Запропоновано математичну модель висотного споруди з рамним каркасом, жорсткими перекриттями і центральним з стовпом. Враховано геометрична нелінійність деформацій тонкостінних стрижнів-стійок. Передбачається можливість додаткової ідентифікації параметрів моделі і її використання в системах автоматичного гасіння коливань споруд.

Анотація наукової статті з будівництва та архітектури, автор наукової роботи - Воронцов Г. В.


Область наук:
  • Будівництво та архітектура
  • Рік видавництва: 2003
    Журнал: Известия вищих навчальних закладів. Північно-Кавказький регіон. Технічні науки

    Наукова стаття на тему 'Адаптивні системи гасіння коливань висотних споруд в зонах природного ризику. Ч. 2 '

    Текст наукової роботи на тему «Адаптивні системи гасіння коливань висотних споруд в зонах природного ризику. Ч. 2 »

    ?БУДІВНИЦТВО

    УДК 624.042.41: 524.1

    адаптивні системи гасіння коливанні висотних споруд в зонах природного ризику. ч. 2

    © 2003 Відмова р Г.В. Воронцов

    Запланована серія статей передбачає розгляд комплексу завдань, що включає: математичне моделювання керованих висотних споруд різного типу, математичне конструювання засобів вимірювання і систем автоматичного гасіння коливань як при імпульсних впливах типу сейсмічних поштовхів, так і тривалих вітрових і інших впливах. Попутно буде розглянуто ряд питань теорії автоматичного управління, зокрема, адаптивних систем [1].

    Ця стаття присвячена математичному моделюванню висотних споруд з рамним каркасом з тонкостінних стрижнів, жорсткими перекриттями і центральним несучим стовпом.

    1. Переміщення, деформації та напруги нелінійно деформується тонкостінного стержня

    Переміщення поперечних перерізів тонкостінного стержня відкритого профілю задаємо вектор-функцією

    U (z) = colon [[(z) n (z) 0 (z) Z (z)], якій ставимо у відповідність лінійні деформації

    [2, 3]

    ez (z) = - [[x + V> + 0'Ш-С '] + +1 [) 2 + (n') 2 + (0 ') 2 P 2] +

    + 0 (( 'y -n'x) + 0' [(x - «x) + [ '(y - ay)]. (1)

    Тут [, n, Z - відповідно переміщення центрів крутіння поперечних перерізів в напрямках центральних осей X, Y; 0 - кут закручування; x, у, z, ю - декартові і секториальная координати точок стержня; ax, ay - координати центрів крутіння;

    P2 = (x - ax) + (у - «у) 2.

    вводячи позначення

    П (d) = - [xd2 I

    I2 I rnd2 I - d],

    D * (d) =

    'D! 0 0 d2 0! 01

    0 d 0 1 1 0 d2 i 0

    0 0 1 "Г" I "0 0 1 d

    0 0 0 0 0! 0 _

    f I

    - x I

    A (u) = [Г - e '(y - ay); n '+ e' (x - ax)) l'y-n '

    I Oy \ -ex I e'p2 -? '(Y - ay) + n' (- ax)], (2)

    представимо формулу (1) у вигляді

    e z (z) =

    п 2 (G) (d) +1 П (a) D (d)

    Kz) • (3)

    Кутовими деформаціями в серединній поверхні стрижня нехтуємо.

    Нормальні напруження в поперечних перетинах визначаємо за формулою лінійного напруженого стану [4, 5]

    аг ^): = ЕЕГ ^). (4)

    Сформувавши матрицю напруг

    n2 (G) = Gz

    ± ______ 1

    ! 1 !

    "(Y - a

    I I x - ax .__! ____ I______f.

    I I

    y I - x I

    =: A n, z

    (5)

    -УУ - ау)

    отримуємо важливу залежність

    П 2 (а) про (з1) і (г) = П * (й ^)) аг. (6)

    Введемо вектор V узагальнених переміщень стрижня і (4х4) -Матриця ^^) аппроксимирующих функцій, так що

    й (г): =) V. (7)

    Відповідно перепишемо формулу (3)

    (П ^) + 2 ni (u) (dy)

    (8)

    I I _

    x

    ?

    z

    і складемо вираз для варіації

    8ег = 8У * [(Пу) * + (? У) * П * (к)], (9) де використано тотожність

    Я (і) 8 і = П1 (8 і .

    2. Матриця жорсткості стрижня з чотирма ступенями свободи

    Розглядаємо стрижень, жорстко затиснений по кінцях щодо поворотів і депланація поперечних перерізів. Апроксимацію вектора від зсувів Vв верхньої опори визначаємо виразом

    К *) =

    n (z)

    e (z)

    "Z (z) _

    Vi (z)

    Vi (*)

    Vi (z)

    V 2 (z)

    x

    X

    = V (z) Vв

    (10)

    де в найпростішому випадку приймаємо (малюнок)

    Vi (z): =

    3z2 2z

    L

    2

    L

    , V 2 (z): =

    L

    Жорсткістю 01К тонкостінного стержня нехтуємо; апроксимації кутів закручування при обмеженому крученні виконуємо на основі відомої аналогії завдань плоского вигину і «чистого» стиснутого крутіння [3].

    ^ = I

    Vj (z)

    Складемо вираз для можливої ​​роботи напруг а (г) на збільшеннях деформацій см. Формули (3), (7) і (8).

    8Ж =) / 8е Її yoАёг = (в) * х

    0 A

    ХШ [(пу) * + (dy) * п * (й)

    [Про A

    x

    x E

    (Пу) +2 П (й) (пу)

    dAdzi V =: (sV в) * hSVв

    Тут Ь і А - довжина і площа поперечного перерізу стержня. Матрицю жорсткості (4х4) представляємо сумою

    І = І Л + Іа +'і, (11)

    де позначено

    ІЛ = | | (Пу) * Е (Пу) dAdz; (12)

    Ьа = | / (Яу) * П2 (а) (у) dAdz; (13)

    Ії = | I (П у) * Е П1 (і) (у) dAdz. (14)

    Тут використано тотожність (6) і відкинуті малі другого порядку, що містять твір

    П * (і) х П1 (і).

    Матриці Іа і Ії враховують геометричну нелінійність формули (1), яка визначає деформації. Матриця жорсткості стрижня, що відповідає зміщення-

    ун

    данням як верхній, так і нижній опори V, становить

    "H - h" "V в"

    h = V: =

    - h h V н _

    CT ^ Ve = 1

    "? Fc?----

    I

    V = 1

    zs2

    __________i

    V2 (z)

    y

    y

    Переміщення перетинів стрижня від одиничних зсувів верхньої опори

    v

    X

    V

    y

    V

    e

    v

    z

    Z

    Розглянемо два стану стержня "Уу, і j, Оj і

    \ В + 1 = Ув + д ", +1 = + А иу, оу + 1 = оу + ААУ,

    визначаються рівняннями

    h, VB = fj і h, + 1 (VB + AVj5) = f, "+ Afj5,

    (15)

    де Г у і Г у + АМУ - вектори відповідних сил,

    викликають зміщення Ув і У ^ ц. Складемо різниця виразів (15)

    (Ь у + 1 - ь у) в + ь у + 1ду; = М ;. (16)

    Використовуючи формули (11) - (14) і (4) - (9), маємо

    ь у + 1 - ь у = ь до у + ь ді}, ь у + 1 = ь л + ьо + ьі; +!,

    доу = е [(п у) + п (гу) (я у)] Ду ;. (17)

    При цьому рівняння (15) отримує вид

    (ЬдОу + ьдіу ^ + (ьЛ + Ьо, +! + Ьі, + 1) Ду ^ = М?.

    Вважаючи переміщення д "Ув, д і у, а також Прир-

    щення Ac j малими, вважаємо

    \ H л + hc, + hMj jAVj = Afj.

    (18)

    Лінеаризовані вираження (17), (18) дозволяють побудувати ітераційний алгоритм розрахунку геометрично нелінійно деформується стержня при поступовому нарощуванні навантаження.

    У першому наближенні приймаємо

    (Ь л + Ьоо + Ьіо) Дув = д? В,

    про ° (19)

    до = е [(п у) + пх (і0) ф у)] Дув,

    де ДГВ, дув - повні збільшення навантаження і переміщень; оо, в.о. - заданий початковий стан стрижня.

    З іншого боку, вираження (17), (18) дозволяють послідовно уточнювати рішення

    ьлУв =? в, Оо = е (п у) УОВ, (20) отримане за лінійним рівнянням. При цьому вважаємо

    (Ь л + ьоу + ь ^) ДНЗ + 1 = Гв, м у = 0,1,2, до .

    Тут у - номер наближення.

    Природно, що рівняння (19), (20) можуть бути (і будуть) узагальнені на системи багатьох стрижнів, см. П. 3. Відзначимо, що складові ьі матриці жорсткості (11) у багатьох випадках можна опустити.

    Розглянемо деякі аспекти обчислення матриць (13) і (14), що забезпечують наближений облік геометричної нелінійності завдання при введенні матриці жорсткості стрижня

    h: = Hл + hc0 + h »0 •

    Зокрема, вважаючи у виразі (12)

    мо (т) мо (т) В ° (т) "-у - ^ - х + - ^^ у + ЮЧ

    +

    N0 (z)

    A

    (21)

    враховуючи рівності

    J xdA = J ydA = 0,

    A A

    J xydA = J xrndA = J yrndA = 0

    A A A

    і вводячи позначення

    Ix = J y 2dA, I = J x 2dA, Im = fm2dA;

    ?x = ± Jx (x2 + y2),

    IyA

    ) DA - ax

    ? y = -1 J y (x 2 + y 2),

    ly A

    dA - a

    y

    (22)

    ?»= -1-1®2 (x2 + y2) dA, r2 = AAP2dA>

    A

    обчислимо інтеграл

    Jc0 y, z, ю) я y, p ^

    | № | i 1 M0 - ay№ '

    ! №! ! 1 IL! - M0 + axN ° L. L y X

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 - M M! y 1

    i! -M! 1 I L 1 1 L L

    i! M! 1 1 + 1

    M0 - ayN0i -M0 + aNj i "\ f (MX, My, BS, N ° \

    (23)

    У виразах (21), (23) згинальні моменти Мо (р), мо (р), бімомент В ° (р) і поздовжні

    сили Nо (р) відповідають деякому «початкового» або лінійно-певному (перше наближення) станом системи;

    f0 =:

    M0 (Xax -? X) + M0 ((ay -? Y) + B ° m? 0

    + Nr 2. (24)

    Повний вираз для матриці

    hc0 = JD V)

    J c ndA

    A

    (D V) dz

    визначається складом аппроксимирующих функцій матриці у (т), см. вираз (8).

    ю

    x

    Для стрижнів з бісімметрічним поперечним перерізом в формулах (22) - (24) приймаємо

    ах = ау = 0 .

    Аналогічно складаємо матрицю Ьй, вважаючи у формулі (2)

    ?(Г): =? (Г),) =?, До, п '(г): = п'о (г),

    докладніше див. в [6].

    3. Матриця жорсткості і інерційна матриця висотного споруди

    Введемо «глобальну» систему координат X, У, Z споруди, де X, Y - напрямки головних центральних осей поперечних перерізів стовпи, Z - вісь центрів крутіння.

    Позначимо через Ь ,, - матрицю жорсткості стерж-і

    ня, поверху -, що відноситься до власних осях х-, у-, х- стержня, що становить кути

    а-, а- + п / 2, п / 2 з осями X, У, Z. сформуємо матрицю

    * J =

    cosa sina - sina cosa

    lcxsina - cycosa)

    lcxcosa + cysinal

    0 0

    (25)

    Тут Сх, Су, - координати центру ваги поперечного перерізу в системі X, У .

    Матрицю жорсткості Н -, що відповідає переміщень-

    данням

    Vx (zj), Vy (zj), Ve (zj), Vz (z7) поверху j

    ділячи виразом

    Hj = S ** h / j V

    визна-

    (26)

    вважаючи

    Ух (г-) = у X (г-) Vx, до, (У-) = у - (г-) V-, (27)

    де V, до, V - вектори узагальнених переміщень;

    у х (г), до, у г (у) - вектори аппроксимирующих функцій (п << N, N - число поверхів), маємо

    V- = [уХ (г-)] ,

    де

    Vj = colon [Vx (zj) ... Vz (zj)] y * (zj) = diag [X (zj. Yz (zj)] > V = eolonVx Vy V Vz].

    При цьому матрицю жорсткості всієї споруди складемо так:

    н =? {) - у (г-_1)} {у * (г-) - у * (г, -_)} ,

    j = 1

    (28)

    порівняємо з інтегральної формою матриці жорсткості для спорудження баштового типу, в даному випадку -столпа, яку потрібно додати до матриці (28).

    Інерційну матрицю, що відповідає узагальненим переміщенням (27), формуємо знову-таки на основі змішаної дискретно-неперервної моделі споруди. Позначаючи через М -, мг-масу і момент інерції перекриття -, отримуємо

    М =? у (г-М, I- М,] у * (г,) + МСТ, (29)

    -= 1

    де М ст - інерційна матриця стовпи, виходить

    за методом [1].

    Звичайно, наведені в статті матриці (28), (29) жорсткостей н і інерції М є вельми наближеними, оскільки вони не відображають всю складність конструктивних рішень висотних споруд розглянутого типу. Однак вони дозволяють скласти рівняння коливань

    MV + + HV = F

    (30)

    еталонної моделі, - при введенні в матриці М і Н деяких параметрів, що підлягають ідентифікації на основі аналізу коливань реального споруди, схильного вибухового впливу, що імітує сейсмічний імпульс. Методи ідентифікації параметрів рівняння (30) будуть розглянуті в наступній статті.

    література

    1. Воронцов Г.В. Адаптивні системи гасіння коливань баштових споруд в зонах природного ризику // Изв. вузів. Сев.-Кавк. регіон. Техн. науки. 2003. № 3. С. 40-43.

    2. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н., Кузіна О.А. дифференци-

    альні рівняння задач про згинально-крутильні коливання нелінійних тонкостінних стрижнів // Изв. вузів. Сев.-Кавк. регіон. Техн. науки. 1996. № 4. С. 67-68.

    3. Воронцов Г.В., Ляшенко О.О., Кузіна О.А. дифференци-

    альні рівняння вигину і крутіння нелінійних тонкостінних стрижнів // Изв. вузів. Сев.-Кавк. регіон. Техн. науки. 1996. № 3. С. 127-142.

    4. ВласовВ.З. Тонкостінні пружні стрижні. М., 1959.

    5. Воробйов Л.Н. Вплив зсуву серединної поверхні на величину напружень і деформацій в тонкостінних стержнях' відкритого профілю з нешаткою контуром // Зб. науч. тр. / Новочерк. політехн. ін-т. Новочеркаськ, 1955. Т. 26/40. С. 92-111.

    6. Воронцов Г.В., Кузіна О.А. тангенціальні матриці

    жорсткості нелінійно деформованих тонкостінних стрижнів // Изв. вузів. Сев.-Кавк. регіон. Техн. науки. 1996. № 2. С. 115-130.

    Південно-Російський державний технічний університет (НПІ)

    29 травня 2003 р.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити