В роботі запропоновано підхід до вирішення завдання пошуку оптимального управління хіміко-технологічного процесом в каскаді реакторів, заснований на принципах динамічного програмування і максимуму Понтрягіна. Розроблено алгоритм рішення двоетапної задачі оптимізації на основі методів Ньютона та ітерацій в просторі управлінь. Проведено обчислювальний експеримент для процесу димеризації? -Метілстірола в присутності цеоліту NaHY.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Байтімерова А. І., Мустафіна С. А., Співак С. І.


The solution method of optimal control of reactor cascade based on the principles of the dynamic programming and Pontryagin maximum has been considered. Solution algorithm of double-step problem of optimization based on the Newton method and the method of iterations in the control space has been developed. Numerical experiment of the process of dimerization of? -Methylstyrene on the NaHY zeolite has been performed.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2008
    Журнал: Вісник Башкирського університету

    Наукова стаття на тему 'Алгоритм розв'язання задачі оптимізації процесу зі змінним реакційним об'ємом в каскаді реакторів'

    Текст наукової роботи на тему «Алгоритм розв'язання задачі оптимізації процесу зі змінним реакційним об'ємом в каскаді реакторів»

    ?УДК 517.977.5: 66.011

    АЛГОРИТМ РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ ОПТИМІЗАЦІЇ ПРОЦЕСУ зі змінним реакційного об'єму в каскаді РЕАКТОРІВ

    © А. І. Байтімерова *, С. А. Мустафіна, С. І. Співак

    Інститут нафтохімії і каталізу РАН Росія, Республіка Башкортостан, 450075 г. Уфа, пр. Жовтня, 141.

    Тел. / Факс: +7 (347) 235 62 55.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    В роботі запропоновано підхід до вирішення завдання пошуку оптимального управління хіміко-технологічного процесом в каскаді реакторів, заснований на принципах динамічного програмування і максимуму Понтрягіна. Розроблено алгоритм рішення двоетапної задачі оптимізації на основі методів Ньютона та ітерацій в просторі управлінь. Проведено обчислювальний експеримент для процесу димеризації а-метілстірола в присутності цеоліту NaHY.

    Ключові слова: технологічна оптимізація, динамічне програмування, принцип максимуму, чисельні алгоритми.

    В ході дослідження та підвищення ефективності чинного реактора виникають наступні завдання: оптимальне здійснення хімічного перетворення в реакторі, підвищення якості продукту, використання нової сировини, забезпечення сталого виробничого рішення і підвищення надійності роботи апарату.

    При вирішенні подібного роду завдань слід розрізняти два етапи оптимізації: теоретичний і технологічний. Перший етап спрямований в основному на з'ясування екстремальних властивостей хімічного виробництва. Істотна особливість цього етапу - це абстрагування від можливої ​​апаратної реалізації отриманої відповіді. Сенс і мета другого полягає в підборі оптимальних, конструктивних і режимних параметрів реактора: изометрических розмірів, форм, вузлів, швидкості подачі, температури, тиску, концентрації і т. Д.

    Завдання промислового каталізу і хімічної технології пов'язані з необхідністю вирішення систем нелінійних диференціальних рівнянь, які часто мають жорсткістю і, в зв'язку з цим, чутливі до кроку інтегрування [1]. Такі системи накладають певні умови на вибір методу інтегрування. Тому набір методів повинен бути досить великий, що містить як явні, так і неявні методи [2]. У той же час для вирішення завдання оптимального управління виникає необхідність розробки алгоритмів, що дозволяють проводити не тільки розрахунок реальних апаратів, а й знаходити оптимальні параметри.

    Схему розробленого алгоритму наведемо на прикладі рішення задачі технологічної оптимізації процесу димеризації а-метілстірола в присутності цеоліту №НУ. Продукти реакції -дімери а-метілстірола - представляють великий інтерес для промисловості. Лінійні димери -4-метил-2,4-діфенілпентен-1 (а-димер) і 4-метил-2,4-діфенілпентен-2 (Р-димер) - використовуються в

    Як регулятори росту полімерних ланцюгів при отриманні пластифікаторів полістиролу і в якості основи для синтетичних мастил [3], циклічний димер (1,1,3-триметил-3-феніліндан) використовується як компонент реактивного палива і як пластифікатор оргскла.

    Схема хімічних перетворень і рівнянь швидкостей стадій реакції димеризації а-метілстірола мають вигляд [4]:

    2А1 А 2,

    2А1 А3,

    2А1 - А 4,

    А2 ^ А3,

    А 2 - А 4,

    А 3 - А 4,

    А 1 + А 2 - А 5, А 1 + А 3 - А 5, А 1 + А 4 - А 5,

    W1 = к1 Х12 - к10 Х2,

    W2 = к2 Х12 - К11 Х3,

    W3 = к3 X2,

    W4 = к4 Х2 - к12 Х3,

    W5 = кз х 'W6 = к6 Х3,

    w7 = К7 х х2, w8 = К8 х X, w9 = К9 х х4,

    де Wj - швидкість у другій стадії, у = 1,9, кмоль-м-3-ч-1; А1 - реагенти (А1 а-метилстирол, А2 - а-димер, А3 Р-димер, А4 - циклічний димер, А5- тримери); X -концентрації реагентів, 1 = 1,5, кмоль-м-3; константи швидкостей до, 1 = 1,12 залежать від температури Т відповідно до рівняння Арреніуса:

    _ е_

    К = к0е КТ ,

    - енергія активації реакції, кДж-моль-1; Т-температура, К; К - універсальна газова постійна, Дж-моль-1-К-1.

    Математична модель процесу димеризуется-ції а-метілстірола в реакторі ідеального змішування (РІС) представляється системою:

    dxi

    dt

    dN

    dt

    F - xFi

    N

    N

    де

    F, = Уп

    j = 1

    w

    ij j

    ,i = 1,5,

    = F

    N

    5 9

    fn = УУП w

    dT 9 Cv - = У Q, w, + p dt J

    i = 1j = 1 a S

    ij j

    j = 1

    C

    (Tx - T),

    0

    9

    * Автор, відповідальний за листування

    граничними умовами

    при

    і = 0:

    ХГ = Х ° ^ = №, Т = Т0, ТХ = Т0, де X ,. - концентрація, -го компонента в мольних частках; - сте-

    хіометріческіе коефіцієнти; Wj - наведені швидкості реакцій, ч-1; N - відносна зміна числа молей реакційного середовища; Ср - молярна теплоємність реакційного середовища, кДж * кмоль_1 * К "1; Qj - теплові ефекти реакцій, кДж-кмоль "1; 5Х питома поверхня теплос'ема, м-1; ах - коефіцієнт теплопередачі, кДж * м" 2 * К_1; Т, Тх - температура суміші і хладоагента відповідно, К; I -Відносне час.

    Математична модель процесу димеризації а-метілстірола в реакторі ідеального витіснення (РІВ) представляється системою рівнянь виду:

    = Р, _ х, Рн, = ^

    Б М N '' '

    1 dN

    і = 1 j = 1

    б аі

    з "

    з

    граничними

    умовами

    при

    (2)

    і = 0:

    хі = х0N = N0, T = Т °, ТХ = ТХ °, де $ - об'ємна швидкість подачі реакційної суміші, м3 * год-1; Б-площа поперечного перерізу реактора, м2; і - відносна довжина реактора.

    Теплові ефекти (кДж * моль-1) хімічних реакцій рівні: Ql = 22.6, Q2 = 20.0, Qз = 39.0, Q4 = -2.63, 05 = 16.4, Q6 = 19.0, Q7 = 17.3, Q8 = 19.9, Q9 = 0.92.

    У табл. 1 представлені чисельні значення теплофізичних параметрів для процесу димери-зації а-метілстірола, отримані на основі програмного комплексу, розробленого в Інституті нафтохімії і каталізу РАН (г. Уфа).

    На етапі теоретичної оптимізації було отримано [5], що на вході в реактор слід подати підігрітий пар і потім подавати хладоагент температури навколишнього середовища (~ 30 ° С) (в якості холодоагенту використовується вода). Для реалізації отриманого температурного режиму (рис.1) ефективніше використовувати комбінації реакторів, оскільки при такій організації не потрібно великих витрат на зміну температури хладоагента.

    Міркування при побудові математичних моделей (1) - (2) є досить загальними для більшості каталітичних процесів зі змінним реакційним обсягом, оскільки засновані на фундаментальних принципах хімічної кінетики. Тоді математична модель каталітичного процесу в каскаді з До реакторів представляється системою рівнянь:

    ~ ах

    аТ

    ах

    = / Ї (х, Т, ТХ, °<Х = у'і2 (х, Т, Т х),! =! Я,

    (3)

    х \ (0) = х °°, Т (0) = Т,

    х '(0) = х {(X), Т]! 1 (0) = Т (X),

    де уу '- функціональні залежності визначаються з систем (1) та (2); хі - молярна частка и реагенту в 'реакторі, і = 1 ^ ,! = 1, Я; Хn + 1 - відносна зміна числа молей реакційного середовища в '-ом реакторі; X - час перебування в '-ом реакторі для реактора ідеального змішування або довжина' -го реактора для реактора ідеального витіснення;

    Т] - температура реакційної суміші в '-ом реакторі; Тх = Тх (Х) - температура холодоагенту. Обмеження на температуру реакційної суміші і температуру холодоагенту можуть мати вигляд:

    Т < Т (Х) < Т * Ті < Тх (Х) < Т *

    (4)

    (5)

    де ТХ *, Т *, Т *, Т * - нижня і верхня допустимі

    кордону температур хладоагента і суміші відповідно, які можуть бути задані з технологічних міркувань. Експериментально отримано [5], що температура в реакторі повинна знаходитися в обмеженнях від 30 ° С до 130 ° С.

    В якості критерію вибору оптимального рішення розглядається функція

    Q (x, T, Tx) = Тіхі

    (6)

    Мал. 1. Оптимальний температурний режим.

    яку можна трактувати як максимізацію виходу цільових продуктів або мінімізацію вмісту домішок в залежності від різних коефіцієнтів 1 ,. Для розрахунку оптимального режиму

    роботи реактора в якості критерію оптимізації обраний максимальний вихід лінійних димарів.

    Тоді задача оптимального управління формулюється таким чином. Для системи рівнянь (3) з фазовими обмеженнями (4) знайти

    оптимальне управління ТХ, з урахуванням обмежень

    (5), при якій досягається максимум цільової функції (6).

    з

    і = 1

    Таблиця 1

    Значення термодинамічних параметрів компонентів реакційної суміші процесу димеризації а-метілстірола

    Найменування параметрів а-метилстирол а-димер Р-димер Циклічний димер Тример

    Брутто-формула С9Н10 С18Н20 С18Н20 С18Н20 С27Н30

    Молекулярна маса, М (г-моль-1) 118.1 236.2 236.2 236.2 354.3

    Стандартна теплота освіти при 298 К, ​​ДН ° (кДж-моль-1) 27.0 31.4 34.0 15.0 41.1

    Константи в ряду теплоємності,

    Ср (Дж-моль-1-К-1):

    А -5.811 -21.98 -22.82 -26.72 -35.49

    У 165.6 369.4 364.5 392.5 567.6

    З -108.2 -243.6 -236.0 -264.3 -378.5

    Б 28.2 60.03 57.27 66.1 93.97

    Існують різні підходи до вирішення оптимальних задач, одним з них є динамічне програмування [6]. Суть методу динамічного програмування полягає в тому, що якщо в останньому реакторі каскаду режим роботи є оптимальним по відношенню до вступнику в нього потоку реагентів, то він буде оптимальним в цілому для всього процесу. Таким чином, завдання зводиться до знаходження оптимального температурного режиму в кожному окремому реакторі з різними початковими даними і режимними параметрами, а рішення задачі оптимізації в одному реакторі проводиться на основі принципу максимуму Л. С. Понтрягіна.

    Введемо нові позначення:

    в1 = (х] 1, ..., х ', х' + 1, Т]), и1 = Тх, тоді система (3) набуде вигляду:

    X = Р (у, і), 1 = 1Ш, ах (7)

    в1 (0) = у0, У + 1 (0) = У (Х).

    Для кожного реактора (при фіксованому ') послідовно складаємо функцію Понтрягіна і сполучену систему:

    н (у (Х), у (Х), і (Х)) = Ту (Х) У (у, і)

    і = 1

    ауі = ЕІ (у у, і)

    і = 1N + 2,

    (8)

    (9)

    Еу,.

    у (х) = ух.

    Відповідно до принципу максимуму Л. С. Понрю-гина [7], якщо оптимальне управління і існує, то в кожен момент часу X ^, х \ функція І (у, у, і) досягає максимуму в точці

    і = і. Для вирішення цього завдання розроблені алгоритми, засновані на методі Ньютона і ітерацій в просторі управлінь, а для розв'язання прямої кінетичної задачі реалізовані явні (Рунге-Кутта, Ейлера-Коші) і неявні методи (Ейлера, Мілна, Рунге-Кутта).

    У загальному вигляді алгоритм пошуку оптимального управління в каскаді реакторів можна представити наступною схемою:

    1. Покласти 1 = 1.

    Сформулювати оптимальну задачу (3) - (6) для у-го реактора.

    Побудувати гамильтониан (8).

    Скласти систему канонічних рівнянь і виписати граничні умови (9).

    Вирішити отриману систему (7) - (9) одним з наближених методів оптимального управ. * | *

    лення (знайти і] і відповідне йому в1).

    якщо 1 < К, тоді збільшити 1 і перейти до пункту 2, при цьому дані отримані на виході 1го реактора є початковими умовами для наступного циклу.

    отримані послідовності

    (и1

    ), (У1, ..., уя)

    є відпо-

    венно оптимальним керуванням і оптимальної траєкторією для всього каскаду До реакторів.

    Для розрахунку оптимального температурного профілю в каскаді реакторів розроблена програма, що дозволяє:

    • за механізмом реакції генерувати кінетичну модель;

    • задавати каскадну схему реакторів і режимні параметри;

    • компілювати бібліотеку ^ // - формату, що містить математичну модель процесу в обраному каскаді;

    я

    і

    • проводити розрахунок процесу різними явними і неявними методами розв'язання систем звичайних диференціальних рівнянь;

    • знаходити оптимальний температурний режим методом ітерацій в просторі управлінь або методом Ньютона.

    120

    100

    С)

    про 80

    Еч

    60

    40

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

    ?

    Мал. 2. Оптимальний температурний режим в каскаді реакторів РІС + РІС.

    1601 Л

    . '\

    '\

    про 12 ° - / \

    Про. '

    Л ______ N

    ^ 80: \

    40 / _____________

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

    4

    Мал. 3. Оптимальний температурний режим в каскаді реакторів РІС + РІВ.

    140

    120 Про 100

    60

    40

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

    Мал. 4. Оптимальний температурний режим в каскаді реакторів РІВ + РІВ.

    Програма написана на мові Pascal в середовищі програмування Borland Delphi 7.0 і має зручний інтерфейс.

    Апробація розроблених алгоритмів проводилася на завданнях з відомими аналітичними рішеннями. Результати розрахунку на тестових прикладах показали задовільне узгодження.

    Розглянемо результати роботи програми для розглянутого процесу димеризації а-метілстірола. Розрахунки проводилися для різних каскадних схем, складених з реакторів змішання і витіснення, оскільки знімання в цих реакторах здійснюється різними способами. Результати обчислювального експерименту показали, що доцільно використовувати каскад з реакторів змішання, витіснення і комбінацію РІС + РІВ. Саме ці каскади дозволяють регулювати температуру реакційного середовища в межах технологічних обмежень і забезпечують високий вихід цільових продуктів, в порівнянні з результатами в одиночних реакторах (рис. 2-4).

    На основі принципу динамічного програмування і узагальненого принципу максимуму Понтрягіна розглянуто підхід до вирішення задачі оптимізації каталітичного процесу зі змінним реакційним обсягом. Розроблено чисельні алгоритми розв'язання нелінійних крайових задач, що виникають при використанні принципу максимуму. Побудовано алгоритм для вирішення оптимальної завдання на етапі технологічної оптимізації. Знайдено оптимальні управління в каскадах реакторів.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Федоренко Р. П. Введення в обчислювальну фізику. М .: Изд-во Моск. фіз.-техн. ін-ту, 1994. -528 с.

    2. Жорсткі системи звичайних диференціальних рівнянь: а.с. / Байтімерова А. І., Мустафіна С. А. М .: ВНТИЦ. №0303024050320. 2006. -11 з.

    3. Isakov Ja., Litvin E., Minachev Ch. // Stud. Surf. Sci. Catal. 1994. V. 84. P. 2005.

    4. Григор'єва Н. Г., Хазіпова А. Н., Балаев А. В., Кутепов Б. І., Губайдуллін І. М. // Кінетика і каталіз. 2003. Т. 3. №11. С. 89-92.

    5. Валієва Ю. А., Мустафіна С. А., Співак С. І. // Вісник Башкирського університету. 2004. №4. С. 3-6.

    6. Аріс Р. Оптимальне проектування хімічних реакторів. М .: ІЛ, 1963. -240 с.

    7. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелідзе Р. В., Міщенко Є. Ф. Математична теорія оптимальних процесів. М .: Наука, 1976. -392 с.

    Надійшла до редакції 06.09.2008 р.


    Ключові слова: технологічна оптимізація /динамічне програмування /принцип максимуму /чисельні алгоритми /technological optimization /dynamic programming /Pontryagin maximum principle /Numerical algorithms

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити