Пропонується метод розв'язання задачі диференціювання, дозволяє отримувати оцінки похідних гауссовских стаціонарних сигналів, близькі до оптимальним в середньоквадратичному сенсі, якщо спектральні щільності корисного сигналу і перешкоди відомі з точністю до рівня. Вирішується завдання за допомогою спеціальним чином організованих нелінійних динамічних систем. Знайдено близьке до оптимальному рішення задачі диференціювання, коли для будь-яких фіксованих рівнів дрібно-раціональних спектральних щільностей корисного сигналу і перешкоди параметри еквівалентної передавальної функції нелінійного динамічного дифференциатора можуть бути зроблені близькими до параметрів оптимального винеровского фільтра.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - Гуляєв Сергій Вікторович, Шубладзе Олександр Михайлович, Малахов Валерій Олександрович, Ольшванг Володимир Рафаїлович, Кротов Олександр Васильович


The method is suggested to solve the differentiation problem. It allows building the estimates for the derivatives of Gaussian stationary signals that are close to the optimal ones by the standard deviation criterion when the spectral density of a useful signal and a noise are known to within level. The problem is solved by the specifically designed nonlinear dynamic systems. A nearly optimal solution of the differentiation problem is found when the equivalent transfer function parameters of nonlinear dynamic differentiator can be made close to the parameters of the optimal Wiener filter for any fixed level of rational spectral density of a useful signal and a noise.


Область наук:

  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології

  • Рік видавництва: 2010


    Журнал: Управління великими системами: збірник праць


    Наукова стаття на тему 'Адаптивне оптимальне в середньоквадратичному сенсі диференціювання'

    Текст наукової роботи на тему «Адаптивне оптимальне в середньоквадратичному сенсі диференціювання»

    ?УДК 681.518.22 ББК 32.96

    АДАПТИВНЕ ОПТИМАЛЬНИЙ У Среднеквадратическая СЕНС ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

    Гуляєв С. В.1, Шубладзе А. М.2,

    Малахов В. А., 3 Ольшванг В. р.4

    (Установа Російської академії наук Інститут проблем управління РАН, Москва) Кротов А. В.5

    (ВАТ «Газавтоматіка»)

    Пропонується метод розв'язання задачі диференціювання, що дозволяє отримувати оцінки похідних гауссовских стаціонарних сигналів, близькі до оптимальних в середньоквадратичному сенсі, якщо спектральні щільності корисного сигналу і перешкоди відомі з точністю до рівня. Вирішується завдання за допомогою спеціальним чином організованих нелінійних динамічних систем. Знайдено близьке до оптимального рішення задачі диференціювання, коли для будь-яких фіксованих рівнів дрібно-раціональних спектральних щільностей корисного сигналу і перешкоди параметри еквівалентної передавальної функції нелінійного динамічного дифференциатора можуть бути зроблені близькими до параметрів оптимального винеровского фільтра.

    1 Сергій Вікторович Гуляєв, кандидат технічних наук (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    2 Олександр Михайлович Шубладзе, доктор технічних наук, професор (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    3 Валерій Олександрович Малахов, кандидат технічних наук, (тел. (495) 334-88-81).

    4 Володимир Рафаїлович Ольшванг, кандидат технічних наук, (тел. (495) 334-88-81).

    5 Олександр Васильович Кротов, начальник управління, alex_k @ gazauto. gazprom.ru

    Ключові слова: диференціювання, адаптація, оптимальність, гауссовский шум.

    1. Введення

    При вирішенні завдань управління технологічними процесами часто потрібно знаходити похідні гауссовских стаціонарних сигналів в разі, коли інтенсивність сигналу і перешкоди може змінюватися в широких межах. Відомі методи вирішення такого завдання, пов'язані з набором статистики, не завжди можуть використовуватися для вирішення практичних завдань управління, так як темп зміни параметрів сигналів може виявитися досить високим. Тому становить інтерес розробка таких способів оцінки похідних, які могли б вирішувати завдання для таких випадків.

    2. Постановка завдання

    Постановка завдання диференціювання наступна. спостережуваний сигнал

    (1) 2 ^) = х (0 + ф (0,

    де х (0 - корисний стаціонарний гауссовский сигнал; ф (0 -Стаціонарні гауссовская перешкода, некорреліровани з х (0. Спектральна щільність корисного сигналу

    т-р

    б (I Ь] Ю21 +1)

    (2) / х (б, о) = ------ |----,

    I а} ю21 +1 1 = 1

    де Т < п, т - р > 0, т, р, п, Ь і а ^ - відомі параметри, б > 0 - невідомий параметр. Спектральна щільність перешкоди

    Я! й, а21

    (3) видання (Я, о) = ------,

    2 +1

    I = 1

    де й < п, е, $, й, е1 - відомі параметри; Я > 0 - невідомий параметр.

    76

    Як випливає з робіт [1, 3], в цьому випадку передавальна функція оптимального в середньоквадратичному сенсі дифференциатора

    (4) И0 (о) = ------ 1 ---? Е-ГМЛ? (Ш) / (о) е

    0,4 '2ПУ (т) {± у * (о)

    де д - порядок диференціювання оптимального фільтра, функції ц (/ 'ш) і ц (? ш) знаходяться з рівняння

    (5) у (т) у (т) = ц (7'ш) ц (-7'ш) = / (ш) + / ф (ш),

    Вираз Ж0 ^ ш) (4) можна перетворити до вигляду

    (6) = 1

    0,4 їжу (ію) (ію У / г (ю)

    (Ію) 9 / г (ю) у * (ію)

    ^, (ОУ / г (о)

    де ^ у |'хУ '- сума відрахувань функції ---- * - ---, распо-

    у * (? о)] у * (? о)

    викладених у верхній півплощині комплексної площині. з

    (5) випливає, що

    (7) ц ( 'ш) = л / с Е (О / Я,? Ш), щ (1ю) = л / с Е (О / Я, -? Ш),

    де Е - дрібно-раціональна функція введених вище параметрів.

    Маючи на увазі, що сума відрахувань дрібно-раціональної функції також є дрібно-раціональної функцією, передавальну функцію (6) можна представити у вигляді

    9

    I * 1 (О / Я) (о) 1

    (8) ^ ДО / Я,? О) = ^ - ^-----------------------,

    I * (О / Я) (о) 1 + (о) п

    1 = 0

    т. е. параметри передавальної функції І09 (О / Я,? ш) (7) є безперервною функцією відносини О / Я.

    3. Синтез нелінійного дифференциатора

    Використовуємо отриману передавальну функцію оптимального дифференциатора для синтезу нелінійного дифференциатора, еквівалентна передатна функція якого

    була б близька до передавальної функції оптимального дифференциатора при будь-яких значеннях відносини О / Я. Близькість цих передавальних функцій при довільних О / Я гарантуватиме високу якість диференціювання нелінійного дифференциатора, так як відомо [1], що среднеквадратическая помилка диференціювання будь-якого фільтра з функцією передачі Іф (/ 'ш) визначається виразом

    (9) ^ = о02 + 1 К (°) - И0 (? '®) | 2 / (0, Я ш) dш,

    де

    о02 = 1 (| (°) 912 / (0, -К (0, Я,

    - среднеквадратическая помилка фільтрації оптимального винеровского дифференциатора.

    Нелінійні, близькі до оптимальних дифференциатора будемо синтезувати за допомогою симетричних статечних функцій, логіку роботи яких в даному випадку зручно представити у вигляді

    (10) і а (г) = і а (г) sign (s (t))

    де,? (^ пов'язано з г (() передавальної функцією

    (11) (? О) = °-------------,

    I * 1 (О / Я) (т) 1 + (? О) п

    1 = 0

    * 1 (О / Я), 1 = 0, ..., п - 1, - параметри знаменника передавальної функції оптимального дифференциатора, а й * а (/) має вигляд

    (12) иа (Г) = КДА \ д (Г) | "| * (0 | 1-а> 0,

    9 (?) - лінійне перетворення 2 ^) (1).

    Розрахунок дифференциатора з нелінійним I ^ -елементом (10)

    найзручніше проводити методом статистичної лінеаризації, який описаний в роботі [2]. У зв'язку з цим необхідно, перш за все, знайти еквівалентний коефіцієнт передачі

    цього елемента, що забезпечує мінімальну среднеквадратическую помилку

    (12) s2 = M {[V (t) -ua (t) J} = min, де

    u \ t) = k. a 5 (t).

    J s

    Умова (12) справедливо в припущенні, що q (t) і s (t) мають нульові математичні очікування. Мінімум вираження (12) шукається з умов

    (13)

    да2

    дк. "

    J s

    да2 дк з

    дм Л k a s (t) - ua (t)

    дкі

    : 0.

    Після диференціювання (13) отримуємо

    (.4). = М<-{М})}.

    1 'М {2 ^)}

    Вважаючи, що д (0 і s (t) - незалежні гаусові сигнали, знайдемо з (14) а

    (15) M {ua (t) s (t)} =

    4 рр, "2а" а 2а ^ 2а!

    |JK

    2ка>а, 00

    s q e

    де ss - дисперсія s (t), а sq - дисперсія q (t). Перетворюючи (15), отримуємо

    (16) M {иа (t) s (t)} =-

    и? -. а- 2-е

    kqa аq аs

    2ps sS q

    a +1

    3 - a

    де A (a) = J xa 1e xdx. Знаменник k. a (14)

    2 * оао2_а? -_8

    (17) М {2 (t)} = 8 1Л оds = О2,

    \ 2ко6, 0

    а сам коефіцієнт, як випливає з (14), (16) і (17),

    оа ^ ^

    а +1

    3 - а

    (18) * а = А

    8 про

    Отже, еквівалентний коефіцієнт передачі * | а

    1 8

    (18) I а -елементом (10) залежить від ставлення дисперсій, що характеризують 8 ^) і д (0.

    Зазначені властивості оптимального дифференциатора і

    знайдений еквівалентний коефіцієнт передачі * | а (18)

    1 8

    елемента (10) дають можливість синтезувати нелінійний дифференциатор, еквівалентна передатна функція якого була б близька при довільних відносинах О / Я до передавальної функції оптимального дифференциатора, розрахованого для випадку (1) - (3). Така близькість гарантує, перш за все, стійкість нелінійного дифференциатора, що є основною вимогою, що пред'являються до будь-яких пристроїв. У зв'язку з цим найбільш природно і просто задовольнити вимогу стійкості, якщо знаменник еквівалентної передавальної функції дифференциатора при довільних відносинах О / Я буде близький до передавальної функції оптимального дифференциатора, так як оптимальний дифференциатор, розрахований з умови мінімуму середньоквадратичної помилки, завжди стійкий.

    Розглянемо лінійну систему, знаменник передавальної функції якої збігався б за будь-яких відносинах О / Я зі знаменником W0, q (Q / R, ш) (8):

    (19) 2 (() - / (0 = 8 ^), / (0 = Ух (Г) + У) (0,

    (20) у) = * п-г (О / Я)) + у +! (T), / | = 1,., П,

    (21) УП-ДО = ЦО / ЯШ,

    (22) y0n) (t) = ^ (О / Я) 5 ^).

    Неважко помітити, що знаменник передавальної функції системи (19) - (22), наприклад, від г (^) до у0 (0, збігається зі знаменником W0, q (Q / Я, ш) (8). Блок-схема дифференциатора, відповідна цій системі, представлена ​​на рис. 1.

    Домогтися близькості знаменників еквівалентної передавальної функції нелінійного дифференциатора і W0, q (Q / Я, ш) (8) можна, замінивши в системі (19) - (22) елементи * 1 (О / Я),

    i = 1, ..., п, нелінійними елементами (10) так, щоб їх еквівалентні коефіцієнти передачі при будь-якому значенні відносини О / Я були як завгодно близькі до * 1 (О / Я) .

    Для проведення такої заміни встановимо зв'язок між еквівалентним коефіцієнтом передачі к| a (18) і ставленням

    ^ s

    Q / R. Нехай одним із вхідних сигналів елемента (10) є сигнал s (t) (10), (11), дисперсія якого в разі (1) - (3) визначається на заваді, т. Е.

    1

    Я I Л1ю2

    (23) 2 = - [- "2р / А-

    -Лю = ЯА.

    I ^ 2 '+1

    I = 1

    В якості другого сигналу, що входить в логіку елемента

    (10), візьмемо вихідний сигнал q (t) низькочастотного лінійного фільтра з функцією передачі Ж ^ ю), на вході якого діє спостережуваний гауссовский сигнал г (0 (1). В силу того, що фільтр низькочастотний, гауссовский сигнал q (t) буде визначатися низькочастотної складової сигналу 2 (1). Дисперсія сигналу q (t), від якої залежить к. а, на підставі (1)-

    (3) має вигляд

    1? I | 2

    (24) а ^ 2 = - / К (г'®) 1 ^ О *, ®) ^ ® = ВВ + КС,

    де

    т-р

    I'т21 +1

    1 7 I | 2 _

    (25) В = - / ^ (/ ю) 1 ------------------------- yoю,

    2ж • '1 + 1 -|

    I а} а>21 +1

    і = 1

    I Лю21 +1

    -Лю

    I СгЮ21 +1

    і = 1

    або

    а я = ^ 1ОВ + ЯС.

    Вирази (18), (23) і (24) дозволяють визначити залежність еквівалентного коефіцієнта передачі

    (27) к. А =

    р А

    0,5 А

    а +1

    3 - а

    Б0'5а (Є / Я + С / +)

    0,5 А

    від цікавить нас відносини О / Я для сигналів 5 (1) і q (t), які визначаються диференціальнимирівняннями 5 (0 = Wzs (p) z (t),

    де Ж ^ (/ «) визначається (11), а р = - і

    -

    g (t) = Wzg (p) z (t), р = -,

    -

    де ^^ (р) - передавальна функція фільтра низьких частот, що входить у вирази (24) - (26).

    Тепер для збігу знаменників еквівалентної передавальної функції нелінійного фільтра і передавальної функції оптимального фільтра Ж0>з (О / Я, / ю) (8) досить кожен з коефіцієнтів К1, / = 0, ..., п - 1, (20) - (22) подати з

    необхідним ступенем точності у вигляді розкладання по функціях

    (28) (О / Я + С / В) 0 5а = (О / Я + ?>/, А = 2р > 0,

    які пропорційні відповідним еквівалентним коефіцієнтам передачі -елементів.

    розкладання

    _ N _

    (29) до} (О / Я) »Ік} 1 (О / Я + ^,

    I = 1

    де (О / Я + В) Ь] 1 при різних 1 - лінійно незалежні функції, дозволяють встановити зв'язок між невизначеним поки параметром кс< (12), що входять в до, а (27), і коефіцієнтами

    Уа 1 5

    розкладання кц (29) функції к1 (О / Я). Як випливає з (27), (28) і (29), при виконанні рівності

    кр АЬЬ1

    (30) до - 1

    jl

    2

    коефіцієнти розкладання Кj? (29) збігаються з відповідними коефіцієнтами перед статечними функціями в кi a (Q / R) (27). Замінюючи в системі (19) - (22) кожен з кi (Q / R)

    * S • *

    групою елементів (10) з параметрами аj = 2в; 1 і kg в відповід-

    bjl

    відно до (29), (30) доб'ємося того, що знаменник еквівалентної

    передавальної функції нелінійного дифференциатора буде з необхідним ступенем точності збігатися зі знаменником передавальної функції оптимального дифференциатора при будь-якому відношенні О / Я в постановці (1) - (3). Отже, ступінь стійкості нелінійного дифференциатора як завгодно близька до ступеня стійкості оптимального дифференциатора.

    Якість диференціювання, яке визначається величиною середньоквадратичної помилки диференціювання, буде тим

    2

    вище, чим менше \ Ж</ Е (О / Я, Гю) -W0q (/ Я, / а) 1, де

    WШ (Q / R, / ю) - еквівалентна передатна функція нелінійного дифференциатора. Найбільша близькість передавальних функцій Wек (Q / Я, / ю) і Wйq? (Q / Я, / ю) в сенсі мінімуму про - (9) буде в нелінійному дифференциатора з елементами (10), описуваному наступною системою рівнянь

    (31) 2 (0 - У (0 = 5 ^), у (t) = у (t) + У0 (t),

    (32) у '(1) = Пп_г ^) + у + ^), / = 1,., П - 1,

    (33) УП (t) = К5 (t),

    (34) У0п) (1) = Щ (!) - К5 ^),

    (35) И1 (t) = 1 и2ь ^ ^),

    I = 1

    де параметри управління і 2 ^ г (10), (11), такі як Рц і до&1 ^ ,

    знаходяться відповідно з розкладання к1 (О / Я) (29) і формули для до ^^ (30), коефіцієнт до є межею

    (36) к = 11те / я®0 Iк01 (О / Я + ^) Ам = Іті / я®0 до0 (О / Я) .

    г = 1

    Вихідними координатами нелінійного дифференциатора є У01 ^), 1 = 0, ..., п - 1 (34). Блок-схема нелінійного дифференциатора, відповідна системі (31) - (35), зображена на рис 2.

    Введення в схему нелінійного дифференциатора елемента до (33), (34) і (36) позначилося тільки на чисельнику

    (37) Ж # (в / Я, іт) = п-1

    (Іту (К (в / Я) - до)

    х к] (в / Я) (ш) 1 + (іт) п

    1 = о

    N.

    де к] = хк т,] = 0, п - 1.

    і = 1

    р 1 «- (ХН- 1 1 1

    р Р-р-р

    1 1 1 1 1

    - - <- - < - «-

    р р р р р

    Ямс. 2. Блок-схема нелінійного дифференциатора

    Як показано в [3], модуль передавальної функції оптимального дифференциатора | W0 з (О / Я, / ю) | ® | (/ 'ю) з | , З = 0, .,

    п - 1, при О / Я ^ <»І з (О / Я, / ю) | ® 0 при О / Я ^ 0. З першо-

    го граничного співвідношення на підставі (8) випливає, що к1 (О / Я) і к1 (О / Я) (ку + 1 (О / Я)) - ®? при О / Я ^ да. В цьому

    випадку, маючи на увазі до ^ (О / Я) »к1 (О / Я), отримуємо

    85

    Wек (Q / Я, / ю) ^ (/ ю) з, с = 0,., П - 1 при О / Я ^ да, так як до} (О / Я) (к1 + 1 (О / Я) ) -1 ® 0 при О / Я ^ да. В іншому граничному співвідношенні при О / Я ^ 0, як і в оптимальному випадку, WеK (Q / Я, / ю) ^ 0, так як до0 '(О / Я) - до ® 0. Має сенс відзначити, що в найбільш цікавому діапазоні 0 < О / я < 1, коли оптимальний дифференциатор з передавальної функцією (8) забезпечує досить якісні оцінки корисного сигналу і його похідних, чисельник передавальної функції оптимального дифференциатора з високим ступенем точності наближається функцією (/ ю) с. Але в діапазоні 0 < О / Я < 1 чисельник еквівалентної передавальної функції (37) нелінійного дифференциатора (31) - (35) також з високим ступенем точності наближається тієї ж функцією (/ ю) з.

    Отже, якість диференціювання нелінійного дифференциатора (31) - (35) близько до якості диференціювання оптимального дифференциатора при будь-якому О / Я < 1.

    4. Висновок

    Порівнюючи підбудовується оптимальний для будь-якого 0 < О / Я дифференциатор (8) з нелінійним диференціатором

    (31) - (35), можна сказати, що, незначно програючи в якості диференціювання, нелінійний дифференциатор, по-перше, реалізується значно простіше подстраиваемой оптимального дифференциатора, де в результаті набору статистики визначається відношення О / Я, яке потім по нелінійним законам перетворюється , формуючи змінні коефіцієнти до ^ (О / Я) і до ^ (О / Я) (8), і, по-друге, час адаптації до

    мінливих параметрами О і Я (2), (3) в нелінійному дифференциатора (31) - (35), який не вимагає набору статистики, істотно менше часу адаптації в підлаштовуватися оптимальному дифференциатора.

    Синтезовані в даній роботі дифференциатора в силу нелінійних властивостей перемикальних елементів адаптуються до невідомим параметрами корисного сигналу і перешкоди, роблячи їх практично завжди без отримання будь-яких дода-

    86

    Передачі оцінок випадкових сигналів близькими до оптимальних в середньоквадратичному сенсі. Для отримання подібних властивостей адаптації в класичних оптимальних дифференциатора необхідно проводити статистичні оцінки рівнів випадкових сигналів і за допомогою такої статистики коригувати параметри в їх передавальних функціях. Очевидно, що такий процес адаптації і довгий і складний, тому практично він не застосовується.

    література

    1. ЄМЕЛЬЯНОВ С. В. та ін. Теорія систем зі змінною структурою. - М .: Наука, 1970. - 592 с.

    2. КОЗАКІВ І. Е., доступ Б. Г. Статистична динаміка нелінійних автоматичних систем. - М .: Фізмат-гіз, 1964. - 332 с.

    3. ПУГАЧОВ В. С. Теорія випадкових функцій і її застосування до задач автоматичного керування. - М .: Физматгиз, 1962. - 883 с.

    THE ADAPTIVE OPTIMAL DIFFERENTIATION BY STANDARD DEVIATION CRITERION

    Sergey Gulyaev, V.A. Trapeznikov ICS of RAS, Moscow, Cand.Sc., assistant professor (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    Alexander Shubladze, V.A. Trapeznikov ICS of RAS, Moscow, Doctor of Science, professor (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.)

    Valery Malakhov, V.A. Trapeznikov ICS of RAS, Moscow, Cand.Sc., assistant professor (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495) 334-88-81).

    Vladimir Olshvang, V.A. Trapeznikov ICS of RAS, Moscow, Cand.Sc., assistant professor (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495) 334-88-81).

    Alexander Krotov, Head of the department of "Gazavtomatika" (Moscow, Savvinskaya em., 25), (499) 580-41-22.

    Abstract: The method is suggested to solve the differentiation problem. It allows building the estimates for the derivatives of Gaussian stationary signals that are close to the optimal ones by the standard deviation criterion when the spectral density of a useful signal and a noise are known to within level. The problem is solved by the specifically designed nonlinear dynamic systems. A nearly optimal solution of the differentiation problem is found when the equivalent transfer function parameters of nonlinear dynamic differentiator can be made close to the parameters of the optimal Wiener filter for any fixed level of rational spectral density of a useful signal and a noise.

    Keywords: differentiation, adaptation, optimality, Gaussian

    noise.

    Стаття представлена ​​до публікації членом редакційної колегії А. С. Манделем


    Ключові слова: ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ /АДАПТАЦІЯ /оптимальний /гауссовский ШУМ /DIFFERENTIATION /ADAPTATION /OPTIMALITY /GAUSSIAN NOISE

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити