Пропонується новий алгоритм для формування випадкових фазових екранів, які використовуються при чисельному рішенні задачі поширення лазерного випромінювання в турбулентному атмосфері. Моделювання екранів виконується з урахуванням тимчасових флуктуацій показника заломлення середовища, що дозволяє позбутися від періодичності, що виникає при поперечному зсуві екранів, що мають кінцеві розміри. Таким чином, стає можливим формувати мінливі в часі турбулентні екрани необмеженої (нескінченної) протяжності. Новий підхід знаходить своє застосування в задачах моделювання довготривалих експериментів в турбулентної атмосфері. Проведено порівняння чисельних і реальних експериментів.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Дудоров В. В., Колосов В. В., Філімонов Г. А.


Algorithm of forming infinite turbulent screen for simulation of long-term laser experiments in the atmosphere

A new algorithm of forming random phase screens used in numerical solution of the problem of laser radiation propagation in the turbulent atmosphere has been proposed. Modelling of the screens is carried out in terms of time fluctuations of medium refraction index, which permits to remove periodicity caused by transverse displacement of screens having finite size. Thus, it is possible to form changing in time turbulent screens of infinite extent. The new approach finds its application in the problems of modelling long-term experiments in the turbulent atmosphere. The comparison of numerical and real experiments is made.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2006


    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ


    Наукова стаття на тему 'Алгоритм формування нескінченних турбулентних екранів для моделювання довготривалих лазерних експериментів в атмосфері'

    Текст наукової роботи на тему «Алгоритм формування нескінченних турбулентних екранів для моделювання довготривалих лазерних експериментів в атмосфері»

    ?УДК 535.3

    АЛГОРИТМ ФОРМУВАННЯ нескінченно турбулентності ЕКРАНІВ ДЛЯ моделювання довготривалої ЛАЗЕРНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ В АТМОСФЕРІ

    В.В. Дудоров, В.В. Колосов, Г.А. Філімонов

    Інститут оптики атмосфери СО РАН, Томськ E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її., Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її., Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Пропонується новий алгоритм для формування випадкових фазових екранів, які використовуються при чисельному рішенні задачі поширення лазерного випромінювання в турбулентному атмосфері. Моделювання екранів виконується з урахуванням тимчасових флуктуацій показника заломлення середовища, що дозволяє позбутися від періодичності, що виникає при поперечному зсуві екранів, що мають кінцеві розміри. Таким чином, стає можливим формувати мінливі в часі турбулентні екрани необмеженої (нескінченної) протяжності. Новий підхід знаходить своє застосування в задачах моделювання довготривалих експериментів в турбулентної атмосфері. Проведено порівняння чисельних і реальних експериментів.

    Вступ

    Дослідження проблем, що виникають при поширенні лазерного випромінювання в турбулентному атмосфері, отримали свій розвиток ще в 70-х рр. минулого століття. До цього часу відносяться теоретичні результати по виявленню основних ефектів і закономірностей у цій галузі. В даний час інтерес дослідників притягнуто до засобів комп'ютерного моделювання. Перш за все, це пов'язано з роботою наукових організацій світової спільноти з побудови різних лазерних систем, які працюють в умовах реальної атмосфери. Побудова кожної системи такого рівня пов'язано з обов'язковими тестовими випробуваннями як системи в цілому, так і її складових частин. Обсяг проведених натурних експериментів бажано мінімізувати, т. К. Побудова кожного варіанту системи пов'язано з великими фінансовими витратами. Саме тому методи комп'ютерного моделювання стають все більш популярними. Завдяки порівняно невисокій вартості їх реалізації, можливості оперативного внесення змін та відпрацювання великого числа варіантів, розвитку даних методів приділяється все більша увага. Ставиться завдання створення чисельних алгоритмів моделювання, найбільш адекватно відображають реальні атмосферні процеси, в тому числі і флуктуації показника заломлення.

    При моделюванні реальних лазерних систем важливою вимогою є виконання розрахунків для досить тривалого часу їх роботи. Цей час може бути настільки велике, що виникає необхідність врахування переміщення неоднорідностей атмосфери вітром на відстані, істотно перевищують поперечні розміри пучка.

    Моделлю турбулентних неоднорідностей в найбільш поширених на сьогоднішній день методи моделювання є один або кілька випадкових турбулентних екранів [1-3]. Існуючі методи формування екранів обмеженою протяжності (близько 2 ... 20 радіусів пучка) непридатні для тих завдань, де требу-

    ються екрани, істотно перевищують розміри радіуса пучка. В даний час авторам відома єдина робота, яка описувала побудова неперіодичних екранів довільної довжини [4]. Особливістю даного підходу є те, що він спирається на гіпотезу Тейлора про заморожене турбулентності і вимагає великих обчислювальних витрат.

    У даній роботі пропонується алгоритм формування нескінченного турбулентного екрану на основі ідеї про його тимчасової еволюції, що дозволяє врахувати додаткову тимчасову трансформацію розподілу турбулентних неоднорідностей за рахунок флуктуацій швидкості вітру.

    1. Алгоритм побудови змінюється

    в часі екрану

    Традиційним підходом до вирішення завдання поширення лазерного випромінювання в турбулентному середовищі є метод розщеплення по фізичним факторам [1]. При цьому дистанція z (відстань між джерелом і приймачем випромінювання) розбивається на N рівних кроків Az, а турбулентні неоднорідності моделюються послідовністю випадкових фазових екранів. На кожному кроці вплив флуктуацій показника заломлення атмосфери враховується в наближенні геометричної оптики. У цьому випадку функція кореляції флуктуацій фази пов'язана з тривимірним просторовим спектром флуктуацій показника заломлення співвідношенням [2]:

    BS (r, Az) = JJ dK $ S (до, Az) exp (Kr) =

    = Ink 2Az JJdKD n (до, Az) exp (Kr), (1)

    де BS, Ф5 - функція кореляція і спектр флуктуацій фази, Ф "- спектр флуктуацій показника заломлення, r = {x, y} - координата в площині, перпендикулярній осі розповсюдження, к-про-просторових частота в спектральному просторі, k - хвильове число . При цьому крок Az повинен бути, з одного боку, досить малий, щоб можна було використовувати наближення геометричної оптики, з іншого боку, досить ве-

    лик, т. к. ур. (1) отримано в наближенні, що дистанція багато більше поздовжнього просторового масштабу кореляції флуктуацій показника заломлення.

    Представляючи випадковий фазовий екран у вигляді перетворення Фур'є (метод випадкових спектральних амплітуд):

    ? (Г) = Л dкA (к) ехр (К г) (2)

    і визначаючи, яким умовам повинна задовольняти спектральна амплітуда А (к), щоб кореляційна функція для? (г) збігалася з Б (т, А?), отримуємо, що квадрат модуля спектральної амплітуди повинен задовольняти умові [3]

    | А (к) | 2 = ВЯ (до, Аг),

    де В я (к) = - I "\ yoгВв (г) ехр (-к г), т. е. аргумент 2п • '•'

    випадкової спектральної амплітуди є детермінованим і його значення визначається видом спектру флуктуацій фази плоскої хвилі, що розповсюджується в турбулентному атмосфері. Випадковість спектральної амплітуди визначається завданням її випадкової фази. Вираз для випадкового фазового екрану має наступний вигляд:

    Я (г) = ЕТ {у / Ф я (к) ехр [/<р (к)]}, (2)

    де? Т - оператор перетворення Фур'є, <~ (К) -Випадкові дельта-корельований фазовий множник, рівномірно розподілений в інтервалі [0, 2п].

    Для вирішення динамічних задач, пов'язаних з поперечним рухом турбулентних неоднорідностей, зазвичай використовується гіпотеза заморожений-ності турбулентності ^ (г, /) = ^ (г-У /, 0), де V - поперечна до осі поширення швидкість вітру,

    I - час. Використовуючи властивість перетворення Фур'є про зрушення оригіналу, з (2) отримаємо такий вираз для еволюції фазового екрану:

    Я (г, г) = ЕТ {<] ФЯ (к) ехр [/<р (к)] ехр [1кУг]}. (3)

    Відзначимо, що традиційна процедура формування фазових екранів на основі гіпотези Тейлора про замороженої турбулентності дозволяє врахувати перенесення турбулентних неоднорідностей вітром, але не дозволяє враховувати флуктуації цих неоднорідностей, присутні в реальній атмосфері.

    Сутність запропонованого нами методу полягає в тому, що стандартний підхід моделювання турбулентних екранів на основі гіпотези Тейлора (3) модифікується до виду

    Я (г, г + А) = ЕТ {у / ФЯ (к) / (г + А, к) ехр [1кУА]}, (4)

    де зміна комплексної функції / у часі задається наступним рекурентним виразом:

    / (Г + Аг, к) = р / (г, к) + 41 - р2 ехр [/<р (г, к)], (5)

    де р = ехр (-А // т), А / - крок дискретизації завдання за часом, т - параметр, що характеризує швидкість еволюції екрану (швидкість флуктуацій показника заломлення середовища), ~ (/, к) - випадковий дельта-корельований в часі (по /) і в просторі спектральних амплітуд (по к) фазовий множник, рівномірно розподілений в інтервалі [0, 2п]. Початкове вираз для функції / вибирається у вигляді

    / (Г = 0, к) = ехр [/<р (г = 0, к)]. (6)

    Вирази (4), (5) відповідає неодмінним умовам рівності нулю середнього значення і збереження дисперсії випадкової величини / [4]. Ще однією важливою перевагою такого підходу є те, що він несуттєво збільшує загальний час побудови екрану, яке головним чином визначається часом обчислення швидкого перетворення Фур'є.

    Очевидно, що якщо не використовувати рекуррентное вираз (5), а в (4) підставити початкове значення функції / в вигляді (6), то вираз (4) буде збігатися з традиційним підходом, відповідним гіпотезі Тейлора.

    Використання виразів (4), (5) дозволяє поряд з переносом турбулентних неоднорідностей середнім вітром врахувати додаткову тимчасову трансформацію розподілу турбулентних неоднорідностей за рахунок дрібномасштабних флуктуацій швидкості вітру. Під дрібномасштабними флуктуаціями маються на увазі просторові неоднорідності розподілу швидкості вітру, розмір яких менше або порядку розміру пучка. Коефіцієнт р = ехр (-А // т) задається в інтервалі 0<р<1 і дозволяє регулювати відносний внесок випадкових флуктуацій вітру на трансформацію неоднорідностей атмосфери в часі в порівнянні з їх середнім переносом. Зокрема випадок р = 1 (т =<») Відповідає гіпотезі Тейлора. При т = 0 маємо екран, повністю оновлюваний на кожному кроці за часом.

    Відзначимо, що У = 0 відповідає відсутності середнього вітру або збігу його напряму з напрямком осі поширення пучка. В цьому випадку середній вітер не вносить вкладу в тимчасові зміни неоднорідностей, і дані зміни відбуваються виключно за рахунок випадкових флуктуацій швидкості вітру з характерним часом, визначеним параметром т.

    Одним з важливих достоїнств пропонованого підходу, пов'язаного з використанням формул (4), (5), є те, що він дозволяє отримувати необмежений і неперіодичний фазовий екран для довготривалого моделювання рухається турбулентного середовища.

    2. Дослідження застосовності алгоритму

    до атмосферних завданням моделювання

    Для дослідження застосовності запропонованого алгоритму формування турбулентних екранів до атмосферних завданням було проведено порівняння результатів роботи алгоритму з експериментальними даними. Експерименти проводилися співробітниками ІЗА СО РАН А.Л. Афанасьєвим і А.П. Ростовом. Випромінювання поширювалося на фіксованій в часі горизонтальної атмосферної трасі довжиною 300 м на висоті 2,5 м від поверхні землі. Довжина хвилі випромінювання дорівнювала 1,06 мкм, радіус пучка 12 см, радіус приймальні апертури 12 см. Середнє значення поперечної до траси швидкості атмосферного вітру змінювалося від експерименту до експерименту в інтервалі від 0,1 до

    2 м / с, середньоквадратичне відхилення швидкості вітру від середнього значення а становило від 0,2 до

    1,2 м / с. Час між послідовними спостереженнями становило 40 мс. Вимірювалися тимчасові залежності флуктуацій центру ваги оптичного зображення по осях х та у. Типовий вид даних залежностей для різних середньоквадратичних відхилень швидкості вітру від середнього значення представлений на рис. 1. Видно, що в реальному експерименті присутні два характерних масштабу флуктуацій.

    Якщо побудувати автокореляційні функції даних залежностей

    у (Аг) = -1- ((х (г)- < х >) (Х (г + А г)- < х >)},

    то можна помітити, що ступінь кореляції в разі, відповідному високим флуктуацій швидкості вітру а = 0,5 м / с, падає швидше, ніж у випадку, відповідному низьким флуктуацій а = 0,3 м / с (рис. 2).

    01 23456789 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 Т2 8 2 Е 3 О 3 1 3 2

    Мал. 3. Моделювання замороженої турбулентності (т = ж)

    Мал. 4. Включення тимчасової еволюції екрану т = 1 с, і = 0,3 м / с

    Нами проведено чисельний експеримент для таких же параметрів траси і випромінювання для різних значень параметра т. Результати для т = так, що відповідає використанню традиційного алгоритму з обмеженим замороженим екраном, представлені на рис. 3.

    Як видно з порівняння рис. 1 і 3, використання гіпотези Тейлора про замороженої турбулентності не дозволяє спостерігати дрібномасштабні флуктуації центру ваги зображення. Крім того, використання обмежених фазових екранів призводить до того, що в еволюції флуктуацій координат центра ваги зображення спостерігається періодичність, в даному випадку 7 = 22 з.

    Як вже зазначалося раніше, пропонований в даній роботі алгоритм побудови екрану дозволяє позбутися від періодичності і врахувати тимчасову трансформацію розподілу турбулентних неоднорідностей за рахунок дрібномасштабних флуктуацій швидкості вітру. Покладемо т = 2 с, що відповідає зниженню коефіцієнта кореляції екранів до рівня 0,2 за час 2,5 с. Час 2,5 с для заданої швидкості вітру і розмірів екрану еквівалентно часу повного проносу екрану уздовж осі х. Таким чином, для заданих початкових даних при т = 2 с буде отримано неперіодична нескінченний фазовий екран. Видно, що на відміну від випадку т =<»В тимчасовій залежності флуктуацій

    центра ваги зображення з'являються дрібномасштабні флуктуації і одночасно пропадає періодичність (рис. 4).

    Відзначимо, що характер дрібномасштабних флуктуацій центру ваги зображення, отриманих в чисельному моделюванні при т = 1 з відрізняється від експерименту, відповідного о = 0,5 м / с. Досліджуючи різні значення параметра т, можна підібрати для нього таке значення, при якому результати чисельного експерименту максимально наближені до результатів реального експерименту. Аналіз отриманих результатів будемо проводити на основі порівняння автокореляційних функцій, визначених характером флуктуацій координат центра ваги зображення. На рис. 5 представлені автокореляційні функції для результатів моделювання.

    Видно, що для найбільш адекватного моделювання розглянутих натурних експериментів, відповідних о = 0,3 і 0,5 м / с, підходять значення т = 1 і 0,1 с, відповідно. Для моделювання експериментів з іншими атмосферними умовами підбір відповідного значення т також не представляє труднощі. Крім того, якщо необхідно моделювати зміна атмосферних умов в ході експерименту, можна варіювати значення т прямо в процесі моделювання.

    Мал. 5. Автокореляційні функції для флуктуацій центру ваги зображення при т = 0,1; 1; 10 c. Результати чисельного моделювання

    висновок

    Для моделювання задачі поширення оптичного випромінювання в атмосфері потрібно облік тимчасових змін неоднорідностей показника заломлення за рахунок дрібномасштабних флуктуацій швидкості вітру.

    Пропонований в роботі алгоритм побудови фазових екранів для моделювання впливу атмосферної турбулентності в граничному випадку т = ж збігається з традиційним алгоритмом формування обмеженого екрану без урахування часової еволюції. Вибір параметра т дозволяє варіювати швидкість еволюції фазового екрану, враховуючи тим самим флуктуації швидкості вітру. Чим менше значення т, тим швидше еволюціонує екран і тим відповідно більшому значенню флуктуацій швидкості вітру воно відповідає.

    Якщо в ході моделювання необхідно варіювати атмосферні умови, що в рамках довго-

    тимчасових експериментів буде актуально, цього можна домогтися відповідною зміною параметра т.

    Ще одним важливим достоїнством пропонованого алгоритму формування необмеженого екрану є те, що він не вимагає додаткових обчислювальних ресурсів і його швидкодія практично не поступається традиційному алгоритму формування обмежених фазових екранів.

    Подальший розвиток запропонованого в роботі алгоритму до завдань атмосферної оптики автори бачать у визначенні кількісних залежностей використовуваного параметра т від параметрів атмосфери і геометрії поширення випромінювання.

    Автори дякують А.Л. Афанасьєва і АП. Ростова за надані експериментальні дані, а П.В. Парамонова і А.М. Воронцова за корисні обговорення.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Fleck J.A., Morris J.R., Feit M.D. Time-dependent propagation of high energy laser beams through the atmosphere // Appl. Phys. -1976. - V. 10. - № 2. - P. 129-160.

    2. Rytov S.M., Kravtsov Yu.A., Tatarskii V.I. Principles of Statistical Radiophysics. 3. Elements of Random Fields. - Berlin-Heidelberg: Springler-Verlag, 1989. - 438 p.

    3. Лукін В.П., Фортес Б.В. Адаптивне формування пучків і зображень в атмосфері. - Новосибірськ: Изд-во СО РАН, 1999. - 176 с.

    4. Воронцов А.М., Парамонов П.В. Генерація нескінченних фазових екранів для моделювання поширення оптичного випромінювання через турбулентність // Известия вузів. Сер. Радіофізика. - 2006. - Т. 49. - № 1. - С. 21-34.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити