завдання ідентифікації параметрів лінійних динамічних систем другого порядку з малими збуреннями за експериментальними даними вирішується шляхом зведення її до задачі мінімізації квадратичного функціоналу з обмеженнями у вигляді нелінійних алгебраїчних рівнянь. Проведено обчислення на трьох експериментальних наборах даних, що відповідають трьом типам особливої точки лінійної системи: сідло, вузол, центр.
Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Горшунова Тетяна Олексіївна, Стенін Ігор В'ячеславович, шаманалісь Павло Анатолійович
ALGORITHM OF PARAMETER IDENTIFICATION OF SECOND-ORDER DYNAMICAL SYSTEM WITH SMALL PERTURBATIONS ACCORDING TO EXPERIMENTAL DATA
Область наук:The problem of identifying the parameters of the second-order linear dynamical systems with small perturbations according to experimental data is solved by reducing it to the problem of minimizing a quadratic functional with constraints in the form of nonlinear algebraic equations. The calculations were carried out on three experimental data sets corresponding to the three types of singular points of a linear system: the saddle, the node, and the center.
Текст наукової роботи на тему «Алгоритм ідентифікації параметрів ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З МАЛИМИ обурення з ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМ ЦИМ»
?СТЕНІН І. В., шаманалісь П. А., Горшунова Т. А.
АЛГОРИТМ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З МАЛИМИ обурення з ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМ ЦИМ
Анотація. Завдання ідентифікації параметрів лінійних динамічних систем другого порядку з малими збуреннями за експериментальними даними вирішується шляхом зведення її до задачі мінімізації квадратичного функціонала з обмеженнями у вигляді нелінійних алгебраїчних рівнянь. Проведено обчислення на трьох експериментальних наборах даних, що відповідають трьом типам особливої точки лінійної системи: сідло, вузол, центр.
Ключові слова: ідентифікація параметрів, звичайні диференціальні рівняння, мінімізація.
STENIN I. V., SHAMANAEV P. A., GORSHUNOVA T. A.
ALGORITHM OF PARAMETER IDENTIFICATION OF SECOND-ORDER DYNAMICAL SYSTEM WITH SMALL PERTURBATIONS ACCORDING TO EXPERIMENTAL DATA
Abstract. The problem of identifying the parameters of the second-order linear dynamical systems with small perturbations according to experimental data is solved by reducing it to the problem of minimizing a quadratic functional with constraints in the form of nonlinear algebraic equations. The calculations were carried out on three experimental data sets corresponding to the three types of singular points of a linear system: the saddle, the node, and the center.
Keywords: identification of parameters, ordinary differential equations, minimization.
Розглянемо лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь c малими збуреннями виду
^ = 0iXi + 02 * 2 +? 1Х1
(1)
! ^ = 03 * 1 + 04 * 2 +? 2 * 2 де Xj? М, i = 1,2 - залежні змінні, t? [0, видання] - незалежна змінна, видання > 0, вк? М, к = 1, ..., 4 - невідомі параметри,? J (j = 1,2) - досить малі речові параметри.
Позначимо через Xj (t, в) -у-компоненту рішення системи (1), j = 1,2, що залежить від векторного параметра в = со1ітп (в1, в2, в3, В4).
Нехай при деяких фіксованих значеннях вк, к = 1, ..., 4, рішення системи (1) задовольняє завданню Коші з початковими умовами:
х ™ = х ± (0), х ™ = х2 (0). (2)
Нехай так само по змінної х з кроком т = ^ на рівномірній сітці
= Про ..... 1 + 1 = ^ +% ..... ги = ь, (3)
для експериментальних даних справедливі співвідношення
х ^ = х (1) +? (1),? = 1,., И, (4)
де х (1 ^ = со1ітп (х (1 \ х2 ^), х (1 ^ = со1ітп (х (1-> х (р = х] (1Ь в) - значення
компоненти рішення системи (1) в точці ^ при фіксованому значенні векторного параметра в, = со1ітп (? ц, - вектор, елементи якого є випадковими
величинами, що мають стандартний нормальний розподіл, тобто Е N (0,1), I =
) = 1,2.
Ставиться завдання ідентифікації параметрів системи виду (1), яка полягає в знаходженні таких оцінок §к параметрів вк, к = 1, ..., 4, при яких рішення задачі (1) наближається експериментальними даними {х®, I = 1, в сенсі методу найменших квадратів [1].
Замінимо рівняння (1) симетричною разностной схемою [2] на сітці (3)
М + 'ОЛ' л
Л1 Л1 = 1 (€ + Г.)
т = 2 +? 1 + 1,1),
Х2) ~ Х2) _ 1 (;,; Л (5)
- = 2 \ Ji.2 + П + 1,2),
? = 1 ^ -1,
де
/ І = А (х (1), в) = + в2х® + Е1х (Р П, 2 = Г2 (х (1 \ в) = 03Х® + М2 ° +? 2X?.
Вводячи позначення [3]
г = со1ітп (х (м \ в), х (м) = со1ітп (х (1 \ ..., х (м ^), т. = со1ітп (х (м \ О4), х (м) = со1ітп (х (1 \ ..., х (м ^), О4 - нульовий вектор розмірності 4,
отримаємо
х (м) = Н1г, х (м) = Н12,
де
H1 = U2N: 02NX4] -, H2 = -HlHl,
тут l2N - одинична (2N X 2N) матриця, 02Nx4 - нульова (2N X 4) матриця.
Тоді, згідно з [3-5], задача ідентифікації параметрів може бути сформульована як задача мінімізації квадратичного функціоналу з обмеженнями у вигляді нелінійних алгебраїчних рівнянь
< 1 minm (z), m (z) = ~ (H2z, z) - (H2z, z)
Z 2
T (z) = h. (6)
g (z) = 0
Тут введено такі позначення: T = [T1T2, ..., Tn, Tq] - (2 X (2N + 4)) -
матриця, T, i = 2, N - нульові (2x2) - матриці, Tq- (2x4) - матриця;
g (z) = column (gi (z), ..., gN (z)), gi (z) = column (ga (z), gi2 (z)), i = lJJ, gn (z) = gn (x (N ^, e) =
= (L + \ (Oi + zS) x? +1 В2 *? - (l - \ (ei + ei)) x ^ 1 + \ в2х (+1 \ (7)
gi2 (z) = gi2 (x (N ^, e) =
\ Osx? + {L + \ (?, + 82)) x® + \ в * ™ - (1 - T - (? 4 + S2)) x2i + V. (8)
Зауважимо, що різницева схема (5) з урахуванням позначень (7) - (8) може бути записана
у вигляді
ДОО = 0.
Для вирішення завдання (6) скористаємося алгоритмом [3], заснованим на апроксимації вихідної задачі послідовністю квадратичних задач мінімізації з лінійними обмеженнями. На кожному кроці розріджена система лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності вирішувалася з використанням методу сполучених градієнтів [4].
Обчислення проводилися на трьох наборах експериментальних даних х®, I = відрізняються від наближених рішень з початковими даними х- ^ 0) = 1, х2 (0) = 1 системи (1) на випадкові величини е ^ Е N (0,1) ( у = 1,2), що мають стандартний нормальний розподіл. Кожне наближене рішення системи (1) отримано при фіксованому наборі параметрів вк, к = 1, ..., 4, що відповідають трьом типам особливої точки системи (1): сідло, вузол, центр. Точність обчислень 8 покладалася рівною 0.001.
В результаті обчислень для трьох різних наборів експериментальних даних отримані оцінки §к для параметрів вк, к = 1, ..., 4, а також компоненти х1 (1, (0), х2 (1, в) наближених рішень системи (1) .
Наведемо графіки компонент х1 (1, (0), х2 (1, в) наближених рішень системи (1) і відповідні їм експериментальні дані.
Випадок 1. Нульове положення рівноваги системи (1) - сідло.
Отримані наступні оцінки параметрів в1, в2, в3, В4:
61 = 2.02298, В2 = 0.0001, в3 = 0.00002, В4 = -2.90002..
Мал. 1. Експериментальні дані та графік компоненти ХГ (Ь, в) наближеного рішення системи (1).
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Мал. 2. Експериментальні дані та графік компоненти Х2 ^, 0) наближеного рішення системи (1).
-| ----- V-
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
О 5 10 15 20
XI
Мал. 3. Експериментальні дані та наближення фазової траєкторії системи (1) з початковими даними хх (0) = 1, Х2 (0) = 1.
Випадок 2. Нульове положення рівноваги системи (1) - вузол. Отримані наступні оцінки параметрів в1, в2, в3, В4:
61 = -3.14132, В2 = 0.01895, в3 = 1.03559, В4 = 0.02129.
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
I
Мал. 4. Експериментальні дані та графік компоненти х - ^^^, 0) наближеного рішення системи (1).
I
Мал. 5. Експериментальні дані та графік компоненти Х2 ^, 0) наближеного рішення системи (1).
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г
-0,5 0 0,5 1
х1
Мал. 6. Експериментальні дані та наближення фазової траєкторія системи (1) з початковими даними хх (0) = 1, Х2 (0) = 1.
Випадок 3. Нульове положення рівноваги системи (1) - центр. Отримані наступні оцінки параметрів в1, в2, в3, В4:
в1 = 0.07274, В2 = 4.01077, в3 = -3.98702, В4 = -0.02925 .
Мал. 7. Експериментальні дані та графік компоненти 8) наближеного рішення системи (1).
Мал. 8. Експериментальні дані та графік компоненти Х2 ^, в) наближеного рішення системи (1).
Мал. 9. Експериментальні дані та наближення фазової траєкторії системи (1).
ЛІТЕРАТУРА
1. Zhengfeng Li, Michael R. Osborne, Tania Prvan. Parameter estimation of ordinary differential equations // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2005. - No. 25. Р. 264-285.
2. Самарський А. А., Гулін А. В. Чисельні методи. - М .: Наука, 1989. - 432 c.
3. Челишев М. С., шаманалісь П. А. Рішення задачі ідентифікації параметрів динамічних систем з використанням методу ортогональної циклічної редукції // Прикладна математика і механіка: зб. наукових праць. - № 11. - К: УлГТУ, 2017. - С. 264-271.
4. Стенін І. В., шаманалісь П. А. Алгоритм рішення розрідженій системи лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності з використанням методу сполучених градієнтів // Огарьов-online. - 2017. - № 13 [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://journal.mrsu.org.ua/arts/algoritm-resheniya-razrezhennoj-sistemy-linejnyx-algebraicheskix-uravnenij-bolshoj-razmernosti-s-ispolzovaniem-metoda-sopryazhennyx-gradientov (дата звернення 27.06.2019).
5. Стенін І. В., шаманалісь П. А. Ідентифікація параметрів динамічної системи другого порядку за експериментальними даними [Електронний ресурс] // Огарьов-online. - 2018. - № 14. - Режим доступу: http://journal.mrsu.org.ua/arts/identifikaciya-parametrov-dinamicheskoj-sistemy-vtorogo-poryadka-po-eksperimentalnym-dannym (дата звернення 27.06.2019).
Завантажити оригінал статті:
