Розглянуто модель нормальних коливань ролика, рухається уздовж поверхні з постійною швидкістю, при наявності рідкого шару мастила. Розподіл тиску уздовж мастильного шару отримано в результаті інтегрування рівняння Рейнольдса з урахуванням як тангенциальной, так і нормальної швидкості ролика щодо опорної поверхні. Визначено коефіцієнт демпфірування мастильного шару, представляє собою коефіцієнт пропорційності між посиленням несучої здатності і нормальною швидкістю. Після переходу до безрозмірних змінних завдання зводиться до вирішення звичайного диференціального рівняння другого порядку з малим параметром при старшій похідній. Аналітичне рішення даного рівняння отримано методом асимптотичного розкладу по сингулярного малому параметру. Рішення містить як регулярні члени розкладання за ступенями малого параметра, так і погранслойние функції, швидко затухаючі з часом. Характерне час загасання цих функцій пропорційно малому параметру. На основі отриманого рішення, розглянуто перехідний процес до стаціонарного рішенням при різкому збільшенні зовнішнього навантаження. Характерна особливість даного процесу пікове підвищення тиску відразу після стрибка навантаження, який потім плавно релаксує до нового стаціонарного значення, відповідному зрослої навантаженні.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Іванов Віктор Андрійович, Єрка Микола Васильович


Analytical model of oscillations of the roller moving along a firm surface in a hydrodynamic lubrication regime

This article deals with the model of normal oscillations of the roller moving along the surface with a constant velocity in the presence of a liquid lubricant film. Pressure distribution along the lubrication film is obtained due to the integration of Reynolds equation, taking into consideration both tangential and normal velocity of the roller with respect to the surface. A damping coefficient of a lubrication film is determined as proportionality coefficient between carrying capacity amplification and normal velocity. After proceeding to nondimentional variables the problem is reduced to the ordinary differential equation of second order with small parameter multiplied on the highest order derivative. For this equation, analytical solution is derived by method of asymptotic expansion on a singular small parameter. This solution contains regular terms of series expansion parameter, as well as boundary layer functions decreasing rapidly with the course of time. Characteristic decreasing time for these functions is proportional to the small parameter. On the basis of obtained solution we analysed the transition process to steady state solution after sharp increase of the external loading. A peculiarity of this process is a rapid increase of the pressure peak just after the loading jump, which afterwards is gradually relaxing to the new stationary value corresponding to the increase of external loading.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2018


    Журнал: Математичне моделювання та чисельні методи


    Наукова стаття на тему 'АНАЛІТИЧНА МОДЕЛЬ КОЛИВАНЬ РОЛИКА, що рухається уздовж ТВЕРДОЇ ПОВЕРХНІ В РЕЖИМІ гідродинамічного мастила'

    Текст наукової роботи на тему «АНАЛІТИЧНА МОДЕЛЬ КОЛИВАНЬ РОЛИКА, що рухається уздовж ТВЕРДОЇ ПОВЕРХНІ В РЕЖИМІ гідродинамічного мастила»

    ?УДК 628.822

    Аналітична модель коливань ролика, що рухається уздовж твердої поверхні в режимі гідродинамічної

    © В.А. Іванов1, Н.В. Еркаев2

    1 Політехнічний інститут Сибірського федерального університету, Красноярськ, 660074, Росія 2 ІВМ СО РАН, Красноярськ, 660036, Росія

    Розглянуто модель нормальних коливань ролика, що рухається уздовж поверхні з постійною швидкістю при наявності рідкого шару мастила. Розподіл тиску уздовж мастильного шару отримано в результаті інтегрування рівняння Рейнольдса з урахуванням як тангенциальной, так і нормальної швидкості ролика щодо опорної поверхні. Визначено коефіцієнт демпфірування мастильного шару, який є коефіцієнтом пропорційності між посиленням несучої здатності і величиною нормальної швидкості. Після переходу до безрозмірних змінних завдання зводиться до вирішення звичайного диференціального рівняння другого порядку з малим параметром при старшій похідній. Побудовано аналітичний розв'язок даного рівняння методом асимптотичного розкладання по сингулярного малому параметру. Рішення містить як регулярні члени розкладання за ступенями малого параметра, так і погранслойние функції, швидко затухаючі з часом. Характерне час загасання цих функцій пропорційно малому параметру. На основі отриманого рішення, розглянуто перехідний процес до стаціонарного рішенням при різкому збільшенні зовнішнього навантаження. Характерною особливістю даного процесу є різке збільшення піку тиску відразу після стрибка навантаження, який потім плавно релаксує до нового стаціонарного значення, відповідному зростанню значенням навантаження.

    Ключові слова: мастильний шар, гідродинамічна мастило, коливання ролика, асимптотичний розклад.

    Вступ. Стаціонарна гідродинамічна задача контакту ролика з пластиною при наявності мастильного шару, що розділяє поверхні, розглядалася в багатьох публікаціях [1-6] і досить добре вивчена. Вперше ця задача була розглянута Капицею П. Л., який отримав аналітичне стаціонарне рішення для розподілу тиску в шарі при відсутності деформацій поверхонь контакту [4]. У роботах [6-7] розглянуті асимптотичні методи розв'язування стаціонарної задачі з урахуванням прогину опорної поверхні в разі дуже великих навантажень. У той же час нестаціонарні аспекти гідродинамічного контакту ролика з опорною поверхнею залишаються значною мірою мало дослідженими [8-9]. Ця тема важлива і актуальна, так як саме нестаціонарний контакт властивий Роликопідшипники,

    працюючим при змінних навантаженнях. При такій роботі підшипників відбуваються швидкі зміни зазорів між контактуючими тілами, які призводять до різкого зростання пікових значень тиску в змащувальному шарі.

    У даній роботі розглядається асимптотический аналітичний метод рішення нестаціонарної задачі гідродинамічного контакту ролика з твердою поверхнею, заснований на розкладанні по сингулярного малому параметру при старшій похідній [10, 11].

    Схема контактної взаємодії циліндричного ролика з твердою поверхнею, покритою шаром мастильного матеріалу, представлена ​​на рис. 1.

    Мал. 1. Схема розташування ролика і шару рідкого мастильного матеріалу

    Розрахунок тиску в змащувальному шарі. Розглянемо ідеалізовану модель контакту ролика з поверхнею при постійному коефіцієнті в'язкості в змащувальному шарі [12, 13]. У цьому випадку розподіл тиску визначається з рівняння Рейнольдса:

    де Р - тиск в змащувальному шарі, V - тангенціальна швидкість ролика щодо поверхні, - динамічна в'язкість масла при нормальному тиску, до - товщина мастильного шару, що залежить від деформації поверхонь. Ось х орієнтована уздовж поверхні контакту, як показано на рис. 1. Тут використовується система відліку,

    (1)

    в якій ролик має нульову тангенціальну швидкість, а поверхня, відповідно, рухається в напрямку X.

    У припущенні, що майданчик контакту циліндра і площини мала в порівнянні з радіусом кривизни Я, маємо такий вираз для товщини шару мастильного матеріалу [2]:

    І = Іт + (х - хт) 2 / (2 Я), (2)

    де Іт - мінімальна товщина мастильного шару, хт - координата точки мінімального зазору.

    Граничні умови в даному випадку мають такий вигляд [2]:

    с! Р

    Р (х> ) = Р (х2) = ^ (х2) = 0, (3)

    де х1 і х2 - вхідна і вихідна кордону мастильного шару.

    Для зручності виконання завдання вводимо безрозмірні змінні:

    ~ = (Х-ХП) / ^ Й ~ Я, д = РІт5 / Л і = ^

    Я. (4)

    Використовуючи (4), перетворимо вихідне рівняння Рейнольдса (1) до простішого вигляду:

    -Г н (~) з дд + 2и,

    дх ^ дх) дх

    (5)

    Н (~) = 1 + ~ 2/2.

    Положення вхідний і вихідний кордонів будемо характеризувати безрозмірними параметрами а і с. Значення параметра а залежить від кількості мастила. У разі багатою мастила вважаємо а = -так [2, 3, 14].

    Інтегруючи рівняння (5) і використовуючи нульове гранична умова (3) для похідної функції тиску при х = с, отримуємо диференціальне рівняння першого порядку:

    дд = Н (~) - Н (с) - 2а (х - с) = (~ 2 - с2) / 2 _ 2и (~ - с)

    ж = Нс ^) 3 Н ~ Т (1 + ~ 2/2) 3 "(1 + ~ 2/2) 3. ()

    Рішення рівняння (6) залежить від безрозмірного параметра і, який пов'язаний з нормальною швидкістю переміщення ролика. Інтегруючи рівняння (6) для різних значень і, знаходимо розподіл тиску в змащувальному шарі з урахуванням нормальної швидкості ролика (рис. 2).

    д (~) = -

    4 ^ 16

    2 ~ (з 2 (3 ~ 2 +10) - 2 ~ 2 + 4) г-/ 2 \

    1 (~ 2 у-1 (зс2 - Щ

    + 2)

    20с ~ 3 + 3л / 2с (~ 2 + 2) 2 агйаі

    Г ~ ^

    +

    +

    J

    + 20сх +16

    , (7)

    8 (~ 2 + 2)

    -2у

    0.25

    -5 _ -4

    х

    Мал. 2. Безрозмірне розподіл тиску в змащувальному шарі при різних і; 1) і = +0,1; 2) і = +0,05; 3) і = 0; 4) і = -0,05; 5) і = -0,1

    Визначення коефіцієнта демпфірування мастильного шару.

    За знайденими розподілів тиску визначаємо значення несучої здатності, що є функцією параметра та

    з

    Ж '(і) = | д (х, о) йх ,

    (8)

    Відповідно до формули (7), тиск лінійно залежить від параметра і, тому несучу здатність також представимо у вигляді лінійної функції наступного вигляду

    Ж '= Ж + Аі,

    (9)

    де постійні коефіцієнти Ж0 і А рівні 0,401 і 1,125,

    відповідно.

    Для переходу до розмірного виду використовуємо залежність:

    6уУЯ і_ '

    W = (10)

    А = А ~ ^ зг2, (12)

    З урахуванням співвідношень (4) і (10), перетворимо вираз (9) до розмірного виду:

    W = К ^ + А ^ V,, (11)

    т т

    Тут перший доданок виражає залежність стаціонарної несучої здатності від зазору при нульовій нормальної швидкості, а другий доданок враховує вплив нормальної компоненти швидкості. Коефіцієнт перед швидкістю будемо називати коефіцієнтом демпфірування А:

    6 ^ 3/2 ит

    Дослідження нестаціонарного процесу. Для дослідження нестаціонарного процесу запишемо рівняння руху ролика по нормалі до поверхні:

    Е2 І yoІ

    т-т + А (Іт) -т - Wo (Іп) = Р, (13)

    yoг2 Ег

    де: т - маса ролика, Р - зовнішнє навантаження.

    З урахуванням залежностей (11) і (12) рівняння (13) приймає наступний вигляд:

    т ^ А ^^ МЯ ^ р, (14)

    yoг2 І3'2 Ег 0 Іт

    т т

    Вважаючи рівними нулю похідні за часом, визначаємо рівноважне значення зазору:

    І = (15)

    Р

    Беручи / 0 в якості базового зазору, вводимо безрозмірні змінні:

    К = V ^ г = г'to, г0 = ^? Р ^ (16)

    Використовуючи нормування (16), наводимо рівняння динаміки до безрозмірного вигляду:

    8 / '+ - ^ - /' - - +1 = 0. до, зп V

    т? Ж

    8 =

    (17)

    А2? До

    Рівняння (17) визначає залежність зазору від часу в процесі встановлення стаціонарного режиму. Характерне час перехідного процесу визначається параметром й. Задамо початкові умови при г = 0.

    / (0) = / т / / 0 = / 0 *, / (0) = 0. (18)

    Так як параметр 8 при старшій похідній є малим, то рівняння називається «жорстким» [15] і його рішення може наближено представлено у вигляді асимптотичного розкладання по сингулярного малому параметру [8, 9, 16]:

    / '= / (Г', 8) + / (т, 8), т = г '/ 8,

    де перший доданок

    / (Г ', 8) = / 0 (ґ) + 8/1 (ґ) + ... + 8к ик (ґ) +...

    є регулярною частиною асимптотики, а другий доданок / (т, 8) = / 0 (т) + 8/1 (т) + ... + 8к кк (т) + ...

    є сингулярну частина асимптотики, яка також називається в літературі погранслойной асимптотикою. На прикордонні функції накладаються додаткові граничні умови загасання

    т ^ да, кк (т) ^ 0. (19)

    Для перших членів асимптотики маємо вирази:

    к = К0 (г) + в И1 (г) + в / (т) + В2 к2 (т) до = кг0 (г) + до (т) + в / (г) + в кг2 (т)

    кг = 1 ~ 1 (т) + до0 (г) + ~ 2 (т) + в до (г) в

    (20)

    Рівняння на функції регулярної і погранслойной частин асимптотики можна отримати шляхом підстановки виразу (20) в рівняння коливань (17) і угруповання окремо регулярних і по-гранслойних членів за ступенями малого параметра. Вважаючи рівними нулю згруповані при ступенях малого параметра вираження, одержуємо наступну систему рівнянь

    1

    1 єк

    ?0 до

    3/2

    0 -1 = 0.

    єк

    Ег '

    - +

    до,

    Ег '

    (Зк0 - 1) = - до 0 |

    + -

    yoк1

    Е2 /

    yoт2 (К0 *) 3/2 ет

    = 0,

    е к2 + 1 yoк2 _3 /

    yoт2 (К0 *) 3/2 ет

    2 (до *) 2

    ?1

    1т +1 (1 - зк *)

    (21) (22)

    (23)

    (24)

    Інтегруючи рівняння (21), отримуємо:

    до0 (ґ) =

    д / к; +1

    до0 -1

    Л * "+1

    до * -1

    +1

    -1

    (25)

    Функція (25) задовольняє початковій умові до (0), але дає ненульову початкову швидкість:

    2

    е

    е

    / 0 (0) =

    -1] (//;) 3'2. (26)

    7 * V 0

    V / 0

    Для компенсації цієї швидкості далі вводиться погранслойное рішення.

    Далі переходимо до визначення другого члена регулярної частини асимптотики. Для цього перетворимо рівняння (22) до вигляду:

    1 г 3 1 ~ 1 г г, ч

    - ТТ / 1 + 2 Т177 / 1/0 - -ГШ / 1 = V (27)

    «0 2 Т0 Т0

    де:

    «0 = (1 -« 0 Х / Т0. (28)

    Підставляючи (28) в (27) і виконуючи алгебраїчні перетворення, отримуємо:

    Т + - ^ (з «0 - = - / Т3 / 2. (29)

    2V «0

    Введемо заміну:

    2

    7-, й /, й / 0 й /, ^ й / 0 т- 1 yoк0 __

    / = -1 = - = / 0, / 0 = / 0 = - (30)

    Ж 'а / 0 Ж' А / 0 yoк0 2 yoк0

    Підставляючи (30) в (29), отримаємо такий вираз:

    ^ / + (3Т0 - 1) т! = - ^ до Т3 / 2 = -1 ^ / Г, (31)

    А 2Л до А2? До

    отже:

    yoк0 0

    / 02 = (1 - / 0) (1 - 2/0). (32)

    Вираз (31) з урахуванням (32) і набуде вигляду:

    ^ (1 - / 0) + - 4 = (3/0 -1 / = - 1 (1 - / 0) (1 - 2 / 0Хг. (33) ^ 0 2 ^ до0 2

    Розділивши рівняння (33) на коефіцієнт при старшій похідній, отримаємо диференціальне рівняння такого вигляду:

    Спільним рішенням рівняння (34) є функція:

    до 1 = О (К0) ехр

    1 + 1

    2 К * 4 - *)

    е *

    (35)

    Перетворимо підінтегральний вираз:

    1 до0 21

    (3 * -1) Л =} М 2 > К (1 - А 2 * 1 - *

    =

    11п * + 1п (1 - *)

    1п [(1 - * У *] |

    = 1п

    (1 К

    (1 к*

    (36)

    п

    0

    п

    А

    Тоді рівняння (35) з урахуванням (36) набуде вигляду:

    до! = О (до *) (1 ^ = О (кс) (1 - до *, (37)

    (1 - Кс N Ко

    де О - невідома функція, що визначається інтегруванням наступного рівняння:

    yoО (кс) = -1 (1 - 2к0_Х / к ^ (38)

    yoк0 2 (1 - до0) '

    Обчислюючи інтеграл, знаходимо:

    О (К0) = -1! (1 - ^ е * + З = - + 1 + СО. (39)

    2 ^ (1 - *) Л 2 /, 1 - *

    ?про? Про КО

    У подинтегрального вираженні другого доданка рівняння (39) застосовуємо заміну змінних і = V * і виконуємо

    алгебраїчні перетворення

    * | * І ^ р 1 р 1 | *

    I --йь = 21-: тёі = I --йі - I --йі - 21 йі. (40)

    1 - 5 1 - і 3 і + 1 3 і - 1

    Інтегруючи (40) і виробляючи зворотну заміну змінних, отримаємо вираз:

    оа / 0) = - 2/03/2 + 2 (к) 3/2 +<щ>-щ -1 ^ +1

    2 ж -1

    +

    (41)

    +1 и ^ 1 + С0.

    2 Л * -1

    З урахуванням рівняння (41) рівняння (37) набуде вигляду:

    / 1 = (1 - /) у / 0 V-2/03/2 + 2 (/ 0 *) 3/2 + ^

    1 л // 0 +1 1 • Ч // 0 + 1

    --ь ^^ р ^ - + - - + з,

    2 # 0 -1 2 # 0 * -1 0 у

    (42)

    Далі інтегруючи рівняння (23) з урахуванням умови загасання при т ^ да, отримуємо вираз

    ^ = С ехр (-т // Т2). (43)

    ат

    Постійна інтегрування С1 визначається з умови нульової початкової швидкості для повного вирішення, що представляє собою суму регулярної і погранслойной асимптотик. Так як перший член регулярної асимптотики дає нульове початкове значення швидкості

    <й (1] V1 - ,

    V "0 у

    а / 0 аг

    (/ 0 *) 3/2, (44)

    то підбираємо постійну С1 таким чином, щоб погранслойное рішення компенсувало значення (26) при т = 0

    С =

    - ,Л

    до *

    V до у

    (К)

    * \ 3/2

    (45)

    Підставляючи знайдене значення в вираз (44) і повторно інтегруючи, знаходимо вираз погранслойной частини асимптотики

    ~ = - (до * -,) (до *) 2 ехр

    Л

    (К)

    * \ 3/2

    + С2.

    (46)

    Константа С2 підбирається таким чином, щоб рішення задовольняло нульового граничній умові при т ^ да (С2 = 0).

    Знайдена погранслойная функція дає нульове обурення близько 8 в початковий момент часу, яке можна компенсувати підбором постійної інтегрування С0 в вираженні другого члена регулярної асимптотики.

    З = (1 - до {) (г) У7 (0

    (7о *) 3/2

    до * -1

    (Ь-ТТ

    (47)

    В результаті підсумкове вираз набуває вигляду:

    до 1 = (к * М) - Г2 (7о (^)) 3/2 -2 (до *) 3/2 -Л (0

    Л

    +1 ЬпЩ + 1 -1 1

    2 у / т -1 2

    до * -1

    у

    + (1 - к0а)

    (К) до * -1 |

    (1 - до *)

    + * До +

    (48)

    Знайдена регулярна частина асимптотики дає ненульову початкову швидкість близько 8, для компенсації якої вводиться погранслойная функція другого порядку. Для визначення цієї функції інтегруємо рівняння (24) з умовою загасання т ^ та й отримуємо вираз:

    х

    де:

    / 2 = ехр

    (/ 0 *)

    3/2

    с3 + Ат + в -

    - В (/ 0 *) 3/2 ехр

    (/)

    * 3/2

    Л = (1 - / 0 *) (2 - | / 0 *], В = (1 - / 0 *) (|

    3

    2

    (49)

    (50)

    Постійна інтегрування с3 визначається з умови нульової початкової швидкості:

    /? (0) + ^ йт

    = 0.

    (51)

    де:

    вд = (/ 0 *) 2 + 2/0 * (/ 0 * -1),

    (52)

    тоді:

    С3 = |

    (/ 0 *) 2 + 2/0 * (/ 0 * -1)

    ехр I

    (/ 0 *)

    '* \ 3/2

    Ат + В (/ 0 *) 3/2 - В (/ У2 ехр

    3/2

    (/ 0 *) '

    * 3/2

    (53)

    Інтегруючи рівняння (49) отримаємо вираз погранслойной функції другого порядку:

    / 2 = - (/ 0 *) 3/2 (С3 + В (^) 3/2) ехр

    (/ 0 *) 3/2 у

    - А (/ 0 *) 3/2 (1 + т) ехр

    Л

    (/ 0 *) 3/2

    + 2 В (/ *) 3 ехр

    Г

    (54)

    (/ *) 3/2

    Знайдена функція повністю задовольняє умові нульовою початковою швидкістю і дає дуже мале обурення початкового умови порядку 82. В принципі, його можна компенсувати урахуванням даль-

    2

    шого регулярного члена асимптотики порядку г .

    Після визначення всіх функцій регулярної і погранслойной частин асимптотики рівняння (20), побудуємо графік залежності зазору від часу для різних початкових значень (рис. 3).

    Мал. 3. Залежність зазору від часу при г = 0.01 для різних початкових умов; 1) й '(0) = 2; 2) Н \ 0) = 1.7; 3) Н \ 0) = 1.4

    Мал. 3 показує, що після будь-якого раптового стрибка навантаження, який характеризується безрозмірним параметром Ь \ 0), величина зазору прагне до нового рівноважного значення. При цьому швидкість зміни зазору тим більше, чим більше початкове відхилення зазору від рівноважного значення. На рис. 4 представлений графік зміни відносної швидкості зближення поверхонь між контактуючими тілами згодом для початкової умови І (0) = 2.

    Мал. 4. Відносна швидкість зміни зазору при початковому умови до '(о) = 2 для різних значень малого параметра;

    1) 8 = 0,04; 2) 8 = 0,02; 3) 8 = 0,01; 4) 8 = 0,005

    Мал. 4 показує, що збільшення параметра 8 призводить до більш плавного зміни вертикальної швидкості (єк '/&'). При цьому для дуже малих значень 8 швидкість зміни зазору зростає практично миттєво, що в свою чергу викликає різкий і великий стрибок тиску.

    Знаючи залежність зазору від часу, побудуємо графік зміни максимуму тиску (рис. 5).

    г /! 0

    Мал. 5. Залежність максимуму тиску від часу; 1) 8 = 0,04; 2) 8 = 0,02; 3) 8 = 0,01; 4) 8 = 0,005

    З рис. 5 видно, що процес встановлення можна охарактеризувати двома часовими інтервалами. На першому

    інтервалі відзначається дуже швидке зростання тиску. Амплітуда і тривалість росту тиску визначається параметром 8. Чим менше малий параметр 8, тим швидше збільшується з часом тиск в змащувальному шарі. На другому часовому інтервалі відбувається процес плавного спаду тиску до стаціонарного значення, відповідному сталому станом мастильного шару при постійному навантаженні. На рис. 6 представлений графік нелінійної залежності пікового значення тиску від величини початкового зазору, віднесеного до рівноважного значення. Даний графік показує, що чим більше малий параметр 8 і чим більше відхилення він рівноважного зазору, тим сильніше виявляється нелінійність збільшення пікового тиску. Величина hm / ho обернено пропорційна стрибка зовнішнього навантаження (стосовно діючих сил Fj / Fo).

    Мал. 5 і 6 показують, наскільки важливо враховувати нестаціонарні перехідні процеси в вузлах тертя. Наприклад, при повільному (квазістаціонарному) збільшенні навантаження в 2 рази максимальний по шару тиск збільшується в 2,2 рази. Однак після раптового стрибка навантаження в 2 рази під час перехідного процесу максимальне по шару тиск короткочасно зростає в 13 разів. Такий різкий стрибок тиску в змащувальному шарі між контактуючими поверхнями критично позначається на ресурсі всього вузла тертя.

    Мал. 6. Вплив початкового умови на зміну піку тиску для

    різних е; 1) е = 0,04; 2) е = 0,02; 3) е = 0,01; 4) е = 0,005

    Висновок. Побудовано асимптотичне аналітичний розв'язок задачі нестаціонарного контактної взаємодії ролика

    з твердою поверхнею при наявності мастильного шару в зоні контакту. Показано, що процес встановлення рішення після різкого стрибка навантаження характеризується двома часовими масштабами. Перший -визначає різке зростання максимуму тиску відразу після стрибка навантаження. Другий - відображає процес плавного релаксації тиску до стаціонарного значення, відповідному зростанню значенням навантаження. Отримані результати обґрунтовують важливість врахування нестаціонарних перехідних процесів у вузлах тертя при їх проектуванні і розробці математичних моделей [17,18]. Наприклад, в разі раптового стрибка навантаження в 2 рази максимальний по шару тиск під час перехідного процесу короткочасно зростає більш ніж на порядок. У той же час, при аналогічному повільному збільшенні навантаження максимум тиску зросте лише вдвічі. Такі значні перепади тиску, що виникають в перехідних нестаціонарних процесах, можуть викликати передчасний знос вузла тертя.

    ЛІТЕРАТУРА

    [1] Kantha Shoba M., Manikandan M. Parametric optimization of cylindrical roller bearing and compare with FEA. International Journal of Innovative Research in Technology, Science & Engineering, 2016, vol. 2, no. 5.

    [2] Галахов М. А., Усов П. П. Диференціальні та інтегральні рівняння математичної моделі теорії тертя. Москва, Наука. Фізматліт, 1990. 280 с.

    [3] Терентьєв В. Ф., Єрка Н. В. Трібонадежность підшипникових вузлів в присутності модифікованих мастильних композицій. Новосибірськ, Наука, 2003. 142 с.

    [4] Капіца П. Л. Гідродинамічна теорія змащення при коченні. Журнал тех. фізики, 1955, т. 25, № 4, с. 747-762.

    [5] Левандовський В.А., Нестеренко В.І., Гундарь В.П. Застосування гідродинамічної теорії мастила для прогнозування характеристик ротаційних гідравлічних гасителів коливань. Вісник СНУ ім. В. Даля, 2011, т.1, № 4 (158), с. 95-100.

    [6] Беспорточний А. І. Асимптотичні методи в контактній гідродинаміки: дис. канд. фіз.-мат. наук. Москва, МФТІ, 2014. 225 с.

    [7] Беспорточний А.І. Асимптотичні режими гідродинамічного контакту жорстких циліндрів, покритих тонкими пружними шарами. Праці МФТІ, 2011, т. 3, № 1, с. 28-34.

    [8] Ciulli E., Bassani R. Influence of vibrations and noise on experimental results of lubricated non-conformal contacts. Engineering Tribology, 2006, vol. 220, pp. 319-331.

    [9] Stacke L-E., Fritzson D. Dynamic behaviour of rolling bearings: simulations and experiments. Proc Instn Mech Engrs, 2001., vol. 215, pp. 499-508.

    [10] Васильєва А. Б., Бутузов В.Ф. Асимптотичні методи в теорії сингулярних збурень. Москва, Вища школа, 1990, 208 с.

    [11] Васильєва А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотичні розвинення розв'язків сингулярно обурених рівнянь. Москва, Наука. 1973. 272 ​​с.

    [12] Беспорточний А.І., Галахов М.А. Математичне моделювання в триботехнике. Москва, МФТІ, 1991, 88 с.

    [13] Галин Л. А. Контактні задачі теорії пружності і в'язкопружності. Москва, Фізматліт, 198О, 304 с.

    [14] Галахов М. А., Гусятник П. Б., Новіков А.П. Математичні моделі контактної гідродинаміки. Москва, Фізматліт, 1985, 296 с.

    [15] Тихонов А. Н. Системи диференціальних рівнянь, що містять малі параметри. Математичний збірник, 1952, т. 31 (73), № 3, с. 575-586.

    [16] Васильєва А. Б. Асимптотика рішень деяких задач для звичайних нелінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при старшій похідній. Успіхи математичних наук, 1963, 18, № 3, с. 15-86.

    [17] Александров А.А., Дімітріенко Ю.І. Математичне і комп'ютерне моделювання - основа сучасних інженерних наук. Математичне моделювання та чисельні методи, 2014 року, № 1 (1), с. 3-4.

    [18] Зарубін В.С., Кувиркін Г.Н. Особливості математичного моделювання технічних пристроїв. Математичне моделювання та чисельні методи, 2014 року, № 1, с. 5-17.

    Стаття надійшла о7.1о.2о18

    Посилання на цю статтю просимо оформляти наступним чином: Іванов В.А., Єрка Н.В. Аналітична модель коливань ролика, що рухається уздовж твердої поверхні в режимі гідродинамічної. Математичне моделювання та чисельні методи, 2018, № 3, с. 49-66.

    Іванов Віктор Андрійович - асистент кафедри «Прикладна механіка» Політехнічного інституту Сибірського федерального університету. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Єрка Микола Васильович - доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділом Інституту обчислювального моделювання Сибірського відділення Російської академії наук. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Analytical model of oscillations of the roller moving along a surface in a hydrodynamic lubrication regime

    © V.A. Ivanov1, N.V. Erkaev 2

    1 Polytechnic Institute of the Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660074, Russia 2 ICM SB RAS, Krasnoyarsk, 660036, Russia

    This article deals with the model of normal oscillations of the roller moving along the surface with a constant velocity in a presence of a liquid lubrication layer. Pressure distribution along the lubrication layer is obtained as a result of integration of the Reynolds equation taking into account both tangential and normal velocities of the roller with respect to the surface. A damping coefficient is determined as that of proportionality between the normal velocity and corresponding variation of the carrying capacity. After special normalizations, the problem is reduced to the stiff ordinary differential equation with small parameter multiplied on the highest order derivative term. For this equation, analytical

    solution is derived by method of asymptotic expansion on a singular small parameter. This solution contains regular terms of series expansion, as well as boundary layer functions decreasing rapidly with time. Characteristic decreasing time for these functions is proportional to the small parameter. The obtained analytical solutions is applied for the problem of roller relaxation to the new equilibrium state after sharp increase of the external loading. A peculiarity of this process is a rapid increase of the pressure peak just after the loading jump, which afterwards is gradually relaxing to the new stationary value corresponding to the increase external loading.

    Keywords: lubrication layer, hydrodynamic lubrication, roller oscillation, asymptotic series expansion.

    REFERENCES

    [1] Kantha Shoba M., Manikandan M. Parametric optimization of cylindrical roller bearing and compare with FEA. International Journal of Innovative Research in Technology, Science & Engineering, 2016, vol. 2, no. 5.

    [2] Galakhov M.A, Usov P.P. Differentsial'nye i integral'nye uravneniya ma-tematicheskoy modeli teorii treniya [Differential and integral equations of the mathematical model of the friction theory]. Moscow. Nauka, Fizmatlit Publ., 1990. 280 p.

    [3] Terent'ev V.F, Erkaev N.V. Tribonadezhnost 'podshipnikovykh uzlov v pri-sutstvii modifitsirovannykh smazochnykh kompozitsiy [Tribo-durability of bearing units in a presence of modified lubricant compositions]. Novosibirsk, Nauka, 2003. 142 p.

    [4] Kapitsa P.L. Zhurnal tekh. Fiziki - Journal of engineering physics, 1955, vol. 25, no. 4, pp. 747-762.

    [5] Levandovskiy V.A., Nesterenko V.I., Gundar 'V.P. VestnikSNUim. V. Dalya -Bulletin of the SNUDahl, 2011, vol.1, no. 4 (158), pp. 95-100.

    [6] Besportochnyy A.I. Asimptoticheskie metody v kontaktnoy gidrodinamike. [Asymptotic methods in fluid mechanics contact]: dis. kand. fiz.-mat. nauk. Moscow. MFTI, 2014. 225 p.

    [7] Besportochnyy A.I. Trudy MFTI- Proceedings of MIPT, 2011, vol. 3, no. 1, pp. 28-34.

    [8] Ciulli E., Bassani R. Influence of vibrations and noise on experimental results of lubricated non-conformal contacts. Engineering Tribology, 2006, vol. 220, pp. 319-331.

    [9] Stacke L-E., Fritzson D. Dynamic behaviour of rolling bearings: simulations and experiments. Proc Instn Mech Engrs, 2001., vol. 215, pp. 499-508.

    [10] Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie metody v teorii singulyarnykh vozmushcheniy [Asymptotic methods in the theory of singular perturbations]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1990. 208 p.

    [11] Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy. [Asymptotic expansions of solutions of singularly perturbed equations]. Moscow. Nauka, 1973. 272 ​​p.

    [12] Besportochnyy A.I., Galakhov M.A. Matematicheskoe modelirovanie v tribo-tekhnike. [Mathematical modeling in tribology] Moscow. MFTI, 1991. 88 p.

    [13] Galin L.A. Kontaktnye zadachi teorii uprugosti i vyazkouprugosti. [Contact problems of the theory of elasticity and viscoelasticity]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1980. 304 p.

    [14] Galakhov M.A., Gusyatnikov P. B., Novikov A.P. Matematicheskie modeli kon-taktnoygidrodinamiki. [Mathematical models of contact hydrodynamics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1985. 296 p.

    [15] Tikhonov A. N. Matematicheskii sbornik - Mathematical collection, 1952, vol. 31 (73), no. 3, pp. 575-586.

    [16] Vasil'eva A. B. Uspekhi matematicheskikh nauk - Russian Math., 1963, 18, vol. 3, pp. 15-86.

    [17] Aleksandrov A. A., Dimitrienko Yu.I. Matematicheskoe modelirovanie i chislen-nye metody - Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014 року, no. 1 (1), pp. 3-4.

    [18] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody-Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014 року, no. 1, pp. 5-17.

    Ivanov V.A. - assistant of «Applied mechanics» Polytechnic Institute of the Siberian Federal University. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Erkaev N.V. - doctor of physical and matematical sciences, professor, head of department, Institute of Computational Modelling, Siberian branch of the Russian Academy of Sciences. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.


    Ключові слова: мастильних СЛОЙ /гідродинамічного мастила /КОЛИВАННЯ РОЛИКА /асимптотичний розклад /LUBRICATION LAYER /HYDRODYNAMIC LUBRICATION /ROLLER OSCILLATION /ASYMPTOTIC SERIES EXPANSION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити