апроксимації).

    Для формалізації завдання в роботі введено такі позначення: т - інтервал часу між надходженням чергових заявок (пакетів); а - параметр форми розподілу Парето; до - коефіцієнт масштабу розподілу Парето; Н - показник Херста, який визначає ступінь самоподібності трафіку; т - математичне очікування значень інтервалу часу т між надходженням чергових заявок;

    X - інтенсивність надходження потоку заявок; ц - інтенсивність обслуговування потоку заявок; р - навантаження;

    Тзад - середній час затримки (при обслуговуванні та очікуванні);

    Тоб - середній час обслуговування пакетів (заявок);

    тож - середній час очікування (початку обслуговування);

    Тс - відносне середнє час очікування;

    Тзад - відносне середнє час затримки;

    Тс їм - отримані результати розрахунку величини Тс при імітаційному моделюванні;

    Tq ім.др - інші раніше відомі результати розрахунку величини Tq при імітаційному моделюванні;

    КТС їм - відмінність одержаних результатів імітаційного моделювання від інших раніше відомих; N - обсяг вибірки;

    Т} ам - результати розрахунку величини Тс при аналітичному моделюванні;

    а, b, с - параметри апроксимуючої функції Тс ам (р) при фіксованих значеннях показника Херста Н (на першому етапі апроксимації);

    а (Н), Ь (Н), с (Н) - функції, аппроксимирующие значення параметрів а, Ьг, з при різних значеннях показника Херста Н-1 (на другому етапі апроксимації).

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Імітаційне моделювання обслуговування трафіку з розподілом Парето

    Для дослідження залежності відносного середнього часу очікування Tq від навантаження р при різних значеннях показника Херста H самоподібного трафіку з розподілом Парето була побудована імітаційна модель мережевого пристрою комутації в середовищі ЛпуЬо§ю [23]. Середа імітаційного моделювання ЛпуЬо§1е була обрана, оскільки вона має ряд таких переваг, як простота побудови різних СМО, зручний інтерфейс для введення і коригування вихідних даних, наочне відображення результатів імітаційного й аналітичного моделювання з можливістю їх порівняння.

    Побудована імітаційна модель складається з чотирьох об'єктів (рис. 1).

    Мал. 1. Основні об'єкти імітаційної моделі

    Об'єкт Source створює заявки (рис. 2). Використовується в якості джерела потоку заявок, час між прибуттям яких розподілено за законом Парето з параметрами а і k (на рис. 2а - «pareto (alfa, k)»). Обсяг вибірки (на рис. 2а - «Максимальна кількість прибуттів») задавався рівним # = 106 (максимально можливе значення в використовуваної версії AnyLogic). Значення параметра а задається відповідно до вираження (2) (рис. 2б). Значення параметра k задається відповідно до вираження (3) (рис. 2в).

    Об'єкт Sink знищує надійшли заявки. Використовується в якості кінцевої точки потоку заявок.

    Об'єкт Delay затримує заявки на випадковий період часу (відповідний часу обслуговування), розподілений за експоненціальним законом із середнім часом обслуговування тоб = 1 (на рис. 3 - «exponential (l)»). Кількість обслуговуючих приладів відповідно до моделі P / M / 1 задається рівним 1 (на рис. 3 - «Місткість = 1»)

    Об'єкт Queue моделює чергу заявок, які очікують обслуговування (рис. 4). Заявки надходять і залишають чергу згідно з правилом FIFO. Розмір черзі не обмежене (на рис. 4 - «Максимальна місткість»).

    Середа імітаційного моделювання AnyLogic дозволяє проводити різні обчислювальні експерименти з імітаційними і аналітичними моделями, параметри яких (властивості) можна задавати і змінювати вручну або описувати правила автоматичного перебору в заданому діапазоні з певним кроком з метою отримання як окремих результатів, так і безлічі результатів, представлених в вигляді таблиць і / або графіків.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    а)

    б) в)

    Мал. 2. Властивості об'єкта Source

    Мал. 3. Властивості об'єкта Delay

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Мал. 4. Властивості об'єкта Queue

    На рис. 5 показаний приклад введення значень параметрів H = 0,8 і р = 0,9 при виконанні окремих розрахунків.

    а) б)

    Мал. 5. Приклад введення значень параметрів H і р при виконанні окремих розрахунків

    На рис. 6 представлений приклад робочого вікна з відображенням окремого результату обчислення відносного середнього часу очікування Tq їм = 113,151 при введених значеннях параметрів Н = 0,8 і р = 0,9 і обчислених значеннях параметрів а = 1,4 і? = 0,317 за формулами (2 ), (3) (рис. 2б і 2в).

    На рис. 7 наведено вікно завдання правила автоматичного перебору значень параметрів Н і р в діапазонах [0,5; 0,95] і [0,05; 0,95], відповідно, з однаковим кроком 0,05 з метою отримання безлічі результатів імітаційного моделювання {Tq їм}, представленого у вигляді таблиці.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Мал. 6. Приклад відображення окремого результату імітаційного

    моделювання

    параметри

    Параметри: в Варіювати а діапазоні 'Довільно

    Параметр Тип Значення

    Мін. Макс. крок

    P Діапазон 0.05 0.95 0.05

    H Діапазон 0.5 0.95 0.05

    Мал. 7. Вікно завдання правила автоматичного перебору значень навантаження р і показника Херста Н для отримання табличних результатів

    Безліч отриманих результатів імітаційного моделювання {Тсім} в заданих діапазонах зміни параметрів р і Н наведено в таблиці 1. У зазначеній таблиці для наочності кольоровим фоном виділені розраховані дуже великі значення відносного середнього часу очікування Тс їм, що перевищують значення 20 (зелений колір), 100 ( блакитний колір), 1000 (помаранчевий колір) і 10000 (рожевий колір).

    Як видно з таблиці 1, зазначені вище великі значення часу очікування виникають в області поєднань досить великих значень навантаження р і показника Херста Н, яких на практиці (при виборі та налагодженню механізмів управління трафіком) намагаються уникати незалежно від точності прогнозу очікуваної якості обслуговування, яке, очевидно, при таких параметрах трафіку буде низьким.

    Не виключаючи відмічені кольором у таблиці 1 області з охопленого діапазону апроксимації (див. Далі), основна увага при дослідженнях результатів імітаційного моделювання приділялася області зміни значень навантаження р і показника Херста Н, при яких відносне середнє час очікування Тс їм не перевищувало величину 20.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Таблиця 1 - Табличні результати імітаційного моделювання

    _ (Результати розрахунку Tq їм) _

    Показник Херста Н

    0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

    0,05 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,009 0,063

    0,1 0,002 0,002 0,003 0,005 0,007 0,011 0,018 0,036 0,087 0,349

    0,15 0,013 0,016 0,019 0,024 0,032 0,045 0,068 0,116 0,241 0,888

    0,2 0,038 0,044 0,052 0,063 0,080 0,106 0,150 0,239 0,474 1,833

    0,25 0,078 0,089 0,103 0,121 0,149 0,191 0,264 0,413 0,817 3,516

    Н 0,3 0,134 0,15 0,171 0,200 0,241 0,304 0,418 0,648 1,309 6,826

    а 0,35 0,207 0,229 0,258 0,299 0,361 0,456 0,623 0,98 2,047 13,264

    г 0,4 0,298 0,33 0,374 0,432 0,515 0,653 0,894 1,422 3,164 27,48

    P 0,45 0,419 0,461 0,514 0,599 0,718 0,904 1,257 2,038 4,91 58,148

    у з 0,5 0,567 0,626 0,703 0,816 0,975 1,246 1,735 2,937 7,833 129

    до 0,55 0,762 0,838 0,946 1,095 1,316 1,71 2,45 4,274 12,721 337

    а 0,6 1,017 1,127 1,266 1,467 1,781 2,36 3,489 6,427 22,966 1274

    Р 0,65 1,366 1,494 1,684 1,996 2,505 3,256 4,924 9,942 41,907 3187

    0,7 1,845 2,049 2,356 2,755 3,423 4,628 7,44 15,411 81,37 16984

    0,75 2,531 2,894 3,218 3,882 5,001 7,029 12,147 30,239 203 18818

    0,8 3,571 4,103 4,692 5,905 7,766 11,155 21,004 64,153 557 42420

    0,85 5,641 6,320 7,531 9,319 12,858 21,126 43,75 157 1866 61224

    0,9 9,786 11,211 13,404 19,064 25,113 50,658 113,1 433 11922 64752

    0,95 23,377 28,793 36,223 53,916 94,954 150 845 1851 20908 69008

    На рис. 8 наведені зображення основних вікон завдання правила побудови графіків залежності Tq їм (р) при різних значеннях показника Херста. Правило автоматичного перебору значень р задавалося за допомогою вікна, аналогічного, показаному на рис. 7, але в трохи розширеному діапазоні [0,025; 0,95] і з більш дрібним кроком 0,025.

    Отримані результати імітаційного моделювання у вигляді графіків, побудованих в середовищі ЛпуЬо§ю, наведені на рис. 9. Не важко бачити, що дані графіки охоплюють всі значення результатів Tq їм, наведених в незафарбовані частини таблиці 1, доповнюючи їх проміжними значеннями при додаткових (проміжних) значеннях навантаження.

    Наведені на рис. 9 графічні результати імітаційного моделювання, отримані для СМО Р1М11 практично в усьому можливому і актуальному для практики діапазоні значень навантаження р і показника Херста Н, уточнюють і доповнюють раніше опубліковані результати [7, 16], отримані в середовищі МаШСаё для окремих значень показника Херста з великим кроком перебору значень навантаження р і з меншою точністю розрахунків (з меншим обсягом вибірки).

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Про Властивості cf ^ 1 = 3 в

    plot - Графік

    *

    Ім'я: plot? Виключити Про Властивості S3 j cf ?

    "Дані Про datasetl - Набір даних

    Про Значення Набір даних Тема: Парето імітація. Н = 0.8 Ім'я: datasetl Ш Відображати ім'я Про Виключити

    Набір даних: datasetl Видимість: С®1 Так

    ] Використовувати число виконаних ітерацій в якості значення по осі X

    Колір: ({? ^ | ^ |ПШ ^ І ^ Н ~ Значення по осі X: р

    Значення по осі Y: q

    Ф Додати елемент даних

    Зберігати до 1000 останніх вимірів

    Ефективно використовувати час

    ® Оновлювати дані автоматично

    Ф Оновлювати дані автоматично 0 Не оновлювати дані автоматично

    Відображати до 10000 останніх значень (тільки для елементів даних типу "Значення")

    - масштаб

    Горизонтальна шкала: ® Авто ® Фіксований

    Від: в До: 1 + 1

    Вертикальна шкала: Про Авто ® Фіксований

    Від: Е До: 20

    Мал. 8. Основні вікна завдання правила побудови графіків залежності Тч їм (р) при різних значеннях показника Херста

    навантаження р

    Мал. 9. Графічні результати імітаційного моделювання

    (Результати розрахунку Tq їм)

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    Найбільш близькими до отриманих результатів по повноті і точності є результати імітаційного моделювання, наведені в статті [17], отримані в середовищі GPSS World і представлені в зазначеній статті в табличному вигляді, подібному таблиці 1 (після транспонування), але з великим кроком по навантаженню ( 0,1) і не охоплюючи крайні значення р = 0,05, р = 0,95 і H = 0,95.

    Ще одним системним відмінністю результатів в [17] є те, що в якості показника своєчасності там розглядалося нормований час затримки Тзад, а не очікування, як в даній роботі (з позначенням Tq). Але нормировка виконувалася однаковим чином - щодо часу обслуговування тоб, яке (як і зворотна величина інтенсивності обслуговування ц) приймалося рівним 1. Відомо [10], що при такій нормировке зазначених показників своєчасності справедливо рівність:

    T = T -1. (4)

    q зад V /

    У таблиці 2 наведені значення різниці ATq їм = Tq їм-Tq ім.др результатів Tq їм, отриманих в даній роботі (таблиця 1) в збігається з [17] частини значень навантаження р і показника Херста, і «інших» результатів, наведених в [17], перерахованих за формулою (4) в Tq ім.др.

    Таблиця 2 - Різниця АТЧ їм двох наборів (своїх та інших) результатів імітаційного моделювання

    Показник Хе рста H

    0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9

    Н а г Р у з к а Р 0,1 0,002 0,001 0,001 0,002 0,002 0,001 0,002 0,003 0,007

    0,2 -0,002 0,002 0,002 0,002 0,003 0,006 0,000 -0,001 -0,006

    0,3 0,004 0,002 0,002 0,000 0,001 -0,006 -0,002 -0,002 -0,001

    0,4 0,002 0,000 0,002 0,002 0,002 0,003 0,014 0,022 0,064

    0,5 -0,003 0,002 0,003 0,006 0,007 0,016 0,005 0,057 0,233

    0,6 0,007 0,020 0,016 0,007 0,010 0,060 0,109 0,207 1,766

    0,7 0,035 0,049 0,070 0,045 0,056 0,018 0,150 -0,329 3,870

    0,8 0,011 0,088 0,046 0,235 0,226 0,255 0,914 3,173 94,4

    0,9 0,286 0,181 0,044 0,384 -1,397 3,048 -6,700 -141,4 -4619

    Як видно з таблиці 2, відмінність нових і раніше опублікованих результатів імітаційного моделювання дуже малий - в незафарбовані (актуальною для практики) частини результатів відмінність не перевищує десятих часток абсолютних значень розрахованих показників своєчасності. Отже, можна вважати, що статистичні залежності, отримані в даній роботі, в достатній мірі збігаються з результатами в [17], щоб вважатися однаковими для порівняння різних способів їх аналітичної апроксимації (завдання суворої статистичної оцінки близькості нових і колишніх результатів імітаційного моделювання в даній роботі не ставилася і не вирішувалася, так як вимагає додаткових вихідних даних). Далі при аналізі результатів аналітичного моделювання саме таке

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    збіг з результатами імітаційного моделювання (з відзнакою не більше десятих часток, візуально майже не помітним на наведених далі графіках) буде вважатися «досить точним».

    Таким чином, отримані результати імітаційного моделювання дозволили сформувати базис досить точних статистичних даних Тч їм (р, Н) з метою проведення апроксимації і отримання аналітичних виразів Тч ам (р, Н) для оцінки залежності Тг (р, Н) практично у всьому діапазоні можливих значень навантаження р і показника Херста Н.

    Аналіз відомих способів апроксимації результатів імітаційного моделювання в залежності від навантаження р при різних значеннях

    показника Херста Н

    Існує досить велика кількість способів апроксимації таблично заданих залежностей [21, 22], подібних розглянутим результатами імітаційного моделювання. Відмінною особливістю отриманих залежностей Тч їм (р, Н) є, з одного боку, повільне зростання розраховується показника Tq їм в області малих значень параметрів р і Н, а з іншого боку, різке збільшення даного показника в області великих значень зазначених параметрів. Ця особливість дозволила авторам статті [17] скористатися апроксимацією результатів імітаційного моделювання (відносного середнього часу затримки Тзад) експонентними функціями виду: Тзад = а | ехр (^ Р) + С > (5)

    де а, b, с - параметри апроксимуючої експоненційної функції, що залежать від значення показника Херста (точніше, від параметра форми а, однозначно пов'язаного з показником Херста Н виразом (2)). Причому для апроксимації залежностей кожного з даних параметрів від параметра а (пов'язаного з показником Херста Н) використовувалися аналогічні експоненціальні функції з трьома додатковими параметрами й, е, f (підбираються константами для кожного з трьох параметрів а, b, с) - для параметрів Ь і с, а для параметра а - у вигляді логістичної функції (у якій експоненціальна залежність виду (5) в знаменнику).

    Значення параметрів а, b, с обчислювалися в [17] на першому етапі апроксимації для дев'яти значень параметра форми ае {1,2; 1,3; ...; 2} (відповідних у зворотному порядку дев'яти значень показника Хёр-ста Чи не {0,5; 0,55; ...; 0,9}) в програмному середовищі МаШСаё за допомогою вбудованої функції ехрГ ^ за критерієм мінімуму середньоквадратичного відхилення (СКВ) результатів, розрахованих за формулою (5), від результатів імітаційного моделювання.

    Аналогічним чином за тим же критерієм за допомогою тієї ж вбудованої функції ехрГ ^ і додаткової (логістичної) функції в програмному середовищі МаШСаё на другому етапі в [17] обчислювалися параметри й, е, f для кожного з параметрів а, b, с (заданих в вигляді розрахованої на першому етапі табличній залежності від параметра форми а). Причому для параметра а розраховувався подвійний набір параметрів й, е, f, так як аппроксімі-

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    рующая логістична функція для мінімізації похибки обчислення даного параметра а у всьому діапазоні зміни параметра форми а була вимушено розділена на дві частини.

    Автори статті [17] не ставили перед собою завдання апроксимації функції у всьому діапазоні можливої ​​зміни навантаження і обмежилися діапазоном 0,6<р<0,9. Але навіть в цьому діапазоні відносна похибка навіть на першому етапі апроксимації становить десятки відсотків (в нижній частині значень навантаження 0,6<р<0,75), а за межами цього діапазону ще більше.

    На рис. 10 наведені графіки залежностей відносного середнього часу очікування (з урахуванням перерахунку за формулою (4)) від навантаження (з кроком 0,1) при чотирьох значеннях показника Херста, відповідні результатами імітаційного моделювання (пунктирні лінії) і результатами апроксимації експоненційної функцією (5) з чисельними значеннями коефіцієнтів а, b, с, наведеними в [17] (суцільні лінії).

    до m

    I

    го

    s

    *

    про

    ГС

    CD CL m

    про

    0

    1

    CD CL Про

    CD

    0

    1 _u с;

    CD

    Про

    0

    1

    20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

    1

    H = 0 8 в = 0,7

    H = 0,8 5 \ /

    \ \ 4____ V j

    \ * \ \ 1 7

    > * * H-- Г / = 0,5

    * + * * * * * / J

    Ф ф * - __ »

    - - »| ?? si S s - - -; ,: * * W - "~

    0 0.1 0.2 0.3

    0.4 0.5 0.6 Нагр вузька р

    0.7 0.8 0.9

    Мал. 10. Порівняння результатів імітаційного моделювання та аналітичної апроксимації експонентними функціями

    1

    Як видно з рис. 10, тільки в області великих значень навантаження (р = 0,8; 0,9) результати апроксимації досить точно збігаються з результатами імітаційного моделювання, як це і заявлено в [17]. Однак уже в середній області значень навантаження (р = 0,6; 0,7) похибка помітно зростає, а в нижній області (р <0,5) апроксимація в [17] не виконувалася.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    Слід зазначити, що у всьому діапазоні зміни навантаження ре [0; 1) використання експоненційних функцій (5) для апроксимації розглянутих показників своєчасності принципово неможливо, оскільки неможливо забезпечити відповідність результатів до відомим граничним значенням: Тд = 0 при р = 0 і Т ^ да при р ^ 1. В принципі першим граничним значення Т д = 0 при р = 0 можна забезпечити у формулі (5), якщо задати умову з = -а. Але при цьому залишиться тільки два варійованих параметра а і Ь, що в даному випадку явно недостатньо для забезпечення необхідної точності апроксимації. Друге ж граничне значення Т ^ да при р ^ 1 ніякими сполученнями фіксованих значень параметрів а, b, с забезпечити не можна.

    Зовсім інший підхід до аналітичного моделювання СМО Р1М11 використаний в [11, 18]. Для розрахунку показників своєчасності в зазначених джерелах запропоновано використовувати відому формулу Поллачи-ка-Хинчина, призначену для розрахунку середньої довжини черги Ь в СМО И / О / 1 (де О - вихідний потік з невідомим розподілом, але з відомим коефіцієнтом варіації С2 ^), узагальнюючи її до СМО 0/0/1 (з невідомим розподілом на вході, але з відомим коефіцієнтом варіації С2вх):

    2 С1 А- Г1

    Ь = ^ вх + ^ вих. (6)

    1 -р 2

    В даному випадку СМО Р / М / 1 вихідний потік має експоненціальне розподіл, для якого С2в ^ 1х = 1 [10]. Коефіцієнт варіації С2вх = А2 / т2 для вхідного потоку з розподілом Парето при 1<а<2 має невизначене значення, оскільки невизначене значення (формально негативне, а при крайніх значеннях а = 1 і а = 2 - нескінченне) має дисперсія А2 [10]:

    2 а-к 2

    а = -: -. (7)

    (А-1) 2 | (а-2)

    Для отримання невироджених результатів розрахунку за формулою (6) в [18] запропоновано розглядати в якості вхідного потоку обмежене розподіл Парето, у якого випадкова величина т не може приймати значення більше деякого максимального порога х. У цьому випадку функція розподілу (1) приймає наступний вигляд:

    (Кл а 1 - (до

    К (т) = 0 < до < х, а > 0. (8)

    до

    1

    V х у

    Формула розрахунку математичного очікування (2) для обмеженого розподілу Парето помітно змінюється [11, 18]:

    а х | до х | к / ​​г \\

    т = -.-. (9)

    0 а-1 ха-ка

    Формулу (9) можна привести до іншого виду, який дозволяє більш наочно побачити збіжність т0 (9) до т (2) при х ^ да:

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    fk \ a-1

    a • Ik

    1 -

    у x J _

    ° a-1 J k ^ a

    1 -

    Г k T-1 у x J

    m = --- = m--. (10)

    ° -I x, \ a f ^ a v J

    1 -

    у x J

    у x J

    Формула розрахунку дисперсії для обмеженого розподілу Парето має вигляд [11, 18] (після деяких спрощують перетворень):

    2 ja a г 2

    2 a x • k x • k 2 / ii \

    a = -.-- m • (Il)

    0 2-a xa- ka 0 V 7

    Коефіцієнт варіації Со2 для обмеженого розподілу Парето з урахуванням (9) і (11) розраховується за формулою:

    С2 = ° р2 = (а-1) 2 (х2 • ка-х - к2) • (ха-ка) 1 0 Т02 а- (2-а) '(ха • до - х • до-) 2' ()

    При х ^ да дисперсія сто2 (11), коефіцієнт варіації Со2 (12) і середня довжина черги Ь (6) прагнуть до нескінченності при будь-яких значеннях р і а (Н), але при кінцевих значеннях верхньої межі х результати розрахунку зазначених параметрів є невиродженими і їх можна порівняти з результатами імітаційного моделювання.

    Зауважимо, що середню довжину черги Ь нескладно перерахувати в відносне середнє час очікування Tq за формулою [10]:

    т = - '(13)

    р

    З урахуванням наведених формул (6) - (13) підсумкова формула розрахунку відносного середнього часу очікування для СМО Р1М11 з вхідним потоком, описуваних обмеженим розподілом Парето (на підставі [18]), буде мати вигляд:

    Т ^ о! ± 1 = (а-1) 2 (х2 • ка-ха-к2) • (ха-ка)

    9 про 1 -р 2 1 -р 2 • а ^ (2-а) (ха • до - х • ка) 2 '()

    Як зазначається в [11], гідністю описаної вище аналітичної моделі СМО Р / М / 1 є можливість інтерпретації меж області визначення до та х як мінімально можливого часу (к) між парафіями пакетів на вхід пристрою комутації та максимально можливого інтервалу (х) між парафіями пакетів, на підставі якого не приймається рішення про порушення з'єднання. Однак таке прикладне (суб'єктивне) тлумачення формальних параметрів обмеженого розподілу Парето не дозволяє виконати об'єктивне порівняння з результатами імітаційного моделювання, наведеними в цій роботі і в [17].

    Зауважимо, що при виконанні імітаційного моделювання СМО Р / М / 1 на комп'ютерах з кінцевою точністю обчислень і зберігання даних фактично, як раз, і використовується обмежене розподіл Парето. Як показано в [19], кінцівку чисельного представлення даних в комп'ютері не дозволяє генерувати псевдовипадкові числа у з рівномірним розподілом менше деякої величини УТТ = ?, в результаті чого відповідні випадок-

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    ні числа т з розподілом Парето не можуть бути більше деякої величини х = кв "1 / а. У той же час, як показали чисельні експерименти [19], навіть при не дуже високій точності в<0,001 (х-316 при к = 1 і а = 1,2) результати імітаційного моделювання в робочій області значень навантаження і показника Херста виходять досить стійкими і точними, несуттєво відрізняючись від результатів при менших значеннях і, відповідно, великих значеннях х ^ да.

    Зазначена слабка чутливість результатів імітаційного моделювання до конкретних значень верхньої межі х генеруються випадкових інтервалів часу між вхідними заявками суперечить високої чутливості результатів обчислень за формулою (14) до величини даного параметра (можна показати, що з ростом х значення Тч про збільшується пропорційно х2-а).

    З іншого боку, незважаючи на деяке протиріччя фізичним змістом, можна розглядати формулу (14) як варіант апроксимації результатів імітаційного моделювання аналітичним виразом з одним налаштованим параметром х, підбираючи величину якого можна спробувати забезпечити прийнятне збіг результатів розрахунку.

    Однак використання формули (14) в якості аналітичної моделі результатів розрахунку показника своєчасності Tq про при заданому навантаженні р вимагає додаткового узгодження цього навантаження з величиною коефіцієнта масштабу к. На жаль, скористатися для цього формулою (3) без внесення погрішностей в розрахунки не представляється можливим, так як математичне очікування випадкової величини з обмеженим розподілом Парето т0 залежить від до більш складним чином (9), включаючи додаткову залежність від х.

    0.7

    $ 0.65

    ГО I-

    3

    го 0.6

    I

    а)

    -8

    -8 зі про

    0.55

    0.5

    0.45

    |1-0,1

    H-0,8

    0 2х103 4х103 6х103 8х103 1х104

    Верхня межа х обмеженого розподілу Парето

    Мал. 11. Залежності коефіцієнта масштабу до від величини верхньої межі х обмеженого розподілу Парето

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Виділити зворотну залежність k (mo, х, а) з нелінійного рівняння (9) не вдалося. Але вдалося отримати чисельний розв'язок за допомогою процедури root (F (k), k) в середовищі MathCad. На рис. 11 наведені приклади розрахованих за допомогою зазначеної процедури графіків залежності коефіцієнта масштабу k (безперервні лінії) від величини верхньої межі x обмеженого розподілу Парето при р = 0,6 при двох значеннях показника Херста Н = 0,7 і Н = 0,8. Пунктирними лініями показані граничні значення коефіцієнта k при х ^ да, розраховані за формулою (2).

    На рис. 12 наведені графіки залежностей відносного середнього часу очікування Tq o від навантаження р, розраховані за формулою (14) (безперервні лінії) при тих же чотирьох значеннях показника Херста, як на рис. 10, разом з колишніми результатами імітаційного моделювання (пунктирні лінії). Значення параметрів х для кожної функціональної залежності підбиралися вручну, домагаючись збігу з результатами імітаційного моделювання в одній точці в області значень навантаження 0,6 ... 0,8. Наведені графіки відповідають підібраним значенням параметра хе {20; 80; 150; 200} для кожного значення показника Херста Чи не {0,5; 0,7; 0,8; 0,85}.

    навантаження р

    Мал. 12. Порівняння результатів імітаційного моделювання та аналітичної апроксимації функцією Поллачека-Хинчина

    Як видно з рис. 12, апроксимація результатів імітаційного моделювання функцією Поллачека-Хинчина забезпечує невисоку точність в переважній області значень навантаження, крім області малих значень (близьких до 0) і області середнього навантаження (або будь-який інший), в якій контролювалося точний збіг в одній точці при підборі відповідного зна-

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    ня єдиного параметра апроксимації х. У той же час дана апроксимація дозволяє отримати приблизно однакову наближення до істинної залежності у всій області можливих значень навантаження ре [0; 1).

    Перевагою аналітичної апроксимації за допомогою формули (14) є безпосередній облік показника Херста H (через параметр а). Однак через виявлену сильній залежності результатів розрахунку від величини параметра х, оптимальні значення якого залежать від показника Херста, для забезпечення можливості використання даної формули в усьому можливому діапазоні значень Hе [0,5; 1) потрібне проведення додаткових досліджень і пошук аналітичної залежності х (І) на другому етапі апроксимації. В рамках цієї роботи зазначені дослідження не проводилися, оскільки був знайдений інший більш точний спосіб апроксимації, розглянутий далі.

    Пропонований спосіб апроксимації результатів імітаційного моделювання в залежності від навантаження р при різних фіксованих значеннях показника Херста Н

    Крім формули Поллачека-Хинчина для подання функціональних залежностей різних показників якості обслуговування від параметрів трафіку і використовуваних мережевих механізмів використовуються багато інших наближені або точні (для певних умов) аналітичні вирази [10-12]. Для умов надходження на вхід пристроїв комутації самоподібного трафіку найбільш відомою є формула розрахунку середньої довжини черги, отримана Норрос [9] на основі подання самоподібного трафіку моделлю фрактального броунівського руху FBM. Різні варіанти інтерпретації цієї формули з перерахунком до різних показників своєчасності для СМО FBM / M / 1 і FBM / D / 1 наведені в [1, 2, 10-12]. Модифікація зазначеної формули для розрахунку відносного середнього часу затримки Tq в залежності від навантаження р і показника Херста H має вигляд [7]:

    1

    з • р2 (1 "я)

    Т =, (15)

    (1 -р) 1- *

    де c - додатковий параметр, який приймає значення з = 1 для FBM / M / 1 та з = 0,5 для FBM / D / 1 .

    У разі H = 0,5 (тобто за відсутності властивості самоподібності у вхідного трафіку) формула (15) перетворюється в відому формулу для СМО ^ / ^ / 1 і

    Т = р. (16)

    1 -р

    Зазначене вище перетворення формули (15) в (16) за рахунок її чутливості до показника Херста підказує можливість використання подібних функціональних залежностей для різних СМО, включаючи розглянуту в цій роботі модель P / M / 1. В результаті для апроксимації функціональних залежностей відносного середнього часу очікування Tq

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    T = K, (17)

    q ам n ЛЬ 'У1' /

    від навантаження р при різних значеннях показника Херста H пропонується використовувати наступну формулу у вигляді відносини двох показових функцій:

    с-р (1 -р) в

    де a, b, c - параметри апроксимуючої функції, що залежать (в загальному випадку) від значення показника Херста.

    Слід зазначити універсальність запропонованої функціональної залежності (17), яка при певних значеннях параметрів a, b, c перетворюється в багато відомі формули, що застосовуються в певних умовах. Зокрема, при завданні параметра з таким же, як в формулах (15) і (16), і при завданні інших параметрів a = 1 / (2 (1-H)) і Ь = Я / (1-Я) формула ( 17) перетворюється в (15), а при а = 1 і Ь = 1 - в формулу (16). Якщо ж поставити е = (С2 + 1) / 2 і а = 1 і Ь = 1, то формула (17) перетвориться в формулу (14).

    З огляду на досить високу точність (маленький розкид) результатів імітаційного моделювання і поставлену мету апроксимації шуканої залежності у всій області визначення, було прийнято рішення відмовитися від підбору значень параметрів а, b, с за критерієм мінімуму СКО. Тим більше, що готових процедур апроксимації показовими функціями виду (17) в середовищі МаШСаё немає, а розробляти власну обчислювальну процедуру досить складно. Виявилося, простіше скористатися способом апроксимації заданої (отриманої при імітаційному моделюванні) статистичної залежності Tq їм (р, Я) деякої аналітичної функцією Tq ам (р, Я) методом інтерполяції, що гарантує точне збіг результатів розрахунку в деякому обмеженому числі точок. У разі вдалої форми (види) апроксимуючої функції досить точний збіг результатів розрахунку може бути забезпечено автоматично і в інших точках, навіть в тих, для яких спочатку не було отримано результати імітаційного моделювання Tq їм (р, Я).

    Очевидно, при наявності трьох змінних параметрів а, b, с апроксимуючої функції Tq ам (р, Я) можна забезпечити її збіг зі статистичної залежністю Tqім (р, Я) в трьох обраних точках інтерполяції {^ 1, р1), (Tq2, р2 ), (^ 3, р 3)} (різних для кожного перебирати значення показника Херста Я). Крім того, відповідний вид функціональної залежності (17) від р незалежно від значень параметрів а, b, с (невироджених) забезпечує збіг результатів ще в двох точках: ^ = 0 при р = 0 і при р ^ 1 (асимптотично).

    При реалізації запропонованого способу апроксимації неясним є вибір трьох конкретних точок інтерполяції {^ 1, р1), ^ 2, р2), ^ з, рз)} (при кожному значенні Я). Можна показати, що при вдалому виборі апроксимуючої функції, досить точно збігається з деякою невідомою функцією ^ (р, Я), наближеною (але досить точної) оцінкою якої є статистична залежність Tq їм (р, Я), не має значення, які саме точки інтерполяції будуть обрані. Однак, через наявність все-таки деякого раз-

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    викиду результатів імітаційного моделювання і відсутності впевненості в дійсно вдалому виборі виду апроксимуючої функції вибір конкретні точок інтерполяції в деякій мірі буде впливати на підсумкову аппроксимирующую функцію Tq ам (р, Н) і на точність її збігу з Tq їм (р, Н).

    У даній роботі було прийнято суб'єктивне рішення - вибирати точки інтерполяції в середній частині контрольованої області зміни вихідних даних і результатів розрахунку в незаповнених клітинках таблиці 2, що потрапили на рис.9, дискретно відстежуючи вигин кожної лінії: одна точка до вигину на рівні Т ^ -1 , інша - на вигині на рівні Т ^ -4 і третя - після вигину на рівні Tq ~ 16.

    На підставі умови збігу функції ТС1 ним (р, Н) і функції Т ам (р, Н) (17) в зазначених трьох точках для кожного фіксованого значення Н (для кожного стовпця таблиці 2 і, відповідно, кожної лінії на рис. 9) можна скласти систему трьох нелінійних рівнянь з трьома невідомими параметрами а, Ь, с, вирішивши яку можна визначити ці параметри і потім використовувати вираз (17) для розрахунку відносного середнього часу очікування Tq в СМО типу Р / М / 1 при будь-якому значенні навантаження ре [ 0; 1) і врахований (при розрахунку а, Ь, с) показнику Херста Н.

    Завдяки вдалому увазі функції (17), систему трьох нелінійних рівнянь щодо шуканих змінних а, b, с можна звести до системи лінійних рівнянь в такий спосіб.

    Прологаріфміруем обидві частини рівності (17): '--р "

    ln (T) = ln

    q ам

    (I -p)

    ред

    У

    (1S)

    Після очевидних алгебраїчних перетворень з (18) отримаємо:

    а • ln (p) + b • (-ln (1 - р)) + ln (c) = ln (T9 аМ). (19)

    Переобозначив шукані змінні:

    Xj = а, x2 = b, x3 = ln (c). (20)

    Врахуємо задані значення аргументів {рг} і функції {TqsMi} = [Tqім} в трьох точках в / = 1 .. .3, наступних позначеннях постійних параметрів:

    ап = ln (Pi), а 2 = - ln (1 -Рг), ai3 = 1 b = ln (T МX * = 1,3 (21) В результаті з (21) отримаємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

    xfta + x2ai2 + х'а1' = b, * = 1,3. (22)

    Розв'язавши систему рівнянь (22) знайдемо значення змінних (х1; х2, х3), а потім, використовуючи зворотне перетворення щодо (20), знайдемо шукані параметри:

    а = х, b = х2, c = exp (х3). (23)

    Так як для апроксимації кожної лінії на рис. 9 описаним вище способом необхідні тільки три точки інтерполяції, то при підготовці вихідних даних з допомогою імітаційного моделювання необов'язково повністю заповнювати кожну колонку таблиці 2 (у всьому діапазоні зміни

    D0I: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    навантаження р з обраним кроком 0,05). Можна взагалі використовувати інші три точки, що не потрапили в таблицю, приділивши їм підвищену увагу, наприклад, задаючи більший обсяг вибірки для підвищення точності розрахунків. Саме таким чином задавалися вихідні дані про точках інтерполяції, представлені в таблиці 3.

    На рис. 13 наведені графічні результати аналітичного моделювання, отримані на першому етапі апроксимації за формулою (17) зі знайденими параметрами апроксимації (таблиця 3) для кожного фіксованого значення показника Херста. Візуально графіки на рис. 13, отримані за допомогою аналітичної моделі, практично не відрізняються від графіків на рис. 9, отриманих за допомогою імітаційної моделі.

    Порівняльний кількісний аналіз показав, що відмінність результатів в межах області охопленої на рис. 9 і рис. 13 не перевищують десятих часток, тобто знаходяться в межах статистичного розкиду результатів імітаційного моделювання (таблиця 2).

    навантаження р

    Мал. 13. Графічні результати аналітичного моделювання, отримані на першому етапі апроксимації при фіксованих

    значеннях показника Херста

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Таблиця 3 - Параметри апроксимації для різних значень H

    Показник Херста 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

    Точки інтерполяції Pi 0,6 0,59 0,56 0,54 0,51 0,47 0,42 0,36 0,27 0,16

    Tq ІМ1 1,018 1,056 1,000 1,036 1,033 1,026 1,020 1,047 0,999 1,041

    P2 0,81 0,8 0,78 0,75 0,72 0,68 0,62 0,54 0,43 0,26

    Tq їм2 3,909 4,104 4,087 3,875 3,973 4,008 3,955 3,934 4,085 4,082

    P3 0,93 0,92 0,91 0,89 0,86 0,83 0,78 0,70 0,57 0,36

    Tq ім3 16,123 15,791 16,301 16,069 14,801 15,835 16,688 16,283 15,618 15,130

    Параметри апроксимації a 1,446 1,335 1,506 1,534 1,389 1,259 1,104 1,050 1,031 1,014

    b 1,225 1,303 1,293 1,364 1,536 1,789 2,170 2,703 3,733 6,883

    c 0,691 0,673 0,828 0,914 0,883 0,857 0,812 0,918 1,192 1,995

    Для більш наочного порівняння на рис. 14 наведені накладені графіки залежностей, розрахованих за допомогою імітаційного та аналітичного моделювання для чотирьох значень показника Херста таких же, як на рис. 10 і 12, а також ще одного п'ятого значення, причому в розширеному діапазоні результатів розрахунку до величини 7 ^ = 100.

    Як видно з рис. 14, не дивлячись на вибір точок інтерполяції в області значень Тд<20, результати імітаційного й аналітичного моделювання досить точно збігаються і в розширеній області Тд<100, що свідчить про вдале виборі апроксимуючої функції (17).

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

    навантаження р

    Мал. 14. Порівняння результатів імітаційного моделювання Тд їм (в підписах: «.. .їм») і запропонованої аналітичної апроксимації Тд ам (в підписах: «.. .ан») при фіксованих значеннях показника Херста Н

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    Апроксимація результатів імітаційного моделювання в залежності від навантаження р і від показника Херста Н

    Отримані результати апроксимації результатів імітаційного моделювання за допомогою формули (17) і параметрів апроксимації, наведених у таблиці 3, є достатніми, щоб виступати в ролі аналітичної моделі, що дозволяє обчислювати показники своєчасності обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето у всьому діапазоні можливих значень навантаження і показника Херста.

    Але якщо значення навантаження можуть задаватися дійсно будь-якими в області ре [0; 1), то значення показника Херста Н можуть задаватися тільки дискретними в діапазоні від 0,5 до 0,95 з кроком 0,05. При цьому для кожного дискретного значення показника Херста треба підставляти в формулу (17) свій набір параметрів а, b, с з таблиці 3, що, звичайно, незручно.

    Для того, щоб можна було виконувати розрахунки для довільних (а не дискретних) значень показника Херста необхідно виконати ще одну апроксимацію - табличній залежності параметрів апроксимації а, b, с від показника Херста, представлену графічно на рис. 15.

    = Т го

    про

    ???3

    про

    CL з з 03

    lu CL I-

    CD

    го

    CL

    го 1 =

    b /

    - З "/

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    Показник Херста Н

    Мал. 15. Графічне представлення табличній залежності параметрів апроксимації а, b, с від показника Херста Н

    1

    За зовнішнім виглядом графіків на рис. 15 складно визначити функції, які найбільше підходять для їх апроксимації. За аналогією з другим етапом апроксимації в [17] можна було б припустити можливість використання експоненційних функцій для апроксимації залежностей Ь (Н) і с (Н), а для залежності а (Н) використовувати логістичну функцію.

    Однак зовнішній вигляд функції (15), яка виступила в ролі прототипу на першому етапі апроксимації, підказує можливість використання інших простіших функціональних залежностей на основі дрібно-раціональних або, точніше, дрібно-лінійних функцій:

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    F (H) =, (24)

    f + g • H

    де d, e, f, g - деякі речові числа (коефіцієнти).

    Наприклад, функціональну залежність параметрів a, b, c від H, відповідну формулою (15) (використовуваної для FBM / M / 1), можна представити у вигляді (24) при завданні наступних значень коефіцієнтів d, e, f g:

    a (H) = +1 +0 • H, d = 1 e = 0, f = 2, g = -2, 2 + (-2) • H

    b (H) = 0 +1 • H, d = 0, e = 1, f = 1, g = -1, (25)

    1 + (-1) • H

    c (H) = 1 + 0 ^ H, d = 1, e = 0, f = 1, g = 0. 1 + 0 • H

    На підставі зовнішнього вигляду графіків на рис. 15 було обрано такі варіанти частково заданих коефіцієнтів d, e, f, g для апроксимації функціональних залежностей a (H), b (H), c (H):

    a (H) = da + ga'H = d + e • H, d > 0, e < 0, f = 1, g = 0,

    V / j q a a 'a' a '- ^ a' © a '

    b (H) = d + e'H = d + e'H, db > 0, eb < 0, fb = 1, gb = -1, (26)

    V 7 1 + (-1) • H 1 - H ^

    fzj \ dc + e • H d + e • H

    c (H) = -c-c- = --c-, d >0, e <0, f = 1, g = -1.

    () 1 + (-1) • H 1 - H 'c, c, fc, gc

    З виразів (26) випливає, що для кожної шуканої функціональної залежності a (H), b (H), c (H) досить визначити по два параметра (коефіцієнта) (da, ea), (db, eb), (dc, ec).

    Як видно з формул (26), перша функція a (H) фактично включає тільки чисельник дробу лінійної залежності (24), тобто є звичайною лінійною функцією. Отже, завдання обчислення коефіцієнтів (da, ea) за критерієм мінімуму СКО функції a (H) від табличних значень {ai (Hi)}, i = 1 ... 10 (див. Таблицю 3), є стандартною задачею лінійної апроксимації, для вирішення якої в середовищі MathCad є вбудована процедура line (vx, vy) .

    Інші дві функції b (H), c (H) є нелінійними - гіперболічними, для яких в середовищі MathCad немає вбудованих процедур обчислення параметрів апроксимації. Однак відсутність шуканих коефіцієнтів в знаменнику дозволяє звести дані нелінійні функції до лінійним наступним чином.

    Нехай необхідно знайти коефіцієнти апроксимації d і e для наступної дрібно-лінійної функції:

    F (H) =. (27)

    1 - H

    Помноживши обидві частини рівняння (27) на (1-H) отримуємо нову функцію

    Z (H) = F (H) • (1 - H), (28)

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    яка, з одного боку, лінійно залежить від Н:

    г (Н) = й + е • Н, (29)

    а з іншого боку, може бути представлена ​​табличними значеннями Zi (Hl) = Fi| (\ - Hi), / = 1 .. .10. Вирішуючи задачу лінійної апроксимації табличних значень Zi (Hг|) рівнянням (29) описаним вище стандартним способом, отримуємо шукані значення коефіцієнтів й і е.

    В результаті обчислення коефіцієнтів (йа, еа), (й', еь), (йс, її) описаним вище способом отримуємо функції а (Н), видання (Н), с (Н) в наступному вигляді: а (Н) = йа + еа • Н = 2,121 -1,178 • Н,

    ,(Н) = й + е, а • Н = °, 871 - °, 559 • Н (30)

    1 - Н 1 - Н

    й + е • Н 0,668- 0,605 • Н

    с (Н) = --2- =-.

    1 - Н 1 - Н

    На рис. 16 представлені результати апроксимації табличних залежностей параметрів а, видання, з від показника Херста (безперервні лінії) аналітичними залежностями (30) (пунктирні лінії).

    Мал. 16. Апроксимація табличних залежностей параметрів а, видання, з від показника Херста Н (безперервні лінії) знайденими аналітичними залежностями (пунктирні лінії)

    Про якість апроксимації залежності параметрів а, видання, з від показника Херста Н слід судити не стільки за графіком на рис. 16, скільки за графіками підсумкової залежності розглянутого показника своєчасності Тч ам від навантаження р і показника Херста Н на рис. 17 і 18.

    На рис. 17 представлені графічні результати аналітичного моделювання, отримані на другому етапі апроксимації з використанням знайдених залежностей параметрів апроксимації від показника Херста. Візуально графіки на рис. 17, отримані за допомогою підсумкової аналітичної

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    моделі, практично не відрізняються від графіків на рис. 13, отриманих за допомогою аналітичної моделі на першому етапі, і від графіків на рис.9, отриманих за допомогою імітаційної моделі.

    Порівняльний кількісний аналіз показав, що відмінність результатів в межах області охопленої на рис. 9, 13 та 17 не перевищують десятих часток, тобто знаходяться в межах статистичного розкиду результатів імітаційного моделювання (таблиця 2).

    навантаження р

    Мал. 17. Графічні результати аналітичного моделювання, отримані з використанням знайдених залежностей параметрів апроксимації від показника Херста

    Для більш наочного порівняння на рис. 18 наведені накладені графіки розрахованих залежностей, побудованих шляхом імітаційного й аналітичного моделювання на другому етапі для п'яти значень показника Херста таких же, як на рис. 14, в розширеному діапазоні результатів розрахунку до величини 7 ^ = 100. Як і на рис. 14, результати імітаційного й аналітичного моделювання досить точно збігаються, що свідчить про вдале виборі аппроксимирующих функцій (30).

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Systems of Control, Communication and Security

    ISSN 2410-9916

    Мал. 18. Порівняння результатів імітаційного моделювання з результатами аналітичного моделювання з використанням знайдених залежностей параметрів апроксимації від показника

    Херста

    Досить висока точність отриманих результатів аналітичної апроксимації, надлишкова для практичного використання, з одного боку, і деяку незручність практичного використання формул (30) з шістьма четирёхразряднимі числами (коефіцієнтами), з іншого боку, підказує можливість спрощення (огрубіння) зазначених формул за рахунок скорочення значущих цифр у використовуваних числах і дещо іншого представлення даних чисел. В результаті проведених обчислювальних експериментів був запропонований наступний компромісний (між точністю і громіздкістю) вид підсумкової (спрощеної) формули розрахунку відносного середнього часу затримки Тч ам в пристрої комутації яка подається моделлю Р / М / 1 при відомих значеннях навантаження р і показника Херста Н вхідного трафіку з розподілом Парето:

    т = (6'7 -6 н) -р2'я (31)

    ам 8,7-5,6Н '^

    10 • (1 - Н) • (1 -р) 10 (1-Н) На рис. 19 і 20 наведені графіки, аналогічні графіками на рис.17 і 18, але побудовані з використанням спрощеної аналітичної моделі (29). Як видно з порівняння графіків на рис. 17 і 19, а також на рис. 18 і 20 візуально вони майже не відрізняються. Помітно лише невелике зміщення графіків при дуже великих значеннях показника Херста Н>0,85, що для практики несуттєво.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Про 0.05 O.i 0,15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.3 0.85 0.9 0.95 1

    навантаження р

    Мал. 19. Графічні результати аналітичного моделювання, отримані

    з використанням спрощеної формули

    Про 0.05 0.1 0.15 0.2 0,25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0,65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

    навантаження р

    Мал. 20. Порівняння результатів імітаційного моделювання з результатами аналітичного моделювання з використанням спрощеної формули

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    висновки

    Проведені дослідження показали, що в даний час відсутні аналітичні моделі обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето, що дозволяють оперативно і досить точно оцінювати очікувані показники якості при виборі та налагодженню механізмів забезпечення якості обслуговування трафіку з контрольованими параметрами навантаження і ступеня самоподібності у всьому діапазоні їх можливих значень.

    У даній роботі була поставлена ​​і досягнута мета розробки аналітичної моделі обслуговування мультимедійного трафіку з розподілом Парето, що дозволяє розраховувати показники своєчасності обслуговування трафіку в мережевому пристрої комутації за допомогою аналітичних виразів, отриманих на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання.

    Новизною роботи є знайдене аналітичний вираз на основі показових і дрібно-раціональних функцій для розрахунку відносного середнього часу очікування в усьому діапазоні можливих значень навантаження і показника Херста вхідного трафіку з розподілом Парето.

    На відміну від інших відомих результатів апроксимації статистичної залежності відносного середнього часу очікування від навантаження і показника Херста вхідного трафіку з розподілом Парето, які або є занадто наближеними, або справедливими в обмеженому діапазоні зазначених параметрів трафіку, отримані результати апроксимації охоплюють весь діапазон можливих значень даних параметрів і дозволяють отримувати результати розрахунків з високою точністю. Отримане аналітичне вираз може бути використано при виборі та налагодженню механізмів забезпечення якості обслуговування мультимедійного трафіку в мережевих пристроях комутації для оперативного прогнозу очікуваних показників якості обслуговування.

    Як напрямки подальших досліджень в даній області становить інтерес виконання подібної апроксимації на основі показових і дрібно-лінійних функцій для інших моделей систем масового обслуговування з самоподібним вхідним трафіком.

    література

    1. Шелухін О. І., Тенякшев А. М., Осін А. В. Фрактальні процеси в телекомунікаціях. - М .: Радіотехніка, 2003. - 480 с.

    2. Шелухін О. І., Осін А. В., Смольський С. М. Самоподібність і фрактали. Телекомунікаційні додатки. - М .: Физматлит, 2008. - 368 с.

    3. Новиков Е. А., Косяков Е. Н., Павлов А. Р. Динамічне резервування радіоресурсу в мережах супутникового зв'язку при передачі самоподібного трафіку // Праці НИИР. 2014. № 2. С. 9-60.

    4. Шелухін О. І., Осін А. В. Вплив самоподібності трафіку на оптимізацію параметрів телекомунікаційних мереж // Електротехнічні та інформаційні комплекси і системи. 2007. Т. 3. № 1. С. 55-59.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    5. Карташевський І. В., Буранова М. А. Вплив механізмів управління QoS на показники якості обслуговування мультимедійного трафіку мережі Internet // Т-comm - Телекомунікації та Транспорт. 2013. № 8. С. 54-60.

    6. Яновський Г. Г. Якість обслуговування в мережах IP // Вісник зв'язку. 2008. № 1. С. 1-16.

    7. Одоєвський С. М., Хоборова В. П. Методи прогнозування якості обслуговування самоподібного трафіка в пристроях комутації мультисервісної мережі // Праці навчальних закладів зв'язку. 2017. Том 3. № 3. С. 86-92.

    8. Агєєв Д. В., Ігнатенко А. А., Копилов А. Н. Методика визначення параметрів потоків на різних ділянках мультисервісної телекомунікаційної мережі з урахуванням ефекту самоподібності // Проблеми телекомунікацій. 2011. № 3. С. 18-37.

    9. Norros I. On the use of fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1995. № 13. P. 953-962.

    10. Крилов В. В., Самохвалова С. С. Теорія телетрафіка та її застосування. - СПб .: БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.

    11. Назаров А. Н., Сичов К. І. Моделі і методи розрахунку показників якості функціонування вузлового обладнання та структурно-мережевих параметрів мереж зв'язку наступного покоління. - Красноярськ: Вид-во ТОВ «Поліком», 2010. - 389 с.

    12. Будко П. А., Рісман О. В. Багаторівневий синтез інформаційно-телекомунікаційних систем. Математичні моделі і методи оптимізації: Монографія. - СПб .: ВАС, 2011. - 476 с.

    13. Колядин В. Л. Розподілу з нескінченної дисперсією і обмеженість класичної статистики // Радіотехніка. 2002. № 2. С. 4-11.

    14. Ложковський А. Г., Вербанов О. В. Моделювання трафіку мультисервісних пакетних мереж з оцінкою його коефіцієнта самоподібності // Наукові праці ОНАЗ ім. А.С. Попова. 2008. № 1. С. 57-62.

    15. Вухань К. В. Імітаційні моделі системи масового обслуговування типу Pa / M / 1, H2 / M / 1 і дослідження на їх основі якості обслуговування трафіку зі складною структурою // Системи управління, зв'язку та безпеки. 2015. № 4. С. 217-251.

    16. Одоєвський С. М., Сорокіна Е. А., Хоборова В. П. Варіанти розрахунку показників якості обслуговування інформаційних потоків у вузлах комутації мультисервісної мережі військового призначення // Праці навчальних закладів зв'язку. 2016. Том 2. № 4. С. 92-99.

    17. Вухань К. В., Макаренко С. І. Показники своєчасності обслуговування трафіку в системі масового обслуговування Pa / M / 1 на основі апроксимації результатів імітаційного моделювання // Системи управління, зв'язку та безпеки. 2016. № 1. С. 42-65.

    18. Симоніна О. А. Моделі розрахунку показників QoS в мережах наступного покоління: дис. ... канд. техн. наук: 05.12.13. - СПб, 2005. - 132 с.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    19. Одоєвський С. М., Кочешков А. К., Бусигін А. В. Особливості моделювання процесу обслуговування мультимедійного трафіку на основі розподілу Парето // Збірник праць XXV міжнародній науково-технічній конференції «Радіолокація, Навігація, зв'язок», присвяченій 160 річчя від дня народження А.С. Попова. - Воронеж, 2019. - С. 295-302.

    20. Бусигін А. В., Калюка В. І., Одоєвський С. М. Апроксимація статистичних характеристик процесу обслуговування мультимедійного трафіку на основі розподілу Парето // Збірник наукових статей XVI Міжнародній науково-технічній конференції «Нові інформаційні технології та системи». - Пенза, 2019. - С. 256-260.

    21. Турчак Л. І., Плотніков П. В. Основи чисельних методів. -М .: Фізматліт, 2003. - 304 с.

    22. Кірєєв В. І., Пантелєєв А. В. Чисельні методи в прикладах і задачах. - СПб .: Видавництво «Лань», 2015. - 448 с.

    23. Боєв В. Д. Комп'ютерне моделювання: Посібник для практичних занять, курсового та дипломного проектування в AnyLogic7. - СПб .: ВАС, 2014. - 432 с.

    References

    1. Shelukhin O. I., Tenyakshev A. M., Osin A. V. Fraktal'nye processy v telekommunikaciyah [Fractal processes in telecommunications]. Moscow, Radiotekhnika Publ, 2003. 480 p. (In Russian).

    2. Shelukhin O. I., Osin A. V., Smolsky S. M. Samopodobie i fraktaly. Telekommunikacionnye prilozheniya. [Self-similarity and fractals. Telecommunication applications]. Moscow, Fizmatlit Publ, 2008. 368 p. (In Russian).

    3. Novikov E. A., Kosyakov E. N., Pavlov A. R. Dinamicheskoe rezervirovanie radioresursa v setyah sputnikovoj svyazi pri peredache samopodobnogo trafika. [Dynamic reservation of radio resource in satellite communication networks during the transmission of self-similar traffic]. Trudy NIIR, 2014 року, no. 2, pp. 9-60 (in Russian).

    4. Shelukhin O. I., Osin A. V. Vliyanie samopodobnosti trafika na optimizaciyu parametrov telekommunikacionnyh setej. [Influence of traffic self-similarity on optimization of telecommunication networks parameters]. Electrotechnical Systems and Complexes, 2007, vol. 3, no. 1, pp. 55-59 (in Russian).

    5. Kartashevsky I. V., Buranova M. A. Vliyanie mekhanizmov upravleniya QoS na pokazateli kachestva obsluzhivaniya mul'timedijnogo trafika seti Internet [Influence of QoS control mechanisms on indicators of quality of service for multimedia Internet traffic]. Т-comm - Telecommunications and Transport, 2013, no. 8, pp. 54-60 (in Russian).

    6. Yanovsky G. G. Kachestvo obsluzhivaniya v setyah IP [Quality of service in IP networks]. Vestniksvyazi, 2008, no. 1, pp. 1-16 (in Russian).

    7. Odoevsky S. M., Khoborova V. P. Metody prognozirovaniya kachestva obsluzhivaniya samopodobnogo trafika v ustrojstvah kommutacii mul'tiservisnoj seti [Methods for predicting the quality of service of self-similar traffic in switching

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    devices of a multiservice network]. Proceedings of Telecommunication Universities 2017, vol. 3, no. 3, pp. 86-92 (in Russian).

    8. Ageev D. V., Ignatenko A. A., Kopylev A. N. Metodika opredeleniya parametrov potokov na raznyh uchastkah mul'tiservisnoj telekommunikacionnoj seti s uchetom effekta samopodobiya [Methodology for determining flow parameters at different sections of a multiservice telecommunication network taking into account the self-similarity effect]. Problemy telekommunikacij, Har'kov, 2011, vol. 5, no. 3, pp. 18-37 (in Russian).

    9. Norros I. On the use of fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1995, no. 13, pp. 953-962.

    10. Krylov V. V., Samohvalova S. S. Teoriya teletrafika i ee prilozheniya [Theory of teletraffic and its applications]. St. Petersburg, BHV-Peterburg Publ, 2005. 288 p (in Russian).

    11. Nazarov AN, Sychev KI Modeli i metody rascheta pokazatelej kachestva funkcionirovaniya uzlovogo oborudovaniya i strukturno-setevyh parametrov setej svyazi sleduyushchego pokoleniya [Models and methods for calculating the quality indicators of the operation of nodal equipment and structural-network parameters of next-generation communication networks]. Krasnoyarsk, Polikom Publ, 2010. 389 p (in Russian).

    12. Budko P. A., Risman O. V. Mnogourovnevyj sintez informacionno-telekommunikacionyh sistem. Matematicheskie modeli i metody optimizacii. Monografiya [Multilevel synthesis of information and telecommunication systems. Mathematical models and optimization methods. Monography]. St. Petersburg, Military Academy of Communications Publ, 2011. 476 p (in Russian).

    13. Kolyadin V. L. Raspredeleniya s beskonechnoj dispersiej i ogranichennost 'klassicheskoj statistiki [Distributions with infinite dispersion and the limitations of classical statistics]. Radiotekhnika, 2002 no. 2, pp. 4-11 (in Russian).

    14. Lozhkovsky A. G., Verbanov O. V. Modelirovanie trafika mul'tiservisnyh paketnyh setej s ocenkoj ego koefficienta samopodobnosti [Modeling the traffic of multiservice packet networks with an assessment of its self-similarity coefficient]. Proceedings of the O.S. Popov ONAT, 2008, no. 1, pp. 57-62 (in Russian).

    15. Ushanev K. V. Simulation Models of Queuing Systems of Type Pa / M / 1, H2 / M / 1 and Research on the Basis of their Quality of Service Traffic with a Complicated Structure. Systems of Control, Communication and Security, 2015-го, no. 4, pp. 217-251 (in Russian).

    16. Odoevsky S. M., Sorokina E. A., Khoborova V. P. Varianty rascheta pokazatelej kachestva obsluzhivaniya informacionnyh potokov v uzlah kommutacii mul'tiservisnoj seti voennogo naznacheniya [Options for calculating the quality of service of information flows in switching nodes of a military multiservice network]. Proceedings of Telecommunication Universities, 2016, vol. 2, no. 4, pp. 92-99 (in Russian).

    17. Ushanev K. V., Makarenko S. I. The Timeliness Indicators of Traffic Service in Queue Systems Pa / M / 1 Based on Approximation of Imitating Modeling

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Results. Systems of Control, Communication and Security, 2016, no. 1. pp. 42-65 (in Russian).

    18. Simonina O. A. Modeli rascheta pokazatelej QoS v setyah sleduyushchego pokoleniya. Dis. kand. tekhn. nauk [Models for calculating QoS indicators in next-generation networks. D.Ph. thesis]. St. Petersburg, Saint-Petersburg State University of Telecommunications by Professor M.A. Bonch-Bruevich, 2005. 132 p (in Russian).

    19. Odoevsky S. M., Kocheshkov A. K., Busygin A. V. Osobennosti modelirovaniya processa obsluzhivaniya mul'timedijnogo trafika na osnove raspredeleniya Pareto [Features of modeling the process of servicing multimedia traffic based on the Pareto distribution]. Sbornik trudov XXV mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii «Radiolokaciya, Navigaciya, svyaz '» [Proceedings of the XXV international scientific and technical conference "Radar, Navigation, Communication"], Voronezh, 2019, pp. 295-302 (in Russian).

    20. Busygin A. V., Kalyuk V. I., Odoevsky S. M. Approksimaciya statisticheskih harakteristik processa obsluzhivaniya mul'timedijnogo trafika na osnove raspredeleniya Pareto [Approximation of the statistical characteristics of the multimedia traffic service process based on the Pareto distribution]. Sbornik nauchnyh statej XVI Mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii «Novye informacionnye tekhnologii i sistemy» [Collection of scientific articles of the XVI International Scientific and Technical Conference "New Information Technologies and Systems"], Penza, 2019, pp. 256-260 (in Russian).

    21. Turchak L. I., Plotnikov P. V. Osnovy chislennyh metodov [Fundamentals of numerical methods]. Moscow, Fizmatlit Publ, 2003. 304 p. (In Russian).

    22. Kireev V. I., Panteleev A. V. CHislennye metody v primerah i zadachah [Numerical methods in examples and problems]. St. Petersburg, Lan Publ, 2015. 448 p. (In Russian).

    23. Boev V. D. Komp'yuternoe modelirovanie: Posobie dlya prakticheskih zanyatij, kursovogo i diplomnogo proektirovaniya v AnyLogic7 [Computer Modeling: A Guide for Practical Training, Coursework, and Diploma Design in AnyLogic7]. St. Petersburg, Military Academy of Communications Publ, 2014. 432 p. (In Russian).

    Стаття надійшла 12 лютого 2020 р.

    Інформація про авторів

    Одоєвський Сергій Михайлович - доктор технічних наук, професор. Професор кафедри мереж зв'язку і систем комутації. Військова академія зв'язку. Область наукових інтересів: мережі зв'язку, якість обслуговування, самоподібний трафік. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Бусигін Олександр Васильович - здобувач наукового ступеня кандидата технічних наук. Ад'юнкт кафедри мереж зв'язку і систем комутації. Військова академія зв'язку. Область наукових інтересів: мережі зв'язку, якість обслуговування, самоподібний трафік. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Адреса: 194064, Россия, г. Санкт-Петербург, Тихорецкий ін., Д. 3.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104

    Системи управління, зв'язку та безпеки №1. 2020

    Systems of Control, Communication and Security ISSN 2410-9916

    Approximation of statistical characteristics of the multimedia traffic service process based on the Pareto distribution

    S. M. Odoevsky, A. V. Busygin

    Problem statement: Multimedia traffic in modern telecommunication networks has the property of self-similarity, which significantly complicates the quality of service in network switching devices. The Pare-to distribution (values ​​of time intervals between incoming packets of incoming traffic) is often used to describe real self-similar traffic. The selection and adjustment of suitable mechanisms for ensuring the quality of service implies an operational forecast of the expected quality indicators, which for self-similar traffic with Pareto distribution can be performed only by means of simulation of the service process, since there are no exact analytical models. The aim of the work is to develop an analytical model of multimedia traffic service with Pareto distribution, which allows calculating the timeliness of traffic service in a network switching device using analytical expressions obtained on the basis of approximating simulation results. Methods used: To model the service of self-similar traffic in the network switching device, the model of the queuing system P / M / 1 was used. The relative average waiting time (relative to average service time) was considered as an indicator of the timeliness of traffic service. When deriving analytical expressions for the dependence of this indicator on the load and the Hurst indicator, we used a two-stage approximation based on the exponential and fractional rational functions of the results of simulation in the AnyLogic software environment. The novelty of the work is an analytical expression based on exponential and fractional rational functions for calculating the relative average waiting time over the entire range of possible load values ​​and the Hurst exponent of the input traffic with the Pareto distribution. Result. Using the P / M / 1 traffic simulation model, statistical dependencies of the relative average waiting time on load and the Hurst exponent were obtained in almost the entire range of possible values. A comparative analysis of statistical dependency data and known analytical dependencies based on exponential functions for FBM / M / 1 allowed us to make an assumption about the possible use of similar functions for approximating statistical dependencies for P / M / 1. The method of approximating the statistical dependencies at the first stage for different fixed Hurst exponents based on exponential functions with three parameters (depending on the Hurst exponent) at three selected interpolation points is presented. The computational procedure for determining the approximation parameters at the first stage for given statistical dependencies corresponding to specific values ​​of the Hurst exponent sorted with a fixed step in the entire range of possible values ​​is described. The obtained tabular dependences of the three indicated parameters on the Hurst exponent were approximated at the second stage by fractional rational expressions similar to similar expressions in the well-known formula for FBM / M / 1. Unlike other known results of approximating the statistical dependence of the relative average waiting time on the load and the Hurst indicator, which are either too close or valid in a limited range of load values ​​and the Hurst indicator, the approximation results cover the entire range ofpossible values ​​of the specified traffic parameters and with high accuracy. Practical relevance: the obtained analytical expression can be used to select and configure mechanisms for ensuring the quality of service of multimedia traffic in network switching devices for the operational forecast of expected quality of service indicators.

    Keywords: self-similar traffic, Pareto distribution, analytical model, quality of service.

    Information about Authors

    Sergey Mikhailovich Odoevsky - Dr. habil. of Engineering Sciences, Professor. Professor, Department of Communication Networks and Switching Systems. Military Academy of Communications. Research interests: communication networks, quality of service, self-similar traffic. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Alexander Vasilievich Busygin - Doctoral Student. Department of Communication Networks and Switching Systems. Military Academy of Communications. Research interests: communication networks, quality of service, self-similar traffic. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Address: Russia, 194064, Saint-Petersburg, Tihoreckiy prospekt, 3.

    DOI: 10.24411 / 2410-9916-2020-10104


    Ключові слова: самоподібний трафік / розподіл Парето / аналітична модель / якість обслуговування. / self-similar traffic / Pareto distribution / analytical model / quality of service.

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити