Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2009
    Журнал: Наукові відомості Бєлгородського державного університету. Серія: Математика. фізика

    Наукова стаття на тему 'Алгоритм побудови випадкових реалізацій нормального марковского поля на поверхні тора'

    Текст наукової роботи на тему «Алгоритм побудови випадкових реалізацій нормального марковского поля на поверхні тора»

    ?УДК 621.396

    АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ ВИПАДКОВИХ реалізації НОРМАЛЬНОГО Марківського ПОЛЯ НА ПОВЕРХНІ ТОРА А.С. Мазманішвілі

    Сумський державний університет,

    Суми, Україна, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Розглянуто задачу побудови алгоритму чисельної генерації нормальних двовимірних марківських полів на циліндричній поверхні і на поверхні тора. Ці поля мають властивість однорідності по відношенню до зрушень уздовж поверхонь, відповідно, циліндра і тора. Описані можливі перспективи застосування нормальних марківських полів, реалізованих на поверхні тора.

    Ключові слова: алгоритм, нормальне Марківське поле, випадкова реалізація, тор, циліндр.

    1. Введення

    Завдання чисельного стохастичного моделювання починаються з синтезу алгоритмів генерації випадкових величин з необхідними для даного завдання властивостями. При моделюванні випадкових полів, приймається допущення про евклідової структурі простору, в якому розігруються випадкові події. Це припущення приводить до того, що ці поля визначаються на відрізку, в прямокутнику, або, нарешті, в багатовимірному гиперкубе [1, 2]. З цієї причини, як правило, розробляються алгоритми спираються на прямокутну декартову систему навіть в тих випадках, коли досліджуваний об'єкт мало зручний при описі в цій системі. Саме така ситуація має місце при побудові випадкових полів на торі або циліндрі [2]. У той же час, алгоритми генерації двовимірних марківських полів, представлені в [3, 4], такі, що вони пристосовані тільки для генерації випадкових полів, що задаються на прямокутнику, сторони якого паралельні декартових осях на площині. Однак, в задачах машинобудування [5], технічної електродинаміки [6], навігації [7] та інших в більшості об'єкти не є плоскими або прямокутними, і їх опис в прямокутній декартовій системі координат неприродно і, взагалі кажучи, призводить до незадовільних результатів.

    Справжня робота присвячена спробі побудови алгоритму чисельної генерації нормального марковского випадкового поля на поверхні тора. Поперечними перетинами такого поля, що реалізуються уздовж великого радіусу Я тора, є марковские процеси Орнштейна-Уленбека, певні на відрізку, що дорівнює довжині відповідної окружності, а потім продовжені періодично на всю числову вісь зміни кутової координати (т.зв. "броунівський міст"). Перетинами ж випадкового поля, які реалізуються на окружності заданого малого радіусу тора г, є випадкові процеси типу броунівського моста, побудовані за такою ж схемою але з періодом, рівним відповідної довжини окружності. Тоді, всередині замкнутого прямокутника, що накриває тор, реалізується стаціонарне Марківське гауссовское поле. У нашій роботі побудова алгоритму чисельної реалізації зазначеного випадкового поля ґрунтується на ієрархічному принципі. При цьому на нижньому рівні ієрархії використовується стандартний генератор нормального "білого" шуму п (Ь) з інтенсивністю (середньому квадратичним відхиленням) а. На його основі будуються випадкові реалізації процесів уздовж утворюючих тора. Послідовне заповнення зачеплення броунівський мостами і дозволяє згенерувати чисельно реалізації марковского поля на поверхні тора.

    Мал. 1: Ідеальний недеформівний тор з параметрами: Я = 6, г = 3, N = 40, М = 40.

    2. Алгоритм генерації нормальних двовимірних марківських полів

    на поверхнях циліндра і тора

    Позначимо Дх - величину кроку уздовж осі х на площині при чисельній реалізації випадкового поля, а Ду - величину кроку уздовж осі у. Відповідно, N - число вузлів по х, а М - число вузлів уздовж осі у. позначимо Н -

    випадкове поле, яке є проекцією розглянутого нами випадкового поля на сукупність вузлів {кщт}, n = 0 ^ N, т = 0 ^ М. Позначимо, далі, ух, иу - декременти загасання нормального марковского поля, відповідно, уздовж поздовжньої і поперечної координатних осей. Корелятори цього поля в кожних двох сусідніх вузлах рівні

    р = ехр (-МхДх), Я = ехр (- ^ уду). (1)

    Розглянемо спочатку перетин випадкового поля при у = 0, коли т = 0. Спільна щільність розподілу ймовірностей випадкових значень поля у вузлах з номерами n = 0 ^ N має, згідно [3, 5], вид

    / "({/ Чо}) = [27г; 72 (1 _ р2)] ЛУ2 ехр |" 2<Гц1 - Vі) ^ (/ Ч ° - Р * «- 1, о) 21 |

    (2)

    При цьому справедливо наступне правило нумерації, що забезпечує періодичність випадкового поля = ^ о, о, +1 = Н \ і т.д. Нехай ип, про - генератор

    білого шуму в розглянутих цілочисельних точках, що володіє нульовим середнім і (іП0) = ^ 2, п = 1, ..., N. Тоді з виду квадратичної форми в показнику експоненти в щільності (2) слід система зв'язків

    Ь, п, о = рйп-1, про + аіп, про, п = 1, N (3)

    з постійною ___________________

    а = д / (1 -Р2) (1 - РШ) ~ 1, (4)

    яка необхідна для нормування других моментів поля. Набір значень поля в нульовому по х перетині (т = 0) може бути виражений явно через величини ип, 0 наступним чином

    ^ І, о = а (іі, про + рі2, про + р2із, про + ... + рм-1іж, о) ,

    ^ 2, о = а (рм-1іі, про + і 2, про + риз, про + ... + рМ-2іж, о) ,

    ^ З, о = а (рм-2іі, про + рн-1і2, про + з, про + ... + рн-зи ^, о), (5)

    ^ Ж, о = а (ріі, про + р2і2, про + р3із, про + ... + і ^, о) .

    Таким чином, на основі (5), побудований броунівський міст при п = 0. При

    вибраною величиною а з (2) і (5) слідують вирази для безумовних середніх

    (^ П, 0 ^ п + к, о) = рк, к = 0, (6)

    З формули (6) випливає властивість стаціонарності броунівського моста в нульовому перетині.

    Розглянемо перетин поля при у = Ду, тобто при т = 1. При фіксованому значенні в нульовому перетині уздовж осі у, спільна щільність розподілу ймовірностей випадкових значень поля має вигляд [3, 5]

    / "({/ 41}) = [2тп72 (1 - р 2) (1 - Д2)] ~ м / 2ехр | -2 (г2 (1 _ ^) (1 _ Д2) | • (7)

    де ^ 1 - квадратична форма щодо {^ пд}

    22 ^ 1 = (^ 1,1 - Лд - д ^, про + рдЦо) + (^ 2,1 - Лд - ^ 2,0 + рд ^, о) + ...

    ... + (^ N, 1 - 1,1 - ^^ N, 0 + 1, о) 2. (7а)

    При цьому також діє циклічне правило нумерації ^ жд = ^ о, 1 і т.д. З вигляду квадратичної форми (7а) випливає, що значення поля ^ пд пов'язано з трьома "попередніми" значеннями. Тоді на основі щільності (7) можна прийти до наступної системи зв'язків для броунівського моста в першому перетині

    К, 1 = Р ^ п-1,1 + Л, про - р? ^ П-1, про + а ^ п, 1, п = 1, N. (8)

    З (8) видно, що система величин йпд = ^ пд - р ^ п, о, де п = 1, ..., Ж,

    підпорядковується тим же співвідношенням, що і величини (3). Отже, два

    кроку обчислень

    51.1 = а (ЩД + РМ2,1 + Р2М3,1 + ... + -1Мжд) ,

    52.1 = а (рж-1М1,2 + РМ2,2 + Р2М3,2 + ... + -2Мж, ^ ,

    53.1 = а (рж-2М1,3 + -1М2,3 + риз, з + ... + -3іж, ^, (9)

    5ж, 1 = а (РМ1, ж + Р2 ^ 2, ж + Р3 ^ 3, ж + ... + іж, ж) .

    і

    К, 1 = Л, про + 5п, 1, п = 1, ..., N (10)

    дадуть шуканий набір значень броунівського моста в першому перетині.

    Розглянемо перетин за номером m. Для нього щільність розподілу значень поля у вузлах (n, m) наступна:

    / Я ({Л »,»}) = [27Г (72 (1-р 2) (1-Д2)] ~ '? / 2ехр | -2 ^ 2 (1 _д2) |, (11)

    де Qm - квадратична форма щодо {hn, m},

    Qm = (hl, m - ph0, m - qhl, m-l + pqh0, m-l) +

    2

    + (H2, m - phl, m - qh2, m-1 + pqhl, m-l) + ...

    2

    ... + (HN, m - phN -l, m - qhN, m-l + pqhN-l, m-l). (11a)

    Тепер, якщо в (9) і (lO) всюди замінити в y-му індексі 0 на m - 1 і l на m, то отримаємо алгоритм знаходження набору значень броунівського моста в m-му перерізі. А саме, для довільного m-го перетину заповнення його вузлів здійснюється наступними двома кроками:

    sl, m + l = а (ul, m + pu2, m + p2u3, m + ... + pN luN, m) '

    52, m + l = а (pN-lUl, m + №, m + p2U3, m + ... + pN-2UN, m) ,

    53, m + l = а (pN-2Ul, m + PN -lU2, m + №, m + ... + pN-3UN, m), (12)

    5Ж, т + 1 = а (рі1, ш + р2 ^ 2, ш + р3і3, т + ... + ІЖ, ш) .

    і

    ^ П, т - р ^ п, т-1 + 5п, т > п - 1? ...; N. (13)

    Використовуючи векторно-матричні позначення, вираження (9) і (11) можна записати в компактній формі, ввівши циркулярні матриці [9].

    Об'єднуючи формулу (5) і М раз повторені формули (11) і (12), отримаємо підсумковий алгоритм генерації значень поля на прямокутнику, накривають поверхню циліндра і утвореному зі N х (М + 1) вузлів з урахуванням їх періодичності уздовж осі х. При обраному значенні а, з цих формул, щільності (2), (7) і правила нумерації, що враховує періодичність, отримуємо для математичних очікувань

    (^ П, т ^ п + к, т + ^ ') = / ^^ 2, к ,; = 1, ..., N, (^ П, т) = ^. (14)

    Таким чином, у всіх перетинах, сгенерированное на циліндричній поверхні поле характеризується властивостями однорідності. Властивість марковости безпосередньо випливає з виду щільності умовних ймовірностей переходу (7). Побудоване на циліндрі поле має властивості нормальності і марковости в тому сенсі, що щільності умовних ймовірностей переходу мають гаусову форму уздовж обраних напрямків.

    Мал. 2: Вид збоку згенерованого випадкового поля на торі з параметрами: р = 0.5, д = 0, 5, а = 0.2 у вигляді випадкової деформації тора, пропорційної значенням поля в кожній з точок. Сіткою показано зв'язок випадкових процесів в сусідніх вузлах.

    Тепер, з метою побудови випадкового поля на поверхні тора, здійснимо замикання побудованого нами поля на поверхні циліндра вздовж осі у. Зауважимо, що якщо в виразах, що описують замикання уздовж осі х, всюди виконати заміни за правилом {Ж ^ М, р ^ д}, то буде отримано замикання уздовж осі у. А саме, для довільного п-го перетину заповнення його вузлів здійснюється наступними двома кроками:

    ?п + і, і = в (ип, і + дип, 2 + д2мп, з + ... + 3м-1МП, м) ,

    ?п + 2,2 = в -1іп, 1 + дип, 2 + 32Мп, з + ... + 3м-2Мп, м) ,

    ?п + і, з = в (зм-2іп, 1 + 3м-1іп, 2 + ДМП, з + ... + 3м-3МП, м), (15)

    ?п + 1, м = в (^ ип, 1 + ^ 2 ^ п, 2 + ^ 3 ^ п, 3 + ... + ип, м)

    і

    При цьому введена нова нормувальна постійна, необхідна для збереження других моментів амплітуди речового поля,

    / 3 = \ / (1-<г'2) (1-<г2М) -1- (17)

    В результаті зазначеного замикання буде побудовано випадкове поле на поверхні циліндра, орієнтованого уздовж осі х.

    Спільна дія двох замикань призведе до побудови стохастичного поля на поверхні тора. При цьому для збереження других моментів значень поля повинна бути використана нова нормувальна постійна

    7 = а / 3 = ^ (1-г>2) (1 - ^) -! (1 _92) (1 - ^ 2М) -1, (18)

    Мал. 3: Згенерована випадкова реалізація поля на торі (вид збоку).

    3. Застосування алгоритмів генерації нормальних двовимірних марківських полів на поверхнях циліндра і тора

    Розглянемо геометричну інтерпретацію нормального двовимірного марковского поля на циліндричній і торіческіх поверхнях. Тор характеризується двома радіусами - азимутним Я і радіусом г кругового перетину площиною, що проходить через центр тора перпендикулярно до азимутальной площині. Відповідно при заданих Я і г рівняння, що визначають тор, можна параметризрвані за допомогою двох азимутальних кутів: ^ - кут в площині ХОУ, що проходить перпендикулярно осі OZ, і ф - фазовий кут кругового перетину. Задавши сітку з N х М вузлів, безліч вузлів на торі

    Мал. 4: Згенерована випадкова реалізація поля на торі (вид зверху).

    можна визначити формулами

    Xn, m = (R + Г Sin фп) COS m ,

    Yn, m = (R + Г Sin фп) Sin, (19)

    Zn, m - r COS фт •

    Накладення випадкового поля H з випадковими значеннями {hn, m} в вузлах обраної сітки здійснюється на основі виразів

    Xn, m = [R + (Г + hn, m) Sin фп] COS ^ m ,

    Ynm - [R + (r + hn, m) Sin Фп] Sin ^ m, (20)

    Zn, m - (r + hn, m) COS ФM •

    Випадкове поле H, синтезоване в вузлах сітки, стаціонарно, оскільки для нього, з урахуванням нормування (15), справедливо співвідношення (13), яке гарантуватиме инвариантность середніх щодо зрушень уздовж координатних осей. При програмуванні виявляються більш зручними аналоги формул (2), (9), (10), (12), виконані в термінах векторів і циркулярних матриць [9]. З малюнків 2-4 можна помітити самоузгоджене поведінку значень

    поля, зміна перетинів - випадкових процесів, а також їх зв'язок в сусідніх

    вузлах.

    5. Висновки

    Таким чином, ієрархічний підхід синтезу реалізацій випадкового поля на двовимірної поверхні дає можливість чисельно генерувати марковские поля на поверхні тора. По суті розвивається метод відрізняється від методу генерації полів на площині [9] тільки дією подвійного правила періодичності, а в ролі стаціонарного розподілу ймовірностей виступають броунівський мости. Область застосування подібних випадкових полів досить широка. Вони виникають всякий раз, коли необхідний облік випадкового зміни деякої "ідеальної" поверхні. Недоліком реалізованого підходу є неаналітичних введення азимутальних периодичностей броунівських мостів. Можливість застосування подібного підходу для просторових тіл більш складної структури, наприклад, таких як сфера, залишається відкритою.

    література

    1. Бусленко Н.П. Метод статистичних випробувань / Н.П.Бусленко, Ю.А.Шрейдер. - М .: Физматгиз, 1961. - 280с.

    2. Харін Ю.С. Практикум на ЕОМ по математичній статистиці / Ю.С.Харін, М. Д.. - Мінськ: "Університетське", 1987. - 304с.

    3. Habibi A. Two-Dimensional Bayesian Estimate of Image // Proc. IEEE. -1972. - 60; 7. - P.878-883.

    4. Хусу А.П. Шорсткість поверхонь / А.П.Хусу, Ю.Р.Вітенберг, В.А.Пальмов. - М .: Наука, 1975. - 344с.

    5. Шифрін Я.С. Питання статистичної теорії антен / Я.С.Шіфрін.

    - М .: Радянське радіо, 1970. - 384с.

    6. Ярликів М.С. Статистична теорія навігації / М.С.Ярликов. - М .: Радио и связь, 1985. - 344с.

    7. Ритов С.М. Введення в статистичну радіофізику / С.М.Ритов. -М .: Наука, 1966. - 404с.

    8. Мазманішвілі А.С., Щербань В.Є. Моделювання марковских випадкових послідовностей та алгоритм генерації однорідного двовимірного марковского поля // Електронне моделювання. - 1996. - 18; 2. - С.93-95.

    9. Воєводін В.В. Матриці і обчислення / В.В.Воеводін, Ю.А.Кузнецов.

    - М .: Наука. - 1984. - 320с.

    10. Мазманішвілі А.С. Алгоритм генерації нормального марковского поля на поверхні ідеального циліндра // Електронне моделювання.

    - 1998. - 20; 6. - с.65-69.

    THE GENERATION ALGORITHM FOR RANDOM REALIZATIONS OF THE NORMAL MARKOVIAN FIELD ON TORUS SURFACE A. S.Mazmanishvili

    Sumy State University, Sumy, Ukraine, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    The paper deals with the generation problem of normal two-dimensional Markovian fields on cylindrical and torus surfaces. The generation algorithm for such fields is developed. Generated fields are homogeneous. The numerical example of generated field is given.

    Key words: algorithm, normal markov field, random realization, torus, cylinder.


    Ключові слова: алгоритм / нормальне Марківське поле / випадкова реалізація / тор / циліндр

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити