В даний час системи мультілатераціі набувають все більшого значення в управлінні повітряним рухом в зв'язку з їх істотними перевагами в порівнянні з вторинними радіолокаційними комплексами. У цій статті синтезований алгоритм оцінки місця розташування об'єкта для системи мультілатераціі, діючу пенсійну систему пасивному режимі. Синтезований алгоритм являє собою комбінацію процедури грубої оцінки координат об'єкта, що спостерігається і итерационного алгоритму, уточнюючого отримане рішення. Груба оцінка є результатом рішення системи лінійних рівнянь. Ітераційна процедура уточнення заснована на лінеаризації рівнянь спостереження і не вимагає великої кількості ітерацій. У статті дано порівняльний статистичний аналіз пропонованого алгоритму і відомого алгоритму Банкрофта. Для об'єктивного аналізу двох алгоритмів отримана межа Крамера-Рао для кореляційної матриці оцінок координат об'єкта, що спостерігається, яка дозволяє визначити потенційну точність рішення задачі. Показано, що обидва алгоритму дозволяють отримати оцінки, точність яких близька до потенційно досяжної точності оцінки місця розташування об'єкта. На відміну від алгоритму Банкрофта одержувана груба оцінка місця розташування є однозначною, що скорочує загальний обсяг обчислень при реалізації алгоритму і зменшує ймовірність отримання аномальних помилок.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Монаков А.А.


LOCALIZATION ALGORITHM FOR MULTILATERATION SYSTEMS

At present, multilateration systems are becoming increasingly important in air traffic control. This is due to their significant advantages in compare with secondary surveillance radar complexes. This article solves the problem of synthesizing an algorithm for object location estimation for multilateration system operating in passive mode. The synthesized algorithm is a combination of a procedure, the result of which is a rough estimate of the observed object coordinates, and an iterative algorithm specifying the resulting solution. The rough estimate is the result of solving a linear system of equations. The iterative refinement procedure is based on the linearization of the observational equations and does not require a large number of iterations. The paper provides a comparative statistical analysis of the proposed algorithm and the known Bancroft algorithm. For an objective analysis of two algorithms, the paper derives the Cramer-Rao boundary for the correlation matrix of estimates of the observed object coordinates, which makes it possible to determine the potential accuracy of the solution of the problem. It is shown that both algorithms allow obtaining estimates, the accuracy of which is close to the potentially achievable accuracy of the object location estimate. In contrast to the Bancroft algorithm, the rough estimate of the object location is unambiguous. This virtue reduces the total amount of computations during the algorithm implementation and reduces the probability of anomalous errors.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2018
    Журнал
    Известия вищих навчальних закладів Росії. Радіоелектроніка
    Наукова стаття на тему 'АЛГОРИТМ ОЦІНКИ КООРДИНАТ ОБ'ЄКТІВ ДЛЯ СИСТЕМ МУЛЬТІЛАТЕРАЦІІ'

    Текст наукової роботи на тему «Алгоритм ОЦІНКИ КООРДИНАТ ОБ'ЄКТІВ ДЛЯ СИСТЕМ МУЛЬТІЛАТЕРАЦІІ»

    ?Радіолокація і радіонавігація

    doi: 10.32603 / 1993-8985-2018-21-4-38-46 УДК 621.396.967.2

    А. А. Монаков

    Санкт-Петербурзький державний університет аерокосмічного приладобудування вул. Велика Морська, д. 67, літ. А, Санкт-Петербург, 190000, Росія

    Алгоритм оцінки координат об'єктів для систем мультілатераціі

    Анотація. В даний час системи мультілатераціі набувають все більшого значення в управлінні повітряним рухом в зв'язку з їх істотними перевагами в порівнянні з вторинними радіолокаційними комплексами. У цій статті синтезований алгоритм оцінки місця розташування об'єкта для системи мультілатераціі, що працює в пасивному режимі. Синтезований алгоритм являє собою комбінацію процедури грубої оцінки координат об'єкта, що спостерігається і итерационного алгоритму, уточнюючого отримане рішення. Груба оцінка є результатом рішення системи лінійних рівнянь. Ітераційна процедура уточнення заснована на лінеаризації рівнянь спостереження і не вимагає великої кількості ітерацій. У статті дано порівняльний статистичний аналіз пропонованого алгоритму і відомого алгоритму Банкрофта. Для об'єктивного аналізу двох алгоритмів отримана межа Крамера-Рао для кореляційної матриці оцінок координат об'єкта, що спостерігається, яка дозволяє визначити потенційну точність рішення задачі. Показано, що обидва алгоритму дозволяють отримати оцінки, точність яких близька до потенційно досяжної точності оцінки місця розташування об'єкта. На відміну від алгоритму Банкрофта отримується груба оцінка місця розташування є однозначною, що скорочує загальний обсяг обчислень при реалізації алгоритму і зменшує ймовірність отримання аномальних помилок.

    Ключові слова: радионавигация, мультілатерація, оцінка місця розташування, алгоритм Банкрофта

    Для цитування: Монаков А. А. Алгоритм оцінки координат об'єктів для систем мультілатераціі // Изв. вузів Росії. Радіоелектроніка. 2018. № 4. С. 38 ^ 16. doi: 10.32603 / 1993-8985-2018-21-4-38-46

    Andrey A. Monakov Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation

    67, lit. А, Bolshaja Morskaja Str., 190000, S. Petersburg, Russia

    Localization Algorithm for Multilateration Systems

    Abstract: At present, multilateration systems are becoming increasingly important in air traffic control. This is due to their significant advantages in compare with secondary surveillance radar complexes. This article solves the problem of synthesizing an algorithm for object location estimation for multilateration system operating in passive mode. The synthesized algorithm is a combination of a procedure, the result of which is a rough estimate of the observed object coordinates, and an iterative algorithm specifying the resulting solution. The rough estimate is the result of solving a linear system of equations. The iterative refinement procedure is based on the linearization of the observational equations and does not require a large number of iterations. The paper provides a comparative statistical analysis of the proposed algorithm and the known Bancroft algorithm. For an objective analysis of two algorithms, the paper derives the Cramer-Rao boundary for the correlation matrix of estimates of the observed object coordinates, which makes it possible to determine the potential accuracy of the solution of the problem. It is shown that both algorithms allow obtaining estimates, the accuracy of which is close to the potentially achievable accuracy of the object location estimate. In contrast to the Bancroft algorithm, the rough estimate of the object location is unambiguous. This virtue reduces the total amount of computations during the algorithm implementation and reduces the probability of anomalous errors.

    Key words: radio navigation, multilateration, position estimation, the Bancroft algorithm

    For citation: Monakov A. A. Localization Algorithm for Multilateration Systems. Journal of the Russian Universities. Radioe-lectronics. 2018, no. 4, pp. 38 ^ 16. doi: 10.32603 / 1993-8985-2018-21-4-38-46 (In Russian)

    38

    © Монаков А. А., 2018

    Вступ. Багатопозиційні радіонавігаційні системи оцінки місця розташування об'єктів в просторі отримали в даний час широке поширення і стали серйозними конкурентами радіолокаційних комплексів управління повітряним рухом (УВС) [1], Такі системи мають ряд переваг: здатність контролю великих областей зі складним рельєфом місцевості; низькою вартістю обладнання, розміщення та експлуатації; високою надійністю і помехозащищенностью.

    У науково-технічній літературі ці системи отримали назву систем мультілатераціі (від англ. Multilateration - MLAT). У системах мультілатераціі розташування (МП) об'єкта визначається на основі оцінки відстаней об'єкта до довільного числа опорних радіонавігаційних точок (РНТ), в яких розміщені приймачі, здатні приймати сигнали, що випромінюються з борта об'єкта. Слід розрізняти активний і пасивний режими роботи систем мультілатера-ції. В активному режимі запит на борт посилається передавачем самої системи в одному з форматів A / C / S вторинної радіолокації. У пасивному режимі запит на борт надходить від стороннього джерела, яким може бути один з вторинних радіолокаторів системи УВС. В цьому випадку, оскільки джерело сигналу запиту ніяк відсутня синхронізація системою, приймачі опорних РНТ здійснюють прослуховування ефіру, виявлення відповідного сигналу з борту і вимір псевдодальностей подібно супутникових навігаційних систем.

    Залежно від масштабу розв'язуваних завдань системи мультілатераціі діляться на локальні, за якими в науково-технічній літературі закріпилася назва MLAT-систем, і глобальні, які називаються WAM-системами (WAM -Wide Area Multilateration) [2]. Перші використовуються для визначення МП об'єктів в межах поля аеродрому, другі вирішують завдання навігації повітряних суден в області простору, що має протяжність в сотні кілометрів на поверхні Землі і десятки кілометрів над цією поверхнею. Фізичні принципи роботи обох категорій однакові. Пасивний режим роботи є основним для WAM-систем.

    Однією з проблем при створенні систем муль-тілатераціі є синтез алгоритмів оцінки МП об'єктів в двовимірному (MLAT-системи) або тривимірному (WAM-системи) просторі. Ця проблема не є новою в радіонавігації:

    раніше вона зустрічалася при розробці систем дальньої навігації [3]. Відповідно до [4] прийнято виділяти 3 класу методів оцінки МП в системах мультілатераціі: статистичні (statistical), чисельні (numerical) і алгебраїчні (algebraic). Статистичні методи [5] - [7] враховують випадковий характер оцінок радіонавігаційних параметрів і припускають синтез оцінок МП на основі методу максимальної правдоподібності. Ці методи найбільш близькі до оптимальних, однак вони не дозволяють отримати пряме рішення і вимагають застосування оптимального пошуку екстремуму досить складною цільової функції в просторі, розмірність якого дорівнює числу координат об'єкту. Чисельні методи [8] - [11] також використовують методи оптимального пошуку рішення деякої оптимізаційної задачі, проте на відміну від статистичних методів пошук проходить в просторі меншої розмірності при простої (як правило, квадрат-чеський) цільової функції. Оцінки, одержувані цими методами, в загальному випадку є зміщеними і неоптимальними в статистичному сенсі. Алгебраїчні методи [12] - [15] не враховують імовірнісний характер даних, однак вони є прямими, оскільки дозволяють отримати оцінки координат об'єкту рішенням деякої лінійної, в загальному випадку перевизначення системи рівнянь. Останнє робить зазначені методи особливо привабливими для практичного застосування, незважаючи на те, що методи цієї категорії не можуть претендувати на оптимальність. Як зазначається в [4], алгоритм оцінки МП в системах мультілатераціі повинен бути комбінацією алгоритмів, що належать зазначеним категоріям, що дозволить поєднувати високу точність і обчислювальну ефективність.

    В [16], [17] розглянуті алгоритми оцінки МП об'єктів для активного режиму роботи системи мультілатераціі. У цих роботах синтезований комбінований алгоритм, який для отримання грубої оцінки МП використовує один з найбільш ефективних алгебраїчних алгоритмів - алгоритм Банкрофта (Bancroft) [12], раніше запропонований для визначення МП об'єкта в супутникових навігаційних системах [13]. Для отримання кінцевої оцінки МП використовується один з статистичних методів - метод лінеаризації системи рівнянь спостереження, що зв'язують координати об'єкта і результати вимірювань радіонавігаційних параметрів. Привабливою стороною цього алгоритму є його

    простота і малий обсяг обчислень при реалізації, оскільки оцінка МП виходить в результаті рішення лінійної системи рівнянь. Разом з тим алгоритм Банкрофта має істотний недолік, що полягає в тому, що отримується результат не є однозначним і потрібна спеціальна процедура для вибору правильного рішення.

    У цій статті подано визначення МП об'єкта в системі мультілатераціі, що працює в пасивному режимі. У статті запропоновано новий комбінований алгоритм рішення, який також заснований на поєднанні алгебраїчного і статистичного підходів. Алгебраїчна частина будується на вирішенні лінійної системи рівнянь, але на відміну від алгоритму Банк-рофта не вимагає усунення неоднозначності. Статистична частина подібна алгоритму, використаному в [16], [17], і дозволяє уточнити рішення, отримане за допомогою алгебраїчної частини алгоритму. Точність оцінки МП пропонованим алгоритмом, як показали дослідження, відповідає точності алгоритму Банкрофта.

    Стаття побудована наступним чином. Спочатку коротко викладається принцип роботи систем мульти-латераціі в пасивному режимі і аналізується потенційна точність оцінки МП в цих системах. Потім наводиться висновок алгоритму Банкрофта і дається аналіз його точності методом математичного моделювання. Далі описується синтез нового алгоритму оцінки МП об'єкта, який поєднує в собі простоту обчислень методу Банк-рофта і в той же час дає єдине рішення. На закінчення наведено спосіб модифікації запропонованого алгоритму та проаналізовано точність одержуваної в результаті модифікації оцінки. Стаття закінчується висновками по роботі.

    Потенційна точність оцінки МП в системі мультілатераціі. Розглянемо систему мультілатераціі, яка містить J опорних прийомних станцій (РНТ), просторові координати яких | ху, yj, Zj I, j = 1, J, в деякій локальній тривимірної системі координат XYZ (рис. 1) відомі з високою точністю. Нехай запитувач (interrogator), яким може бути один з вторинних радіолокаторів системи УВС, випромінює в момент часу t запитальний сигнал. Якщо МП об'єкта відповідає радіус-

    вектор гоб = (ХОБ, УГБ, z ^) т, а МП запитувача радіус-вектор гг- = (, уj, Zj) т, то приймач об'єк-

    єкта прийме запитальний сигнал в момент часу t + г / с, де г = || г || - довжина вектора r = гоб - г;

    с - швидкість світла; т - символ транспонування. Бортовий відповідач витрачає на виявлення і дешифрування сигналу запиту операційний час топ (зазвичай 3 мс), після чого випромінює відповідний сигнал. Цей сигнал прийде в точку расположеніяу-го РНТ у ру = ((, У у,) Х (рис. 1) в момент часу t + г / с + топ + Цу [с, де Ц] = у || - довжина вектора Qу = гоб - ру. Таким

    чином, при відсутності помилок вимірювання дальностей і строгому синхронізмі годин опорних станцій в РНТ будуть обчислені псевдодальності Я] = г + Цу + стоп + ст, де т = t - (-різницю ходу годинника запитувача і опорних станцій (1 - передбачуване в системі РНТ час випромінювання сигналу запиту). Маючи в своєму розпорядженні безліччю псевдодальностей | Яу |, у = 1, 3, отримаємо систему рівнянь виду

    Цу + ьоб = Яу, у = 1, 3, де Ьоб = г + с (топ + т). Вирішення цієї системи щодо чотирьох невідомих ХОБ, УГБ, ^ про,'об дозволить оцінити МП об'єкта.

    Насправді вимірювання псевдодальностей супроводжуються помилками, в результаті яких формується система рівнянь

    Цу +'об = Яу, у = ^ 3, (1)

    де Я у = Я у + 8Яу + с8т у, причому 8Яу - помилка

    вимірювання дальності по відповідному сигналу, що виникає у вимірювачі РНТ у; 8ту - догляд внутрішнього годинника РНТ у відносно системного

    часу. Існування зазначених помилок призводить до помилок оцінки МП об'єкта.

    Визначимо статистичні характеристики цих помилок. Нехай повний вектор помилки оцінки МП дорівнює (БГ ^, З'об). Тоді система рівнянь (1) може бути записана у вигляді

    || ч] + 8Г) б | +'Об + ЗЬоб = к] + Щ,] = 1, 3,

    де АК] = 8Rj + с8т] - повна помилка вимірювання

    псевдодальності. Вважаючи, що помилка оцінки МП мала в порівнянні з відстанню Ч]: || Згоба || ^ || ч] | 1,

    ] = 1, 3, отримаємо наступну спрощену систему: Чт§Гоб + З'об = [Rj - q] | -'об] + Щ ',] = 1, 3, (2) де Ч] = Ч одиничні вектори в напрямках ч ].

    З огляду на, що Rj = qj +'об,] = 1, 3, систему рівнянь (2) можна записати в матричному вигляді:

    лт Г8гоб 1 =

    ач :: о6 | = Ак,

    де А = 1 Т ^ Ч

    матриця з розмірами

    4 х 3; АІ = {АЯ у |,] = 1, 3, - вектор довжини 3.

    Помноживши праву і ліву частини рівняння (3) на відповідні їм транспонований величини, після усереднення по випадковим змінним отримаємо

    АтСА = С

    І,

    де

    з = ((, «'об))))

    - кореляційна матриця помилок оцінки МП; Сі = (БК-8Кт) - кореляційна матриця оцінок псевдодальностей; Про - символ статистичного усереднення. тоді

    С = (ААТ) -1 АС, А '(АА') -1.

    Якщо вважати помилки вимірювання псевдодальностей статистично незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами, то

    (2 + 2 2 \

    CTR + з ст ^ I, де OR, стт - среднеквадра-

    тические відхилення помилок оцінювання діяльностей і годин РНТ відповідно; I - одинична матриця. Остаточно отримаємо наступне рівняння для кореляційної матриці помилок оцінки МП об'єкта:

    г (2,22 С = \ СТR + з стт

    ) (ААТ) -1.

    (4)

    Оскільки для виведення (4) використовувався метод малого параметра, то, як показано в [18], отриманий вираз є нижньою межею Крамера-Рао для кореляційної матриці помилок.

    Хоча використаний метод розрахунку межі Крамера-Рао дає вірний результат, за допомогою (4) складно отримати аналітичні вирази для елементів кореляційної матриці помилок. Тому при необхідності мати ці вирази можна використовувати традиційний підхід, пов'язаний з обчисленням інформаційної матриці Фішера Е. Нескладно показати, що елементи матриці Фішера при зроблених припущеннях про статистику помилок визначаються наступним чином:

    (3)

    ?11 =

    СТR

    ^ 12 =

    3 ']

    ]

    ?_

    СТR

    (

    ХОБ х] 1

    (

    (

    1 ^ ХОБ х] 1 37

    ХОБ х]

    УГБ - У]

    \

    1 ХОБ х]

    J

    ] ь

    _1_ у УГБ - У] 3'у Ч]

    3 '- 3 ЛГ-Л ХОБ х] Е13 = -Г у--;

    3 ^]

    Р22 =

    СТR

    (З - У .| 1

    у | УГБ - У] 3 'у

    (

    - У .. 1

    1 ^ УГБ - У]

    ]

    3 '-3 ^ УГБ -У].

    ]

    '23 = У

    3 СТR]

    Р33 =

    3 (3'3) (3 ') 2 СТR:

    12

    де 3 '= 3 + [СТR / (сстт)] .

    Алгоритм Банкрофта оцінки МП об'єкта.

    Перепишемо систему рівнянь (1) у вигляді

    || гоб Р] || +'Об =],] = 1, 3, (1)

    де Я у - оцінка псевдодальності. В системі (5) невідомими є радіус-вектор МП об'єкта гоб = (ХОБ, УГБ, ^ об) т і параметр'об .

    Перенісши'об в праву частину рівнянь (5) і звівши в квадрат обидві частини, систему представимо у вигляді

    2 (ру гоб) - 2 Я у'про =

    ((І 2 -'о2б) +

    + (11 р, 112 - Щ), 3

    = 1, 3.

    п V

    Введемо позначення:

    г = (готб'об); ру = (р) -Яу);

    Вт = (... вз); Х = (1/2)) г, г);

    ь = (1/2) ((Рь РВ - (РЗ, вз »т; е = (1 - 1),

    (6)

    де

    (Г, г) = || гоб | Г -'о2б, (Ру, Ру) = || р у 1 Я2у - скалярні твори Лоренца [13]. для векторів

    і = (иу иг з ^) і V = ((Уу))

    мають дійсні члени, цей твір визначається як

    (U, ^ = Ихух + іуУу + і2У2 - .

    З урахуванням введених позначень перепишемо (6) в матричному вигляді:

    Вг = Хе + Ь. (7)

    Рівняння (7) пов'язує невідомий вектор г і скалярний параметр Х = (1/2) (г, г), тому вектор 2 є сумою двох векторів:

    г = ХВ # е + В # Ь = Хе + А

    (8)

    де в

    # = (В телевізорами) -1 У т

    В - ліва псевдообернених мат-

    л і

    Ріца матриці В; е = В # е; А = В # Ь. З огляду на, що (г, г) = 2Х, з (8) отримаємо квадратне рівняння для X:

    (С, е) X2 + 2 [(е, ^ - 1] Х + (а, ^ = 0, яке має 2 кореня

    [С, А) - 1] ^ Ке, А) - 1] 2 (с, е) (А, А)

    Х1,2 = - "

    один з яких відповідає дійсному рішенню системи, а другий - помилковому. Корінь, відповідний справжнього розв'язання, можна вибрати на підставі зворотного підстановки Х1 і Х2 в систему (7). Таким чином, завдання по визначенню МП об'єкта вирішена.

    Описаний алгоритм рішення вперше запропонований С. Банкрофта для оцінки МП об'єктів в супутникових навігаційних системах [13]. Алгоритм простий для реалізації, так як головною складністю є обчислення псевдообернена матриця і визначення істинного рішення.

    Оцінимо точності характеристики алгоритму і порівняємо їх з потенційно досяжною точністю, визначеної раніше. Виконати ці обчислення аналітично навряд чи можливо, тому скористаємося методом математичного моделювання. В ході роботи над статтею було зроблено машинний експеримент на наступній моделі. Десять (3 = 10) РНТ випадковим чином розташовувалися на окружності діаметром 10 км. У центрі кола містився запитувач. Об'єкт випадковим чином розміщувався всередині кола. Відстані вимірювалися з помилками, статистичні характеристики яких відповідали <зя = 10 м і стт = 5 нс. Результати оцінки МП по До = 1000 випробувань наведені на рис. 2. Тут же штрихпунктирной лінією представлений еліпс помилок (ЕО), побудований за результатами оцінки кореляційної матриці помилок і відповідний ймовірності попадання позначки об'єкта всередину еліпса Р = 0.99. Штриховий кривої показаний аналогічний еліпс для потенційної точності оцінки, побудований на підставі (4).

    Представлені на рис. 2 результати свідчать про те, що в цілому алгоритм Банкроф-та дозволяє вирішити задачу оцінки МП об'єкта. Однак точність отриманої оцінки трохи нижче потенційно досяжної.

    3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 х, км

    (Е, е)

    (Е, е)

    -2.24 -2.25

    -2.26

    -2.27

    -2.28

    -2.29

    -2.30

    У, км

    Т

    Т

    т

    "1-1-

    ст х = 9.4579 м ст у = 9.4592 м

    Мал. 2

    Сумарно-різницевий алгоритм. Повернемося до системи рівнянь (2). Віднімемо і складемо рівняння з номерами] = 2, 3 з першим рівнянням системи:

    3.20 3.25 3.30 3.35 3.40 3.45 3.50 х, км

    Ц гоб - РЛ -11гоб - р11 = R] - ^ Цгоб - Р] || +1 | гоб - Р1II =] + А - 2'об,

    (9)

    ] = 2, 3.

    Після перемноження рівнянь отримаємо систему

    || гоб- р] 112 -11гоб- Р11 | 2 = (] - А) (R] + А- 2'об),

    ] = 27. (10)

    Система (10) є підставою для синтезу пропонованого алгоритму. Оскільки в основі системи (10) лежать рівняння (9), назвемо пропонований алгоритм сумарно-різницевим (СР). Враховуючи що

    || гоб - Р] \ | 2 = 1 | гоб || 2 - 2 (гоб) + || р] \ | 2,] = 2, 3, система (10) може бути записана у вигляді

    (Р] - Р1) т гоб] - А)'об -

    = 2 (I 1р] | | 2 - з) -2 (г - і),

    ] 2] = 27.

    Система рівнянь (11) лінійна відносно вектора г об = (готб'об): ^ про = g,

    де

    ° т = (- У3);

    § = 2 ((, Р2>-(Р 'Р0 - (Р3, РЛ-<Р1, Р1 »,

    причому

    у] = ([р] - р1] т - [а] - а])

    | 2 А2

    (Р], рк = || р] | Г -4

    - скалярні твори Лоренца. Рішення системи (11) має вигляд

    гоб = О § ,

    де О - ліва псевдообернена матриця матриці О. На відміну від алгоритму Банкрофта рішення (12) єдино.

    ст х = 43.8258 м

    ст У = 27.4702 м

    (11)

    (12)

    -2.181-ГГ-1-1-Г

    -2.22 ' ""

    -2.26 -2.30 -2.34

    У, км

    Мал. 3

    Аналіз СР-алгоритму проводився математичним моделюванням. Модель для математичного експерименту була тією ж, що і при дослідженні точності оцінок алгоритму Банкрофта. Результати експерименту наведені на рис. 3.

    Видно, що отримана оцінка значно поступається по точності алгоритму Банкрофта, тому без поліпшення якості оцінювання цей алгоритм не може бути рекомендований до використання. Однак існує спосіб модифікації СР-алгоритму, який дозволяє отримати оцінку МП з точністю, що дорівнює точності оцінки за алгоритмом Банкрофта.

    Модифікація СР-алгоритму. Незважаючи на порівняно великої помилки, СР-алгоритм може бути використаний для грубого оцінювання МП об'єкта. Для уточнення оцінки можна використовувати метод малого параметра (метод збурень). Цим малим параметром буде оцінка вектора помилки Згоба = гоб - Тер, де ГСР - СР-оцінка. В цьому і полягає сенс пропонованої модифікації.

    Повернемося до системи рівнянь (2), яку перепишемо у вигляді

    (Ч т Згоба) + З'об = ARj,] = 1, 3,

    де Ч] - орти; АН] - оцінки помилок вимірювання псевдо, які можуть бути оцінені, використовуючи оцінку || ГСР ||, отриману СР-алгоритмом:

    ч] = (ГУР - Р]) / || ГСР - Р] \\,] = 13;

    Ч = а] - RJср = к] - Я ^ ср - р] | +'ср),] = Г3.

    Тоді методом найменших квадратів отримаємо наступну оцінку вектора Згоба = (БГ ^ З'об):

    зг про = а,,

    де Q # = (q tq) Q - ліва псевдообернених

    3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 х, км

    матриця матриці Q =

    <11

    1

    1J

    1

    Остаточне рішення виходить в результаті підсумовування:

    гоб = ГСР + 8гоб.

    Отримана оцінка може бути використана як наступне наближення до вирішення, т. Е. Пропонований алгоритм є ітераційним.

    На рис. 4 наведені результати математичного експерименту з використанням розглянутої модифікації. Моделювання проведено на моделі, використаної при аналізі алгоритму Банкрофта і СР-алгоритмів. Моделювання показало, що додаткові ітерації позитивно позначаються на точності оцінювання, але з кожною итерацией виграш зменшується, тому кількість ітерацій було вибрано рівним М = 2. Штріхпунктірная лінія відповідає еліпсу помилок, побудованому за результатами оцінки кореляційної матриці помилок. Малюнок доводить правомірність пропонованої модифікації: результати окремих оцінок виявилися в ЕО, розмір якого приблизно дорівнює розміру ЕО алгоритму Банкрофта. Ціна, яку доводиться платити за модифікацію СР-алгоритму, невелика. Ускладнення полягає в необхідності обчислити псевдообернена матриця 0> . У той же час середньоквадратичне відхилення (СКО) оцінок зменшується в 3-4 ра-

    -2.24 -2.25 -2.26 -2.27 -2.28 -2.29 -2.30 у, км

    т

    "1 г

    1 I

    ст х = 8.1533 м

    ст у = 10.117 м

    Мал. 4

    за. Так, в розглянутому машинному експерименті СКО помилок від значень СТХ «44 м, ст у« 27.5 м зменшилася до значень 8/21 і

    10.1 м відповідно.

    Висновки. У системах мультілатераціі для оцінки МП об'єктів використовується алгоритм Банкрофта. Цей алгоритм дозволяє прямим способом отримати оцінку МП і не вимагає значних обчислювальних витрат. Це вигідно відрізняє його від алгоритмів, що працюють на основі рішення оптимізаційних завдань. Результати математичного моделювання показують, що точність одержуваних за допомогою алгоритму оцінок близька до потенційно досяжною. Однак реалізація алгоритму вимагає процедури вирішення неоднозначності. У статті запропоновано новий алгоритм оцінки МП об'єктів, який має однакову з алгоритмом Банкрофта точність, і в той же час одержувані оцінки є однозначними. Обидва алгоритми мають приблизно однакову обчислювальну складність.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration (дата звернення 12.08.2018).

    2. Multilateration (MLAT) Concept of Use. Edition. 1.0-September 2007. ICAO Asia and Pacific Office. URL: https://www.icao.int/APAC/Documents/edocs/mlat_conc ept.pdf (дата звернення 12.08.2018).

    3. Torrieri D. J. Statistical theory of passive location systems // IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems. 1984. Vol. AES-20, № 3. P. 183-198. doi: 10.1109 / TAES. 1984.310439.

    4. Localization algorithms for multilateration (MLAT) systems in airport surface surveillance / I. A. Mantilla-Gaviria, M. Leonardi, G. Galati, J. V. Balbastre-Tejedor // Signal, Image and Video Processing. 2015. Vol. 9, iss. 7. P. 1549-1558. doi: 10.1007 / s11760-013-0608-1.

    5. Foy W. H. Position-location solutions by Taylor series estimation // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. 1976. Vol. AES-12, № 3. P. 187-194. doi: 10.1109 /TAES.1976.308294.

    6. Efficient location strategy for airport surveillance using mode-s multilateration systems / I. A. Mantilla-Gaviria, M. Leonardi, G. Galati, J. V. Balbastre-Tejedor, E. D. L. Reyes // Intern. J. of Microwave and Wireless Technologies. 2012. Vol. 4, iss. 2. P. 209-216. doi: 10.1017 / S1759078712000104.

    7. On the application of singular value decomposition and Tikhonov regularization to ill-posed problems in hyperbolic passive location / I. A. Mantilla-Gaviria, M. Leonardi, J. V. Balbastre-Tejedor, E. D. L. Reyes // Mathematical and Computer Modelling. 2013. Vol. 57, № 7-8. P. 1999-2006. doi: 10.1016 / j.mcm.2012.03.004.

    8. Smith J. O., Abel J. S. The spherical interpolation method of source localization // IEEE J. of Oceanic Engineering. 1987. Vol. OE-12, № 1. P. 246-252. doi: 10.1109 /JOE.1987.1145217.

    9. Friedlander B. A passive algorithm and its accuracy analysis // IEEE J. of Oceanic Engineering. 1987. Vol. OE-12, № 1. P. 234-245. doi: 10.11U9 / JOE.1987.1145216.

    10. Schau H. C., Robinson A. Z. Passive source localization employing intersecting spherical surfaces from time-of-arrival differences // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing. 1987. Vol. ASSP-35, № 8. P. 1223-1225. doi: 0.1109 / TASSP.1987.1165266.

    11. Chan Y. T., Ho K. C. A simple and efficient estimator for hyperbolic location // IEEE Trans. Signal Processing. 1994. Vol. SP-42, № 8. P. 1905-1915. doi: 10.1109 / 78.301830.

    12. Geyer M., Daskalakis A. Solving passive multilat-eration equations using Bancroft's algorithm // 17th DASC. AIAA / IEEE / SAE. Digital Avionics Systems Conf., Bellevue, 31 Oct.-7 Nov. 1998 WA, USA, Proc. Pisca-taway: IEEE, 1998. Vol. 2. P. F41 / 41-F41 / 48. doi: 10.1007 / s11760-013-0608.

    13. Bancroft S. An Algebraic Solution of the GPS Aerospace and Electronic Systems // IEEE Trans. Aerospace & Electronic Systems. 1985. Vol. AES-21, № 11. P. 56-59. doi: 10.1109 / TAES.1985.310538.

    14. Bakhoum E. G. Closed-Form Solution of Hyperbolic Geolocation Equations // IEEE Trans. Aerospace and Electronics Systems. 2006. Vol. AES-42, № 10. P. 1396-1404. doi: 10.1109 / TAES.2006.314580.

    15. Leonardi M., Mathias A., Galati G. Two Efficient Localization Algorithms for Multilateration // Intern. J. of Microwave and Wireless Technologies. 2009. Vol. 1, № 3. P. 223-229. doi: 10.1017 / S1759078709000245.

    16. Монаков А. А. Алгоритм оцінки місця розташування об'єкта в активних системах мультілатераціі // XXIV Міжнар. наук.-техн. конф. "Радіолокація, навігація, зв'язок", Воронеж, 17-19 квіт. 2018 г. / АТ «Концерн" Сузір'я "», Воронеж, 2018. Т. 3. С. 134-142.

    17. Монаков А. А. Модифікований алгоритм Банкрофта для систем мультілатераціі // Изв. вузів Росії. Радіоелектроніка. 2018. № 1. С. 50-55.

    18. Тихонов В. І. Оптимальний прийом сигналів. М .: Радио и связь, 1983. 320 с.

    Стаття надійшла до редакції 05 липня 2018 р.

    Монаков Андрій Олексійович - доктор технічних наук (2000), професор (2005) кафедри радіотехнічних систем Санкт-Петербурзького державного університету аерокосмічного приладобудування. Почесний машинобудівник РФ (2005), почесний працівник вищої професійної освіти РФ (2006). Автор понад 150 наукових робіт. Сфера наукових інтересів - цифрова обробка сигналів; радіолокація; дослідження природних середовищ радіотехнічними методами; управління повітряним рухом. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    REFERENCES

    1. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Trilate-ration (accessed: 02.09.2018).

    2. "Multilateration (MLAT) Concept of Use", Edition 1, ICAO Asia and Pacific Office, September 2007. Available at: https://www.icao.int/APAC/Documents/edocs/mlat_ concept.pdf (accessed: 12.08.2018).

    3. Torrieri D. J. Statistical Theory of Passive Location Systems. IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems. 1984, vol. AES-20, no. 3, pp. 183-198. doi: 10.1109 / TAES.1984.310439.

    4. Mantilla-Gaviria I. A., Leonardi M., Galati G., Bal-bastre-Tejedor J. V. Localization Algorithms for Multilateration (MLAT) Systems in Airport Surface Surveillance. Signal, Image and Video Processing. 2015-го, vol. 9, no. 7, pp. 1549-1558. doi: 10.1007 / s11760-013-0608-1.

    5. Foy W. H. Position-Location Solutions by Taylor Series Estimation. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. 1976, vol. AES-12, no. 3, pp. 187-194. doi: 10.1109 / TAES.1976.308294.

    6. Mantilla-Gaviria I. A., Leonardi M., Galati G., Bal-bastre-Tejedor J. V., Reyes E. D. L. Efficient Location Strategy for Airport Surveillance Using Mode-S Multilat-eration Systems. Intern. J. of Microwave and Wireless Technologies. 2012 vol. 4, no. 2, pp. 209-216. doi: 10.1017 / S1759078712000104.

    7. Mantilla-Gaviria I. A., Leonardi M., Balbastre-Tejedor J. V., Reyes E. D. L. On The Application of Singular Value Decomposition and Tikhonov Regularization to Ill-Posed Problems in Hyperbolic Passive Location. Mathe-

    matical and Computer Modelling. 2013, vol. 57, no. 7-8, pp. 1999-2006. doi: 10.1016 / j.mcm.2012.03.004.

    8. Smith J. O., Abel J. S. The Spherical Interpolation Method of Source Localization. IEEE J. of Oceanic Engineering. 1987, vol. OE-12, no. 1, pp. 246-252.

    doi: 10.1109 / JOE.1987.1145217.

    9. Friedlander B. A Passive Algorithm and Its Accuracy Analysis. IEEE J. of Oceanic Engineering. 1987, vol. OE-12, no. 1, pp. 234-245. doi: 10.1109 / JOE.1987.1145216.

    10. Schau H. C., Robinson A. Z. Passive Source Localization Employing Intersecting Spherical Surfaces From Time-of-Arrival Differences. IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing. 1987, vol. ASSP-35, no. 8, pp. 1223-1225. doi: 0.1109 / TASSP.1987.1165266.

    11. Chan Y. T., Ho K. C. A Simple and Efficient Estimator for Hyperbolic Location. IEEE Trans. Signal Processing. 1994 vol. SP-42, no. 8, pp. 1905-1915. doi: 10.1109 / 78.301830.

    12. Geyer M., Daskalakis A. Solving Passive Multilat-eration Equations Using Bancroft's Algorithm. 17th DASC. AIAA / IEEE / SAE. Digital Avionics Systems Conf., Bellevue, 31 Oct.-7 Nov. 1998 WA, USA, Proc. Pisca-taway: IEEE. 1998 vol. 2, pp. F41 / 41-F41 / 48. doi: 10.1007 / s11760-013-0608.

    13. Bancroft S. An Algebraic Solution of the GPS Aerospace and Electronic Systems. IEEE Trans. Aerospace & Electronic Systems. 1985, vol. AES-21, no. 11, pp. 56-59. doi: 10.1109 / TAES.1985.310538.

    14. Bakhoum E. G. Closed-Form Solution of Hyperbolic Geolocation Equations. IEEE Trans. Aerospace and Electronics Systems. 2006, vol. AES-42, no. 10, pp. 1396-1404. doi: 10.1109 / TAES.2006.314580.

    15. Leonardi M., Mathias A., Galati G. Two Efficient Localization Algorithms for Multilateration. Intern. J. of Microwave and Wireless Technologies. 2009 vol. 1, no. 3, pp. 223-229. doi: 10.1017 / S1759078709000245.

    16. Monakov A. A. Position Estimation Algorithm For Active Multilateration Systems. XXIV mezhdunarodnaya nauchno tekhnicheskaya konferenciya Radiolocaciya, Navi-

    Received July, 05, 2018

    gaciya, Svyaz [XXIV Intern. Scient. Conf. "Radiolocation, Navigation, Communication"]. 2018, vol. 3, pp. 134-142. (In Russian)

    17. Monakov A. A. Modified Bancroft Algorithm for Multilateration System. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Rossii. Radioelectronika [Journal of Russian Universities. Radioelectronics]. 2018, no. 1, pp. 50-55. (In Russian)

    18. Tikhonov V. K. Optimal'nyi priem signalov [Optimal Receiving of Signals]. Moscow, Radio i Svyaz ', 1983. (in Russian)

    Andrey A. Monakov - D.Sc. in Engineering (2000), Professor (2005) of the Department of radio equipment systems of the Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Honorable Mechanical Engineer of the Russian Federation (2005), Honorable Worker of Higher Professional Education of the Russian Federation (2006 ). The author of more than 150 scientific publications. Area of ​​expertise: digital signal processing; radar theory; microwave remote sensing; air traffic control. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.


    Ключові слова: радіонавігації / МУЛЬТІЛАТЕРАЦІЯ / ОЦІНКА РОЗТАШУВАННЯ / АЛГОРИТМ Банкрофта / RADIO NAVIGATION / MULTILATERATION / POSITION ESTIMATION / BANCROFT ALGORITHM

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити