Розглядаються питання формування та побудови стійких алгоритмів фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою на основі динамічних фільтрів Колмановського типу. наводяться різні алгоритми динамічної фільтрації з точки зору аналізу їх обчислювальної стійкості. пропонуються процедури регуляризації рішення рівняння фільтрації на основі методу регуляризації і сингулярного розкладання. Пропоновані алгоритми дозволяють підвищити обчислювальну стійкість алгоритмів динамічної фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою і можуть бути використані в інформаційно-вимірювальних системах обробки результатів спостережень.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Ергашев Отабек Мірзапулатовіч, Ергашева Шахноза Мавлонбоевна


DYNAMIC FILTRATION ALGORITHMS TAKING INTO ACCOUNT THE INERTIA OF THE MEASURING DEVICE

The problems of the formation and construction of stable filtering algorithms are considered taking into account the inertia of the measuring device based on Kolman type dynamic filters. Various dynamic filtering algorithms are presented in terms of the analysis of their computational stability. Regularization procedures are proposed for solving the filtration equation based on the regularization method and singular decomposition. The proposed algorithms can increase the computational stability of dynamic filtering algorithms taking into account the inertia of the measuring device and can be used in information-measuring systems for processing the results of observations


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2020
    Журнал: Universum: технічні науки
    Наукова стаття на тему 'АЛГОРИТМИ ДИНАМІЧНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ З УРАХУВАННЯМ ІНЕРЦІЇ ВИМІРЮВАЛЬНОГО ПРИСТРОЇ'

    Текст наукової роботи на тему «АЛГОРИТМИ ДИНАМІЧНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ З УРАХУВАННЯМ ІНЕРЦІЇ ВИМІРЮВАЛЬНОГО ПРИСТРОЇ»

    ?A UNiVERSUM:

    №2 (71) _ТЕХНІЧЕСКІЕ НАУКІ_февраль, 2020 р.

    АЛГОРИТМИ ДИНАМІЧНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ З УРАХУВАННЯМ ІНЕРЦІЇ ВИМІРЮВАЛЬНОГО ПРИСТРОЇ

    Ергашев Отабек Мірзапулатовіч

    ст. викладач кафедри «Інформаційні технології», Ферганський філія ТУІТ ім. Мухаммада Ал-Хоразми,

    Узбекистан, м Фергана E-mail: otabek_84 @ umail. uz

    Ергашева Шахноза Мавлонбоевна

    асистент кафедри «Інформаційні технології», Ферганський філія ТУІТ ім. Мухаммада Ал-Хоразми,

    Узбекистан, м Фергана

    DYNAMIC FILTRATION ALGORITHMS TAKING INTO ACCOUNT THE INERTIA

    OF THE MEASURING DEVICE

    Ergashev Otabek Mirzapulatovich

    Senior Lecturer, Department of Information Technology, Ferghana branch of TUIT named after Muhammad Al-Khorazmiy,

    Uzbekistan, Ferghana

    Ergasheva Shakhnoza Mavlonboevna

    Assistant, Department of Information Technology, Ferghana branch of TUIT named after Muhammad Al-Khorazmiy,

    Uzbekistan, Ferghana

    Анотація

    Розглядаються питання формування і побудови стійких алгоритмів фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою на основі динамічних фільтрів Колмановського типу. Наводяться різні алгоритми динамічної фільтрації з точки зору аналізу їх обчислювальної стійкості. Пропонуються процедури регуляризації рішення рівняння фільтрації на основі методу регуляризації і сингулярного розкладання. Пропоновані алгоритми дозволяють підвищити обчислювальну стійкість алгоритмів динамічної фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою і можуть бути використані в інформаційно - вимірювальних системах обробки результатів спостережень.

    ABSTRACT

    The problems of the formation and construction of stable filtering algorithms are considered taking into account the inertia of the measuring device based on Kolman type dynamic filters. Various dynamic filtering algorithms are presented in terms of the analysis of their computational stability. Regularization procedures are proposed for solving the filtration equation based on the regularization method and singular decomposition. The proposed algorithms can increase the computational stability of dynamic filtering algorithms taking into account the inertia of the measuring device and can be used in information-measuring systems for processing the results of observations

    Ключові слова: алгоритми динамічної фільтрації, інерційність вимірювального пристрою, стійкість, регуляризація, сингулярне розкладання.

    Keywords: dynamic filtering algorithms, inertia of the measuring device, stability, regularization, singular decomposition.

    ВСТУП

    У прикладних задачах часто виникають питання синтезу інформаційно - вимірювальних систем обробки результатів спостережень за станом динамічної системи. Подібні завдання виникають па різних етапах проектування і найбільш важливе значення набувають при обробці результатів вимірювань експериментальних даних.

    Розглянемо питання формування процедури побудови моделей стану динамічних систем і алгоритмів фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою [1-3]. Такі випадки найчастіше виникають в прикладних задачах, коли спостережуваний сигнал контролюється інерційним вимірювальним пристроєм і схильний до віз-

    Бібліографічний опис: Ергашев О.М., Ергашева Ш.М. Алгоритми динамічної фільтрації з урахуванням інерції вимірювального пристрою // Universum: Технічні науки: електрон. наук. журн. 2020. № 2 (71). URL: http: // 7universum. com / ru / tech / archive / item / 8947

    № 2 (71)

    UNIVERSUM:

    ТЕХНІЧНІ НАУКИ

    лютий, 2020 р.

    дії шуму вимірювання. У цих випадках порушуються загальні умови фільтрації, що призводить до необхідності застосування способів перетворення векторно-матричних рівнянь, що описують динаміку вихідної динамічної системи і вимірювального пристрою. Для дотримання загальних умов фільтрації в даному випадку складається еквівалентна розширена динамічна система, що містить випадковий процес з корельованими значеннями [2-6]. Таким чином, в теорії динамічної фільтрації і прогнозування Кал-мана-Бьюси зокрема, представляють гаусові марковские випадкові процеси і випадкові послідовності. Практичне використання гаус-Совських марковских випадкових процесів визначається низкою факторів, до яких в першу чергу можна віднести можливість апроксимації з високою точністю реальних випадкових процесів гаус-Совських марковскими процесами; можливість зведення методом лінійних перетворень довільного гауссовского випадкового процесу з кінцевим числом похідних до еквівалентного гаусів-ському Марковському випадковому процесу; доцільність апроксимації негауссовских випадкових процесів гауссовский марковскими випадковими процесами [3,5,7,8]. Зазначені фактори, що визначають широку поширеність гауссовских марковских випадкових процесів, є найбільш важливими в прикладних питаннях побудови моделей лінійних динамічних систем [1,2,5].

    Статистична обробка інформації, заснована на теорії оптимальної фільтрації Калмана-Бьюси, передбачає технічну реалізацію на базі цифрових ЕОМ. У зв'язку з цим велике практичне значення набувають алгоритми фільтрації, що використовують рекурентні методи обробки статистичної інформації. Отже, особливий інтерес в прикладних задачах має дискретна оптимальна фільтрація [1,3,5]. Математичний опис дискретних фільтрів проводиться в рамках різницевих або рекурентних рівнянні, які тісно пов'язані з диференціальними рівняннями, що складають основу класичного дослідження безперервних процесів. Різницеві рівняння, що дозволяють досліджувати послідовність станів дискретних систем, легко реалізуються за допомогою цифрових ЕОМ, причому дискретний фільтр Калмана визначає тільки алгоритм обробки даних, призначених для реалізації на ЕОМ, і не характеризує тип ЕОМ і необхідне математичне забезпечення.

    У роботі розглядаються питання формування і побудови стійких алгоритмів фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою на основі динамічних фільтрів Калману-ського типу.

    ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

    Розглянемо задачу динамічного оцінювання:

    де х (- ^ - вектор стану, щ - г-мірна гаус-

    Совська чисто випадкова послідовність з нульовими середніми і матрицею ковариаций Q. Виміри описуються рівнянням

    z. = Hx + v, i = 0,1, ..., до

    (1)

    де ^ - ^ -мірний вектор виміру, V - ^ - мірна гауссовская марковська послідовність, яку можна отримати за допомогою багатокрокового формує фільтра

    V, + 1 + ? .

    Тут? - ^ -мірним гауссовская чисто випадкова послідовність з нульовими середніми і матрицею ковариаций О *.

    На основі принципу розширення моделей [2] розглядається завдання оцінювання можна привести до виду

    y + i = Лауг + Гац, Zi = Hay ^

    (2) (3)

    де

    Ла =

    "Л 1 0" "г! Про" wi

    0 ", Га = O" \ Е > ц = А

    Hа = [H \ Б].

    З рівнянь (2) і (3) видно, що вимірювання (1) по відношенню до вектора у є «точними», тобто вони не містять чисто випадкового шуму.

    Таким чином, особливістю даної задачі фільтрації є припущення про корре-лирование перешкоди вимірювань V. В цьому випадку при додатковому припущенні про гауссова х0, {щ}, {V} маємо [3,5]:

    хк = Е {хк \ 20, 2 до} .

    Оцінка хк має такі властивості []:

    1. Незміщеність:

    E {хк} = x;

    мінімальність дисперсій:

    = Min trE {(x, x,) (x, x, f}

    X + i = ЛГ + rW

    i = 0,1, ..., k -1

    де

    будь-яка несмещенная, лінійна по

    ^, ^ Оцінка для х ^; & - слід матриці. ці

    д

    № 2 (71)

    UNIVERSUM:

    ТЕХНІЧНІ НАУКИ

    лютий, 2020 р.

    властивості характеризує хк як найкращу лінійну несмещенную оцінку.

    Припустимо, що (до +1) -е спостереження здійснюється без помилок. тоді

    zk + i = Hk + i xk + i.

    (4)

    Співвідношення (4) можна інтерпретувати в такий спосіб

    або

    де

    R = H Г Qk ГT HT + Q, D = Г S R1, S = Q Гт HT,

    Ck = zk + i - W zk С = H * xk +% ,

    H = HA -W H і sk = H Гщ +4

    zk + i = Hk + i xk + i + vk + i,

    де - випадкове обурення, що має нульове середнє і нульову матрицю ковариаций.

    Тоді на основі відомих рівнянь фільтра Калмана [3,5,7] можна записати наступні рівняння багатокрокового фільтра для розширеної системи (2) і (3):

    уk

    = A "yk_х + Kl (Zk - HlAlyk_Y), (5)

    Kl = Ml (Hl) H aMl (Hl) Ml + l = AaPka (Aa) T + ГаОх (Га) p? = M1 - Ml (H l) т Г H lMl (Hl)

    де

    Q! 0

    (6) (7)

    H lMl, (8)

    Ql =

    о! Q *

    Аналізуючи співвідношення (6) і (8) можна бачити, що обчислення за цими виразами мають низьку обчислювальної стійкістю. Це обумовлено тим, що матриця ІаИ1 (Іа) може бути погано обумовленою, і внаслідок цього обчислення матриці, оберненої до ІаИ1 (Іа), може бути

    вельми неточним. По суті, це пов'язано з тим, що в фільтрі, описуваному виразами (5) - (8) має місце випадок, коли вимірювання здійснюються точно, тобто без помилок.

    Цих труднощів можна уникнути, якщо використовувати наступний динамічний фільтр [1,3]:

    Хк = Хк + Кк (Ск - І * Хк), (9)

    Хк + 1 = АХК + О (Ск - І 'Хк), (10) Кк = Рк (І *) ТЯ-1, (11)

    Рк = Мк - Мк (І •) Т (І * Мк (І *) + Я) -1 І * Мк, (12)

    Мм = (А - ГІ ") р (А - ОІ ') + ЩГТ - DRDT,

    (13)

    де Я, О і S визначаються рівняннями.

    Однак в цьому завданні є дві особливості: вбрання вимір З по відношенню до дійсного виміру гк запізнюється на один крок; шуми в системі та вимірах коррелірованни. Розмірність цього фільтра п, тоді як розмірність фільтра (5) - (8) для розширеного вектора стану дорівнює (n + p). Вимірювання гк можна розглядати

    як р точних вимірювань, що містять (п + р) змінних Хк і ук .

    У разі, якщо в рівняннях (11) і (12) матриця Я = НГО ^ Нт + О * невироджених, процес обчислення компонент До і О не є погано обумовленою. У разі виродження R доцільно використовувати фільтр виду [3]:

    * К = Хк + Кк (С - І * Хк),

    Хк + 1 = АХК + Г? [Н * Ик (НУ + Я] -1 (Ск - Н%), (14) Кк = Мк (ІУ [І * Мк (ІТ + Я] 1, (15)

    Рк = (Е - кКи *) Мк (Е - кКи *) + КкЯК1, (16)

    Mk + i = APkAT + FQFт -rs [H * Mk (H *) T + + R] ~ i ST Гт - AKSт Гт - rSKT AT

    (17)

    РІШЕННЯ ЗАДАЧІ

    Для забезпечення стійкості процедури фільтрації виявляється бажаним замість рівнянь (6), (8) і (14), (15) і (17) використовувати відповідно наступні співвідношення:

    Kl = Ml (H) T- (Ck), P = Ml - Ml (Hf - glC) - HMl, gl (Ck) = (Ck + a /) - I, Ck = [Hl Ml (Hl) T]; Axt + ГЗ - gl (Ck) (Ck - H * xk),

    vk + i

    Kk = Mk (H *) T. gl (Ck)

    Mk + i = APkAT + FQFT - FS - ga (Ck) ST ^ - AKk ST ^ - rSKT AT 'gl (Ck) = (C + 11У \ C'k = [H * Mk (H *) T + R ]

    де gaa (Ск) і ga (Ск) - породжують системи

    функцій для методу регуляризації [9,10], а - параметр регуляризації, I - одинична матриця. Тут параметр регуляризації а доцільно вибирати на

    № 2 (71)

    UNIVERSUM:

    ТЕХНІЧНІ НАУКИ

    лютий, 2020 р.

    основі способу модельних прикладів або моделювання [11].

    Якщо матриця (ІаИк (Іа) т) -1 не існує, то це означає, що в (4) входять деякі рівняння (а саме р - г рівнянь, г - ранг матриці Ік + Д лінійно залежні від г інших. Тому ці рівняння можна виключити з (4). Після виключення * "

    замість 2к + 1 - отримуємо гк + 1 - г -мірний вектор, і тепер можна вважати існуючої подібну зворотну матрицю в новому завданні.

    Для реалізації алгоритмів стійкої фільтрації (5) - (8) і (14) - (17) також виявляється доцільним використовувати концепції сингулярного розкладання [12-14]. Сингулярне розкладання дозволяє знайти ортогональні базиси різних векторних просторів розкладається матриці. При цьому використовуються різні властивості сингулярного розкладання, наприклад, здатність показувати ранг матриці, наближати матриці даного рангу, обчислювати зворотні і псевдообернена матриця.

    Розглянемо процедуру стійкої фільтрації на основі рівнянь (5) - (8) з використаному ортогональної матриці ^ [12,14]. Наведемо З до діагонального вигляду

    Кк - diag (4,4j, ..., А, 0, ..., 0) =

    0! 0

    Виходячи з матриці Ак можна написати

    Л1) _ J _ (т (1) Т (1) \ т Zk = skzk = (Zk, 1, Zk, 2)

    нк '- 4H = (н ™, HT)

    відповідно.

    Беручи до уваги, що 8ткСкзк = Ак, можна

    написати ск = = М1. Тоді З + к = ^ д ЛЛ [Д що відповідає одночасно таким рівнянням, які єдино визначають псевдообернених до Ск матрицю:

    з с - I, СКСК + - I,

    Ck CkCk = Ck |

    з з + с = з

    CkCk сk сk .

    Таким чином, можна прийти до оцінки виду:

    z (1) = H -) - н

    (1)

    яка залежить від і .

    ВИСНОВОК

    Наведені алгоритми дозволяють підвищити обчислювальну стійкість алгоритмів динамічної фільтрації з урахуванням інерційності вимірювального пристрою і можуть бути використані в інформаційно-вимірювальних системах обробки результатів спостережень за станом динамічної системи.

    і

    k, 1

    де z, H {к) (i = 1, 2) визначаються на основі

    рівнянь [4,12]

    Список літератури:

    1. Bryson Jr A. E. Yu-Chi-Ho. 1975. Applied Optimal Control: Optimization, Estimation, and Control. Електронний ресурс: URL: https://www.amazon.com/Applied-Optimal-Control-Arthur-Bryson/dp/0891162283

    2. Венгеров А.А., Щаренскій В.А. Прикладні питання оптимальної лінійної фільтрації. -М .: Енергоіз-дат, 1982. - 192 с. Електронний ресурс: URL: https://books.google.co.uz/books

    3. Леондеса К. Т Фільтрація і стохастичне керування в динамічних системах. / Под ред. з англ., - М .: Світ, 1980. - 407 с. Електронний ресурс: URL: https: //www.dissercat.com/content/matematicheskoe-modelirovanie-i-identifikatsiya-nestatsionarnykh-m-sistem-obrabotki-informat

    4. Лоан Н.Т., Шон Х.Х. Про оптимальної фільтрації при корельованих шуми і вироджених кореляційних матрицях // Автоматика і телемеханіка. - 1982. - №. 5. - С. 107-116. Електронний ресурс: URL: https://www.dissercat.com/content/differentsirovannaya-sistema-tekhnicheskogo-obsluzhivaniya-i-remonta-napolnykh-ustroistv-zhe

    5. Огарков М.А. Методи статистичного оцінювання параметрів випадкових процесів. -М .: Енергоатоміз-дат, 1990. - 208 с. Електронний ресурс: URL: http://padabum.com/d.php?id=35667

    6. Синіцин І.М. Фільтри Калмана і Пугачова. Вид-во: Логос, 2006. - 640с. Електронний ресурс: URL: https://www.studmed.ru/sinicyn-in-filtry-kalmana-i-pugacheva-uchebnoe-posobie_96bfab2a4b5.html


    Ключові слова: АЛГОРИТМИ ДИНАМІЧНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ / Інерційні ВИМІРЮВАЛЬНОГО ПРИСТРОЇ / СТІЙКІСТЬ / регуляризації / сингулярного розкладання / DYNAMIC FILTERING ALGORITHMS / INERTIA OF THE MEASURING DEVICE / STABILITY / REGULARIZATION / SINGULAR DECOMPOSITION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити