В роботі розглянуто тривимірне стаціонарне, нормальне, Марківське поле. Аналіз грунтуючись-ється на ієрархічному підході даних випадкових величин, процесів та полів і рівнянні дві-вання амплітуди тривимірного поля типу рівняння Ланжевена з породжує тривимірним полем, про-Лада властивостями тривимірного білого шуму. Для випадкової величини - амплітуди тривимірного нор-мального марковского поля першого порядку в обсязі - отримані перехідні умовні щільності розподілу ймовірностей разом з безумовною щільністю розподілу ймовірностей. На їх основі побудувати-ен і статистично обґрунтований алгоритм генерації такого поля в паралелепіпеді. Наведено чисельний приклад реалізації запропонованого алгоритму. В основу розгляду марковских нормальних полів в об'єк-Еме покладено ієрархічний принцип. А саме, вершинний значення поля використано як початкове усло-віє для побудови процесів на ребрах, ці процеси - для побудови двовимірних полів на гранях, нако-нец, двовимірні поля використані в якості граничних умов при синтезі поля в обсязі. Вивчення нор-мального марковского поля в обсязі стартує з динамічного рівняння руху.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - А. С. Мазманішвілі, А. Ю. Сидоренко


ALGORITHM OF GENERATION OF THREE-DIMENSIONAL STATIONARY NORMAL MARKOV FIELDS

In this paper we consider a three-dimensional stationary, normal, and Markovian field. The analysis is based on the hierarchical approach of the random variables, processes and fields under consideration and the equation of motion of the amplitude of a three-dimensional field such as the Langevin equation with a generating three-dimensional field possessing the properties of three- dimensional white noise. For a random variable, the am-plitudes of a three-dimensional normal Markov field of the first order in the volume, transitional conditional probability distribution densities are obtained together with an unconditional probability distribution density. On their basis, an algorithm for generating such a field in a parallelepiped is constructed and statistically justified. A numer-ical example of the implementation of the proposed algorithm is given. The basis of the analysis of Markov normal fields in the volume is a hierarchical principle. Namely, the vertex value of the field is used as the initial condition for constructing processes on the edges, these processes are for constructing two-dimensional fields on faces, and finally, two-dimensional fields are used as boundary conditions for the synthesis of a field in a volume. The study of a normal Markov field in a volume starts with the dynamic equation of motion. A wide range of problems is considered in which three-dimensional normal Markov fields will find application. First of all, this is an extension of traditional problems using random one-dimensional processes and two-dimensional fields to the case of three variables. Promising is the use of three-dimensional normal Markov fields in problems of scattering of electromagnetic waves in perturbed media, external ballistics in a turbulent atmosphere, scattering of charged particles in amorphous media, propagation of acoustic oscillations in a solid.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2018
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету
    Наукова стаття на тему 'АЛГОРИТМ ГЕНЕРАЦІЇ ТРИВИМІРНИХ СТАЦІОНАРНИХ НОРМАЛЬНИХ Марківського ПОЛІВ'

    Текст наукової роботи на тему «Алгоритм ГЕНЕРАЦІЇ ТРИВИМІРНИХ СТАЦІОНАРНИХ НОРМАЛЬНИХ Марківського ПОЛІВ»

    ?УДК 621.384.6

    АС. Мазманішвілі

    Національний науковий центр "ХФТІ" НАНУ

    А.Ю. СИДОРЕНКО

    Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут"

    АЛГОРИТМ ГЕНЕРАЦІЇ ТРИВИМІРНИХ СТАЦІОНАРНИХ НОРМАЛЬНИХ Марківського ПОЛІВ

    В роботі розглянуто тривимірне стаціонарне, нормальне, Марківського поле. Аналіз ґрунтується на ієрархічному підході даних випадкових величин, процесів та полів і рівнянні руху амплітуди тривимірного поля типу рівняння Ланжевена з породжує тривимірним полем, що володіє властивостями тривимірного білого шуму. Для випадкової величини - амплітуди тривимірного нормального марковского поля першого порядку в обсязі - отримані перехідні умовні щільності розподілу ймовірностей разом з безумовною щільністю розподілу ймовірностей. На їх основі побудований і статистично обґрунтований алгоритм генерації такого поля в паралелепіпеді. Наведено чисельний приклад реалізації запропонованого алгоритму. В основу розгляду марковских нормальних полів в обсязі покладено ієрархічний принцип. А саме, вершинний значення поля використано як початкова умова для побудови процесів на ребрах, ці процеси - для побудови двовимірних полів на гранях, нарешті, двовимірні поля використані в якості граничних умов при синтезі поля в обсязі. Вивчення нормального марковского поля в обсязі стартує з динамічного рівняння руху.

    Ключові слова: тривимірне поле в обсязі, стаціонарність, нормальність, Маркова, алгоритм генерації, чисельний приклад.

    О.С. МАЗМАШШВ1Л

    Нащональній Науковий Центр "ХФТ1" НАНУ

    Г.Ю. СИДОРЕНКО

    Нащональній техщчній ушверсітет "Харювській Полггехшчній 1нстітут"

    АЛГОРИТМ ГЕНЕРАЦП ТРІВІМ1РНІХ СТАЦ1ОНАРНІХ нормально МАРК1ВСЬКІХ ПОЛ1В

    У роботi Розглянуто трівімiрне стацюнарне, нормальне, марювське поле. Анал1з Трунтуеться на ieрархiчному пiдходi Даних Випадкове величин, процеав та полiв i рiвняннi руху амплтуді трівімiрного поля типу рiвняння Ланжевена з породжувальнім трівімiрнім полем, что володiе властівостямі трівімiрного бшого шуму. Для віпадковог величини - амплтуді трівімiрного нормального марювського поля пер-шого порядку в про 'ЕМI - отріманi перехiднi умовнi щiльностi розподшу ймовiрностей разом з Безумовно щшьтстю розподшу ймовiрностей. На гх основi побудованій i статистично обтрунтованій алгоритм гені-рацІ такого поля в паралелепiпедi. Наведено чисельного приклад реалгзаці запропонованого алгоритму. В основу РОЗГЛЯДУ марювськіх нормальних полiв в об'емi покладаючи iерархiчній принцип. А самє, вершина значення поля Використано як початкова Умова для побудова процесiв на ребрах, ц процеси - для побудова двовімiрніх полiв на гранях, нарештi, двовімiрнi поля вікорістанi в якостi граничних умов при сінтезi поля в про 'ЕМI. Вивчення нормального марювського поля в про 'ЕМI стартуємо з дінамiчного рiвняння руху.

    Ключовi слова: трівімiрне поле в об'емi, стацiонарнiсть, нормальнкть, марковкть, алгоритм ге-нерацІ, чисельного приклад.

    Про ^. MAZMANISHVILI

    National Science Center "Kharkov Institute of Physics & Technology "NASU

    G.Yu. SYDORENKO

    National Technical University "Kharkov Polytechnical Institute"

    ALGORITHM OF GENERATION OF THREE-DIMENSIONAL STATIONARY NORMAL MARKOV FIELDS

    In this paper we consider a three-dimensional stationary, normal, and Markovian field. The analysis is based on the hierarchical approach of the random variables, processes and fields under consideration and the equation of motion of the amplitude of a three-dimensional field such as the Langevin equation with a generating three-dimensional field possessing the properties of three- dimensional white noise. For a random variable, the amplitudes of a three-dimensional normal Markov field of the first order in the volume, transitional conditional probability distribution densities are obtained together with an unconditional probability distribution density. On their basis, an algorithm for generating such a field in a parallelepiped is constructed and statistically justified. A numerical example of the implementation of the proposed algorithm is given. The basis of the analysis of Markov normal

    fields in the volume is a hierarchical principle. Namely, the vertex value of the field is used as the initial condition for constructing processes on the edges, these processes are for constructing two-dimensional fields on faces, and finally, two-dimensional fields are used as boundary conditions for the synthesis of a field in a volume. The study of a normal Markov field in a volume starts with the dynamic equation of motion. A wide range ofproblems is considered in which three-dimensional normal Markov fields will find application. First of all, this is an extension of traditional problems using random one-dimensional processes and two-dimensional fields to the case of three variables. Promising is the use of three-dimensional normal Markov fields in problems of scattering of electromagnetic waves in perturbed media, external ballistics in a turbulent atmosphere, scattering of charged particles in amorphous media, propagation of acoustic oscillations in a solid.

    Keywords: three-dimensional field in the volume, stationarity, normality, markovity, generation algorithm, numerical example.

    Постановка проблеми

    При розгляді прикладних проблем в задачах фізики широко застосовується нормальний марковский процес (НМП) [1]. Вичерпне виклад властивостей НМП є в класичній роботі [2], обґрунтування його характеристик, схема переходу від рівнянь руху до їх інтегральним аналогам і побудова рекурентних алгоритмів чисельної генерації НМП наведено в [3]. Узагальнення одновимірного НМП на випадок двовимірного нормального марковского поля (ДНМП) описано в [4] стосовно завдань двовимірної фільтрації. Опис фізичних властивостей об'єктів типу ДНМП викладено в [5]. Алгоритм генерації ДНМП на площині наведено в [6].

    Мета дослідження

    Метою даної роботи є побудова алгоритм генерації тривимірного стаціонарного нормального марковского поля (ТНМП).

    Виклад основного матеріалу дослідження Рівняння руху і основні статистичні співвідношення

    Розглянемо паралелепіпед, який сумісний з декартовой системою координат, і вивчимо нормальні марковские флуктуації в ньому. В основу розгляду марковских нормальних полів в обсязі покладемо ієрархічний принцип. А саме, вершинний значення поля використовуємо як початкова умова для побудови процесів на ребрах, ці процеси - для побудови двовимірних полів на гранях, нарешті, двовимірні поля використовуємо в якості граничних умов при синтезі поля в обсязі. Вивчення нормального марковского поля в обсязі почнемо з динамічного рівняння руху. Для амплітуди h (x, y) ТНМП H (x, y, z) з парціальними декрементом v, ц і X динамічне рівняння наступне:

    d_ dx

    - + v

    f- + ^ dy

    d + X | h (x, y, z) = uxyz (x, y, z). dz

    з початковою умовою в вершинної точці (0,0,0)

    ?(0,0,0) = і0 ,

    з граничними умовами на ребрах 0х, 0у і 02 виду

    d- + v | h (x, y, z) = ux (x),

    f- + dy

    \

    h (x, y, z) = u y (y)..

    d + X | h (x, y, z) = uz (z); dz

    (1)

    (2)

    (3)

    а також граничними умовами на гранях x0 y, x0 z і y0z

    (d

    - + v

    v dx

    dy

    h (x, y, z) = mXy (x, y), I - + v || - + X | h (x, y, z) = uXz (x, z)

    + Ц

    dz

    + X | h (x, y, z) = uyz (y, z). (4)

    уйх А йг

    Охарактеризуємо рівняння (1). Тут: іху7 (х, У, г) - білий шум, що реалізується в обсязі і має нульове математичне сподівання і інтенсивність а й • Початковою умовою в вершині до

    2

    рівняння (1) служить випадкова величина і0, що підкоряється нормальному закону з дисперсією атт

    У0

    1

    fU0 (u 0) = ^ = - exp

    0 V2nau0

    u 0

    U

    -да <u0 < да .

    (5)

    0

    У виразах (3) і х (х), і у (у) і і? (Г) - білі шуми, що реалізуються на ребрі 0х, ребрі 0у і ребрі 02, відповідно. Ці шуми мають нульові математичні очікування і інтенсивності а й ,

    а й і а і. Реалізація шуму і х (х) здійснюється на ребрі 0х, таким чином, перше граничне умова в (3) справедливо для будь-яких значень координат г і у. Реалізації шумів і у (у) і і? (Г) здійснюються на ребрах 0у і 0г аналогічно.

    У рівняннях (4) їху (х, у), іх2 (х, г) і іу2 (у, г) - білі шуми, що реалізуються на гранях х0у, х0г і у0г. Ці шуми мають нульові математичні очікування і інтенсивності а й, а иу і а і. Структура розглянутого білого шуму така, що на гранях білі шуми реалізуються незалежно, це їх властивість виявиться важливим в подальшому. Незалежними є так само і шуми на ребрах-осях. Формальне рішення рівняння (1) з умовами (2) - (4) наступне

    І (х, у, г) = І (0,0,0) ехр (^ х -цу -АГ) + 1х + 1У +? Г +? Ху +? ХГ + 1уг +? Хуг, (6)

    ?X = [ехр (ох + ух ') їх (х') ^ х ', 1У = [уехр (-цу + цу') иу (у ') dy', = [ехр (-А ^ + Аг ') і ^ (ґ) Сх ', «ю« ю »0

    ^ 'Х г Су г

    0 Сх exp (-vx + vx) I Су ехр (-цу + цу) і ху (х, у),

    • Ю '-Ю

    J'X су

    0 Сх 'exp (-vx + vx') ^ Су 'ехр (-цу + цу') ^ Сг 'ехр (-АГ + Аг') і ху2 (х ', у', г '),

    при цьому вирази для? х2 і 1У? будуються аналогічно конструкції? ху .

    Розглянемо статистичні властивості доданків в рішенні (6). Як видно з (1), рішення для поля

    до (х, у, г) лінійно залежить від породжує процесу і (х, у, г), що володіє властивостями білого шуму.

    Тому амплітуда породженого поля до (х, у, г) буде підкорятися нормальному закону. При цьому без-

    2 + 2 умовне середнє поля І (х, у, г) дорівнюватиме нулю, а його дисперсія ан буде пов'язана з дисперсією а ^ .

    Перше з умов до рівняння (1) пов'язано з вершинним початковою умовою (4). Наступні три доданків? Х,? В, і? 2 забезпечують виконання граничних умов на ребрах паралелепіпеда. Ці добавки в рішення (6) задовольняють співвідношенням, справедливим для НМП, який реалізується уздовж осей 0х, 0у і 0г відповідно.

    ехр (ох + vx) їх (х) Сх = І (х, у, г) - до (0, у, г) ехр (ох), (7)

    0

    при цьому вирази для? у і? 2 будуються аналогічно? Х .

    Наступні три доданків? Ху,? х2, і? у2 забезпечують виконання граничних умов на гранях паралелепіпеда. Для них ці умови в інтегральної формі мають вигляд,

    Ix

    ехр (^ х + vx) і х (х) Сх +

    0 (8)

    ^ • у? Х. I су I

    0 ехр (-цу + цу) і у (у) Су + ^ Сх exp (-vx + vx Су ехр (-цу + цу) і ху (х, у).

    Вирази для І (х, у, г) - Л (0,0,0) ехр (ох -АГ) і І (х, у, г) - Л (0,0,0) ехр (-цу -АГ ) будуються аналогічно формулі (8).

    Тепер для зручності запису будемо вважати, що об'ємне поле вкрите сіткою і перейдемо від безперервних координат х, у і г до наборів {хп}, {ут} і {г ^}, при цьому індекси п, т і до будемо відраховувати від нуля. Тоді перейдемо в рішенні (6) до індексного запису. З цією метою будемо вважати точку з координатами (х.у, г) - крапкою з індексами (п, т, к). Позначимо парціальні корелятори р, д і г через

    р = ехр (-У (хп - хп-1)), д = ехр (-ц (ут - ут-1)), г = ехр (-А (гк - гк-1)), (9)

    тут і нижче індекси у парціальних корреляторов р, д і г опущені для стислості.

    Розглянемо дві групи з чотирьох точок кожна: (хп_1, ут_1, гк-1), (хп, ут_1,? К_1),

    (Хп-1, ут, zk-1), (хп-1, т-1, гк) і (хп-1, ут, гк), (хп, ут - ред гк), (xn-1, ут -Ь гк), (хп, ут, гк). У «верхньому» прямокутнику парціальні ймовірності попадання в фінішну крапку (хп, ут,) дають

    внесок три точки (хп-1, ут, ^), (хп, ут-1,? к), (хп-1, ут-1, гк) з вірогідністю р, д і рд відповідно. Умовна ймовірність попадання в точку (хп, ут, ^ з 4 точок «нижнього» прямокутника складе

    Рг (Нп, т, К_1 К_1, Т_1, к-l,? П, Т_1, к-Ь? П_1, т, к_Ь? П_1, Т_1, к) = г _ г (Р + Ч _ (10)

    Таким чином, умовна ймовірність попадання в фінішну крапку (хп, ут, гк) з інших семи вершин паралелепіпеда становить з урахуванням подвійної компенсації

    Рг \ Нп, т, до? П-1, т, до,? П, т-1, до,? П-1, т-1, до,? П-1, т-1, к-1,? п, т-1, к-1,? п-1, т, к-1,? п-1, т-1, к) = р + Ч + г - РЧ - рг - ЧГ + РЧГ • (11)

    Для знаходження дисперсії в умовному розподілі випадкової величини? Пт до введемо умовну виробляє функцію С (^) = м [ехр (/ ''Н пш, к)], в якій

    Я = РК-1, т, до + ПАП к-1 - РЧЛп-1 к-1 - РГК-1, т, к-1 + РЧгК-1, т-1, к-1, (12)

    тоді М (нп т к) 2] = - (й2 / й', ^) 0 (видання,) \. Обчислення С (^) почнемо з точок, прилеглих до фінішної точці? Пт до, тобто точок? Пт до,? П Т_1 до і? Пт К_1. Розглядаючи межі, де вони розташовані, і користуючись двовимірними перехідними плотностями розподілів ймовірностей, одержимо

    О (ред) _ ехр {- 0.5' 2 а Н [р 2 (1 - Ч 2) 1 - г 2) + Ч 2 (1 - Р 2) 1 - г 2) + г 2 (1 - Р 2) 1 - Ч 2)]} * (13)

    X м [ехр (ь (РЧНп-1, т-1, до + РгНп-1, т, к-1 + ЧгНп, т-1, к-1 - 2РЧгНп-1, т-1, к-1)) ] • Спираючись на властивості залишилися 3 граней паралелепіпеда, на яких розташовані точки? п_1, Т_1, до,? п-1, т, к-1,? п, т - \, до -1, знайдемо, що другий множник в ( 13) складає

    м [ехр ( 'ь (РЧНп-1, т-1, до + РгНп-1, т, к-1 + ЧгНп, т-1, к-1 - 2РЧгНп-1, т-1, к-1)) ] _ (14)

    _ Ехр {- 0.5'2аН [р2Ч2 (1 - г2) + Р2г2 (1 - Ч2) + Ч2г2 (1 -Р2)]} м [ехр (? РЧгНn_l, ш_l, k_l)] • Приймемо, що п _ 1, т _ 1 і до _ 1. Оскільки на підставі (2) в вершинної точці? 000 виконується инициализирующее умова м [ехр (/ ''РЧгН0 00)] _ ехр (- 0.5 ^ 2аНР2Ч2г2), то після об'єднання всіх трьох співмножників, що входять в ( 14), отримаємо при п _ 1, т _ 1 і до _ 1

    О (Ь) _ ехр | - 0.5'2аН [1 - (1 - Р2) 1 - Ч2 ^ _ г2 | • (15)

    Оскільки в силу (6) маємо Н птк _ § + 1хУ2, то 11] _ Б ^] + 0 [1ху2] • Звідси випливає,

    2 2 2 2

    що Б [§] _ 1 - (1 - Р) (1 - Ч) (1 _ г) I ан • У зв'язку з нормальністю 1хУ7 щільність розподілу випадкових значень 1хУ7 має вигляд гаусів вид з нульовим математичним очікуванням і дисперсією

    А2 _ / Г 1 ехр (- vx + vx ') їх (х') йх'Г 1 ехр (- vx + vx ") їх (х") йх "х (16)

    iXУZ \->х0 4 7 ^ х0 4 7 Л

    х [У1 ехр (-цу + цу ') иу (у') йу 'ГУ1 ехр (-цу + цу ") иу (у") йу "Г 1 ехр (-ХГ + Хг'і (ґ) йг' г 1 ехр (-ХГ + ХГ ") uz (г") йг "

    У0 у0 • 'г0 •' г0

    В результаті розчеплення по х -м, у -м і г -м флуктуацій, усереднення і інтегрування знайдемо

    2 1 - ехр (- 2v (х1 - х0)) 1 - ехр (- 2ц (у1 - у0)) 1 - ехр (- 2 Х (г1 - г0)) 2 (17)

    а _--- атт • ()

    Iхуz 2v 2ц 2Х UXУZ

    Отже, випадкова величина Iхуz має дисперсію А2 _ (1 - Р 2) (1 - ч 2) 1 _ г2 Г8уцХ) -1 А2 •

    1XУZ К 'UXYZ

    Оскільки Нптк _ § + IхYZ, то статистичні властивості доданків в цій рівності еквівалентні, значить

    Ан _ (1 _Р2) (1 _Ч2) (1 _г2)] Ан + (1 _Р2) (1 _Ч2) (1 _г2ЦцХ) -1 а ^ • (18)

    Для забезпечення стаціонарності приймемо

    2 1 2

    а Н _-а 2 • (19)

    Н 8уцХ UXYZ

    Це співвідношення можна розглядати як аналог співвідношення Ейнштейна [2, 3], але для випадку тривимірного НМП. Таким чином, маємо

    м

    (Н0,0,0) 2]

    = ан.

    (20)

    З (18) і (19) випливає, що якщо справедливо М

    2

    = А Н:

    то виконується

    М

    Ко, О) 2]

    = а

    н

    М

    (Н0,1,0}

    = а

    Н:

    М

    Код) 2

    = а

    Н

    М

    (Н0,0,0) 2] (Н111) 2] = а Н. Продовжуючи це ра-

    венство индуктивно, отримаємо, що для точки тривимірного поля з довільним набором індексів виконуємо-

    ється М

    [(Н п, т, до ^

    = А н. Тепер, так само, як і вище, для умовної щільності розподілу ймовірно-

    стей / н (Іп т к) випадкової величини Нп т до - амплітуди ТНМП першого порядку в обсязі - отримаємо

    Икп

    до

    , А "

    , й "

    , до

    п, т, до \ п-1, т, до, п, т-1, до, п, т, к-1, п-1, т-1, до, п, т-1, к-1, п-1, т, к-1, п-1, т-1, к-1

    до

    , до,

    , до,

    ) =

    х ехр

    - р 2) 1 - Д2) 1 - г 2) ан

    ,до + ДКП, т-1, до + ДКП, т, к-1 - Рдкп-1, т-1 к-1 - РГКП-1т, к-1 + Рдгкп-1, т-1, к-1)] 2 ^

    2а Н (1 - р211 - Д2 Ж - г2)

    (21)

    Звуження щільності (21), наприклад, на грань (х, у, 0) дає

    / Н (до

    'П, т, до \ КП-1, т-1, до, КП-1, т-1, до, КП-1, т-1, к)

    -ехр

    д / ін

    [Кп, т, до ~ (РКП-1, т, до + ПКП, т-1, до ~ рЧкп-1, т-1, к)] 2

    2аН (1 - р 2 - Д2)

    (22)

    і аналогічно для / н (кп, т, ІКП-1, т, к-Ькі-1, т-1, до, ки-1, т, к-1) і / Н (кп, т, до кп, т -1, к-Ьк1, т-1, к-Ькп-1, т-1, к-1) •

    Подальше звуження щільності (22), наприклад, на ребро (х, 0,0) дає

    ,/ Н (до

    п, т, до \ кп - \, т, до

    ) = |

    1

    -ехр

    д / 2п (1 - р 2) ан і аналогічно для / н (кп, т, до кп, т-1, к) і / н (кп, т, до кп, т, к-1) •

    [Кп, від, до РКП-1, т, до]

    2а н (1 -

    (23)

    Тепер в результаті звуження по залишився вказаною ребру приходимо до рівноважної безумовної щільності виду (5):

    З А \ 2 ^

    / Н (до

    п, т, до

    ) =

    1

    л / 2л

    -ехр

    а

    н

    (Кп, т, к)

    н

    (24)

    Тому отримуємо, що безумовна дисперсія амплітуди КПТК для будь-яких значень індексів п,

    2

    т і до постійна, Б [нптк] = ан- Таким чином, побудоване нормальне Марківське поле першого порядку в обсязі є стаціонарним. При синтезі нормального марковского 3Б-поля н (х, у, г) в точці (х, у, г) будемо спиратися на статистичні ваги (21) - (24).

    Алгоритм генерації нормальних тривимірних марковских полів в обсязі Далі розглянемо синтез алгоритму генерації випадкового об'єкта н (х, у, г) - нормального марковского поля, який реалізується в обсязі. Визначальним властивістю даного нормального марковского двовимірного поля є його кореляційний функціонал

    КХУг = КХУг (х, у, г | х ', у', г ') = (н (х, у, г) н (х', у ', г')} = рдга н, (25)

    де до (х, у, г) - реалізація гаусового тривимірного поля н (х, у, г) в прямокутній області

    {Хе [0, а], у е [0,6], г е [0, с]} в обсязі, ан = ^ Н2 (х, у, г) ^ - інтенсивність тривимірного НМ-поля, V, ц

    і X - декременти загасання поля по осі абсцис х, осі ординат у і по осі аплікат г відповідно.

    Розташуємо в обсязі декартову систему координат з початком в точці (0,0,0). Динаміку значень до (х, у, г) випадкового ТНМП н (х, у, г) в прямокутнику {х е [0, а], у е [0,6], г е [0, с]} з вершиною в (0,0,0) можна описати за допомогою рівняння (1), узагальнюючого рівняння Ланжевена для процесу Орн-штейну-Уленбека [2, 3]. На основі рішення (8) і статистичних ваг (21) - (24) можна побудувати числовий

    1

    х

    алгоритм генерації значень? (х, у, г) ТНМП Н (х, у, г). Цей ієрархічний алгоритм генерації значень у вузлах нормального марковского тривимірного поля в прямокутній області площині зручно представити наступними п'ятьма кроками.

    Крок 1. Генерація значення в вершині: g000 _ і000- (26)

    Крок 2. Генерація значення процесу уздовж х -граніци паралелепіпеда (п > 0), уздовж у -граніци паралелепіпеда (т > 0), уздовж г -граніци паралелепіпеда (до > 0):

    Крок 3. Послідовне заповнення значеннями внутрішніх вузлів х0у -прямоугольніка (п > 0, т > 0), внутрішніх вузлів х0г -прямоугольніка (п > 0, до > 0) і внутрішніх вузлів у0г -прямоугольніка (т > 0, до > 0):

    ^ + 1, т + 1, до _ ^ п, т + 1, до + ^ п + 1, т, до _ Р ^ п, т, до + У (1 _ р2) (1 _ ч2) ип + 1 , т + 1, до,

    gn + 1, m, k + 1 _ Рgn, m, k + 1 + ^ п + 1, т, до _ Р ^ п, т, до + д / ^ 1-Р ^ Х1- ^ ип + 1, т , до + 1, • (28)

    gn, m + 1, k + 1 _ Чgn, m, k + 1 + гgn + 1, m + 1, k _ Ч ^ п, т, до + "\ / (1 _ Ч2) (1 _ г2) ип , т + 1, до + 1 Крок 4. Послідовне заповнення значеннями внутрішніх вузлів хуг -параллелепіпеда (п > 0, т > 0, до > 0):

    |? П + 1, т + 1, до +1 _ ^ п, т + 1, до + 1 + ^ п + 1, т, до + 1 + гgn + 1, m + 1, k _

    I 2 + 2 (29)

    _ РЧgn, m, k + 1 _ Чгgn + 1, m, k _ Ргgn, m + 1, k + РЧ ^ п, т, до + V (1 _ Р) (1 _ Ч) (1 _ г) ип + 1, т + 1, до + 1

    Крок 5. Нормування амплітуди поля (п > 0, т > 0, до > 0): КПТ до _ аНgn т до • (30)

    У виразах (26) - (30) позначено Р _ ехр (^ Д х), 4 _ ехр (-цДу) і г _ ехр (-ХДг), де V, ц і Х - парціальні декременти, Д х, Ду і ДГ - кроки вузлів по осях х, у і г відповідно. Інтенсивність а н амплітуди породженого поля Н (х, у, г) пов'язана з інтенсивністю породжує поля і (х, у) співвідношенням (30) ^ Відзначимо, що для обраних Д х, Д у і Д г (тобто кількості кроків N х _ а / Д х, N у _ Ь / Д у і N г _ с / Д г, що відповідають заданим розмірам паралелепіпеда а, Ь і

    с), інтенсивність в числовому алгоритмі необхідно перенормировать так, щоб енергія ТНМ-поля Н (х, у, г), що припадає на одиницю об'єму, збігалася із заданою при будь-якому числі кроків.

    Мал. 1. Нормальне Марківське тривимірне поле Н (х, у, г)

    З (26) - (30) можна отримати для значення hnm до в будь-якому (n, m, k) -узле

    M [Hn, m, k] = 0, M [(Hn, m, k) 2] = C H = const, (31)

    якщо послідовно знижувати значення n-індекс, потім m-індекс і до-індекс і, нарешті, знайти безумовне рівноважне середнє. Таким чином, алгоритм генерації значень випадкового поля в паралелепіпеді є стаціонарним. З його допомогою можна отримувати значення на заданому породженому шарі, спираючись на раніше знайдені значення попереднього породжує шару.

    Візуалізація тривимірного НМ-поля утруднена образотворчими можливостями. На рис. 1 наведено приклад генерації h (x, y, z) випадкового поля H (x, y, z). Цей малюнок утворений з 3 малюнків поля

    H (x, y, Z 0), y, zl) і y, z 2), сукупність яких {h (xn, ym, Zo)}, (h (x ", ym, Zi)} і {h (xn , ym, Z2)} складається з значень, знайдених у відповідності з алгоритмом генерації. Параметри розрахунку: кроки Дx = 1.0, Ay = 1.0, Az = 5.0; кількість кроків Nx = 25, Ny = 25, Nz = 2; декременти загасання v = 2.0,

    ц, = 2.0, Х = 0.25. Інтенсивність з і амплітуди h (x, y, z) поля H (x, y, z) обрано рівної з і = 0.25. На рис. 1 вісь 0z - вертикальна. Для наочності реалізації поля рознесені на інтервал, рівний 5.

    Можна запропонувати широке коло завдань, в яких знайдуть застосування тривимірні нормальні марковские поля. Перш за все, це розширення традиційних завдань із застосуванням випадкових одновимірних процесів і двовимірних полів на випадок трьох змінних. Представляється перспективним застосування тривимірних НМП в задачах розсіювання електромагнітних хвиль в обурених середовищах, зовнішньої балістики в турбулентної атмосфері, розсіювання заряджених частинок в аморфних середовищах, поширення акустичних коливань в твердому тілі. Можливості обчислювальних засобів дають підставу сподіватися на успішне застосування тривимірних НМП в задачах чисельного моделювання. Перспективним є застосування тривимірних НМП в задачах оцінювання, фільтрації, тривимірного шифрування і декодування.

    висновки

    В роботі розглянуто тривимірне поле, що володіє властивостями стаціонарності, нормальності і марковости. Аналіз ґрунтується на рівнянні руху амплітуди тривимірного поля до породжує тривимірним полем, що володіє властивостями тривимірного білого шуму. Для випадкової величини - амплітуди тривимірного нормального марковского поля першого порядку в обсязі - отримані перехідні умовні щільності розподілу ймовірностей разом з безумовною щільністю розподілу ймовірностей. На їх основі побудований і обгрунтований алгоритм генерації такого поля в паралелепіпеді. Наведено чисельний приклад реалізації запропонованого алгоритму.

    Список використаної літератури

    1. Uhlenbeck G. E. On the theory of Brownian Motion / L.S. Ornstein, G.E. Uhlenbeck, // Phys. Rev.

    1930 v. 36, pp. 823-841.

    2. Чандрасекар С. Стохастичні проблеми у фізиці і астрономії. - М .: Гос. вид-во иностран. літ-ри,

    1947. - 168 с.

    3. Тихонов В. І. Марковские процеси / В.І. Тихонов, М.А. Миронов - М .: Сов. радіо, 1977. -488 c.

    4. Habibi A. Two-Dimensional Bayesian Estimate of Image // Proc. IEEE, 1972, vol. 60, № 7, pp. 878-883.

    5. Хусу А. П. Шорсткість поверхонь / А. П. Хусу, Ю. Р. Вітенберг, В. А. Пальмов. - М.: Наука, 1975. - 344 с.

    6. Мазманішвілі А. С. Моделювання марковских випадкових послідовностей та алгоритм генерації однорідного двовимірного марковского поля / А. С. Мазманішвілі, В. Є. Щербань // Електронне моделювання. - 1996. - № 2. - С. 93-95.


    Ключові слова: тривимірне поле в обсязі / стационарность / нормальність / Маркова / алго-ритм генерації / чисельний приклад. / three-dimensional field in the volume / stationarity / normality / markovity / generation algorithm / numerical example.

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити