Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2014


    Журнал: Євразійський Союз Вчених


    Наукова стаття на тему 'АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ МАТРИЦІ граничних ЖОРСТКОСТІ ДЛЯ ПЛОСКОЇ ЗАВДАННЯ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ'

    Текст наукової роботи на тему «Алгоритм побудови МАТРИЦІ граничних ЖОРСТКОСТІ ДЛЯ ПЛОСКОЇ ЗАВДАННЯ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ»

    ?Малюнок 2. Інтенсивність напружень при повороті осей анізотропії

    Істотний вплив на характер розподілу напружень надає радіус округлення концентратора і орієнтація головних осей анізотропії матеріалу. Збільшення радіусу заокруглення призводить до зростання зони неоднорідності напружень. При зміні орієнтації головних осей анізотропії область максимальних напружень зміщується щодо осі концентратора, повертаючись на кут ж / 6. При цьому поворот осей анізотропії практично не впливає на значення напруг, зберігаючи значення коефіцієнта концентрації.

    Проведений аналіз показав, що анізотропія матеріалу пластинки впливає на розподіл максимальних напружень в локалізованої поблизу вершини концентратора області. Якщо в якості концентратора напружень розглядати тріщину, то її розвиток в матеріалі пов'язано з тим, яким чином розподілені напруги поблизу її вершини. Проведені розрахунки показали, що при моделюванні процесів розвитку тріщин в матеріалі необхідно враховувати характер анізотропії властивостей цього матеріалу.

    Робота виконана за підтримки Російського фонду фундаментальних досліджень (13-01-97501, 14-

    01-31138-мол_а) і Міністерства освіти і науки РФ (госзаданіе № 467).

    Список літератури:

    1. Маркін А.А., Астапов Ю.В. Побудова матриці граничної жорсткості для плоскої задачі теорії пружності // Известия ТулГУ. Природні науки.

    - 2014. - Вип.1. - Ч. 1. - С.190-195.

    2. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Опис кінцевих деформацій твердих тіл в відлікової конфігурації // Прикладна механіка і технічна фізика.

    - Т.53. - № 2. - 2012. - С. 156-166.

    3. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Рішення крайових задач нелінійної термопружності // Известия Тульського державного університету. Природні науки. - 2010. - В. 1. - С.123-136.

    4. Маркін А.А., Соколова М.Ю. Варіант визначальних співвідношень нелінійної термопружності для анізотропних тіл // Прикладна механіка і технічна фізика. - 2003. - Т. 44. - № 1. - С.170-175.

    5. Маркін А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процеси пружно кінцевого деформування. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - 374 с.

    АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ МАТРИЦІ граничних ЖОРСТКОСТІ ДЛЯ ПЛОСКОЇ ЗАВДАННЯ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

    Астапов Юрій Володимирович

    Тульський державний університет, магістрант, г.Тула

    А. А. Ільюшиним [1, 2] була запропонована ідея побудови універсальних співвідношень, що зв'язують довільну навантаження на кордоні тіла з переміщеннями точок, що належать цій кордоні, для моделювання зернистості матеріалів. Застосування подібних співвідношень доцільно при вирішенні прикладних задач механіки деформованого твердого тіла, коли зручно попередньо оцінювати поведінку всієї конструкції. Розглядаючи стан кожного окремого елемента системи в окремо, можливо визначити сили взаємодії, які потім використовувати в якості граничних умов. У загальному випадку подібні зв'язки можуть бути знайдені для задач, що мають аналітичні рішення. З метою практичного застосування викладеної ідеї необхідне використання чисельних методів.

    Розглядається задача теорії пружності для лінійно-пружного тіла. У відсутності масових сил має місце принцип можливих переміщень Лагранжа:

    \ Q - SsdV = \ Р-5йс1 І, (1)

    V Е

    де 6А {Г) = | (7 | -58 (IV - робота внутрішніх напря-V

    жений на можливих деформаціях, § / (е) = | р • §і? / X

    2

    - робота зовнішньої поверхневого навантаження на можливих переміщеннях.

    Застосування методу скінченних елементів [3]

    дозволяє, провівши дискретизацию обсягу V, знайти зв'язок між зовнішнім навантаженням і переміщеннями в П точках області у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь [4]:

    ? Суї] = р, '= 1-п

    У = 1

    (2)

    і

    ) +? Сі () = р,, = 1 ... П,

    У = 1

    ] = Пе +1 п

    У У

    (4)

    ? це) +? З і) = 0, / = пе + 1 ... П.

    ; = 1 У = пе +1

    Уявімо матрицю [З] в блоковому вигляді, позначивши елементи матриці С ,; наступним чином:

    у

    КТ1} = Ст1, т = 1 ... пе, 1 = 1 ... пе,

    К (е ')

    I

    (Е =

    т1

    До ",) = С" ,, т = П + 1 ... П, / = П + 1 ... П

    "Т / = Ст1, т = 1 ... Пе, 1 = Пе + 1 ... n, Кте) = Ст1, т = пе + 1 ... п 1 = 1 ... пе,

    т / ^ т /? ' "Е • ^ ••• | • |>* • -е

    У нових позначеннях система (4) набуде вигляду:

    К (її)

    До

    (, Е)

    {І (е)} + [К (е ')] {і (,)} = {Р}, {і (е)} + [К)] {і (')} = {0}.

    (5)

    Знайдемо з однорідної частини системи (4) вираз для переміщень внутрішніх вузлів через переміщення граничних вузлів:

    т1

    {І (0}

    До

    До] {і (е)}.

    (6)

    Підставами співвідношення (6) в неоднорідну частину системи (5):

    (К (її) _ К (е,) К ( 'г) -1 К (, е) \

    V)

    ,(Е) \ _

    де С, - ;, '= 1 ... П, У = 1 ... П - компоненти глобальної

    У ^

    матриці жорсткості системи кінцевих елементів, Р -

    зовнішні узагальнені вузлові сили.

    Переставимо в системі (2) рівняння таким чином, щоб перші пе рівнянь відповідали переміщенням вузлів, що належать кордоні X обсягу V. Решта П - Пе рівнянь будуть відповідати переміщенням внутрішніх вузлів. Причому, з огляду на відсутність масових сил, до внутрішніх вузлів віднесено вузлові сили, тому друга частина системи буде однорідною.

    п

    ? Суї; = Р, '= 1 ... Пе,

    ; = 1

    (3)

    п

    ? Суї; = 0 '= пе + 1 ... п.

    і = 1

    У кожному з рівнянь системи (3) також виконаємо угруповання невідомих переміщень, відповід-

    ( '')

    ствующих внутрішніх вузлів і та вузлів на кордоні

    (Е).

    Р}.

    (7)

    Вираз (7) встановлює універсальну лінійну зв'язок між поверхневою навантаженням і вузловими переміщеннями на кордоні. Назвемо матрицю, що входить в ліву частину співвідношення (7), матрицею граничної жорсткості:

    п-1

    [В] = К (її)

    До

    (Е ')

    До

    зі

    До

    (, 'Е)

    (8)

    причому матриця граничної жорсткості має розмір П ^ X П ^.

    Побудувавши за формулою (8) матрицю граничної жорсткості для довільного тіла із заданою конфігурацією кінцево-елементної сітки, можливо, задаючи різні допустимі комбінації граничних умов, отримувати рішення у вигляді переміщень граничних вузлів і відповідних опорних реакцій. Перевагою даного підходу є те, що рішення на кордоні, отримані за допомогою матриці граничної жорсткості і за допомогою глобальної матриці жорсткості ідентичні, проте число рівнянь, які дозволяють задачу в першому випадку значно менше, ніж у другому. Слід, однак, відзначити, що сам алгоритм побудови матриці граничної жорсткості пов'язаний з певними обчислювальними витратами. Відповідно до формули (8), необхідно чисельно звертати блок глобальної матриці жорсткості, відповідний внутрішніх вузлів

    К ( "). Застосування методу виправдане в тих випадках,

    коли для області зі складною внутрішньою структурою необхідно оцінювати поведінку кордону. Тоді можливо, апроксимувати внутрішню структуру великим числом кінцевих елементів, побудувати матрицю граничної жорсткості і подальші розрахунки вести з її допомогою, користуючись її малої розмірністю в порівнянні з глобальною матрицею жорсткості.

    Для побудови системи рівнянь для задачі сполучення областей з використанням матриці граничної жорсткості використовується алгоритм, що відрізняється від алгоритму непрямого підсумовування локальних матриць жорсткості елементів при побудові глобальної матриці жорсткості. Матриці граничної жорсткості записуються блоками на діагоналі глобальної матриці граничної жорсткості. До побудованої таким чином матриці додається прямокутна матриця зв'язків, кожен рядок якої відображає рівність невідомих величин в сполучених вузлах. Матриця зв'язків має розмірність

    Пс X? Пе,, де Пс ​​- кількість ступенів свободи в уз-

    лах сполучення.

    Г

    І [0]

    [0]

    м

    з

    {і <е)} =

    р (е) 0

    (9)

    [З] [0],

    Алгоритм (8) - (9) був реалізований стосовно плоскою області, дискретизованої трикутними симплекс-елементами і протестований на чисельному рішенні задачі Ламі для багатошарового циліндра.

    <

    п

    <

    Внутрішній шар циліндра, виготовлений з ізотропного матеріалу, схильний до дії рівномірно-розподіленого по внутрішньому контуру тиску Р д. Зовнішній шар циліндра пов'язаний з внутрішнім умовою «повного прилипання». Зовнішній контур конструкції вільний.

    Розглянемо перетин циліндра, що лежить в площині, перпендикулярній до осі циліндра. Для даного завдання з аналітичного рішення [5] для кожного шару циліндра можуть бути отримані вирази, що зв'язують величини тисків на внутрішньому і зовнішньому контурах

    р, Ре з відповідними радіальними переміщеннями і; і ие:

    Р = (Л1іе + Л2іг),

    Ре = (Ві + В2Щ), Д = -БГгГе2 (А + 2 [), Д = 0 (Ге3М + Т? Ті (А + [)), В = - + ггте2 (А + [)), В2 = Бг2те (А + 2 [),

    в = _2 (А + М) М (Ге2 - гг2) _

    (+ Тгт2 (А + [)) (те' [+ т2те (А + [)) - т? Ті \ 2 І + А) 2 '

    (10)

    де А і [- пружні константи Ламі.

    Записавши рівняння (10) для кожного шару циліндра і додавши до них умови сполучення, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що дозволяє задачу:

    рд = (+ Л21) мул),

    РВ1 = (в ^ + В ^ ід),

    Р (2) = (В (2) іВ2> + В22) іс) (11)

    РС = (+ Л22) іс),

    Р1 = РВ2), верб) - верб) •

    Розглянемо рішення задачі методом кінцевих елементів з побудовою матриці граничної жорсткості.

    В силу осьової симетрії завдання кінцево-елементні сітки для кожного з шарів були побудовані для секторів,

    відповідних центральному куту 90. Для внутрішнього шару було використано 1600 елементів, кількість граничних вузлів одно 120. Для зовнішнього шару використовувалася сітка з 2400 елементами зі 140 граничними вузлами.

    Для кожної з областей були побудовані матриці граничної жорсткості розміром 240 X 240 для внутрішнього шару і 280 X 280 для зовнішнього. Отримані матриці були об'єднані відповідно до нумерації вузлів і задані граничні умови. Також були сформульовані обмеження, накладені на переміщення, і не дозволяють здійснювати рухи області як жорсткого цілого. Отримана система рівнянь була вирішена методом Гаусса. Результати чисельного рішення, отриманого з використанням матриці граничної жорсткості, відрізняються від результатів, отриманих з системи (11) менш ніж на 1%.

    Робота виконана за підтримки Російського фонду фундаментальних досліджень (13-01-97501, 14-01-31138-мол_а) і Міністерства освіти і науки РФ (госзаданіе № 467).

    Список літератури:

    1. Рязанцева М.Ю., Васін Р.А., Кіліковская О.А., Трінчер В.К. Про деякі способи уточнення матриць жорсткості Ільюшина в плоскій задачі теорії пружності // Изв. АН СРСР. МТТ. - 1982. - № 3.

    - С. 175.

    2. Шапіро Г.С. XVII Польська конференція з механіки деформованого твердого тіла, 3-9 вересня 1975 р // Проблеми теорії пластичності: збірник перекладів / під ред. Г.С. Шапіро / Нове в зарубіжній науці. механіка; вип. 7. - М .: Світ, 1976. -232 с. - С. 217-230.

    3. Маркін А.А., Астапов Ю.В. Побудова матриці граничної жорсткості для плоскої задачі теорії пружності // Известия ТулГУ. Природні науки.

    - 2014. - Вип.1. - Ч. 1. - С.190-195.

    4. Галлагер Р. Метод кінцевих елементів. Основи. -М .: Світ, 1984. - 428 с.

    5. Сєдов Л.І. Механіка суцільного середовища. Т.1: Підручник для університетів. - М .: Наука, 1976. - 536 с.

    ОЦІНКА ВИБОРЧОГО ПОРУШЕННЯ ПРИ рентгеноспектрального флуоресцентного АНАЛІЗІ з поданням «заважають» ВИПРОМІНЮВАННЯ У ВИГЛЯДІ потік, що випускається елементарних горизонтальні ШАРОМ ЗРАЗКА у певному «ЕФЕКТИВНУ» НАПРЯМКУ

    Дуймакаев Шаміль Исхакович *, Потькало Максим Валерійович **

    * Кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри фізики наносистем

    і спектроскопії (КФН і С), ** аспірант КФНі С; фізичний факультету ПФУ, 344090 м Ростов-на-Дону, вул. Р. Зорге, 5

    Однією з основних проблем рентгеноспектраль-ного флуоресцентного аналізу (РСФА) є виборче порушення флуоресценції визначається елемента А флуоресценцией т.зв. «Заважають» елементів В зразка [2-6].

    Відносний «чистий» внесок ефекту вибіркового збудження е одним з перших в світовій практиці теоретично вивчено В.Ю. Залесским [2]. У монохроматичному наближенні збудження рентгенівської флуоресценції з інтеграцією в циліндричній системі координат їм отримано аналітичні вирази


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити